函数迭代和函数方程(数学竞赛讲稿)

第一讲 函数迭代和函数方程

一、基本知识简述 1． 函数迭代

设f 是D →D 的函数，对任意D x ∈，记x x f =)()

0(，定义))(()()()

1(x f f x f

n n =+，*N n ∈，则称函

数)()

(x f

n 为)(x f 的n 次迭代. 将含有未知函数的等式称为函数方程.

)()

(x f

n 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()

(x f n 的表达式，然后证

明，证明时，常用数学归纳法.

定理 若对于任意的Q y x ∈,，有)()()(y f x f y x f +=+ （1） 则Q x xf x f ∈=),1()(.

证 由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数n 及有理数x ，有

)()(x nf nx f = （2）

在（2）中令1=x ，得

)(),1()(+∈=N n nf n f （3）

在（2）中令2,0==n x ，得)0(2)0(f f =，∴0)0(=f .

)()())(()()0(0n f n f n n f n n f f -+=-+=-==， ∴)()(n f n f -=-，Z n ∈.

当+∈N n 时， )1()()()(f n n f n f -=-=- （4） 由（3），（4）知，

Z n nf n f ∈=),1()( （5） 对于任意的Q r ∈，设+∈∈=

N n Z m n

m

r ,,，则有 )()()(n

m

nf n m n f m f ==

∴)1()1(1)(1)(f n

m

mf n m f n n m f ===

即 Q r rf r f ∈=),1()(.

注：在定理4中，若加上)(x f 为连续函数这一条件，则有

R x xf x f ∈=),1()(.

定理4的证明方法叫做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、

有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值. .

1． 方法解读

例1 已知)(x f 为一次函数，且)12(32)(20072007)

2007(-+=x x f

，求)(x f .

解 设b ax x f +=)(，显然1≠a . 令b ax x +=，得a b x -=

10，即a b x -=10为)(x f 的不动点.由定理1知， a

b

a b x a x f -+

--=1)1()(2007)2007(， ∴200720072=a ，)12(31120072007-=-+-⨯-a

b

a b a ，

解之得3,2==b a ，所以32)(+=x x f .

例2 已知),1(,)1(2)(2

+∞∈-=x x x x f ，求))((( x f f f f f

n 个. 解 2

22)21(12

)11(21)1(2)(x

x x x x x f --=-=-= ，

2

2

2

2

211(1)

2()

21(1)f x x x

-=-=---，

∴2

2

22

2(())221(1)1(1)()

f f x f x x

=

=

--

--

，

3222

2)

21(12

))2

1((12

)))(((x

x

x f f f --=

--=

，

由数学归纳法易知 n

x

x f f f f f

n 2

)21(12))(((--=

个.

注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.

例

3

设

函

数

R

R f →:，满足

1

)0(=f ，且

R

y x ∈∀,，都有

2)()()()1(+--=+x y f y f x f xy f （1）

解 （方法1）在（1）中将y x ,互换，则有

2)()()()1(+--=+y x f x f y f xy f （2）

由（1），（2）得

x y f y x f +=+)()( （3）

在（3）中令0=y ，则有 x f x f +=)0()(，即1)(+=x x f .易证1)(+=x x f 是方程（1）的解. （方法2）在（1）中令0=y ，得

2)0()1()()1(+--=x f f x f f （4）

即 1)1()()1(+-=x f x f f .

为了求出)(x f ，需要求)1(f ，为此在（1）中令0==y x ，得

2)0()0()0()1(+-=f f f f ，

从而有2)1(=f ，代入（4）可得1)(+=x x f . 例4已知函数)(x f 是N N →的映射，满足： （1） 对任意非负整数n ，有)()1(n f n f >+， （2） N n m ∈∀,，有1)())((++=+m n f m f n f ， 求)2001(f .

解 在（2）中令0=m ，并记k f =)0(，则有

1)()(+=+n f k n f .

由于数列)(n f 是递增数列，由定理3知1)()(+=+≤+n k n f k n f ，1≤∴k . 若0=k ，则有1)()(+=n f n f ，矛盾，所以，1=k ，从而有

1)()1(+=+n f n f .

又因为1)0(=f ，容易得1)(+=n n f .所以，2002)2001(=f .

例5求所有的R R →的映射f ，使得R y x ∈∀,，均有

y x f y f x xf f +=+2

))(())()(( （1）