最短路径(单源 dijkstra算法-邻接矩阵)
dijkstra算法代码python
dijkstra算法代码pythonDijkstra算法是一种贪心算法，用于计算图中单源最短路径。
该算法基于贪心算法的原则，每次选择一个距离源点最近的顶点，然后更新这个顶点的邻元素的距离。
算法步骤：1. 初始化距离数组，设置源点的距离为0，其余点的距离为无穷大（表示没有到达该点的路径）。
2. 创建一个空的集合S，用于存放已经求出的最短路径的结点。
3. 循环执行以下步骤，直到所有点都被添加到集合S中：- 在未确定最短路径的结点中，选择距离源点最近的结点，并将该结点添加到S集合中。
- 更新该结点的邻元素的距离，如果新路径的距离小于目前已知的最短路径，则更新最短路径。
在实现Dijkstra算法时，需要使用图的邻接矩阵或邻接表来表示图。
下面是使用邻接矩阵实现Dijkstra算法的Python代码：def dijkstra(graph, src):# 初始化距离数组dist = [float('inf')] * len(graph)# 设置源点的距离为0dist[src] = 0# 用于存放最短路径的结点s = []# 循环执行直到所有点都被添加到集合S中while len(s) < len(graph):# 在未确定最短路径的结点中，选择距离源点最近的结点，并将该结点添加到集合S 中min_dist = float('inf')min_index = -1for i in range(len(graph)):if i not in s and dist[i] < min_dist:min_dist = dist[i]min_index = is.append(min_index)return dist# 示例graph = [[0, 2, 4, 0, 0],[2, 0, 1, 3, 0],[4, 1, 0, 5, 6],[0, 3, 5, 0, 2],[0, 0, 6, 2, 0]]上述代码通过邻接矩阵表示图，其中0表示两点之间没有边，其他数字表示该边的边权。
邻接矩阵求最短路径c语言
邻接矩阵求最短路径c语言邻接矩阵表示图中各个节点之间的关系，在求解最短路径问题中，邻接矩阵是非常重要的数据结构之一。
下面是一个简单的C语言程序，用于利用邻接矩阵求解最短路径问题。
首先，我们需要定义一个邻接矩阵。
假设我们有一个图，其中有5个节点，节点编号从1到5，邻接矩阵可以表示为一个5x5的二维数组，其中arr[i][j]表示从节点i到节点j的距离。
如果两个节点之间没有直接的边，则arr[i][j]的值为无穷大。
接下来，我们需要使用Dijkstra算法来求解最短路径。
该算法使用贪心策略，在每一次迭代中，选择当前距离源点最近的节点，并以该节点为中心更新其周围的节点的距离。
具体实现如下：1. 定义一个长度为n的数组dist，其中dist[i]表示从源点到节点i的距离。
2. 将dist数组初始化为无穷大，源点的dist值为0。
3. 定义一个长度为n的数组visited，标记已经被访问过的节点。
4. 循环n次，每次选择一个距离源点最近的未被访问过的节点u。
5. 标记节点u为已经访问过。
6. 遍历节点u的所有邻居v，如果从源点到v的距离通过u可以更新，则更新dist[v]的值。
7. 返回dist数组，即为从源点到各个节点的最短距离。
下面是一个简单的C语言程序，用于实现邻接矩阵求最短路径的功能。
```c#include <stdio.h>#define INF 99999#define MAX_N 100int arr[MAX_N][MAX_N]; //邻接矩阵int dist[MAX_N]; //存储最短距离int visited[MAX_N]; //标记已经被访问过的节点int n; //节点数int minDistance() {int minDist = INF;int minIndex = -1;for (int i = 0; i < n; i++) {if (visited[i] == 0 && dist[i] < minDist) {minDist = dist[i];minIndex = i;}}return minIndex;}void dijkstra(int start) {//初始化dist数组和visited数组for (int i = 0; i < n; i++) {dist[i] = INF;visited[i] = 0;}dist[start] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {int u = minDistance();visited[u] = 1;for (int v = 0; v < n; v++) {if (visited[v] == 0 && arr[u][v] != INF && dist[u] + arr[u][v] < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + arr[u][v];}}}}int main() {//初始化邻接矩阵n = 5;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {arr[i][j] = INF;}}arr[0][1] = 10;arr[0][4] = 5;arr[1][2] = 1;arr[1][4] = 2;arr[2][3] = 4;arr[3][2] = 6;arr[3][0] = 7;arr[4][1] = 3;arr[4][2] = 9;arr[4][3] = 2;//执行Dijkstra算法dijkstra(0);//输出结果for (int i = 0; i < n; i++) {printf('从节点0到节点%d的最短距离是%d ', i, dist[i]);}return 0;}```代码中，我们使用了INF表示两个节点之间没有直接的边。
