解题｜轨迹定位法的灵活运用
中考热点题型：最常见轨迹问题解题策略靠套路就能拿高分！
中考热点题型：最常见轨迹问题解题策略靠套路就能拿高分！对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧。
在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系：如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变。
因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点。
轨迹问题三部曲：猜测轨迹形状——证明轨迹形状——代入图形应用其中第二步很重要，初中证明轨迹有两种证明方法：几何法和解析法。
所谓几何法就是通过纯几何证明，抓紧不变量，得出轨迹形状，一般是圆或直线（线段）证明方法：01圆弧——圆周角法已知Rt△ABC，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm，∠ABC=90°。
半径为1cm的圆，若将圆心由点A沿ABCA的方向运动回到点A，求圆扫过的区域面积为。
02圆弧——定义法如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）解析此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化．动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足．而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变．由于OH⊥ME，连结OM后，△AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H 的运动轨迹是一段圆弧。
使用轨迹的性质求解几何问题
使用轨迹的性质求解几何问题几何学是研究空间、形状、大小、相似、对称等性质的数学学科。
在解决几何问题时，我们可以运用许多不同的方法和性质来推导出最终的答案。
其中一种常见的方法是使用轨迹的性质。
轨迹是指在特定条件下点、线、曲线或图形移动、变化的路径。
本文将探讨如何利用轨迹性质来求解几何问题。
一、直线的轨迹性质1. 过给定点作直线：如果我们需要通过一个给定的点作一条直线，可以利用直线永远延长的性质将画出的轨迹表示出来。
2. 两点间的最短路径：通过连接两个点并找到连接这两点的所有可能路径，我们可以得到两点之间的最短路径。
二、圆的轨迹性质1. 圆的切线：通过连接圆心和切点，可以画出圆的切线。
利用圆的切线性质可以解决很多与切线相关的问题。
2. 切线与半径之间的关系：切线和半径之间的夹角等于切点处弧所对的圆心角的一半。
这个性质可以帮助我们求解切线和半径的相关问题。
三、角的轨迹性质1. 夹角的相等性：两个直线或线段之间的夹角不受它们的位置和角度的影响，只与直线或线段的方向有关。
因此，我们可以通过夹角的相等性来解决角的求解问题。
2. 平行线之间的角关系：两条平行线所对应的内角、外角以及同位角之间有着特定的关系。
通过利用这些角的关系，我们可以解决与平行线相关的角度问题。
四、三角形的轨迹性质1. 三角形的中位线：三角形的三条中位线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
利用中位线的性质，我们可以求解与三角形重心相关的问题。
2. 三角形的垂心：三角形的三条从顶点到对边垂线交于一个点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心可以帮助我们求解与垂线相关的问题。
综上所述，利用轨迹的性质可以在解决几何问题时提供有力的工具和思路。
我们可以根据问题的不同选择不同的轨迹性质进行分析和推导，从而得到准确的答案。
通过熟练运用轨迹性质，我们可以更加高效地解决各种几何问题，提升数学解题的能力和水平。
以上是本文对使用轨迹的性质求解几何问题的论述。
通过灵活运用不同轨迹的性质，我们可以更好地理解和解决各种几何问题，提高数学解题的能力。
轨迹问题的解法大全
轨迹问题的求法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程
例3.【2017年全国二卷文科】
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
七、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法
.。
立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)
立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．1AC C 1AEC C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)DDA ．B ．C ．D ． A【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)． (2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6． 【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )BABCDA3P A BC D立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分 简析 由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（A ）． A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________． 简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1⊥面ACB 1，所以满足BD 1⊥AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．