常见函数的n次迭代

①若()f x x b =+，则()()n f x x nb =+；

②若()f x ax =，则()()n n f x a x =；

③若()f x ax b =+，则()1()1n n n a f

x a x b a -=+-； ④若2()f x ax =，则()2

12()n n n f x a x -=； ⑤若()k f x x =，则()()n n k f x x =； ⑥若()1x f x x =

+，则()()1

n x f x nx =+； ⑦若()1x f x bx =+，则()()1n x f x nbx =+.

数学实验迭代(方程求解)

实验六迭代（方程求解）一.实验目的：认识迭代数列，考察迭代数列的收敛性.并学会用Mathematica 系统对线性和非线性的方程组进行迭代求解. 二.实验环境：计算机，Mathematica 数学软件,Word 文档，课本。三.实验的基本理论和方法：给定迭代函数f(x)以及一个初值0x 利用1(),0,1,n n x f x n +==???迭代得到数列n x ，0,1,n =???.如果数列n x 收敛与某个* x ，则有**()x f x =.即* x 是方程 ()x f x =的解.由此用如下的方法求方程()0g x =的近似解。将方程()0g x =改写为等价的方程()x f x =，然后选取一初值利用 1(),0,1,n n x f x n +==???做迭代.迭代数列n x 收敛的极限就是()0g x =的解.线性方程组以及非线性方程组的求解与单变量的方程求解方法类似.实验内容和步骤四.实验内容与结果 1.线性方程组 ⑴编写给定初值0x 及迭代函数()f x ，迭代n 次产生相应的序列. ⑵给函数()(2/)f x x x =+初值为0进行迭代80次所产生的迭代序列并显示. 输入程序： Iterate f_,x0_,n_Integer :Module t ,i,temp x0, AppendTo t,temp ; For i 1,i n,i ,temp f temp ;AppendTo t,temp ; t f x_: x 2x 2; Iterate f,1.,80 运行结果得：

1.,1.5,1.41667,1.41422,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421 输入程序： NTIterate g_,x0_,n_Integer : Module i,var x0,t ,h, h x_Dt g x ,x; For i 1,i n,i ,AppendTo t,var ; If h var0,var N var g var h var ,20, Print"Divided by Zero after",i, "'s iterations."; Break ; t g x_:x^32; NTIterate g,1,40 运行结果得：

函数迭代

专题-----函数迭代利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0) (x)=x ，f (1) (x)=f(x)f (2) (x)=f(f(x))，…，f (n+1) (x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n) (x)的迭代指数。如果f (n) (x)有反函数，则记为f (-n) (x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n) (x)=x+nc. 若f(x)=x 2 ，则f (n) (x)=x 2 n . 若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+ a a n --11b(a ≠). 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。 ⑴观查法例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100) (m)能被1988整除。例2、设 ).(.1 2)()(2 x f x x x f n 计算-= ⑵不动点求函数迭代：如果x 0是)(x f 的不动点，则x 0也是)()(x f n 的不动点。这一点用数学归纳法是容易证明的。例3、若 9319)(2+=x x f 求，)()(x f n 。 ③函数迭代应用：在国内外数学竞赛中，不断出现一些要用到各种技巧的函数迭代和函数方程问题。主要有三个方面：（1）研究函数的性质；（2）求函数的值；（3）确定函数的解析表达式。下面通过例题来介绍解决这些问题的方法和技巧。例4、设N 是自然数集合，k ∈N 。如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对于每个n ∈N ，都有f （f (n )）=k n 。证明：对每个n ∈N ，都有 12+k k n ≤f (n )≤2 1 +k n . 例5、设函数f (x )对所有x ＞0有意义，且满足下列条件：（1）对于x ＞0，有f (x )f [f (x )+x 1 ]=1; （2）f (x )在（0，+∞）上严格递增。求f (1)的值。例6 、证明：不存在函数f :R + →R + ，使得对任何正实数x 、y ，都有 (f (x ))2 ≥f (x+y)(f (x )+y). ① 例7、设Q + 是全体正有理数集.试作一个函数f ：Q + →Q + ，使得对一切x ,y ∈Q + ，都有 f (xf (y ))= y x f ) (. ①

各种迭代法编程

雅可比迭代法： function x=jacobi(a,b,p,delta,n) %a为n维非奇异矩阵；b为n维值向量 %p为初值；delta为误差界；n为给定的迭代最高次数 N=length（b）; for k=1:n for j=1：N x(j)=(b(j)-a(j,[1:j-1,j+1:N])*p([1:j-1,j+1:N]))/a(j,j); end err=abs(norm(x’-p)); p=x’; if(err

function [x,k,err,p]=ddf(f,x0,tol,n) %ddl.m为用迭代法求非线性方程的解 %f为给定的迭代函数；x0为给定的初始值 %tol为给定的误差界；n为所允许的最大迭代次数 %k为迭代次数；x为不动点的近似值；err为误差 p(1)=x0; for k=2:n p(k)=feval(f,p(k-1)); k, err=abs(p(k)-p(k-1)) x=p(k); if(err

高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代

函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）. 【基础知识】表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程. 我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题. 5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+ (,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.） 6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题. 7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点. 对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些. 【典例精析】【例1】已知11()(),x x f x f x x --+=求().f x 〖分析〗令 1,x t x -=则1,1x t =-再令1 ,1y t =-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11 (),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x 解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11 ()()1,11f f x x x +=+-- ○ 1 设1,1t x = -则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x --+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321 ().2(1) x x f x x x --+= - 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分

