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高考理科数学课时练习椭圆理含解析

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新高考数学 椭圆中的定点、定值(含解析)

新高考数学 椭圆中的定点、定值(含解析)

椭圆中的定点、定值1(2023春·河北石家庄·高二校考开学考试)已知椭圆C :x 28+y 24=1，直线l ：y =kx +n (k >0)与椭圆C 交于M ,N 两点，且点M 位于第一象限.(1)若点A 是椭圆C 的右顶点，当n =0时，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值；(2)当直线l 过椭圆C 的右焦点F 时，x 轴上是否存在定点P ，使点F 到直线NP 的距离与点F 到直线MP 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.2(2023·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 2,0 ，M -1,0 ，N 1,0 ，点P 是平面内的动点，且以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切.(1)证明PM +PN 为定值，并求点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与轨迹Ω交于另一点Q (异于点B )，与直线x =2交于一点G ，∠QNB 的角平分线与直线x =2交于点H ，是否存在常数λ，使得BH =λBG恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.3(2023·全国·高三专题练习)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)由仿射变换得：x =xa，y=yb，则椭圆x2a2+y2b2=1变为x 2+y 2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k =abk，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C:x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为55，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点且AB=855，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线l1，l2且l1⊥l2，切点分别为M,N．(1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9；(2)若原点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，延长表示距离d1，d2的两条直线，与椭圆C交于Y,W两点，过O作OZ⊥YW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．4(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆W:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，椭圆W上的点与点P0,2的距离的最大值为4.(1)求椭圆W的标准方程；(2)点B在直线x=4上，点B关于x轴的对称点为B1，直线PB,PB1分别交椭圆W于C,D两点(不同于P点).求证：直线CD过定点.5(2023春·四川眉山·高二校考阶段练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点D(4,0)，斜率为k的直线l不过点D，且与椭圆C交于A，B两点，∠ADO=∠BDO(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.6(2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为12，且经过点6,2 ，椭圆C 的右顶点到抛物线E :y 2=2px p >0 的准线的距离为4．(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与椭圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OA ⋅OB=-4，则在x 轴上是否存在点H ，使得x 轴平分∠MHN ？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．7(2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B 1，若△F 1B 1F 2为等边三角形，且点P 1,32在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A 1，A 2，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点(异于椭圆E 的顶点)，直线AA 1、BA 2与y 轴的交点分别为M 、N ，若|ON |=3|OM |，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.8(2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测)已知F1(-2,0)，F2(2,0)为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，且A2,5 3为椭圆上的一点.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线y=-2x+t与抛物线y2=2px(p>0)相交于P,Q两点，射线F1P，F1Q与椭圆E分别相交于M ､N.试探究：是否存在数集D，对于任意p∈D时，总存在实数t，使得点F1在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.9(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为M1、M2，短轴长为23，点C上的点P满足直线PM1、PM2的斜率之积为-3 4．(1)求C的方程；(2)若过点1,0且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线M1A、M2B交于点Q．探究：点Q 是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．10(2023·全国·高三专题练习)如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为-12，椭圆的焦距为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为-12，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则MO 2+MQ 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.11(2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习)已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，上顶点为B，且△A1BF的外接圆半径大小为3．(1)求椭圆C方程；(2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q位于x轴的两侧)，记直线A1P、A2P、A2Q、A1Q的斜率分别为k1、k2、k3、k4，若k1+k4=53k2+k3，求△A2PQ面积的取值范围．