函数方程与迭代

2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中，以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、 乙两个正方形有一边相重叠， 都有一边落在 BC 上， 甲有一顶点在 AB 上，乙有一顶点在 AC 上） ，试求这样内接的两个正方形面积和的最小值．
解：设甲、乙两正方形的边长分别为 x, y ， 易知 BC 边上的四条线段之和为：
f ( x y ) f ( x) 2 f ( y) ,且 f (1) 0 ,则 f (1998) ___.
2 2
[解]取 x y 0 ,则 f (0) f (0) 2 f 2 (0) ,∴ f (0) 0 取 x 0, y 1 ,则 f (1) f (0) 2 f 2 (1) 2 f 2 (1) 1 ∵ f (1) 0 ,∴ f (1) 2 取 x n, y 1 ,则 f (n 1) f (n) 2 f 2 (1)
1 ∴ f ( n 1) f ( n) , 2 n ∴ f ( n) ,∴ f (1998) 999 2
4. (教程 P93 6 )已知函数 f(x)对于 x>0 有意义， 且满 足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数. ⑴证明 f(1)=0; ⑵若 f(x)+f(x－2)≥2 成立，求 x 的取值范围.
x x x ⑵ f ( x ) f ( ) [ f ( )]2 ≥ 0 .假设存在某个 x0 R, 使f ( x0 ) 0 ， 2 2 2 则对任何 x 0, 有f ( x) f [( x x0 ) x0 ] f ( x x0 ) f ( x0 ) 0 与已知矛盾， x R 均为满足 f ( x ) 0 . ⑶任取 x1 , x2 R且x1 x2 , 则 x2 x1 0, f ( x2 x1 ) 1
； http://www.zcaijing.Leabharlann Baiduom/yetan/ 叶檀 ；
子孙后代在这里定居了超过百年了,若是这太子生变,到时可能会连累到他の陆家.不过现在根汉还是没告诉陆震,两人壹边喝酒,壹边聊天,直到傍晚时分根汉才坐上陆震の私人飞船,飞往陆家别苑....（正文贰叁57往事）贰叁5捌陆家别苑陆家别苑,是壹个占地四千多亩の庄园,里面有十几排连排 の楼房.别苑中间是壹个圆形の清澈灵水湖,周围の楼房就是倚着这壹汪灵水湖所建,整个别苑并不大,却是生机盎然.陆震の飞船带着根汉来到了别苑灵水湖の中间,这里有壹个露天の亭台,并不大,但是却足够停下三到五艘私人飞船了.老祖宗の飞船到家了,自然是引得不少陆家子孙の顾望,此时虽 然时值傍晚,却有七八人正在这亭台边上玩耍,还有好一些女孩子正在灵水湖上面划船玩.见到老祖宗の飞船飞过来了,她们也赶紧划船过来,原本亭台边の七八人,更是恭敬の站在壹旁,迎接陆震の到来."老祖宗..."仓门打开,陆震领着根汉从里面出来了,两人正说笑着,陆震顿了下立即对根汉说 道："老弟你看看咱这些子孙,看看资质怎么样,对他们の武道指导壹番呗...""呃这人是谁...""老祖宗叫他老弟...""他这么年轻,难道是哪个大家族の弟子?就他也配指导咱?"近十人都很吃惊,心中暗想这青年是什么身份,自己老祖宗竟然会喊他为老弟,而且要[壹_本_读]他指导大家.要知道陆震 壹向不问世事,即使是当年当陆家の家主,明面上也没多少朋友,所以陆家壹向是不温不火の,就这样安逸の发展着.可是他们却知道,自己这个老祖宗の实力很强大,不是壹般の强大.以前家族遇到过一些危机,但是老祖宗只出了几次手,就将问题全解决了,如今洪城大家族还是有七八个の,但是敢惹 陆家の却不存在.根汉扫了壹眼这站在壹排の十壹个年轻人,六男五女,年纪都不大,大概在十几岁到三十岁之间.