答案 线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆） 9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（D ）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D简析 动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ． 10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________． 简析以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π． 12．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ． 提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析 由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ． 14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ． 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB CB PA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=， 即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．21．如图，动点P在正方体1111ABCD A B C D-的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N，．设BP x=，MN y=，则函数()y f x=的图象大致是（）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．已知异面直线a，b成︒60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面α上，直线'a、'b为平面α内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA⊥于'A，'b'BB⊥于'B，则P'B'AAB=⋂，且P也为'B'A的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA==得32'B'A=．则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹．现以'OB'A∠的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．A BCDMNPA1 B1C1D1yxOyxOyxOyxO图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是 （ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分 5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ） A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是 （ ） A A AP PP PB C B C B C B CA B C DA B C D 7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）14．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ．19．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O。
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是解析几何中的一个重要内容，它是描述一个物体在运动过程中的路径的数学方法。
在数学中，求轨迹方程的过程通常需要经过一系列的思路和方法，且会涉及到不同类型的题目。
本文将介绍求轨迹方程的思路、方法以及对应的题型，希望对读者有所帮助。
一、思路在求解轨迹方程时，我们首先需要明确物体的运动规律和路径，然后通过数学方法来描述它的运动状态。
通常来说，我们可以采用以下思路来求解轨迹方程：1. 分析运动规律：首先我们需要分析物体的运动规律，包括其运动方向、速度和加速度等。
了解物体的运动规律有助于我们更好地建立数学模型。
2. 建立数学模型：根据物体的运动规律，我们可以建立数学模型，一般是通过对其位置、速度和加速度等数据进行分析得到。
建立好数学模型后，我们就可以利用数学方法来求解轨迹方程。
3. 求解轨迹方程：根据建立的数学模型，我们可以利用数学方法如微积分、几何等来求解轨迹方程。
最终得到的轨迹方程可以描述物体在运动过程中的路径。
4. 验证结果：最后我们还需要验证求解得到的轨迹方程是否准确，通常可以通过数学推导和实际运动情况进行验证。
三、对应的题型在求解轨迹方程的过程中，我们会遇到不同类型的题目，包括但不限于以下几种：1. 直线运动问题：给定物体在直线运动过程中的速度和加速度，求解其轨迹方程。
2. 圆周运动问题：给定物体在圆周运动过程中的角速度和半径，求解其轨迹方程。
3. 曲线运动问题：给定物体在曲线运动过程中的运动规律，求解其轨迹方程。
4. 三维空间运动问题：给定物体在三维空间中的运动规律，求解其轨迹方程。
第二篇示例：求轨迹方程是数学中一个常见的问题，涉及到函数、几何和代数等多个方面的知识。
在解决这类问题时，我们需要掌握一定的思路和方法，同时要能灵活应用这些知识来解决具体的题目。
本文将介绍求轨迹方程的思路、方法以及几种常见的题型，并给出相应的解题思路和步骤。