[第4讲]函数迭代和函数方程(上)

1．函数迭代 ⑴ 函数迭代的定义设:f D D '→（其中D D '?）是一个函数，对任意x D ∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =， (2)()(())f x f f x =，(3)((()))f f f f x =，……，(1)()()(())n n f x f f x +=，……，则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代，并称n 是()()n f x 的迭代指数．如果()()n f x 有反函数，则记为()()n f x -，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代求一个函数的n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的．若()f x x c =+，则()n f x nc =+，(1)()f x x c -=-，()()n f x x nc -=-．若3 ()f x x =，则() 3()n n f x x =，1(1) 3 ()f x x -=，1 () 3()n n f x x -=．若()f x ax b =+，则()()11n n b b f x a x a a ??=-+ ?--??，(1) 1()11b b f x x a a a -??=-+ ?--??， ()1()11n n b b f x x a a a -??= -+ ?--??． ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数()f x 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出 ()()n f x 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数． ②递归法设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知，且0a D ∈， 2 函数迭代与函数方程

迭代函数系统在自然景物模拟中的应用

迭代函数系统在自然景物模拟中的应用作者：指导老师：摘要：本论文首先介绍了分形的由来，包括分形艺术以及它的特征和应用。接着简要论述了自然景物模拟的方法，重点介绍了迭代函数系统对自然景物进行模拟的方法，并通过举例来分析具体的实现步骤！在Windows XP环境下，利用微软公司提供的Visual C++6.0开发工具，编程实现了一个简单的分形艺术图形生成软件。关键字：分形艺术的由来，分形艺术图形，生成算法，迭代函数系统，IFS码对自然景物的模拟，牛顿迭代法之分形艺术图形软件介绍 1 分形的由来 1.1分形艺术分形艺术是科学中的艺术，也是艺术中的科学，分形艺术不仅表达着艺术形式和外观，而且表达着生成这种艺术的科学知识，分形艺术广泛的运用在书籍装帧、广告、装饰、服装设计、影视等领域。从狭义的角度讲，分形艺术是指根据分形几何的科学原理，通过计算机软件创造出来的具有审美功能的图形，动画等艺术作品；从广义的角度讲，凡是具有分形思想的艺术作品都可称之为分形艺术，狭义的分性艺术可以划归电脑艺术（数码艺术）门类，而广义的分形艺术也包括通过手工绘制而成的作品。在艺术史中，广义的分性艺术早已存在，如日本艺术家葛饰北斋的作品《神奈川的巨浪》就是一例，此外一些古建筑艺术和少数民族的装饰艺术中也有类似分形的图案。分形艺术对艺术最直接的贡献就是带来了新的造型语言及表达方式，分形艺术借助计算机技术构造复杂的几何图形并“诗意”的处理这些图形，表现出新的风格，开辟了视觉传达的新领域，分性艺术这种不同于传统绘画艺术的创作方式，也打破了“艺术只属于艺术家”的传统一是，史任何人都有可能创作自己的艺术作品。分形几何提供了用于描述一些不能用传统的欧几里德几何描述的复杂几何图形的一种方法。是现代数学的一个重要内容，也是研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的工具，他的应用几乎设计自然科学的各个领域。 1.2分形艺术的特征分性艺术不仅蕴含了传统的美学思想，而且还产生出许多新的美学特征，首先，分性艺术作品中除了对称性中包含的传统的上下，左右及中心对称等观念之外，它的自相似性又揭示了一种新的对称性，即局部与整体的对称，在欣赏分形艺术作品时，如果我们放大某件作品的局部，就会发现这些局部图形与整体的图形史相似的，其次，分形艺术作品中的线条美也具有新的内涵，以往的绘画，雕塑等一书中，线条主要有直线，圆弧线、波状线、蛇形线。在数学上这些线条都是可微分的。然而，在分形艺术作品中，线条是十分复杂和不规则的，常会使用皮亚诺曲线、希尔伯特曲线、柯赫曲线等类曲线。这类曲线通常被称为“妖魔曲线”。它们具有以下三个特征： 1、能够填充整个空间；

方程求根的迭代法

§4.1 引言绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。 §4.1.1迭代法的思想迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。迭代法求根分两步： 1）猜测初值 2）迭代如求解初值问题00' )(),,(y x y y x f y ==用梯形公式 111[(,)(,)2 n n n n n n h y y f x y f x y +++≈+ + （1）看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),() 0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得 )],(),([2 ) 0(11) 1(1+++++ =n n n n n n y x f y x f h y y 若) 1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值) 2(1+n y ，写成迭代公式 )],(),([2 ) (11) 1(1 k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++ = （2）一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式 ()x x ?= （3）式（3）中连续函数()x ?称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ?=+1。如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞ →=lim * 就是方程（3）的根。几何意义P127图4-1 为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ?满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=?，可以看出收敛的充分必要条件()1' <=k x ?。几何意义P127 图4-2,3,4,5。 §4.1.3 压缩映像原理设* x 是方程()x x ?=的根，则由微分中值定理 ))(()()(* '*1* k k k x x x x x x -=-=-+ε???，如果存在10<≤L ，使得 ],[b a x ∈有() k k x x L x x L x -≤-?≤+* 1*' ? ，则迭代误差0e L e k k ≤，由于10<≤L ，故0→k e ，即迭代收敛。