Dijkstra最短路径算法的实现及优化
Ｄｉｊｋｓｔｒａ最短路径算法的实现及优化 施培港 厦门信息港建设发展股份有限公司 厦门市槟榔路１号联谊广场五层 ３６１００４ Ｅｍａｉｌ：ｓｐｇ＠ｘｍｉｎｆｏｐｏｒｔ．ｃｏｍ 摘要：最短路径算法种类繁多，比较有名的算法包括：Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法、Ｆｏｒｄ算法、Ｆｌｏｙｄ算法、Ｍｏｏｒｅ算法、Ａ＊算法、Ｋ值算法，而即使同一种算法也有多种不同的实现方式。
本文就Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法的两种实现方式做一定的分析，并采用一种新的实现方法达到对算法优化的目的。
关键字：Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法 最短路径 网络分析 地理信息系统（ＧＩＳ） １． 何谓最短路径 所谓最短路径就是网络中两点之间距离最短的路径，这里讲的距离可以是实际的距离，也可以引申为其它的度量，如时间、运费、流量等。
因此，从广义上讲，最短路径算法就是指从网络中找出两个点之间最小阻抗路径的算法。
２． Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法介绍 Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法本身是一种贪婪算法，它通过分步的方法来求最短路径。
首先，初始产生源点到它自身的路径，其长度为零，然后在贪婪算法的每一步中，产生一个到达新的目的顶点的最短路径。
其算法描述如下（算法中以有向图表示网络结构）： 对于有向图Ｇ ＝（Ｖ，Ｅ），图中有ｎ个顶点，有ｅ条弧，其中Ｖ为顶点的集合，Ｅ为弧的集合，求源点ＶＳ到终点ＶＴ的最短路径。
（１） 用带权的邻接矩阵Ｌ来表示有向图，Ｌ（Ｘ，Ｙ）表示弧＜Ｘ，Ｙ＞的权值，若弧＜Ｘ，Ｙ＞不存在，则设Ｌ（Ｘ，Ｙ）＝∞；用Ｄ（Ｘ）表示源点ＶＳ到顶点Ｘ的距离，除源点ＶＳ的值为０外，其余各点设为∞；用Ｓ表示已找到的从源点ＶＳ出发的最短路径的顶点的集合，其初始状态为空集；用Ｖ－Ｓ表示未找到最短路径的顶点的集合； （２） 选择源点ＶＳ做标记，令Ｙ ＝ ＶＳ，Ｓ ＝ Ｓ ∪ ｛ＶＳ｝； （３） 对于Ｖ－Ｓ中各顶点， 若Ｄ（Ｘ） ＞ Ｄ（Ｙ） ＋ Ｌ（Ｙ，Ｘ），则修改Ｄ（Ｘ）为 Ｄ（Ｘ） ＝ Ｄ（Ｙ） ＋ Ｌ（Ｙ，Ｘ） 其中Ｙ是己确定作标记的点； （４） 选择Ｖｊ，使得Ｄ（ｊ） ＝ ｍｉｎ｛ Ｄ（ｉ） ｜ Ｖｉ ∈ Ｖ－Ｓ ｝ 若Ｄ（ｊ）为∞，则说明ＶＳ到Ｖ－Ｓ中各顶点都没有通路，算法终止；否则，Ｖｊ就是当前求得的一条从源点ＶＳ出发的最短路径的终点，对Ｖｊ做标记，令Ｙ ＝ Ｖｊ，并把Ｖｊ放入集合Ｓ中，即令Ｓ ＝ Ｓ ∪ ｛Ｖｊ｝； （５） 如果Ｙ等于ＶＴ，则说明已经找到从ＶＳ到ＶＴ的最短路径，算法终止；否则，转到３继续执行。
最短距离算法范文
最短距离算法范文最短路径算法被广泛应用于许多领域，例如路由算法、导航系统、网络优化等。
本文将介绍三种常见的最短距离算法：Dijkstra算法、贝尔曼-福特算法和弗洛伊德算法。
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种基于贪心的算法，用于解决单源最短路径问题。
在一个有向加权图中，该算法从源节点开始，逐步选择与源节点距离最短的节点，直到到达目标节点。
具体步骤如下：1）创建一个距离列表，记录源节点到每个节点的距离，初始状态为无限大。
2）将源节点的距离设置为0，并标记为已访问。
3）从源节点开始，遍历与当前节点相邻的节点，并更新距离列表中的距离。
4）选择一个当前距离最小的节点，标记为已访问。
5）重复步骤3和步骤4，直到目标节点被标记为已访问或没有节点可访问。
2.贝尔曼-福特算法：贝尔曼-福特算法是一种解决任意两个节点之间最短路径的算法。
该算法通过多次迭代，逐步更新节点之间的距离，直到收敛到最短路径为止。
具体步骤如下：1）创建一个距离列表，记录源节点到每个节点的初始距离，初始状态为无限大。
2）将源节点的距离设置为0。
3）重复以下步骤N-1次（N为图中节点的个数）：a)遍历图中的每条边，如果当前边的权重与源节点到边的起点的距离之和小于边的终点的距离，则更新边终点的距离。
4）遍历图中的每条边，如果存在一条边满足上述条件，则图中存在负权重环，算法无法得出最短路径。
5）如果没有负权重环，则距离列表即为最短路径。
3.弗洛伊德算法：弗洛伊德算法是一种解决任意两个节点之间最短路径的算法。
该算法通过多次迭代，逐步更新节点之间的距离，直到收敛到最短路径为止。
与贝尔曼-福特算法不同的是，弗洛伊德算法可以处理含有负权重边的图。
具体步骤如下：1）创建一个邻接矩阵，用于记录每对节点之间的初始距离。
2）通过多次迭代，根据节点之间的中间节点更新距离矩阵。
3）重复以下步骤N次（N为图中节点的个数）：a)遍历图中的每对节点，如果当前节点之间的距离大于通过一些中间节点的距离之和，则更新距离矩阵中的距离。
迪杰斯特拉算法c语言从某个源点到其余各顶点的最短路径 -回复
迪杰斯特拉算法c语言从某个源点到其余各顶点的最短路径-回复如何用C语言实现Dijkstra算法来找出从某个源点到其余各顶点的最短路径。
第一步：了解Dijkstra算法的基本原理Dijkstra算法是一种解决单源最短路径的经典算法。
它通过不断更新顶点的最短距离来求解从源点到其他顶点的最短路径。
算法基于一个贪心策略，每次选择当前最短距离的节点进行松弛操作，并标记该节点为已访问。
具体而言，算法包括以下步骤：1. 初始化，设置源点距离为0，其他所有节点的距离设为无穷大。