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是高中数学中一个重要的话题，不仅是对数学知识综合运用的考验，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的一个重要环节。
在学习求轨迹方程的过程中，学生需要掌握一定的方法和技巧，同时要注意对不同类型的题目进行分类和分析，以便能够正确地找到轨迹方程。
一、思路和方法求轨迹方程的基本思路是根据给定的条件，建立方程，然后通过逻辑推理和代数计算，最终得到表达轨迹的方程。
在具体进行求解的过程中，我们可以采用以下几种方法：1. 笛卡尔坐标系法在求轨迹方程的过程中，我们常常需要用到二维平面坐标系。
通过设定坐标轴，建立直角坐标系，将问题中的各个点的坐标表示成(x,y)，然后根据给定条件进行分析，建立方程，最终得到轨迹方程。
2. 参数法有时候通过引入参数，可以简化问题的解决过程。
我们可以设一个参数t，用其作为辅助变量，来表达轨迹上各点的位置关系。
通过对参数的变化范围和步骤进行分析，最终得到轨迹方程。
3. 抽象化方法对于一些复杂的问题，我们可以通过抽象化的方法来求解轨迹方程。
将问题转化成一个更加简单的形式，然后进行分析和计算，最终得到轨迹方程。
二、对应的题型在求轨迹方程的过程中，我们会遇到各种各样的题目，不同的题目需要采用不同的方法和技巧进行求解。
下面列举一些常见的求轨迹方程的题型：1. 直线的轨迹方程有时候给定直线上的一个点和直线的方向向量，我们需要求直线的轨迹方程。
这时可以通过点斜式或者两点式求解。
给定圆心和半径，求圆的轨迹方程。
可以通过圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²来求解。
有时候会给定一组参数方程，我们需要求这些参数方程表示的轨迹方程。
可以通过把参数方程组合起来，得到关于自变量的函数表达式，最终得到轨迹方程。
第二篇示例：求轨迹方程是一种常见的数学问题，涉及到解析几何和函数方程的知识。
在数学学习中，经常会遇到求轨迹方程的题目，需要运用相关的方法和思路来解决。
大数据分析师如何进行人员定位和轨迹分析
大数据分析师如何进行人员定位和轨迹分析在当前信息爆炸的时代，大数据成为了企业决策和运营的重要资源。
作为大数据分析师，人员定位和轨迹分析是其中重要的任务之一。
本文将介绍大数据分析师如何利用现有数据进行人员定位和轨迹分析的方法和技巧。
一、人员定位分析1. 数据收集人员定位分析的第一步是收集足够的数据。
数据来源可以包括传感器、智能设备、社交媒体、行为日志等多种渠道。
这些数据可以包括位置信息、手机信号、社交关系等。
2. 数据清洗与整理收集到的数据中可能存在噪音和冗余信息，需要进行数据清洗与整理。
清洗数据可以有效提高后续分析的准确性和可靠性。
3. 数据分析与建模在进行人员定位分析时，可以利用各种统计学和机器学习算法进行数据分析与建模。
其中，常用的算法包括聚类分析、时间序列预测、随机森林等。
4. 结果可视化与报告人员定位分析得出的结果需要进行可视化呈现，以便帮助决策者更好地理解分析结果。
常用的可视化工具包括数据图表、地图、动态展示等。
同时，还需要撰写相应的报告，将分析结果和结论清晰准确地呈现给决策者。
二、轨迹分析1. 轨迹数据收集轨迹分析的基础是轨迹数据的收集。
可以利用GPS定位、移动设备、公共交通数据等多种方式收集轨迹数据。
2. 数据预处理轨迹数据可能存在重复点、噪音和缺失值等问题，需要进行数据预处理。
常用的预处理方法包括去重、插值、异常点处理等。
3. 轨迹聚类分析利用聚类算法对轨迹数据进行分析，可以将轨迹点根据相似度进行聚类分组。
常见的聚类算法包括K-means算法、DBSCAN算法等。
4. 轨迹预测与推荐根据历史轨迹数据，可以利用时间序列分析等方法进行轨迹预测。
同时，还可以基于轨迹数据为用户提供个性化的推荐服务，如交通路线推荐、景点推荐等。
5. 可视化与应用将轨迹分析的结果可视化展示，可以帮助决策者更好地理解轨迹分析的结论。
同时，轨迹分析的结果可以应用于出行规划、城市交通优化、安全预警等领域。
总结：人员定位和轨迹分析是大数据分析师的日常工作之一，通过收集、清洗、分析和可视化数据，可以帮助企业做出更明智的决策和优化运营。
求动点轨迹方程最简捷的四种方法
２０２３年４月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀求动点轨迹方程最简捷的四种方法◉安徽省全椒县城东中学㊀殷宏林㊀㊀摘要:求符合某种条件的动点轨迹方程,实际上就是利用已知的点的坐标之间的运动规律去寻找变量间的关系．求轨迹方程的常规思路,就是想方设法地把题目中的几何问题转化为代数方程问题来解决．关键词:参数法;复数法;交轨法;相关点法㊀㊀求动点的轨迹方程既是高中数学教学大纲要求掌握的主要内容,也是近年来高考考查的高频考点[１]．这类题型由于涉及到的知识点多,综合性较强,考查的范围广,分值较高,因此学习和掌握求轨迹方程的方法与技巧,已成为考生在高考中夺取高分的必要条件．轨迹是指点的集合,而方程是实数对的集合．二者看似毫不相干,实则它们之间是可以沟通转化的,求轨迹方程运用的就是这种转化思想．由于动点运动规律所给出的条件不同,因此求动点轨迹方程的方法也就不同[２],但其中最简捷㊁最实用的有以下四种．１参数法当所求动点满足的几何条件不易得出,也看不出明显的相关性时,如果经过仔细观察,发现这个动点的运动常常会受到某个变量(时间㊁角度㊁斜率㊁比值等)的制约,那么我们就可以用这个变量作参数,建立轨迹的参数方程,这就是参数法．图１例１㊀动直线l 与单位圆交于不同的两点A ,B ,当l 总保持平行于直线y ＝２x 的条件下移动时,求弦A B 中点轨迹的方程．解:由l 平行于直线y ＝２x ,可设l 的方程为y ＝２x ＋b (b 为参数),将其代入单位圆的方程x ２＋y ２＝１中,整理得５x ２＋４b x ＋b ２－１＝０．如图１,因为l 与单位圆有两个交点,所以Δ＝１６b ２－２０b ２＋２０＝２０－４b ２＞０,则－５＜b ＜５．设弦A B 的中点为P (x ,y ),根据韦达定理可知x ＝x １＋x ２２＝－２５b ,代入l 的方程中,得y ＝b５．