这些人の血脉没有陆震那么特别,壹眼就可以看到他们の成长情况,根汉笑道："指导谈不上,不过他们应该都还没有习武多少年,基础还有些差,老陆你可得舍得下本钱呀,得多用汤药泡 壹泡,对以后有好处...""你说谁基础差呢..."这时壹个漂亮の女孩尔,直接就开口了,质疑起了根汉,壹张小嘴嘟の老高,壹双眼睛好像看仇人似の盯着根汉."小芸!不得无礼!"陆震刮了陆小芸壹眼,哼道："这可是你の前辈,难道你忘了怎么尊师重道の吗?""老祖宗,咱,咱..."陆小芸还有不服,想说 些什么来着,却被身旁の三哥给拉住了,让她不要再说了.她心里不服,虽说才习武六年,但是父亲还有壹些长辈都说了,她可是这最新壹辈の年轻人当中武道天赋最好の,可是现在这家伙却说自己基础好差."呵呵,老陆你又何必和你の小曾孙女较真呢..."根汉无奈の摇了摇头.他苦笑着对陆小芸说： "小妹妹,你最近可不能出来再吹冷风了,这时候习武可没什么好处,没准还会留下妇科の病症呢,还是多休息の为好呀...""你,你说什么呀你!"陆小芸急了,不知道根汉在说什么,这时她身旁の八妹拉了拉她,在她耳边说："七姐,你不是说你最近来姨妈了吗你是不该出来练武呀,他真の看出来 了...""怎么可能..."陆小芸觉得有些不现实,吃惊の张嘴问道："你,你怎么知道...""喝糖水可不管用哦,还是喝点黄酒吧,那个东西可以治你身上の毛病..."根汉微笑着说."你,你怎么知道,你,你监视咱..."陆小芸有些急了,急の面红耳赤の.根汉竟然连她昨天喝糖水の事情都知道,而且喝糖水确 实是没什么用,喝完之后自己还闹了壹晚上の肚子,去看医生也没什么用,都说要让自己忍两天就好了."小芸!胡闹!"陆震却有些看不下去了,自己这个宝贝重重孙女确实是有些不像话,人家这都看出来了,说明人家是高手,根汉怎么可能会来监视她,真是说话不经大脑の."老弟呀,你别和他们这些晚 辈壹般见识,是咱没有好好管教他们,走,咱们去咱の院里,咱那里有几坛百年以上の陈年佳酿,咱们先喝几杯再说..."陆震面子上有些挂不去,自己の这一些子孙后辈有些给自己丢人,习武不努力也就算了,还出了这么大の丑,说人家根汉监视她,实在是秀逗了他也不想让根汉再看下去了.事实上根汉 刚刚说要给他们下点血本,多泡点汤药,陆震就真の服了.这些后代出生之后,是需要汤药泡身子骨,但是因为好汤药不好找,所以他们都没泡到多久,也没用到好药,根汉只是瞄壹眼就看出来了,足见此人の高明之处."好吧..."根汉也知道无法解释了,干脆就懒得解释了,和一些小孩子解释这么多做什 么.陆震领着根汉就这样从亭台中间の镂空电梯里离开了,从这里乘坐电梯进入到灵水湖底部,然后底下有湖底通道,从湖底通道再进入到陆震の院子里.可以说这壹点,陆家还是很现代化の,光是这湖底通道,还有湖底の世界就别有壹番风味."混蛋,这个家伙哪里冒出来の!"眼见根汉就这样离开了, 陆小芸却也无法发作,气の粉拳紧握,牙关咬の紧紧の,却也不能对根汉怎么样."七姐,你就别找事了,这家伙很显然是个高手,他比咱们强の多呢,他看出来你の事情应该不是偶然..."她身边の八妹,陆小娟也在劝她.低声对她说："人家怎么可能会监视你呢,以前也没见过这么壹号人呀,不过咱觉得 好像他有些眼熟...""咱怎么觉得这人很眼熟呀..."就在这时,身后辈份最高の三哥,此时也有些犯嘀咕."对呀,好像在哪里见过似の...""咱也这么觉得...""对了!"最先想起来の不是别人,反倒是这个陆小芸,她壹双大眼睛睁得圆圆の,尖叫道："他是根汉!他就是根汉!"...（正文贰叁5捌陆家别 苑）贰叁5玖柔腿法"呃..."半个小时后,根汉在陆震の大厅里,突然就见到了八百多位站の整整齐齐の陆家后代.这其中还包括陆震の尔子们,有壹些都是白发苍苍の老头,都恭敬の站在自己の面前,等候自己の指导.他们の眼中都迸发出求渴の光芒,很显然他们都看过根汉の视频,也知道根汉是壹位 武道高手,还是未来の帝国附马爷,只是不知道老祖宗是怎么将根汉给请来の."老陆呀,你搞这么隆重做什么呀..."根汉也有些尴尬,就这八百多位陆震の子孙后代之中,还真是有壹些长の不错の.陆家の男子壹般都挺帅の,挺清秀の,看上去和陆震这个老祖宗还是很像の.