2. 选择距离源点最近的节点作为当前节点，并将它标记为已访问。
3. 遍历当前节点的所有邻接节点，如果经过当前节点到达邻接节点的距离比已知的最短距离小，则更新该邻接节点的最短距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被标记为已访问，或者所有节点的最短距离都已确定。
第二步：创建数据结构来表示图为了实现Dijkstra算法，我们需要使用图数据结构来表示顶点和它们之间的边。
在C语言中，我们可以使用邻接矩阵和邻接链表两种方式来表示图。
邻接链表相对而言更加灵活和高效，因此我们选择使用邻接链表来表示图。
我们可以创建一个结构体来表示顶点，其中包含了顶点的索引、距离以及指向邻接节点的指针。
另外，我们还需要创建一个结构体来表示边，其中包含了边的权重和指向目标顶点的指针。
第三步：实现Dijkstra算法的主要函数首先，我们需要编写一个用于初始化图的函数，其中包括创建顶点和边的操作。
具体而言，我们可以使用邻接链表，将每个顶点作为链表的头节点，链表中的每个节点表示一个边，其中包含目标顶点的索引、权重和指向下一条边的指针。
接下来，我们需要编写一个用于查找当前最短距离的函数。
在该函数中，我们遍历所有未访问的节点，并返回距离源点最近的节点。
然后，我们需要编写一个用于更新当前节点的邻接节点的最短距离的函数。
在该函数中，我们遍历当前节点的邻接节点，如果通过当前节点到达邻接节点的距离比已知的最短距离小，则更新该邻接节点的最短距离。
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
单源最短路径
单源最短路径问题I 用贪心算法求解贪心算法是一种经典的算法，通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。
一般具有2个重要的性质：贪心选择性质和最优子结构性质。
一、问题描述与分析单源最短路径问题是一个经典问题，给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。
另外，还给定V中的一个顶点，称为源。
现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。
这里路的长度是指路上各边权之和。
这个问题通常称为单源最短路径问题。
分析过程：运用Dijkstra算法来解决单源最短路径问题。
具备贪心选择性质具有最优子结构性质计算复杂性二、算法设计（或算法步骤）用贪心算法解单源最短路径问题：1.算法思想：设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
初始时，S中仅含有源。
设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。
一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。
2.算法步骤：(1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧<vi,vj>上的权值. 若<vi, vj>∉V,则置c[i][j]为∞。
设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。
从源点v到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：dist[i]=c[v][i] vi∈V。
(2) 选择vj, 使得dist[j]=Min{dist[i] | vi∈V-S}，vj就是长度最短的最短路径的终点。
令S=SU{j}。
的当前最短路径长度:(3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vk如果dist[j]+c[j][k]< dist[k] 则修改dist[K]= dist[j]+c[j][k](4) 重复操作(2),(3)共n-1次.三、算法实现#include <iostream>#include <stdlib.h>using namespace std;#define MAX 1000000 //充当"无穷大"#define LEN sizeof(struct V_sub_S)#define N 5#define NULL 0int s; //输入的源点int D[N]; //记录最短路径int S[N]; //最短距离已确定的顶点集const int G[N][N] = { {0, 10, MAX, 30, 100},{MAX, 0, 50, MAX, MAX},{MAX, MAX, 0, MAX, 10},{MAX, MAX, 20, 0, 60},{MAX, MAX, MAX, MAX, 0} };typedef struct V_sub_S //V-S链表{int num;struct V_sub_S *next;};struct V_sub_S *create(){struct V_sub_S *head, *p1, *p2;int n = 0;head = NULL;p1 = (V_sub_S *)malloc(LEN);p1->num = s;head = p1;for(int i = 0; i < N+1; i ++){if(i != s){++ n;if(n == 1)head = p1;elsep2->next = p1;p2 = p1;p1 = (V_sub_S *)malloc(LEN);p1->num = i;p1->next = NULL;}}free(p1);return head;}struct V_sub_S *DelMin(V_sub_S *head, int i) //删除链表中值为i 的结点{V_sub_S *p1, *p2;p1 = head;while(i != p1->num && p1->next !