倾斜角与斜率.ppt
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直线的倾斜角与斜率.ppt
B 直线AB的斜率 k AB 解： 直线BC的斜率 直线CA的斜率 ∵
k BC
22 0 8 4
. . . .
.
A
Hale Waihona Puke okCA2 (2) 4 1 40 4
22 4 1 0 (8) 8 2
.
C
. . .
x
k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC 0 ∵ kCA
y2 y1 k x2 x1
y1
o
x 答：斜率不存在， 因为分母为0。
) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 ) 、 B(b1 , b2， 运用上述公式计算直线AB的斜率时，与 A、B的顺序有关吗？
b2 a2 k AB b1 a1
a2 b2 kBA a1 b1
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角 倾斜程度相同的直线其倾斜角相同． 直线的倾斜程度还可以用什么量表示？
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
例3、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的 斜率 变式1 在例1基础上加上点C（m，4）也在直 线上，求m。 变式2 在例1基础上加上点D（8，6）,判断点D 是否在直线上。
k BC
22 0 8 4
. . . .
.
A
Hale Waihona Puke okCA2 (2) 4 1 40 4
22 4 1 0 (8) 8 2
.
C
. . .
x
k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC 0 ∵ kCA
y2 y1 k x2 x1
y1
o
x 答：斜率不存在， 因为分母为0。
) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 ) 、 B(b1 , b2， 运用上述公式计算直线AB的斜率时，与 A、B的顺序有关吗？
b2 a2 k AB b1 a1
a2 b2 kBA a1 b1
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角 倾斜程度相同的直线其倾斜角相同． 直线的倾斜程度还可以用什么量表示？
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
例3、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的 斜率 变式1 在例1基础上加上点C（m，4）也在直 线上，求m。 变式2 在例1基础上加上点D（8，6）,判断点D 是否在直线上。
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
2.1直线的倾斜角与斜率共26页PPT资料
升 高
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
前进
直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
一条直线的倾斜角的正切值叫做这
条直线的斜率（slope）.
通常用小写字母k表示，即
ktan(90)
倾斜角是90 的直线有斜率吗？ 倾斜角是90 的直线的斜率不存在．
直线的斜率
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0。90。
k(0,)
O
x
(1)
y
90。
k值不存在
O
x
(3)
kta n
y 90。18。 0
k(,0)
O
x
(2)
y
0。
k0
O
x
(4)
斜率公式
如何用两点的坐标表示直线的斜率?(α为锐角)
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直 l上 线的两个不同
o px
o p x
y
p
l
o
x
l
30。
l与y轴平行 30。 l与x轴平行
规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角0°.
直线的倾斜角
• 倾斜角的取值范围是
y
l
x o
0。18。 0
• 坐标平面上的任何一条直线都有唯一
的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定
一条直线的方向.
• 倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向 的倾斜程度.
确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者 缺一不可．
y
l
倾斜角与斜率课件
应用于建筑设计、道路坡度计算 和管道输水压力分析等领域。
数学
倾斜角和斜率是解析几何和微积 分中重要的概念。
倾斜角和斜率的常见误区及解决方法
1 常见误解
倾斜角和斜率是同一概念；倾斜角始终为正 角。
2 避免误解和解决问题
明确区分倾斜角和斜率的定义；了解不同情 况下倾斜角的取值范围。
总结
重要性
倾斜角和斜率在数学和实际应用中具有重要作用。
计算倾斜角和斜率的方法
1
倾斜角
Байду номын сангаас
通过三角函数计算，公式为tan(倾斜角)
斜率
2
= 斜率。
通过两点间纵坐标差值除以横坐标差值
计算。
3
计算公式
倾斜角 = arctan(斜率)；斜率 = (纵坐标 差值) / (横坐标差值)。
应用倾斜角和斜率于实际问题中
地理学
工程学
倾斜角和斜率可用于地形图分析、 地震摆动和河道流速计算。
本节课的学习内容
介绍了倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用，以及解决常见误区的方法。
参考文献
推荐资料
《高等数学》教材；《地质学基础》教材。
参考文献列表
1. Smith, J. et al. (2018). Introduction to Slope and Y-Intercept. Journal of Mathematics, 25(3), 45-67.
倾斜角与斜率ppt课件
本ppt课件介绍倾斜角和斜率的概念，并探讨它们之间的关系。还将介绍计算 倾斜角和斜率的方法，并应用于实际问题。最后，解决常见误区并总结重点。
倾斜角和斜率的概念
定义
倾斜角是一条线段与x轴正向 的夹角。
2.1.1倾斜角与斜率 课件(共21张PPT)
有内在联系.