所以中点P 的轨迹方程为x ＝－２５b ,y ＝b ５,ìîíïïïï其中－５＜b ＜５．消去参数b ,得x ＋２y ＝０(－２５５＜x ＜２５５),此即为弦A B 中点轨迹的普通方程,其轨迹为单位圆中的一条线段．思路与方法:从本题的解题思路可以看出以下几点．①利用几何直观即可判断出动点轨迹为过原点且垂直于y ＝２x 的含于单位圆中的线段;②当动点位置随着直线的平行移动而变化时,常选择截距作为参数较方便;③在求轨迹方程时,只要参数选择得当,常能使问题获得更简捷的解法．２复数法有些问题可以由复数的几何意义将动点和已知点表示成复数式,然后经过复数运算转化为动点的轨迹,这就是复数法．当涉及有向线段绕定点旋转,长度伸缩变化,或可用复数模的形式给出坐标间关系等问题时,运用复数法求解最简捷．图２例２㊀如图２,以抛物线y ２＝４x 的焦半径F B 为对角线作正方形F A B C (顶点按逆时针方向顺序排列)．求顶点C 的轨迹方程．解:因为抛物线y ２＝４x 中焦参数p ＝２,所以焦点坐标为F (１,０)．设动点C (x ,y ),其相关点B (x ᶄ,yᶄ)．把x 轴看作实轴,y 轴为虚轴,则在复平面上,有z C ＝x ＋y i ,z B ＝x ᶄ＋y ᶄi ,z F ＝１,所以z F Cң＝(x －１)＋y i ,z F Bң＝(x ᶄ－１)＋y ᶄi ．由øB F C ＝π４,F B ＝２F C ,得z F B ң＝z F C ңˑ２c o s (－π４)＋i s i n (－π４)éëêêùûúú,即(x ᶄ－１)＋y ᶄi＝[(x －１)＋y i ] ２(２２－２２i )＝[(x －１)＋y ]＋[y －(x －１)]i ．所以x ᶄ－１＝x －１＋y ,y ᶄ＝y －x ＋１,{即x ᶄ＝x ＋y ,yᶄ＝y －x ＋１．{因为点B 在y ２＝４x 上,所以(yᶄ)２＝４x ᶄ．故(y －x ＋１)２＝４(x ＋y )．整理即得动点C 的轨迹方程为１４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年４月上半月㊀㊀㊀x ２＋y ２－２x y －６x －２y ＝０．思路与方法:本题通过建立复平面,利用复数加法和乘法的几何意义,求出动点对应的复数表达式,然后通过比较实部㊁虚部求得动点的轨迹方程．３交轨法在求动点轨迹时,有时会遇到求两动曲线交点的轨迹问题．这类问题可以通过解方程组求出含参数的交点坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程,这就是交轨法．图３例３㊀在直角坐标系中,矩形O A B C 的边O A ＝a ,O C ＝b ,点D 在A O 的延长线上,D O ＝a ,设M ,N 分别是O C ,B C 上的动点,使O M ʒM C ＝B N ʒN C ʂ０,求直线DM 和A N 的交点P 的轨迹方程．解:如图３,建立平面直角坐标系,则各点的坐标分别为A (a ,０),C (０,b ),D (－a ,０),B (a ,b ),设P (x ,y )．设O M ʒM C ＝B N ʒN C ＝λ(ʂ０)．由定比分点公式,得M (０,λb １＋λ),N (a１＋λ,b )．根据两点式,可得直线DM ,A N 的方程分别为㊀㊀㊀㊀y ＝λba (１＋λ)(x ＋a ),①㊀㊀㊀㊀y ＝－b (１＋λ)λa(x －a )．②①ˑ②,得y ２＝－b ２a ２(x ２－a２),即x ２a ２＋y ２b２＝１(０＜x ＜a ,０＜y ＜b )．故点P 的轨迹方程为x ２a ２＋y ２b２＝１其中０＜x ＜a ,０＜b ＜y ．思路与方法:本题中由于动点P 为动直线DM ,A N 的交点,两动直线均有一定点(D ,A )一动点(M ,N ),而两动点又满足O M ʒM C ＝B N ʒN C 这一比值条件,所以设此比值为参数较为方便．从本题的求解过程我们发现,运用交轨法求解时,可以不用求交点的坐标,只要能消掉参数,得出点P 的坐标间的关系即可．这也充分展示了运用交轨法求轨迹方程的便捷性与实用性．４相关点法在求动点轨迹方程的过程中,有时动点满足的条件不方便用等式列出,但动点是随着另外相关点而运动的．如果相关点所满足的条件能够看出,或可分析出,这时就可以用动点的坐标来表示相关点的坐标,根据相关点所满足的方程就能够求得动点的轨迹方程,这就是相关点法．图４例４㊀已知定点O (０,０)和A (６,０),M 为O A 的中点,以O A为一边作菱形O A B C ,M B 与A C 交于点P ,当菱形变动时,求点P 的轨迹方程．解:如图４,设动点P (x ,y ),其相关点B (x ᶄ,yᶄ)．由A (６,０),得M (３,０)．易知M P P B ＝１２．所以由x ＝３＋１２x ᶄ１＋１２,y ＝０＋１２y ᶄ１＋１２,ìîíïïïïïïïïïï得x ᶄ＝３x －６,y ᶄ＝３y ．{由A B ＝O A ＝６,可得(x ᶄ－６)２＋(yᶄ－０)２＝６．即(３x －６－６)２＋(３y －０)２＝６．整理,得(x －４)２＋y ２＝４．因为点P 不可能在x 轴上,所以点P 的轨迹方程为(x －４)２＋y ２＝４(y ʂ０)．思路与方法:本题分析已知点与动点间的关系时,找出相关点是关键的一步．在图４中,若连接O B ,则可知P 为әA B O 的重心,所以选B 为相关点更方便;当然也可由A C 平分øO A B ,推知|B P ||PM |＝２．事实上,求已知曲线关于某定点(或定直线)的中心对称(或轴对称)的曲线方程时,通常选择相关点法较简捷[３]．５结论从上述典型实例可以看出,求动点轨迹方程的方法虽然很多,但上述四种方法最简捷,也非常实用,值得学生借鉴．当然,在求轨迹方程的过程中,要注意以上方法的灵活运用．对同一问题,若几种方法都可解决时,应择优选用;对较复杂的问题,有时需将两种或两种以上的方法结合起来使用．参考文献:[１]钟载硕．求动点轨迹方程八法[J ]．理科考试研究:高中版,２００４(３):１０Ｇ１４．[２]张黎青．求动点轨迹方程的常用方法介绍[J ]．新高考(高二语数外),２０１０(２):３３Ｇ３５．[３]陆钧．浅谈求动点轨迹方程[J ]．理科考试研究:高中版,２００６(１１):１２Ｇ１３．Z ２４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