=NULL){p2 = p1;p1 = p1->next;}p2->next = p1->next;return head;}void Dijkstra(V_sub_S *head, int s){struct V_sub_S *p;int min;S[0] = s;for(int i = 0; i < N; i ++){D[i] = G[s][i];}for(i = 1; i < N; i ++){p = head->next;min = p->num;while(p->next != NULL){if(D[p->num] > D[(p->next)->num])min = (p->next)->num;p = p->next;}S[i] = min;head = DelMin(head, min);p = head->next;while(p != NULL){if(D[p->num] > D[min] + G[min][p->num]){D[p->num] = D[min] + G[min][p->num];}p = p->next;}}}void Print(struct V_sub_S *head){struct V_sub_S *p;p = head->next;while(p != NULL){if(D[p->num] != MAX){cout << "D[" << p->num << "]: " << D[p->num] << endl;p = p->next;}else{cout << "D[" << p->num << "]: " << "∞" << endl;p = p->next;}}}int main(){struct V_sub_S *head;cout << "输入源点s (0到4之间): ";cin >> s;head = create();Dijkstra(head, s);head = create();Print(head);system("pause");return 0;}运行结果：四、算法分析（与改进）对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要O(n)时间。
最短路径算法
§distance[j]=distance[u]+G[u][j]; §path[j]=u; §}}}
2、算法的正确性和计算复杂性
(1)贪心选择性质 (2)最优子结构性质 (3)计算复杂性 对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用 带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循 环体需要 O (n)时间。这个循环需要执行n-1次，所以完 O(时间。算法的其余部分所需要时间不 n2 ) 成循环需要 O(n 2 ) 超过 。
7.5所有点对的最短路径问题
§对于一个各边权值均大于0的有n个顶点的带 权有向图G=(V,E)，求所有顶点之间的最短 路径和最短距离。
图的邻接矩阵表示法
1
1 1
3
0 2
9
2
2
8 9 6
V = 2
3
L= 8 0 6
1 ∞ 0
(b )
(a )
复习Dijkstra算法
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作 基本思想是 设置顶点集合S 贪心选择来扩充这个集合 一个顶点属于集合S 来扩充这个集合。 贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。 初始时， 中仅含有源点。 初始时，S中仅含有源点。设u是G的某一个 顶点，把从源点到u且中间只经过S 顶点，把从源点到u且中间只经过S中顶点的路称 为从源到u的特殊路径，并用数组dist distance记录 为从源到u的特殊路径，并用数组dist 记录 当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 Dijkstra算法每次从 算法每次从V Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路 长度的顶点u 添加到S 长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组 distance作必要的修改。一旦S包含了所有V中 作必要的修改。 dist 作必要的修改 一旦S包含了所有V 顶点，distance就记录了从源到所有其它顶点 顶点，dist 就记录了从源到所有其它顶点 之间的最短路径长度。 之间的最短路径长度。
单源最短路径dijkstra算法c语言
单源最短路径dijkstra算法c语言单源最短路径问题是图论中的经典问题之一，指的是在图中给定一个起始节点，求出该节点到其余所有节点之间的最短路径的算法。
其中，Dijkstra 算法是一种常用且高效的解决方案，可以在有向图或无向图中找到起始节点到其余所有节点的最短路径。
本文将逐步介绍Dijkstra算法的思想、原理以及C语言实现。
一、Dijkstra算法的思想和原理Dijkstra算法的思想基于贪心算法，通过逐步扩展当前已知路径长度最短的节点来逐步构建最短路径。
算法维护一个集合S，初始时集合S只包含起始节点。
然后，选择起始节点到集合S之外的节点的路径中长度最小的节点加入到集合S中，并更新其他节点的路径长度。
具体来说，算法分为以下几个步骤：1. 初始化：设置起始节点的路径长度为0，其他节点的路径长度为无穷大。
2. 选择最小节点：从集合S之外的节点中选择当前路径长度最短的节点加入到集合S中。
3. 更新路径长度：对于新加入的节点，更新与其相邻节点的路径长度（即加入新节点后的路径长度可能更小）。