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
3.1.1 倾斜角与斜率(共25张PPT)
栏目 导引
第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．求直线倾斜角的方法： 定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． 分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
2．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用
斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是 否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不 α＝ 60° ，则其斜率 k＝ ________.
答案： 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°， 如图所示，求直线l2的倾斜角．
栏目 导引
第三章
直线与方程
当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角 3 由 90° 增大到 PA 的倾斜角， 故斜率的变化范围是(－∞， － ]． 2 综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是 3 4 (－∞，－ ]∪[ ，＋∞ )． 2 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第三章
直线与方程
想一想 任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，是 否也有唯一的斜率和它对应？ 提示：不一定．任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对
应，但当倾斜角等于90°时，其斜率不存在．
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
2. 已知 P1 (3,5)，P2 (－ 1，－ 3)，则直线 P1 P2 的斜率 k 等于 ( ) A． 2 B． 1 1 C. D．不存在 2 － 3－ 5 解析：选 A.k＝ ＝ 2. － 1－ 3
课件_人教版数学必修二《倾斜角与斜率》PPT课件_优秀版
解: P1, P2, P3在一条直线上
k k P1P2
P2P3
即32 13 x1 3x
x 7. 3
20
小结 ① 经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成 过程，能自然过渡到倾斜角的概念。 ② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过知识迁移到 直线 的斜率中，并得到了斜率的定义。 ③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，推导出 过已知两点的 直线的斜率坐标公式。
任一条直线都有倾斜角，也2 都有斜率；1
x
所成的角 叫做直线的
结论：坡度越大，楼梯越陡．
设直线的倾斜程度为k
在RtP2Q1中 P
tan
P2Q P1Q
y2 y1 x1 x2
0 ktany2y1y2y1
x1x2 x2x1
17
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1),P2(x2, y2)(x1 x2)
我们把一条直线的倾斜角 的正切值
叫做这条直线的斜率.
用小写字母 k 表示，即： ktan
12
例题:已知直线的倾斜角,求直线的斜率：
1a30 ktan30 3 3
2a45 kta4n51
3a60 kta6n0 3
4a120 ktan1203
5a150ktan150 3
3
13
是否每条直线都有斜率? 0 a180
8
练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
y
o x
（1）
y
o
x
（2）
y
o
x （3）
y
ox
（4）
9
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
10
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
相关主题
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例如，“进 2 升 3”与“进 2 升 2”比较，前者更陡一些， 因为坡度32＞22.
楼梯的倾斜程度的刻画
级高
级宽
级高 楼梯的倾斜程度= 级宽
11
问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于 坡度来描述直线的倾斜程度？
问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值（或者 级高与级宽的比值），那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程 度能否如此度量？
如图所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点 旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？
3．1.1 倾斜角与斜率
[导入新知] 1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴__正__方__向___与直线l_向__上___方向之间所成的角叫做直线l的倾 斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是 ∠BPx. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是 __0_°__≤_α_＜__1_8_0_°____，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角 为0°.