初一数学动点问题解题技巧
初一数学动点问题解题技巧1. 引言初中数学中，动点问题是一个常见的题型。
动点问题涉及到一个或多个点在平面内进行运动，并需要根据给定的条件进行分析和求解。
这类问题在数学中具有一定的难度，需要我们灵活运用数学知识和解题方法。
本文将介绍一些解决初一数学动点问题的技巧，希望能够帮助同学们更好地理解和解决这类问题。
2. 关键概念在掌握解题技巧之前，让我们先了解一些关键概念。
•动点：指在平面内进行运动的一个点，可以用其坐标表示。
•路径：动点在平面内运动过程中经过的轨迹，可以用曲线表示。
•速度：动点在单位时间内位移的量，通常用单位时间内变化的坐标表示。
•相对速度：指两个动点在同一时间内的位移差值。
•时刻：指动点所处的特定时刻，通常用 t 表示。
3. 解题技巧3.1 使用坐标系在解决动点问题时，我们通常会使用坐标系来表示动点的位置。
建立坐标系能够帮助我们清晰地描述动点的位置和运动轨迹，从而更好地进行分析和计算。
3.2 理解速度和位移的关系速度与位移是动点问题中的两个重要概念。
理解它们之间的关系能够帮助我们更好地解答问题。
速度是描述动点运动快慢的概念，其单位可以是米/秒、千米/小时等。
位移则是一个点从一个位置移动到另一个位置的距离和方向的描述，其单位通常是米、千米等。
根据速度和位移的关系，我们可以利用公式速度 = 位移 / 时间来求解动点在一定时间内的位移。
3.3 利用相对速度求解问题有时候，动点问题中涉及到两个或多个点同时运动的情况。
这时，我们可以利用相对速度的概念来求解问题。
相对速度指的是两个动点在同一时间内的位移差值。
假设有两个点 A 和 B，它们分别以 V1 和 V2 的速度运动，那么它们的相对速度就是 V1 - V2。
利用相对速度，我们可以求解它们在一定时间内的位移差值。
3.4 使用时间关系方程动点问题中常常涉及到时间的关系。
我们可以根据题目中给出的时间关系建立方程，从而解答问题。
常见的时间关系方程包括：•时间 = 路程 / 速度•时间1 = 时间2 + 时间3•时间1 = 时间2 - 时间3通过设定未知量和建立方程，我们就可以利用数学方法解答动点问题。
轨迹问题的解法举例
轨迹问题的解法举例【问题1】．已知B 为圆122=+y x 上的一个动点，A （2，0），△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形（A ，B ，C 按顺时针排列），如图，求点C 的轨迹方程。
分析：根据求轨迹方程的一般步骤，求C 设C （y x ,），B 是所谓的相关点，设为（11,y x ）AC 和|AB|＝|AC|和12121=+y x 解：设C （y x ,），B （11,y x ），则12121=+y x ，∵△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， ∴12211-=-⨯-x y x y ① ∴222121)2()2(y x y x +-=+- ②由①得yx x y )2)(2(11---= ③ 把③代入②得221)2(y x =-，∵0,21><y x ，∴y x -=-21，21+-=y x ，把21+-=y x 代入①得21-=x y ，从而所求的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ． 解题过程看上去不太麻烦，12121=+y x ，得出1x ，这种方法虽然可行，算量比较大。
上述方法是把1y 和21-x 一种基本方法，考试中可能最先想到它，要是计算、变形能力差，中途放弃也有可能，但无论如何是我们必须掌握的一种方法。
请看下面的解法： 解法2：如图2，作PA ⊥x 轴于A ，且|PA|＝2，连结OB ，则|OA|＝|PA|， 由∠BAC ＝∠PAO ＝900，得∠PAC ＝∠OAB ，又|BA|＝|CA|，于是△OAB ≌△PAC ，从而|PC|＝|OB|＝1，故C 点轨迹是以P 为圆心，1为半径的圆，由于P 点坐标为（2，2），因此点C 的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ．这种方法显然简单！ 这是有一点，这种方法是如何想到的呢？实际上，有了第一种方法的结论，我们会根据结论去寻找方法，解法2就是这样产生的！因此我们说，解法1是根本，解法2具有启发性。
立体几何中动点轨迹问题的几种解题方法_柳双生
六、 试用猜想证明法求解
猜想 证 明 法 也 是 解 决 空 间 轨 迹 问 题 的 一 种 可 以 尝试着使用的 方 法 ， 这 往 往 是 以 立 体 几 何 的 定 理 及 空间图形的定义为依据 ， 大胆猜想 , 然后通过验证 ， 以
z ∩
面
P O y α
α ， 过 点 P 且 与 直 线 l 成 30o 角 的
三、 应用坐标法求解
用代数方法研究几何问题是解析几何的本质 , 通 过 建 立 直 角 坐 标 系,设 出 动 点 坐 标,将 几 何 问 题 转 化 成代数问题来解决 , 这是探求空间图形中的轨迹问题 常用的一种方法 . 例 ３. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 长 为 1 ， 点 P 是 平 面 ABCD 上 的 动 点 ， 且 动 点 P 到 直 线 A1D1 的 距 离与动点 P 到直线 AB 的 距 离 的 平 方 和 为 2 ， 则 动 点 的轨迹是 （ ）
）
A. 一条线段
M
D1 A1
B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
分 析 ： 在 平 面 A1B1C1D1 中 ， 过 点 P 作 PM ⊥A1D1， 垂 足 为 点 M, 在 平 面 ADD1A1 中 过 点 M 作 MN ∥AA1， 交 AD 于 点 N ， 又 因 为 PN=PB ，MN=BB1， 所 以 △ PMN
直线交面 α 于点 M ， 若点 M 的轨 迹为一圆锥曲线 ， 求其离心率 .