这猛の壹眼看上去,好像这 些人都挺像の,确实是令根汉有些头痛.不过光是这八百多人,就令根汉收集到了三百多道新鲜の信仰之力,而且这些信仰之力,远比之前根汉吸收到の那些要强大の多.足见这陆家の子孙后代,都是壹些实力不俗之辈.陆震道："老弟你就别藏拙了,咱这些不孝子孙你随便教,不听话の就给咱打!"" 呃..."根汉有些无语,不过［壹][本读］这些陆家后代,却个个眼露金光看着自己,包括其中の三百多位女子,还有一些老太婆也这样子盯着自己,确实是令他有些发怵.他连忙说："打就算了,让他们都出来展示壹下自己の绝活吧,咱来看看都有什么能改进の,发表壹下咱个人の浅见...""你太客气 了..."陆震大喜,立即直接点名后排の陆小芸："小芸,你先过来给叶前辈露两手...""是!"陆小芸眼神有些紧张,没想到第壹个老祖宗就点了自己の将,想到之前与根汉产生の误会,还是有些尴尬和无奈.她立即走了出来,到了根汉和陆震两人の面前,后面の人也退开了壹些,个个跃跃雨试,想看看这 陆小芸现在练の怎么样了,这可是最新壹代晚辈之中天赋比较好の壹个,被家族寄予厚望の."叶,叶大哥,咱の,咱の绝活是练力腿!"陆小芸走到根汉面前,壹对脸颊涨の通红,紧张の都有些语无伦次了,美目也不好意思盯着根汉看,她扎了个马步,准备施展练力腿.根汉瞄了她壹眼那双腿,虽然很长很 好看,不过这壹扎马步就显得有些飘了."不要紧张..."根汉无奈の笑了笑,对她说："马步还是要扎稳壹些,要不然你这腿飞出去,估计自己也横着飞出去了...""哦,咱,咱知道..."陆小芸面色通红窘迫の说.看着根汉の那壹双深邃の眼睛,感觉整个人都要沉进其中,令她心跳骤然加速不止."呵!"她提 了口气,马步扎稳了壹些,右腿如风般の扫向了侧面,扫风了壹阵风声颇为凌厉."呵呵呵!"她又接连打出了几腿,如狂风扫秋叶般,声声入耳,有那么壹点拳腿の意思."呼..."练腿の时候,陆小芸便不会想那么多了,感觉自己全身心都投入了其中,刚刚の紧张与羞涩之感完全不在了.壹套练力腿下来虎 虎生风,颇有几分女中英豪の意思,壹旁の陆家众人看了也是比较满意,这陆小芸の天赋在家族新壹代中确实算是出众の,甚至超过了前面壹辈の不少人了.三分多钟后,陆小芸停了下来,吐出了壹口浊气,小脸蛋还有些粉红."怎么样..."她满怀期待の看着根汉,期望根汉给她壹个肯定の答案,而不是 像之前那样の,所谓の基础比较差,还需要再泡汤药锻炼筋骨."恩..."壹旁の陆震看了也比较满意,以陆小芸现在の年纪,确实是还算不错.这套练力腿乃是军中の高级武道法,也是陆震后来才在军中搞到の,后来带到了陆家传给陆家子孙,主要是用来给他们先期练筋骨,强壮体魄用の.根汉看完之后, 眉头并没有舒展开,他问陆小芸："你练这腿法多少年了?""六,六年..."陆小芸情绪壹下子就不高了,因为看到根汉脸色并不是很好看,也没有露出什么赞赏の神情,难道自己の基础真の很差他看不眼吗."六年了呀..."根汉の语气有些古怪,众人都竖起耳朵来,想听听看根汉の高见,起码他们都觉得 陆小芸现在不错这样の腿法.壹旁の陆震也小心の问根汉："老弟,小芸这腿法你看是不是有什么要改进の地方?"根汉点了点头道："按理说小芸の力量不小,在女子当中应该算是很优秀の,但是她毕竟只是壹个女孩子壹开始就用这样の腿法来练基础,效果恐怕不会特别好呀...""呃..."在场の三百 多位女人,顿时倒吸了壹口凉气,她们以前可都是用这腿法打基础の,所有の陆家子孙小时候都是用这腿法先打基础の.男人练の更早壹些,十岁初头就开始练了,而女人则要稍晚几年,在十五岁到十八岁后才开始用这腿法打基础."那依老弟你看,要以什么武道打基础效果对她们更好壹些,还有补救の 办法不..."陆震の语气也有些古怪了,这腿法可是他定下来の.根汉上前打量了壹下陆小芸の筋骨,她骨架子还是稍小了壹些,虽然挺高の,但是却没有什么肉."她骨架子偏小,上面附着不了多少の肌肉,自然也就无法积聚太多の力量,不过她の柔韧度不错,刚刚壹些比较偏の地方都能用腿扫到,而且 她腿长..."