的斜率公式为 k＝________.当 x1＝x2 时，直线 P1P2 没有斜率． 3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 __________．
[化解疑难] 1．倾斜角α与斜率k的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾 斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行 于y轴或与y轴重合)． (2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程 度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
直线的倾斜角
[例1] (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则
直线l的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
(2)下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
2．斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐 标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－ y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须 是x1－x2，即k＝xy11－－yx22＝xy22－－yx11. (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看 所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在， 若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率 公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有 参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
[易错防范] 1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜 角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的 倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有 k≤kPA. 2.如图，过点P的直线l与直线段 AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的 直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所 以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时， 可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两 边．
本章我们研究的是直线与方程,这是我们在初中就熟悉的知识，当时 是在函数的观点下进行，是借助于“形”研究“数”的问题，从今天开始 要转化一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是 用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜 角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和 思想。
直线的斜率的应用
[例3]
已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求
y x
的最
大值和最小值．
[活学活用] 4．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求
xy＋＋11的取值范围．
6.倾斜角与斜率的关系
[典例] 已知两点 A(－3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点，则 l 的倾斜角的取值范围________； 直线 l 的斜率 k 的取值范围________．
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
直线的斜率
[例2] (1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜 角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值 为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的 值为 ________．
[提出问题]
1.在平面直角坐标系中如何确定一条直线？ 2.在平面直角坐标系中.过一点的直线有多 少条？说出它们的不同. 3.在平面直角坐标系中.过一点的直线有无数 多条，要将其唯一定下来，你认为再需什么条件？
[提出问题]
分别观察图（1）和图（2）中的两条直线，说出他们的 不同之处！
[提出问题]
引
言
在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关 系研究几何图形的性质。现在我们采用另一种研究方法——坐标法来研究 几何问题。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通 过代数运算研究几何图形性质的一种方法，这门科学称为解析几何。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的 创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量 数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。
问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？
直线倾斜程度的刻画
级高
级宽直线yPQ高度M
宽度
o
x
ＭＰ 直线的倾斜程度= ＱＭ
13
[导入新知] 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______值叫做这条 直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________. 2．斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
直线
复习回顾 1.倾斜角的定义 2.倾斜角的范围 3.倾斜角的作用
想一想 你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
直线的斜率 [提出问题] 日常生活中，常用坡度(坡度＝升 前高 进量 量)表示倾斜程度，
楼梯的倾斜程度的刻画
级高
级宽
级高 楼梯的倾斜程度= 级宽
11
问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于 坡度来描述直线的倾斜程度？
问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值（或者 级高与级宽的比值），那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程 度能否如此度量？
如图所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点 旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？
3．1.1 倾斜角与斜率
[导入新知] 1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴__正__方__向___与直线l_向__上___方向之间所成的角叫做直线l的倾 斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是 ∠BPx. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是 __0_°__≤_α_＜__1_8_0_°____，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角 为0°.
的斜率公式为 k＝________.当 x1＝x2 时，直线 P1P2 没有斜率． 3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 __________．
[化解疑难] 1．倾斜角α与斜率k的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾 斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行 于y轴或与y轴重合)． (2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程 度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
直线的倾斜角
[例1] (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则
直线l的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
(2)下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
2．斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐 标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－ y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须 是x1－x2，即k＝xy11－－yx22＝xy22－－yx11. (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看 所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在， 若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率 公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有 参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
[易错防范] 1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜 角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的 倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有 k≤kPA. 2.如图，过点P的直线l与直线段 AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的 直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所 以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时， 可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两 边．
本章我们研究的是直线与方程,这是我们在初中就熟悉的知识，当时 是在函数的观点下进行，是借助于“形”研究“数”的问题，从今天开始 要转化一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是 用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜 角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和 思想。
直线的斜率的应用
[例3]
已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求
y x
的最
大值和最小值．
[活学活用] 4．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求
xy＋＋11的取值范围．
6.倾斜角与斜率的关系
[典例] 已知两点 A(－3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点，则 l 的倾斜角的取值范围________； 直线 l 的斜率 k 的取值范围________．
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
直线的斜率
[例2] (1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜 角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值 为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的 值为 ________．
[提出问题]
1.在平面直角坐标系中如何确定一条直线？ 2.在平面直角坐标系中.过一点的直线有多 少条？说出它们的不同. 3.在平面直角坐标系中.过一点的直线有无数 多条，要将其唯一定下来，你认为再需什么条件？
[提出问题]
分别观察图（1）和图（2）中的两条直线，说出他们的 不同之处！
[提出问题]
引
言
在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关 系研究几何图形的性质。现在我们采用另一种研究方法——坐标法来研究 几何问题。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通 过代数运算研究几何图形性质的一种方法，这门科学称为解析几何。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的 创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量 数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。
问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？
直线倾斜程度的刻画
级高
级宽直线yPQ高度M
宽度
o
x
ＭＰ 直线的倾斜程度= ＱＭ
13
[导入新知] 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______值叫做这条 直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________. 2．斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
直线
复习回顾 1.倾斜角的定义 2.倾斜角的范围 3.倾斜角的作用
想一想 你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
直线的斜率 [提出问题] 日常生活中，常用坡度(坡度＝升 前高 进量 量)表示倾斜程度，