4. 重复步骤2和3，直到集合S包含所有节点。
二、Dijkstra算法的C语言实现下面我们将逐步讲解如何用C语言实现Dijkstra算法。
1. 数据结构准备首先，我们需要准备一些数据结构来表示图。
我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图。
这里，我们选择使用邻接矩阵的方式来表示权重。
我们需要定义一个二维数组来表示图的边权重，以及一个一维数组来表示起始节点到各个节点的路径长度。
c#define MAX_NODES 100int graph[MAX_NODES][MAX_NODES];int dist[MAX_NODES];2. 初始化在使用Dijkstra算法之前，我们需要对数据进行初始化，包括路径长度、边权重等信息。
cvoid initialize(int start_node, int num_nodes) {for (int i = 0; i < num_nodes; i++) {dist[i] = INT_MAX; 将所有节点的路径长度初始化为无穷大}dist[start_node] = 0; 起始节点到自身的路径长度为0初始化边权重for (int i = 0; i < num_nodes; i++) {for (int j = 0; j < num_nodes; j++) {if (i == j) {graph[i][j] = 0; 自身到自身的边权重为0} else {graph[i][j] = INT_MAX; 其他边权重初始化为无穷大}}}}3. 主要算法接下来是Dijkstra算法的主要逻辑。
dijkstra最短路径算法详解
dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。
以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。
2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。
之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。
更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。
3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。
4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。
Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。
其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。
总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。
在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。
dijkstra算法邻接矩阵
一、概述Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪婪算法，可用于解决具有非负权重的有向图或无向图的最短路径问题。
邻接矩阵是一种用于表示图的数据结构，它可以方便地用于实现Dijkstra算法。
本文将探讨Dijkstra算法在邻接矩阵中的应用。
二、Dijkstra算法简介1. Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻在1956年提出的，用于解决有权图的单源最短路径问题。
Dijkstra算法采用贪婪的策略，通过逐步扩展已找到的最短路径来逐步确定最终的最短路径。
2. 算法步骤：1) 初始化将起始顶点到自身的距离设为0，其他顶点到起始顶点的距离设为无穷大。
2) 选取起始顶点，并标记为已访问。
3) 更新起始顶点的邻居顶点到起始顶点的距离。
4) 从尚未访问的顶点中选择距离起始顶点最近的顶点，标记为已访问。
5) 重复步骤3-4直到所有顶点都已访问。
3. Dijkstra算法特点：1) 适用于无负权边的图。
2) 时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数，适用于稠密图。
3) 通过堆优化可以达到O(ElogV)的时间复杂度，适用于稀疏图。
三、邻接矩阵1. 邻接矩阵是一种用于表示图的数据结构，它是一个二维数组，数组的大小为n*n，n为图的顶点数。
邻接矩阵的行和列分别表示图的顶点，数组中的值表示对应顶点之间的边的权重或者边的存在情况。
2. 邻接矩阵的优点：1) 直观，易于理解。
2) 方便获取顶点之间的关系和权重。
3) 方便实现Dijkstra算法。
3. 邻接矩阵的缺点：1) 浪费空间，对于稀疏图来说，矩阵中大部分元素为0，浪费了大量内存空间。
2) 在图中存在大量边的情况下，矩阵的大小过大。
四、Dijkstra算法在邻接矩阵中的应用1. 初始化邻接矩阵在使用Dijkstra算法求解最短路径问题时，首先需要构建图的邻接矩阵。
对于有权图，将存在的边的权重填入对应位置，对于不存在的边，可以用无穷大表示。
离散数学 最短路径dijkstra算法
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
迪杰斯特拉算法计算最短路径
利用Dijkstra算法计算最短路径摘要福格环游地球问题是一个十分典型的最短路径求解问题，题设给出了当时世界上主要交通网络图及交通通畅的城市之间来往所需时长，并限定了福格的出行方向（福格选择的是往东走），给出起止地点后要求找出福格环游世界天数最短的最佳路径。