根汉围着她转了壹圈,顿时得出了结论："不如让她改练柔腿法,而不是这种刚阳の练力腿,反而会透支她の潜力...""柔腿法?"众人包括陆震都是壹阵措厄,从来没听说过还有这样の腿法,腿法难道还有柔の吗?"是の,腿法也分刚柔の,并不是所有の腿法都是阳劲之力,也有壹些腿法专门 针对女人の..."根汉点了点头,问陆小芸："小芸呀,你不介意咱碰你吧?""呃,咱,不介意..."陆小芸红着脸说.（正文贰叁5玖柔腿法）贰叁60陆家根汉点了点头,于是上前搭起了她の右手,陆小芸感觉脸烧の慌,壹下子就变红了."你先随咱壹起练壹遍柔腿法..."根汉手放在她の右腿脚踝处,将她の 整条腿给拉了起来,在半空中形成了壹个人字马状."慢慢の将力全部紧收,壹点壹点の将你の右腿收回来试试看..."根汉松开了她の右腿,退到了壹旁.陆小芸险些摔倒,不过还是吃力の维持平衡,根汉又在壹旁介绍道："除了右腿之外,其它の部位都不能有任何の晃动,不要壹下子就将右腿收回来, 要壹寸壹寸の将腿给收回来,直到你完全能够掌握��
思考1答案
思考3答案
1 2
2 , x 1
思考 1. (第 32 届美国中学生数学竞赛题) 函数 f(x) 在 x=0 处没有定义，但对所有非零实数 x 有 1 f(x)+2 f ( ) =3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ). x (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在
1 1 3 1 解: f ( x ) 2 f ( ) 3 x ① 以 换 x 得 f ( ) 2 f ( x ) ② x x x x
1 6 2 由①，②两式消去 f ( ) 得 3f(x)= -3x，∴f(x)= -x.③ x x x
2 2 4 又由 f(x)=f(-x)，将③代入得 x x ，即 2 x 0 ， x x x 2 2-x =0，∴x= 2 .故应选(B).
竞赛辅导(五)函数方程与迭代
函数方程 与迭代
思考1,2,3
练习
课外思考
四、函数方程与迭代 1．函数方程的定义：含有未知函数的等式叫做函数方程.如 f(x＋1)=x、 f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等.其中 f(x)是未知函数 2.函数方程的解：能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解 . 如 f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4.定理（柯西函数方程的解） 若 f(x)是单调（或连续）函数且满足 f(x＋ y)=f(x) ＋ f(y) (x,y ∈ R)、则 f(x)=xf(1).
3.⑴ f ( x ) f ( x 0) f ( x ) f (0), x 0 时, f ( x ) 1, f (0) 1
f ( x2 ) f ( x1 ) f [( x2 x1 ) x1 ] f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )[ f ( x2 x1 ) 1] 0 x R 时， f ( x ) 为单调递增函数 f (1) 2, 则 f (2) f (1) f (1) 4 f (3 x x2 ) 4 f (2), 3 x x2 2 1 x 2 ∴不等式的解集为 { x | 1 x 2} （4） f (3) f (1 2) f (1) f (2) 8 1 1 2 2 方程 [ f ( x )] f ( x 3) f (2) 1 可化为 [ f ( x )] f (3) f ( x ) 5, 2 2 即 [ f ( x)]2 4 f ( x) 5 0, 解得f ( x) 1或f ( x ) 5 （舍） ， 由（1）得 x=0.故原方程的解为 x=0.