M x
达到解决的目的 . 例 ６. 在正四棱锥 S-ABCD 中 ，E 是 BC 的 中 点 ， 点 P 在侧面 △SCD 内及 其 边 界 上 运 动 ， 并 且 总 是 保 持 PE⊥AC ， 则动点 P 的轨迹是 （ ）
浅谈轨迹问题的五种有效解法
课例研究一、定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以用曲线写出方程，这种方法称为定义法。
例1：1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引一焦点12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，求Q 的轨迹。
解：设(,)Q x y ，延长垂线1FQ 交2F P 延长线于点A ，则1APF ∆是等腰三角形1PF AP ∴=，从而有22122AF AP PF PF PF a =+=+=O 是12F F 的中点，O 是1AF 的中点。
212OQ AF a==即222x y a +=故Q 点的轨迹是以原点O 为圆心半径为a 的圆。
二、直译法如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以利用平面几何知识推出等量关系，这种解题方法叫直译法。
例2：已知点(2,0)Q 和圆22:1C x y +=。
动点M 到圆的切线长m与MQ 的比等于常数λ，求点M 的轨迹方程。
思路分析：用M 的坐标去替换m 。
MQ =λ即可。
为此有m 22222(1)()4410x y x λ−+−λ+λ+=为所求评述：上述过程实质上就是将动点的几何形式直接化规为代数形式（方程），它是求动点轨迹方程的最基本方法。
三、参数法如果轨迹动点(,)P x y 的坐标之间的关系不易找到，也不有相关点可用时，可以先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得出轨迹方程，此法称为参数法。
例：设有一动直线过定点(2,0)A 且与抛物线22y x =+交于两点B 和C ，点B 、C 在x 轴上的射影分别为B ′、C ′，P 是线段BC 上的点，适合关系BP BB BC CC ′=′，求POA ∆的重心Q 的轨迹方程。
思路分析：此题主要从求交点，即解方程组入手，然后进行参数转移，但需要注意，只要在直线和抛物线相交的条件下，就可求得轨迹方程。
解：设点001122(,),(,),(,)P x y B x y C x y POA ∆的重心(,)Q x y 则0x 、1y 、2y 均大于0，设12y y =λ，则121201221y y y y y y y +λ==+λ+设L 方程为(2)y k x =−0,)k k R ≠∈（1）2(2)2y k x y x =− =+消去x 得222(4)60y k k y k +−+= （2）21221246y y k k y y k+=− ∴ = 则120122124y y ky y y k ==+− （3）又002y k x =− 0044x y ∴−=（4）又00233x x y y +==所以00323x x y y =− = （5）将（5）代入（4）12340x y −−=得 （6）由条件（2）有两异实根，故0∆>即44k k <−>+（7）由（3）、（4）、（5）、（6）、（7）知1644y k =+−而y在(,4(4)k ∈−∞−+∞及上均为单调递减44y 0y ∴<≠所以POA ∆的重心Q 的轨迹为直线12340x y −−=介于(44间的一段，除去3(,4)4点。
轨迹问题解析几何
图2
思维感悟 ：
数学教材始终是高考数学命题的源头活水，高
考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、 习题出发，采取科学的组合、加工、扩展或赋予新 的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。因 此，在复习过程中，用好教材是复习的关键，复习 时对教材进行深加工，在每一堂复习课中，尽量引 入一些课本典型例题、习题，从解题思路，解题方 法，解题规律等方面作一些探索，并做一些变式研 究，使之与高考试题接近。
2 3
2
∴重心G的轨迹方程为
y = 3x +
2 3
思维感悟 ：
1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵 活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。 2. 用参数法求轨迹方程的基本步骤： 建系 设标 引参 求参数方程 消参 检验
3 . 选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，
x
2
81
+
y
2
72
=1
(y
≠0)
变式:（2005山东卷）已知动圆过定点 ， 且与直线 x = - p 相切，其中p>0. 求动圆圆心的轨迹的 2 方程.
p ,0 2
解：如图，设M为动圆圆心， 记为 F，过点M作直线 x = - p 的垂线，垂足 2 为Ｎ，由题意知： |MF|=|MN| 即动点M到定点F与定直线 x = - p 的距离 2 相等，由抛物线的定义知，点M的轨 迹为抛物线，其中 F p ,0 为焦点， 2 p x = -准 线 ， 为 2 所 以 轨 迹 方 程 2 为 2 px p 0 . y
例 1
已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说 明它表示什么曲线。
太阳周日视运动轨迹图的判读及运用
太阳周日视运动轨迹图的判读及运用太阳周日视运动图的判读和运用是高中地理教学中的一个难点。
要突破这一难点，笔者认为，可以从三方面来进行：一是了解太阳周日视运动图上的基本信息，二是知道如何画某地某日的太阳周日视运动轨迹图，三是灵活运用太阳周日视运动轨迹图，据图判读观测者的位置、观测时间、太阳方位及影子朝向，提高解题能力。
