2008年中考试题压轴题精选讲座一-几何与函数问题

2008年中考试题压轴题精选讲座一-几何与函数问题“他山之石可以攻玉”【编者的话】新课改后的中考数学压轴题已从传统的考察知识点多、难度大、复杂程度高的综合题型，逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。

这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。

从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等。

但纵观全国各省、市的中考数学试题，它的压轴题均是借鉴于上年各地的中考试题演变而来。

所以，研究上年各地的中考试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向。

只的这样，学生能力得以的培养，解题方法、技巧得以掌握，学生才能顺利地解答未来中考的压轴题。

2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座一几何与函数问题【知识纵横】- 2 -- 3 -客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。

几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。

函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。

【典型例题】【例1】（上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求 线段BE 的长．【思路点拨】（1）取AB 中点H ，联结MH ；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。

【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在Rt ACB△中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设B A D M EC BAD C 备用图- 4 -- 5 -并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 图（1） 图（2）图（3）【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC ；（2）设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，先求出OD （用x 的代数式表示），再过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，证△BMQ ∽△BCA ；（3）先找到图形娈化的分界点，x ＝2。

然后 分两种情况讨论求y 的最大值： ① 当0＜x ≤2时， ② 当2＜x ＜4时。

【学力训练】1、（山东威海） 如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN∥AB ，ME⊥AB ，NF⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积； （2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．2、（浙江温州市）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作AB M N DOA B M N PO A B MN O CD A BEF NM A BC D ER P- 6 -QR BA∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．．（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ． （2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和 △CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何 值时,y 有最大值，最大值是多少？4、（浙江台州）如图，在矩形ABCD 中，9AB =，33AD =P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ．（1）求CQP ∠的度数；（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？（3）①求y 与x 之间的函数关系式；②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？MB DC E FG x A- 7 -参考答案【典型例题】【例1】（上海市）（1）取AB 中点H ，联结MH ，M为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2MH BE AD =+． 又AB BE⊥，MH AB ∴⊥． 12ABM S AB MH ∴=△，得12(0)2y x x =+>； （2）由已知得22(4)2DE x =-+以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，1122MH AB DE ∴=+，即2211(4)2(4)222x x ⎡+=+-+⎣．解得43x =，即线段BE 的长为43； （3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，D Q C B P R AB A DC （备 BA D C （备- 8 -又易证得DAM EBM ∠=∠．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM∠=∠；②ADB BME ∠=∠．①当ADN BEM∠=∠时，AD BE∥，ADN DBE∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠． DB DE∴=，易得2BE AD =．得8BE =；②当ADB BME ∠=∠时，AD BE∥，ADB DBE ∴∠=∠．DBE BME∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，BED MEB ∴△∽△．DE BEBE EM∴=，即2BE EM DE=，得．解得12x=，210x=-（舍去）．即线段BE 的长为2．综上所述，所求线段BE 的长为8或2．【例2】（山东青岛）（1）在Rt△ABC 中，522=+=AC BC AB ，由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，∴=AC AQ AB AP ，∴5542t t -=，∴710=t ． （2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ，∴=BC PH AB AP ，∴=3PH 55t -，∴t PH 533-=， ∴tt t t PH AQ y 353)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=．（3）若PQ 把△ABC 周长平分，则图 B A PH- 9 -AP+AQ=BP+BC+CQ ．∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．若PQ 把△ABC 面积平分，则ABCAPQS S ∆∆=21， 即－253t ＋3t =3．∵ t =1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt△ACB 的周长和面积同时平分．（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM ．∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ．∴AB BPAC PN =， ∴54t PN =， ∴54t PN =， ∴54t CM QM ==，∴425454=++t t t ，解得：910=t ． ∴当910=t 时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时37533=-=t PM ， 84==t CM ， 在Rt△PMC 中，9505816494922=+=+=CM PM PC ，∴菱形PQP ′ C 边长为9505．【例3】（山东德州）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．PB A Q P 图M N- 10 -∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN =． ∴ AN ＝43x ． ∴ S =2133248MNPAMN SS x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4）（2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt△ABC 中，BC 22AB AC +=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN =． ∴ 54MN x =， ∴58OD x=．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ．∴ BM QM BC AC=． ∴55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ABMND图（ 2）O AMN P图 （1）O∴当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切． （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论： ① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN==．