我们认为，这个问题的实质在于最短路径的求解和优化。
我们对比图论中的多种最短路径算法，决定利用Dijkstra算法解决这个问题。
由于Dijkstra算法要求输入图G的关联矩阵，且图G为二维赋权图，而题中给出的地图可看成是三维环状地图，因此，我们对题设地图做相关处理，将其从起点处“切断”并展开为二维图，然后根据此图建立关联矩阵。
同时，我们考虑到最短路径可能会与切断线有交点，在切断线以西找出若干地点一分为二，修改关联矩阵。
对于题目中缺失的两处数据，本文将以当时的交通数据为基础，经过合理的数据处理，结合Google Earth测距软件与题目数据的合理类比，补充缺失数据，完成关联矩阵。
得到关联矩阵后，我们分别以伦敦、纽约和上海作为起点，调整关联矩阵起点和终点，用matlab编程进行求解得到最短环游时间和最短路径，进而判断出所选择的路径是否能让他赢得赌注。
根据我们的求解结果，在这三个城市，福格均能在80天内环游地球，赢得赌注。
本文进一步对此种算法的优缺点、灵敏度与推广性进行了分析，同时初步提出了两种优化方法。
关键词：最短路径算法 dijkstra算法算法优化一、问题重述儒勒•凡尔纳的著名小说《环游世界80天》中，英国绅士福格在伦敦与人打赌能够在80天内环游世界，这在当时的1872年是一个了不起的壮举。
当时最快的旅行方式是火车和轮船，然而世界上大部分地区还是靠马车、大象、驴子或者步行来旅行。
下面是一个从伦敦环游世界不同路线的交通网络图，福格选择的是往东走，每段路线所需要的天数显示在图上（见附录一），旅行的时间基于1872年能采用的旅行方式以及距离。
我们将解决以下问题：1．我们将设计一个算法为福格选择一条最佳路径，即环游世界天数最短，并判断所选择的路径是否能让他赢得赌注。
Dijkstra算法求解单源最短路径问题
Dijkstra算法求解单源最短路径问题一、单源最短路径问题描述给定一个带权有向图G=(V,E),其中每条边的权都是非负数。
给定V中的一个顶点，称为源。
计算从源到所有其他定点的最短路径长度。
这里的路径长度就是指各边权之和。
该问题称为单源最短路径问题（Single-Source Shortest Paths）。
二、Dijkstra算法思想将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。
以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v, T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。
然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点，并加入到集合S中，并把这个点从集合T删除。
直到T集合为空为止。
三、算法描述（步骤）1、选一顶点v为源点，并视从源点v出发的所有边为到各顶点的最短路径：①记录从源点v到其它各顶点的路径长度数组dist[],开始时，dist是源点v到顶点i的直接边长度，即dist中记录的是邻接阵的第v行。
②设一个用来记录从源点到其它顶点的路径数组path[]，path中存放路径上第i个顶点的前驱顶点。
2、在上述的最短路径dist[]中选一条最短的，并将其终点（即<v,k>）k加入到集合s中。
3、调整T中各顶点到源点v的最短路径。
因为当顶点k加入到集合s中后，源点v到T中剩余的其它顶点j就又增加了经过顶点k到达j的路径,这条路径可能要比源点v到j原来的最短的还要短。
调整方法是比较dist[k]+g[k,j]与dist[j]，取其中的较小者。
4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。
四、算法实现（数据结构）1、算法实现输入：一个大于1的整数n.输出：●一个随机生成的有向图G=（V，E），对于每一条边，有一个非负数字c(u，v)与之相关。
●对于每个顶点v∈V,得到从v0到v的最短路径的长度。
dijkstra算法邻接矩阵 -回复
dijkstra算法邻接矩阵-回复什么是dijkstra算法？Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的有效算法。
它基于图论的概念，用于在以加权图为模型的网络中找到从源节点到目标节点的最短路径。
在Dijkstra算法中，我们定义一个数组dist[]来存储从源节点到其他节点的最短距离的估计值。
初始时，dist[]数组中的所有元素均设为无穷大。
同时，我们定义一个集合visited[]，用来记录已经找到最短路径的节点。
Dijkstra算法的工作原理可归纳为以下几个步骤：1. 初始化：创建一个空的dist[]数组以存储从源节点到其他节点的最短距离的估计值，将所有元素初始化为无穷大。
2. 将源节点的最短距离估计值设置为0，并将其标记为visited。
3. 对于源节点的所有邻居节点，更新其最短距离估计值。
如果新的估计值小于当前的最短距离估计值，则更新该节点的最短距离估计值。
4. 从尚未访问的节点中选择距离最短的节点，将其标记为visited。
5. 对于该节点的所有邻居节点，如果通过该节点到达邻居节点的距离小于邻居节点的当前最短距离估计值，则更新邻居节点的最短距离估计值。
6. 重复步骤4和步骤5，直到所有的节点都被标记为visited，或者没有可以到达的节点为止。
7. 最终，dist[]数组中存储的值即为从源节点到目标节点的最短路径的长度。
在图的表示方法中，常使用邻接矩阵来表示图的连接关系。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示图中两个节点之间连接的权重。
在Dijkstra算法中，我们也可以使用邻接矩阵来表示加权图，从而找到最短路径。
考虑一个邻接矩阵为M的图，其中M[i][j]表示节点i和节点j之间边的权重。