让我们先来看三道例题：【例l】图1表示某地区不同日期的太阳周日视运动路线，某日当太阳周日运动至E点时，北京时间为11时，据此判断：(l)当地的纬度是_____________。
(2)此时太阳直射点的坐标是_____________。
(3)此时西安的日影朝向方_____________。
【例2】(09年天津文综第5题)科考队员在北极点附近某处一天中不同时刻拍摄了太阳照片。
观察照片（下图）太阳位于a所指位置时，拍摄者看到的太阳方位和他所在地的地方时分别是：A．正北O：00 B．正北12: 00 C．正南0：00D．正南12: 00 在d地观察太阳，观察时间（当地时间）与太阳所在方向组合正确的是A.3: 00东北方B.8: 00西南方C.15: 00西北方D.19: 00东南方上述【例l】是对太阳周日视运动轨迹图的直接判读，【例2】和【例3】需要对太阳周日视运动规律非常熟悉，或者能运用太阳周日视运动轨迹图进行图图转换。
同学们遇到这一类型的题目时大多会觉得难以下手，就是因为不会判读太阳周日视运动轨迹图。
要想突破这一难点，笔者认为，可以从以下三个方面来进行。
一、了解太阳周日视运动轨迹图上的基本信息如下图所示：1．了解地平圈、天球、天顶、太阳运行路线的含义。
2．太阳在天空中运行时总是东升西落，如图，太阳从A点升起，C点达到一天中最高，为正午，然后从B点落下。
3．确定方位：地平圈上的方位一面向北方，前北后南，左西右东；天球上的方位一从天顶至地平圈，各区域上的方位与地平圈上的方位对应。
如图，太阳从东北地平线上升起，经东北天空上升，正午时运行至正北天空，再经西北天空下落，落入到西北地平线之下。
初中轨迹直线型判定口诀
初中轨迹直线型判定口诀初中数学中，轨迹问题是一个常见的题型，主要涉及到直线、射线、线段等基本图形。
在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的判定方法和口诀。
本文将为大家介绍初中轨迹直线型判定的口诀，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、直线型轨迹的基本概念1. 直线：在同一平面上，不相交的两条直线称为平行线。
如果一条直线与另外两条直线都垂直，那么这条直线就是这两条直线的公垂线。
2. 射线：射线是有一个端点的线段，从这个端点出发，沿着一个方向可以无限延伸。
3. 线段：线段是有两个端点的直线，长度是有限的。
二、直线型轨迹的判定方法1. 平行线判定：如果两条直线在同一个平面上，且没有交点，那么这两条直线就是平行线。
2. 垂直线判定：如果一条直线与另外两条直线都垂直，那么这条直线就是这两条直线的公垂线。
3. 线段判定：如果一条直线上有两点A和B，且AB的长度有限，那么AB就是一条线段。
三、直线型轨迹的判定口诀1. 平行线判定口诀：同平面无交点，两直线平行。
2. 垂直线判定口诀：三线垂直于一点，此点为垂足。
3. 线段判定口诀：有起点有终点，长度有限是线段。
四、实例解析例1：如图1所示，直线AB与CD相交于点O，直线EF分别与AB、CD垂直。
求证：EF是AB和CD的公垂线。
解：根据垂直线判定口诀，我们可以得出EF是AB和CD的公垂线。
因为EF分别与AB、CD垂直，所以EF是AB和CD的公垂线。
例2：如图2所示，点A、B、C在一条直线上，点D在直线外。
求证：AC+BC=AB。
解：根据线段判定口诀，我们可以得出AC+BC=AB。
因为AC和BC都是有限长度的线段，且它们的端点都在AB上，所以AC+BC=AB。
例3：如图3所示，点A、B、C在一条直线上，点D在直线外。
求证：AD+BD>AB。
解：根据线段判定口诀，我们可以得出AD+BD>AB。
因为AD和BD都是有限长度的线段，且它们的端点都在AB上，所以AD+BD>AB。
巧用圆性质,妙定磁偏转轨迹七法
怨
Ａ
（ ）以 Ｏ 为圆心 ，０Ａ 为半径作 ３
圆 ，弧 ＡＢ 即 为 带 电 粒 子 在 磁 场 中 的 运 动轨 迹 。 此法 的依据是 同圆的半径相等 ，两 条半 径 和 一 条 弦 构 成 一 个 等 腰 三 角 形 的 顶点 即 为 圆 心 ，故 取 名 等腰 三 角 形 法 。 ３ ．直 角 三 角 形 法 如 图 ４ 示 ， 此法 作 图 步骤 为 ： 所
（） Ｏ为圆心， Ａ为半径作圆， ４以 Ｏ 弧 ＡＢ即为粒子在磁场 中的运动轨迹。 此法的依据是半圆上的圆周角为直 角 ，此直 角的两边 与圆的两个交点和直 角顶点构成 的三角形为直角三角形 ，而 直 角三 角 形 的 斜 边 即 为 直 径 ，故 此 法 的 关 键 是 作 出 一 个 符 合 条 件 的 直 角 三 角 形 ，因此该法命名为直角三角形法 。 ４ ．切 线 半 径 法 如 图 ５ 示 ，此 法 的作 图步 骤 为 ： 所
Ｂ
图 ５ ＩＩ 墨 ３
（ ）过 Ａ 点作直线 ＡＣ垂直于入 １ 射速度 ｖ矢量 ｌ （ ）过 Ｂ 点作 ＡＢ Ｃ ２ Ｏ＝ ＡＢ，
且 Ｂ 交 ＡＣ 于 Ｏ 点 ，０ 点 即为 圆心 。 Ｏ
（ ）过 Ａ 点作 直线 ＡＣ垂直于入 １
射 速 度 ｖ矢 量 ； （ ２ ） 在 ＡＣ 上 截 ＡＯ ＝ｍｖ ｑ ＝ｒ ／ Ｂ，Ｏ 点 即 为 圆 心 ； 取
（ ）过 Ｂ 点作 Ｂ ２ Ｄ上ＡＢ，交 ＡＣ
于 Ｄ，ＡＤ 必 为 圆的 直 径 ；
图６
新 地２１． ９ 天 ０１０４ １１
课 改 案 例
（ ）过 Ａ 点 作 直 线 ＡＣ 垂 直 于 入 １ 射 速 度 ｖ矢 量 ； （ ）过 Ｂ 点 作 出 射 速 度 ｖ矢 量 与 ２ ＡＢ 的 延 长 线 成 ０角 ； 由 圆的 几 何 性 质 （ 可 知 出 射 速 度 ｖ矢 量 与 ＡＢ延 长 线 必 定 夹 ｅ角 ） 的 距 离 ； 并 给 出 去 除 和 射 线 的 方
平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结
平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结在平面几何的世界里，轨迹问题是一个既有趣又具有挑战性的领域。