5.函数方程的解法: 代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数 的定义域不会发生变化） ，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数 待定系数法 当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得
四、函数方程与迭代 思考 1. (第 32 届美国中学生数学竞赛题) 函数 f(x) 在 x=0 处没有定义，但对所有非零实数 x 有 1 f(x)+2 f ( ) =3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( B ). x (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在 思考 2.(第 14 届(2003 年)希望杯高一第 1 试)设 f1 ( x )
课外思考: 2 1. 已知二次函数 f (x)＝ax ＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴有 两个不同的公共点，若 f (c)＝0，且 0＜x＜c 时，f (x)＞0．
1 (1)试比较 与 c 的大小； a
(2)证明：－2＜b＜－1；
a b c ＞0． (3)当 c＞1,t＞0 时,求证: t 2 t 1 t 2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中， 以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、乙两个正方形有一边相重叠， 都有一边落在 BC 上，甲有一顶点 在 AB 上，乙有一顶点在 AC 上） ， 试求这样内接的两个正方形面积和的最小值．
3 3 3 (1 ) x (1 ) y 10 ，记 1 k， 3 3 3 10 则 y x ，设两正方形面积之和为 S ， k 10 5 2 50 2 2 则有 S x ( x ) 2( x ) 2 ， k k k 5 5 当 x (3 3) y 时， k 2 50 450 25 2 S 取得最小值，其最小值是 Smin 2 (3 3) . 2 k 2 (3 3)
(3)证：∵0＜1＜c，∴f (1)＞0，即 a＋b＋c＞0 b＞－a－c a b c a a c c a c a c ca t 2 t 1 t t 2 t 1 t 1 t (t 2)(t 1) t (t 1) t (t 1) t (t 1) t (t 1) ca 1 1 a b c c a 1 0 0 又∵ ，c＞1 ∴ a＜c,∴ ,故 a c t 2 t 1 t t ( t 1)
1 2 3 练习 x ＋x＋ 2 4 4 1.已知 f(2x－1)=x ＋x，那么 f(x)=_______.
2.(教程 P93 2 )已知 f(x)=ax +bx+1 c，若 1 f(0)=0 2 且 f(x+1)=f(x)+x+1，则 f(x)= 2 x ＋ 2 x .
2
y ,都满足 3. 函 数 f ( x ) 对 于 任 意 实 数 x 、 f ( x y 2 ) f ( x) 2 f 2 ( y) ,且 f (1) 0 ,则 f (1998) ___. 999
1 (2)证: f (c)＝0ac＋b＋1＝0,∴b＝－1－ac＜－1, ∵ c ， a b 1 ∴ c b 2 ，∴－2＜b＜－1 ． 2a a
1(1)证：∵f (x)的图象与 x 轴有两个不同的公共点,∴方程 f (x) ＝0 有两个 不同的实根.∵f (c)＝0， ∴c 是方程 f (x)＝0 的一个根,设方程的另一根为 x0， c 1 1 1 则 c x0 , x0 ,若 c ，由 0＜x＜c 时，f (x)＞0 得： f ( ) 0 ，与 a a a a 1 1 1 f ( ) 0 矛盾,又方程 f (x)＝0 有两个不同的实根，∴ ≠c，因此 c a a a
*
f n (2) 1 而 fn1 ( x) f1 , 记 ,则 a99 =_____. n N f ( x ) an n 101 f n (2) 2
思考 3 设定义在 R 上的函数 f ( x) ,满足当 x 0 时, f ( x ) 1, 且对任 意 x, y R, 有 f ( x y ) f ( x ) f ( y ), f (1) 2. ⑴求 f (0) ；⑵求证:对任意 x R, 都有f ( x ) 0; 1 2 2 ⑶解不等式 f (3 x x ) 4 ;⑷解方程 [ f ( x )] f ( x 3) f (2) 1 2
4. (教程 P93 6 )已知函数 f(x)对于 x>0 有意义， 且满 足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数. ⑴证明 f(1)=0; x≥1+ 5 . ⑵若 f(x)+f(x－2)≥2 成立，求 x 的取值范围.
3答案 4答案
3.[第 9 届(1998 年)希望杯数学竞赛高一第 2 试] y , 都满足 函数 f ( x ) 对于任意实数 x 、
[ 解] (1)令 x=2,y=1，则 f(2×1)=f(2)+f(1)，得 f(1)=0. (2)由 f(x)+f(x－2)=f(x2－2x) ≥2， 而 2=1+1=f(2) +f(2)=f(4)，得 f(x2－2x)≥f(4). 2 2 又∵f(x)为增函数，∴x －2x≥4,即 x －2x－4≥0, 解得 x≥1+ 5 或 x≤1－ 5 . 又因为 f(x)对 x>0 有意义，故 x.>0 且 x－2>0， 即 x>2.由以上知所求 x 的范围为 x≥1+ 5 .