洛朗级数

19
[解] 先把 f (z)用部分分式表示：
ii) 在1<|z-1|<+内，由于
，则
，有
20
[解] 先把 f (z)用部分分式表示：
iii) 在0<|z-2|<1内，由于
，则
21
[解] 先把 f (z)用部分分式表示：
iv) 在1<|z-2|<+内，由于
，则
，有
22
例2 把
在
内展开成洛朗级数。
z0
C
(n 0, 1, 2,)
这里 C 为在圆环域内绕 z0 的任何一条闭曲线。
11
(4.2)称为 f (z)在以 z0 为中心的圆环域： 内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z) 在此圆环域内的洛朗级数。级数中正整次幂和负整 次幂分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。
内也可以展开为级数
7
在圆环域 内处处解析的函数 f (z), 是否能展开成形如(4.1)的级数（含负幂项）？？ 定理 设 f (z)在圆环域 内解析, 则
其中
这里 C 为在圆环域内绕 z0 的任何一条闭曲线。
8
z0 z
--(正幂项部分)
9

n
cn ( z z0 )n ,
Hale Waihona Puke Baidu
其中
由复合闭路定理， 上面两式都等于
在计算双边幂级数收敛域时，要取正幂项的收敛域和 负幂项的收敛域的公共部分.
n
cn z n cn z n c n z n
n 0 n 1



cn 1 z n 1 1（或求幂级数收敛半径的常规作法） 正幂项： n cn z c n 1 z n 1 负幂项： 1 n c n z
[解] 因原函数在区域内处处解析，又
所以把上式中的 z 代换成有 ，即得所求的洛 朗展开式：
23
例 求函数
在以z = 0 为中心、由
它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。 [解] (1) 在| z |< 1内展开，得
24
例 求函数
在以z = 0 为中心、由
它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。 [解] (2) 在1<| z |< 3内展开，得
28
洛朗级数的应用 —— 计算积分 在洛朗级数的系数公式
中取
时，有
c1
2 i
1
C
f ( z )dz
或

其中C 为
C
f ( z )dz 2 i c1
内的任一简单闭曲线.
29
所以计算该类型积分时可转化为求被积函数 洛朗展开式中 z 的负一次幂项的系数c-1。 例1 求积分
处展开 与
为洛朗
级数。
[解] 在复平面内有两个奇点：
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因此, f (z)在以 i 为中心的圆环域(包括圆域)内 的展开式有三个： 中的泰勒展开式； 1) 在
i O
2) 在
3) 在
中的洛朗展开式；
中的洛朗展开式；
i
f (z)在以 -i 为中心的圆环域内展开式有两个： 1) 在 2) 在 中的洛朗展开式； 中的洛朗展开式。
。
在
内解析，
其洛朗系数为 则
例4 求积分 [解] 在 内解析，洛朗级数为 其洛朗系为 则
33
3n ( 1)n , n 0,1, 2, 求 cn z n的收敛域，其中cn 4n , n 1, 2, n

例 函数 圆环域
在 z=0及 z=1都不解析，但在
及
内都是解析的.
O
1
O
1
6
因此，f (z) 在
内是可以展开为级数的。
因此， f (z) 在
O
1
O
1 2x
O
2
x
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[解] 先把 f (z) 用以下分式表示：
i) 在 0<|z|<1 内；由于 |z|<1，从而
，所以
结果中无负幂项，原因在于 f (z) 在 z=0处解析.
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ii) 在1<|z|<2内，由于 ，从而有
，则
，又因为
，因此有
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iii) 在2<|z|<+内，由于 ，从而
[解] 函数
在圆环域 处处解析，且 在此圆环域内. 内
-4
-1 O 3
30
因此，
其中 c-1 是 f(z) 在圆环域 式中 z 的负一次幂项的系数.
内洛朗展开
故
，从而
31
例2 求积分 [解] 函数 在 内解析，
在此圆环域内，把它在圆环域内展开得
故c12, 所以，原式＝
32
例3 求积分 [解]
定理(泰勒展开定理) 设 f (z) 在 z0 的一个邻域内 解析，则 f(z) 可以在点 z0 处展成泰勒级数
其中
R2
z0 R1
1
§4 洛朗级数
2
其中
--(正幂项部分)
--(负幂项部分) 只有在正幂项和负幂项都收敛才认为第一式收敛
于它们的和。
3
z0
在圆环域
, 原级数才收敛。
4
双边幂级数收敛域的求法
, 所以
，故有
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例 函数
在圆环域：
i) 0<|z-1|<1；
ii) 1<|z-1|<+； iii) 0<|z-2|<1； iv) 1<|z-2|<+； 内处处解析, 试把 f (z)在这些区域内展开成洛 朗级数。
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[解] 先把 f (z)用部分分式表示：
i) 在 0<|z-1|<1 内，由于 |z-1|<1，所以
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例 求函数
在以z = 0 为中心、由
它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。 [解] (3) 在3<| z |< +内展开，得
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泰勒展式与洛朗展式的关系 注意到 泰勒展式可以看作是洛朗展式的一种 特例，因此，一个函数 f (z) 可以在奇点展开 为洛朗级数，也可以在解析点展开。 例 在 和
注 同泰勒展式一样的，洛朗展式是唯一的.
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洛朗展式的计算
1、直接展开法 由于计算系数很麻烦，一般不采用. 2、间接展开法
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例 函数 i) 0<|z|<1； ii) 1<|z|<2；
在圆环域： iii) 2<|z|<+；
内处处解析, 试把 f (z)在这些区域内展开成洛 朗级数。
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