它不仅要求我们对几何图形的性质有深入的理解，还需要我们具备灵活的思维和解题技巧。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨平面几何中的轨迹问题，并对相关的知识点进行总结。
一、轨迹问题的基本概念轨迹，简单来说，就是一个动点在平面内按照一定的条件运动所形成的图形。
要确定一个轨迹，需要明确两个关键要素：动点满足的条件和动点运动的范围。
例如，一个点到定点的距离等于定长，那么这个点的轨迹就是一个圆。
这就是根据点的运动条件来确定轨迹的典型例子。
二、常见的轨迹类型1、直线型轨迹到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆（当定值大于两定点间的距离时）。
到两定点距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线（当定值小于两定点间的距离时）。
到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行于该直线且与直线距离为定长的直线。
2、圆型轨迹到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
3、抛物线型轨迹到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
三、例题解析例 1：已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 P 满足｜PA| ｜PB| ＝ 2，求点 P 的轨迹方程。
解：因为｜PA| ｜PB| ＝ 2 ＜｜AB| ＝ 4，所以点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支。
2a ＝ 2，a ＝ 1，c ＝ 2，b²＝ c² a²＝ 3所以点 P 的轨迹方程为 x² y²/3 ＝ 1（x ≥ 1）例 2：一动点到直线 x ＝ 4 的距离等于它到点 A(1,0)的距离，求动点的轨迹方程。
解：设动点坐标为（x,y)，则动点到直线 x ＝ 4 的距离为｜x 4|，动点到点 A(1,0)的距离为√（x 1)²＋ y²由题意可得：｜x 4| ＝√（x 1)²＋ y²两边平方得：（x 4)²＝（x 1)²＋ y²展开化简得：y²＝ 6x 15所以动点的轨迹方程为 y²＝ 6x 15例 3：在平面直角坐标系中，点 P 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1，求点 P 的轨迹方程。
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解题｜轨迹定位法的灵活运用
XX：__________
指导：__________
日期：__________
从轨迹的角度寻找点的位置，可使问题变得一览无余、一目了然，因直观所以简
单。
1.(2016卷)在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1, y1)，点Q的坐标为(x2, y2) ，且x1≠x2 ，y1≠y2 ，若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”。
下图为点P、Q的“相关矩形”的示意图。
（1）已知点A的坐标为（1,0），
①若点B的坐标为（3,1），求点A、B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为√2，点M的坐标为(m, 3）。
若在⊙O上存在一点N，使得点M、N的“相关矩形”为正方形，求m的取值X围。
分析：
（1）①易得面积为2。
②由相关矩形的概念及正方形的性质可知，当相关矩形为正方形时，对应两点的所在轨迹为y=x+b或y=-x+b。
由此将A(1, 0)代入y=x+b或y=-x+b 得所求直线为y=x-1或y=-x+1。
（2）这里包含3个轨迹：①M、N所在轨迹为直线y=x+b（或y=-x+b），②由M(m, 3)知M点所在轨迹为直线y=3，③N在圆O上。
所以当直线y=x+b在下图黄色区域内平移皆符合要求（圆的两条切线之间），符合条件的M点X围即为黄色区域与直线y=3的公共部分。
如下图，易得1≤m≤5。
（亦可代入A、B坐标求直线的表达式得M点坐标X围）
当M、N在直线y=-x+b上时，如下图，同
理可得-5≤m≤-1。
2.(2016年义乌卷)如图1，新定义：直线l1、l、l2，相交于点O，长为m的线段AB在直线l2上，点P是直线l1上一点，点Q是直线l上一点．若∠AQB=2∠APB，则我们称点P是点Q的伴侣点；（1）如图1，直线l2、l的夹角为30°，线段AB在点O右侧，且OA=1，m=2，若要使得∠APB＝45°且满足点P是点Q的伴侣点，则OQ=_________；
（2）如图2，若直线l1、l2的夹角为60°，且m=3，若要使得∠APB＝30°，线段AB在直线l2上左右移动．
①当OA的长为多少时，符合条件的伴侣点P有且只有一个？请说明理由；②是否存在符合条件的伴侣点P有三个的情况？若存在，请直接写出OA长；若不存在，请说明理由．
分析：
（1）如下图，由∠AQB＝2∠APB＝90°（定线对定角）知Q点轨迹为以AB为直径的圆（定线对定角），由∠AOQ＝30°知圆心M到直线l的距离为1，即圆M与直线l相切，得OQ＝√3。
（2）①由∠AQB＝2∠APB＝60°，知点P的轨迹是以AB为弦点C为圆心的两段圆弧（定线对定角），其中∠ACB＝60°，只存在一个P点即当圆弧与直线l1相切时。
如下图，当直线l1与上段弧相切时，易求得OA＝2√3。
如下图，当直线l1与下段弧相切时，易求得OA＝3+2√3。
②符合条件的P点变化情况只要看直线l1与两段圆弧的交点（不包括A、B点）个数变化，如下图。
观察易知，当直线l1与下圆相切时，求得OA=3-2√3。
如下图，当直线l1与上圆相切时，求得OA=2√3。
先见森林，再寻树木，用轨迹定位法确定点的位置。
其好处是：第一，直观明了简单易解；第二，全面严谨不易遗漏。