∴ 当x ＝2时，2332.82y=⨯=最大② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ． ∵ 四边形AMPN 是矩形，∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ． ∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ． ∴2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴ ()2322PEFSx ∆=-．BMN图 （ 4）OE FA CMNP图 （3）OMNP PEFy SS ∆∆=-＝()222339266828xx x x --=-+-．当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y=最大．综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． 【例3】（山东德州）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ． ∴AM ANAB AC=，即43x AN=． ∴ AN ＝43x ． ∴ S =2133248MNPAMN SS x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4）（2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC 22AB AC +=5． 由（1）知 △AMN ∴ AM MNAB BC=，即45x MN=． ∴54MN x =，ABMND图（ 2）O∴58OD x=．过M 点作MQ ⊥BC 于Q，则58MQ OD x==．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QMBC AC=．∴55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切． （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ．∴ △AMO ∽ △ABP ．∴12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN==．∴ 当x ＝2时，2332.82y=⨯=最大② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，AMNP图 （3）OBMNP图 （1）OF ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ． ∴()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ． ∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()2322PEF S x ∆=-．MNP PEFy S S ∆∆=-＝()222339266828xx x x --=-+-．当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大．综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． 【学力训练】1、（山东威海）（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ∵ AB ∥CD ，∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．C D NM∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1． ∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°， ∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4． ∴()174162ABCD S +⨯==梯形．（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴ 四边形MEFN 为矩形．∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）． ∴ AE ＝BF ． 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DG ME AG AE =．∴ ME ＝x 34． C D A BE FNMG H∴6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形．当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649． （3）能．由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34． 若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ． 即=34x7－2x ．解，得1021=x ．∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形． 00000000………….2、（浙江温州市）（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC∴△∽△，DH BDAC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=． （2）QR AB∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC∴=，10610y x -∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．A B C D ER P H QM 2 1 A B D E R P H Q AB CDE RP H Qtan QR BAC CR CA==，366528x -+∴=，152x ∴=． 综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．3、（湖南郴州）（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG所以,B GCE G BFE∠=∠∠=∠所以BEF CEG △∽△（2）BEF CEG △与△的周长之和为定值．理由一： 过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ， 因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH 由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6，所以BC ＋CH ＋BH ＝24 理由二：由AB ＝5，AM ＝4，可知 在Rt△BEF 与Rt△GCE 中，有：A M xH GF EDCB4343,,,5555EF BE BF BE GE EC GC CE ====，所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG与的周长之和是24．（3）设BE ＝x ，则43,(10)55EF x GC x ==-所以21143622[(10)5]2255255y EF DG x x x x ==-+=--配方得：2655121()2566y x =--+．所以，当556x =时，y 有最大值．最大值为1216． 4、（浙江台州）（1）如图，四边形ABCD 是矩形，AB CD AD BC∴==，．又9AB =，33AD =，90C ∠=，9CD ∴=，33BC =3tan 3BC CDB CD ∴∠==30CDB ∴∠=．PQ BD∥，30CQP CDB ∴∠=∠=．（2）如图（1），由轴对称的性质可知，RPQ CPQ△≌△，RPQ CPQ∴∠=∠，RP CP =．由（1）知30CQP ∠=，60RPQ CPQ ∴∠=∠=，D QCB PA60RPB ∴∠=，2RP BP ∴=．CP x=，PR x ∴=，33PB x=．在RPB △中，根据题意得：2(33)x x=，解这个方程得：23x =（3）①当点R 在矩形ABCD 的内部或AB 边上时，023x <≤21133222CPQSCP CQ x x x =⨯⨯==△，RPQ CPQ△≌△，∴当023x <≤232y x =当R 在矩形ABCD 的外部时（如图（2）），2333x <<在Rt PFB △中，60RPB ∠=，22(33)PF BP x ∴==，又RP CP x==，363RF RP PF x ∴=-=- 在Rt ERF △中，30EFR PFB ∠=∠=，36ER x ∴=-． 21331818322ERF S ER FR x x ∴=⨯=-+△，RPQ ERF y S S =-△△， ∴当2333x <2318183y x x =+-．综上所述，y 与x 之间的函数解析式是：223(023)318183(2333)x x y x x x <=⎨⎪+-<⎩≤．D QCBP R A 图（2）F E- 21 - ②矩形面积933273=⨯=，当023x <≤时，函数23y x =随自变量的增大而增大，所以y 的最大值是3727的值72737327=⨯=， 而7363>，所以，当03x <<y 的值不可能是矩形面积的727； 当2333x << 231818373x x +-=332x =为33233> 所以332x = 所以332x = 综上所述，当332x =PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的727．。