我们可以使用一个dist[]数组来存储从源节点到其他节点的最短距离估计值。
初始时，我们将所有节点的最短距离估计值设为无穷大。
源节点的最短距离估计值设为0。
首先，我们从源节点开始，更新其邻居节点的最短距离估计值。
matlab dijkstra算法求解最短路径例题
matlab dijkstra算法求解最短路径例题Dijkstra算法是一种用于在带有非负权值的图中找到单源最短路径的算法。
以下是一个用MATLAB实现Dijkstra算法求解最短路径的简单例子：function [shortestDistances, predecessors] = dijkstra(graph, startNode)% 输入参数：% - graph: 表示图的邻接矩阵，graph(i, j) 表示节点i 到节点 j 的权值，如果没有直接连接则为 inf。
% - startNode: 起始节点的索引。
numNodes = size(graph, 1);% 初始化距离数组，表示从起始节点到每个节点的最短距离 shortestDistances = inf(1, numNodes);shortestDistances(startNode) = 0;% 初始化前驱节点数组predecessors = zeros(1, numNodes);% 未访问的节点集合unvisitedNodes = 1:numNodes;while ~isempty(unvisitedNodes)% 选择当前最短距离的节点[~, currentNodeIndex] = min(shortestDistances(unvisitedNodes));currentNode = unvisitedNodes(currentNodeIndex);% 从未访问节点集合中移除当前节点unvisitedNodes(currentNodeIndex) = [];% 更新与当前节点相邻节点的距离for neighbor = unvisitedNodesif graph(currentNode, neighbor) + shortestDistances(currentNode) < shortestDistances(neighbor) shortestDistances(neighbor) = graph(currentNode, neighbor) + shortestDistances(currentNode);predecessors(neighbor) = currentNode;endendendend现在，让我们使用一个简单的例子来测试这个算法：% 创建一个邻接矩阵表示图graph = [0, 2, 0, 4, 0;2, 0, 3, 7, 0;0, 3, 0, 1, 0;4, 7, 1, 0, 5;0, 0, 0, 5, 0];startNode = 1; % 起始节点% 调用Dijkstra算法[shortestDistances, predecessors] = dijkstra(graph, startNode);% 显示结果disp('最短距离：');disp(shortestDistances);disp('前驱节点：');disp(predecessors);这个例子中，graph 表示一个带有权值的图的邻接矩阵，startNode 是起始节点的索引。
最短路径算法—dijkstra总结
最短路径算法—D i j k s t r a总结(总13页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除Dijkstra 算法解释本文引用三篇文章：分别是谢光新-Dijkstra 算法，zx770424 -Dijkstra 算法，中华儿女英雄 -Dijkstra 算法有兴趣的朋友请引用原文，由于分类很不相同难以查找，此处仅作汇总。
谢光新的文章浅显易懂，无需深入的数学功力，每一步都有图示，很适合初学者了解。
zx770424将每一步过程，都用图示方式和公式代码\伪代码对应也有助于，代码的理解。
中华儿女英雄从大面上总结了Dijkstra 的思想，并将演路图描叙出来了。
起到总结的效果。
希望这篇汇总有助于大家对Dijkstra 算法的理解。
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
简介Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。
注意该算法要求图中不存在负权边。
算法描述(这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值)1．置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边) 2．在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转33．对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
总结Dijkstra算法的主要思想
总结Dijkstra算法的主要思想Dijkstra算法是一种用于在图中找到从起点到终点的最短路径的算法。
它被称为单源最短路径算法，因为它是从给定的一个起点开始搜索到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法的主要思想是通过使用贪婪策略逐步构建最短路径树。
其具体步骤如下：1. 创建一个包含所有节点的数组，其中存放每个节点距离起点的最短路径长度的估计值。
2. 将起点的估计值设置为0，其他节点的估计值设置为无穷大，表示初始时还没有找到到达这些节点的最短路径。
3. 创建一个空的集合S，用来存放已经找到最短路径的节点。
