倾斜角与斜率PPT

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与 方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究 直线的有关问题 . 下面我们先介绍直线的倾斜角和斜率 .
y
当直线与x轴平行或重合时， 规定倾斜角为 0°.
0
l x
倾斜角的取值范围是 00 1800.
斜 率：
倾斜角不是90 °的直线，它的倾斜角的
正切叫做这条直线的斜率。
意义：斜率表示倾
直线的斜率通常用 k 表示
斜角不等于90°的
即
k tan.
直线对于x轴的倾
倾斜角是90 °的直线没有斜率。 斜程度。
倾斜角:
A
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直 线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾 斜角。
•概念分析
1. 倾斜角的顶点是x轴与直线的交点； 2. x轴绕交点旋转； 3. 旋转方向为逆时针； 4. x轴和直线重合时旋转终止； 5. 取最小正角.
y y yy
tan 2 1 1 2
x2 x1 x1 x2
即
y y
k 2 1
x2 x1
综上所述：经过两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)的直线的 斜率公式：
y y
k 2 1
x2 x1
注意两点：
①斜率公式与两点的顺序无关， 即两点的纵坐标和横坐标在公 式中的次序可以同时颠倒．
②当 x1=x2 ，y1≠y2（即直线和x轴垂直）时，不能用此公式， 此时倾斜角是90°，直线没有斜率．
正切函数的图象：
y
5
2
3
2
2
0 3
2
2
5
2
x
y tan x
(
x
k
2
,
k
Z
)
课后作业
1.教材P86练习（书上） 2.教材P89习题3.1A组1—4（作业本）
即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2）， 求直线P1P2的斜率．
已知两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2), 怎样用这两
点的坐标来表示直线P1P2的斜率？
向量P1P2 （x2 x1, y2 y1）. 过原点作OP P1P2 .
则P的坐标是（x2 x1, y2 y1）.
综上， m 的取值范围是 (, 3) 4
例3. 设直线的斜率为 k，且 3 k 3 ,
3
求直线倾斜角α的取值范围 .
y
解： k tan , 0 ,
当0 k 3 时, 3
有 0 tan 3 , 0 .
3
6
当 3 k 0时,
O
x
有 3 tan 0 , 2 . 综上直线的倾斜角α的取值范围 3[0， ] ( 2 , ).
正切函数的图象：
y
5
2
3
2
Hale Waihona Puke 20 32
2
5
2
x
y tan x
(
x
k
2
,
k
Z
)
变式1.《新概念》例4
已知直线 l 上的一个方向向量
r a(
3, 3) ，求直线 l 的倾斜角 和斜率.
r 解：a= 3(1, - 3)
k=- 3
倾斜角 =120
思考：
(1)直线倾斜角的概念要注意什么？ (2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？ (3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？ 斜率公式中脚标1和2有顺序吗？
第三章 直线与方程
平面解析几何
研究几何问题
通过坐标系把点和坐标、 曲线与方程联系起来，使形 和数结合.
以代数的方法
全章基本概述：
内容：直线与方程 方法：利用坐标研究图形（数形结合） 准备知识：一次函数、三角函数、平面向量 应用
3.1 直线的倾斜角和斜率
请作出函数 y=2x+1 的图象: 函数 y=2x+1的图象是直线 l（如图）. 这时满足函数
说明：
直线上的向量P1P2及与它平行的向量都称为直线的方向向量
x x y y 直线 P1P2
的 方 向 向 量P1 P2
的坐标是（
2
,
1
2
)，
1
当直线 P1P2 与 x 轴不垂直时，x1 x2 .
此时，向量
1 x2 x1
P1 P2
也是直线 P1P2 的方向向量，
它的坐标是
1 x2
x1
( x2
式 y=2x+1 的每一对 x、y 的值都是直线 l 上的点的坐标，
如有序数对（0，1）满足函数式，则在直线l上就有一点A，
它的坐标是（0，1）；
反过来，直线 l 上每一点的坐标
P
都满足函数式，如直线 l 上的点P
A
的坐标是（1，3），数对（1，3）
就满足函数式 .
一般地，一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，
63
变式3已知直线l的倾斜角θ满足： 2 ,
6
3
求直线斜率k的取值范围 .
y
解：当 时 ,
6
2
有 tan tan 即 k 3 .
6
3
当 2 时 ,
2
3
O
x
有 tan tan 2 即 k 3.
3
综上直线的斜率k的取值范围 ( , 3) ( 3 , ). 3
例如：直线l的倾斜角为45,则斜率为：k tan45 1
直线l的倾斜角为120,则斜率为：k tan 120 3
问 题：
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的,当直线的倾斜角不等于90°时,该直线 的斜率也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？
x1 ，y2
y1
)
(1，y2 x2
y1 ) (1，k) x1
其中 k 是直线 P1P2 的斜率 .
例1.
求经过A(2,0), B(5,3)两点的直线的斜率和倾斜角 .
解：
k
y2 x2
y1 x1
30 5 (2)
=
－1
即 tan 1
00 1800 ,
1350.
因此，这条直线的斜率是 1，倾斜角是1350 .
且 450 1350 ，试求实数 m 的取值范围.
解：（1）当 m 0 时，A(0,2),B (0, 1) ,直线倾斜角 = 900 ，
符合题意.
（2）当 m
0 时直线的斜率 k
2m
3
，
2m
∵ 450 1350 ，k 1或k 1，
2m 3 1 或 2m 3 1
2m
2m
0 m 3 或m 0 4
它是以满足y=kx+b的每一对 x、y 的值为坐标的点构成的 .
由于函数式 y=kx+b 也可以看作二元一次方程，所以我们
也可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应
关系.
y=kx+b
l
方程：y 2x 1
直线：l
方程y 2x 1的解( x, y)对应的点在直线l上， 直线l上的点的坐标满足方程 y 2x 1 .
例2（《新概念》变式2） 若经过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2 a）的 直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围.
解：∵直线PQ的倾斜角为钝角，
k= a 1 且k<0 a2
a 1 ＜0, a2 解得： 2 a 1.
变式2《新概念》例3
已知经过 A(m, 2), B(m, 2m 1) 的直线的倾斜角为 ，