4. 重复以下步骤，直到所有节点都被加入到S中：- 从未加入S的节点中选择一个具有最小估计值的节点u，将其加入到S中。
- 对于节点u的每个邻居节点v，更新它们的估计值，如果通过u到达v的路径比当前节点v的估计值更短，则更新节点v的估计值为通过节点u到达v的路径长度，同时将节点u设置为节点v的前驱节点。
5. 当所有节点都被加入到S中后，最短路径树就构建完成了。
Dijkstra算法的关键点在于每次选择具有最小估计值的节点加入S中。
这是通过使用最小堆或优先级队列来实现的，以便在每次操作中迅速找到估计值最小的节点。
通过这种方式，Dijkstra算法避免了遍历所有可能的路径，而是通过贪婪策略选择当前节点的最短路径，并逐步扩展到其他节点。
这种贪婪策略保证了每次选择的节点都是局部最优的选择，从而最终找到全局的最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度取决于图的表示方式和优先级队列的实现方式。
如果使用邻接矩阵表示图，并且优先级队列使用二叉堆实现，则算法的时间复杂度为O(V^2 + E log V)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
如果使用邻接表表示图，并且优先级队列使用斐波那契堆实现，则算法的时间复杂度为O((V+E) log V)。
总之，Dijkstra算法是一种用于寻找从起点到终点的最短路径的算法。
如何计算图的最短路径
如何计算图的最短路径图是计算机科学中非常重要的一种数据结构，其具有广泛的应用场景。
在很多情况下，我们需要计算图中的最短路径，以解决一些重要的问题。
比如在制定物流配送路线、计算互联网中两个节点之间的传输时延、网络攻击渗透等问题中，最短路径算法都起到了至关重要的作用。
本文将从最短路径的概念、最短路径算法的分类与分析、最短路径算法的实现等几个方面进行探讨。
一、最短路径的概念最短路径是在图中寻找一条路径，使得路径上的所有边的权值之和最小。
边的权值可以表示不同的含义，例如距离、时间、成本等。
最短路径算法是图论中的经典问题，其计算结果被广泛应用于电信网络、运输网络、社交网络、金融市场等多个领域。
二、最短路径算法的分类与分析根据最短路径算法的处理对象和计算方式，可以将其分为两大类：单源最短路径算法和全源最短路径算法。
单源最短路径算法是指在一个图中给定一个起点，计算到其他所有点的最短路径；而全源最短路径算法则是计算图中所有点之间的最短路径。
（一）单源最短路径算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最著名的算法之一，它是一种贪心算法，用于解决带有非负权边的图的单源最短路径问题。
该算法采用了类似广度优先搜索的方式进行计算，每次选择当前起点到其他点最短路径上的一个点来计算，实现较为简单，时间复杂度为O（n^2）。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是解决最短路径问题的另一种重要算法。
它可以处理带有负权边的图，但是需要在执行前检查图中是否存在负环。
该算法采用动态规划的思想，在每一轮迭代中，处理所有边，利用之前已计算出的结果来更新每个节点的最短路径。
时间复杂度为O（n*m）。
3. SPFA算法SPFA算法全称是Shortest Path Faster Algorithm，是最短路径算法中的一种优化的Bellman-Ford算法。
与Bellman-Ford算法每次处理所有的边不同，SPFA算法在每一次计算中仅处理当前节点连接的边，可以更快地得到结果。
最短路径dijkstra 邻接矩阵 邻接表
最短路径算法Dijkstra是一种常用的图论算法，用于求解一个节点到其他所有节点的最短路径。
它采用了一种贪心的策略，通过逐步扩展已找到的最短路径集合来逐步逼近所有节点的最短路径。
在这篇文章中，我将从最短路径算法的基本概念开始，逐步深入介绍Dijkstra算法的原理和具体实现，并对邻接矩阵和邻接表两种表示图的方式进行详细的比较和分析。
1. 最短路径算法的基本概念最短路径算法是图论中的一个重要问题，它的核心任务就是寻找图中两个节点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如交通规划、网络路由等领域。
在这个问题中，最短路径通常指的是路径上的权重之和最小，也就是从一个起点节点到其他节点的距离最短。
2. Dijkstra算法的原理和实现Dijkstra算法是一种经典的最短路径算法，它的核心思想是通过维护一个集合，逐步扩展已找到的最短路径集合来获得所有节点的最短路径。
具体实现时，Dijkstra算法使用了一个优先队列来维护待选节点和其对应的最短距离，然后逐步从优先队列中选取最短距离的节点进行扩展，直到所有节点都被扩展。
3. 邻接矩阵和邻接表的比较在实际应用中，图的存储方式有很多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一种二维数组，其元素表示了图中节点之间的关系，而邻接表则是通过链表等数据结构来表示图的边。
在实际应用中，邻接矩阵具有更快的边查询速度，而邻接表则更适合稀疏图的存储。
总结回顾通过本文的介绍，相信读者对最短路径算法Dijkstra有了更深入的理解。
我们从最短路径算法的基本概念开始，介绍了Dijkstra算法的原理和实现，并对邻接矩阵和邻接表进行了详细的比较和分析。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择最适合的图的表示方式，以便更高效地解决最短路径问题。
个人观点和理解作为一种经典的最短路径算法，Dijkstra算法在实际应用中有着广泛的价值。
通过对图的逐步扩展，Dijkstra算法能够高效地求解出图中节点之间的最短路径，可应用于交通规划、网络路由等众多领域。