12(2023·江西南昌·统考模拟预测)已知A2,0，B0,1是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个顶点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P2,1的直线l与椭圆E交于C，D，与直线AB交于点M，求PMPC+PMPD的值．13(2023·江苏盐城·校考三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，当AF 1⊥x 轴时，AF 1 =12；当AF 1 =2时，∠F 1AF 2=2π3.(1)求C 的方程；(2)已知斜率为-1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线x =1交于点Q ，且点M ，N 在直线x =1的两侧，点P (1,t )(t >0)．若|MP |⋅|NQ |=|MQ |⋅|NP |，是否存在到直线l 的距离d =2的P 点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.14(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2b 2+y 2a2=1a >b >0 与椭圆x 28+y 24=1的离心率相同，P 22,1为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点Q 13,0 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问以AB 为直径的圆是否经过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.15(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F2到C的一条渐近线的距离为3.(1)求C的方程；(2)过C的左顶点且不与x轴重合的直线交C的右支于点B，交直线x=12于点P，过F1作PF2的平行线，交直线BF2于点Q，证明：Q在定圆上.16(2023春·湖南常德·高二临澧县第一中学校考开学考试)如图，椭圆M:y2a2+x2b2=1a>b>0的两顶点A-2,0，B2,0，离心率e=32，过y轴上的点F0,tt <4,t≠0的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.(1)当t=23且CD=4时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为x P，x Q，是否存在常数λ使x P⋅x Q=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.17(2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l :y =mx +2与椭圆交于不同的两点P ，Q ，那么在x 轴上是否存在点M ，使MP =MQ 且MP ⊥MQ ，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．18(2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左顶点为A ，P 为C 上一点，O 为原点，PA =PO ，∠APO =90°，△APO 的面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)设B 为C 的右顶点，过点(1,0)且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：3tan ∠MAB =tan ∠NBA ．19(2023·四川内江·校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆C1:x+12+y2=494内切，且与圆C2:x-12+y2=14外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C的左、右两个顶点分别为A1、A2，T为直线l:x=4上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C 的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，F为曲线C的左焦点，求证：△FMN的周长为定值.20(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考三模)已知椭圆C的焦点为F1-2,0,F22,0，且C 过点E2,1．(1)求C的方程；(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C交于P,Q两点，且P,Q均不是C的左､右顶点，M为PQ的中点．若AMPQ=12，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．椭圆中的定点、定值1(2023春·河北石家庄·高二校考开学考试)已知椭圆C:x28+y24=1，直线l：y=kx+n(k>0)与椭圆C交于M,N两点，且点M位于第一象限.(1)若点A是椭圆C的右顶点，当n=0时，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；(2)当直线l过椭圆C的右焦点F时，x轴上是否存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，P(4,0).【分析】(1)联立直线方程和椭圆方程得(1+2k2)x2-8=0，由韦达定理可得x1,x2的关系，再由k AM⋅k AN=y1x1-22⋅y2x2-22计算即可得证；(2)由题意可得直线l的方程为y=k(x-2)，联立直线方程与椭圆方程得(1+2k2)x2-8k2x+8(k2-1)= 0，由韦达定理x3,x4之间的关系，假设存在满足题意的点P，设P(m,0)，由题意可得k PM+k PN=0.代入计算，如果m有解，则存在，否则不存在.【详解】(1)证明：因为n=0，所以直线l：y=kx，联立直线方程和椭圆方程：y=kxx2+2y2-8=0，得(1+2k2)x2-8=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则有x1+x2=0,x1x2=-81+2k2，所以y1y2=k2x1x2=-8k21+2k2，又因为A(22,0)，所以k AM=y1x1-22，k AN=y2x2-22，所以k AM⋅k AN=y1x1-22⋅y2x2-22=y1y2x1x2-22(x1+x2)+8=y1y2x1x2+8=-8k21+2k2-81+2k2+8=-8k21+2k216k21+2k2=-8k2 16k2=-12所以直线AM和AN的斜率之积为定值-1 2；(2)解：假设存在满足题意的点P，设P(m,0)，因为椭圆C的右焦点F(2,0)，所以2k+n=0,即有n=-2k，所以直线l的方程为y=k(x-2).由y=k(x-2)x2+2y2-8=0，可得(1+2k2)x2-8k2x+8(k2-1)=0，设M(x3,y3),N(x4,y4)，则有x3+x4=8k21+2k2,x3x4=8(k2-1)1+2k2；因为点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等，所以PF平分∠MPN,所以k PM+k PN=0.即y 3x 3-m +y 4x 4-m =k (x 3-2)x 3-m +k (x 4-2)x 4-m =k (x 3-2)(x 4-m )+k (x 3-m )(x 4-2)(x 3-m )(x 4-m )=k [2x 3x 4-(m +2)(x 3+x 4)+4m ](x 3-m )(x 4-m )=0，又因为k >0，所以2x 3x 4-(m +2)(x 3+x 4)+4m =0，代入x 3+x 4=8k 21+2k 2,x 3x 4=8(k 2-1)1+2k 2，即有4m -161+2k 2=0，解得m =4.故x 轴上存在定点P (4,0)，使得点F 到直线NP 的距离与点F 到直线MP 的距离相等.2(2023·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 2,0 ，M -1,0 ，N 1,0 ，点P 是平面内的动点，且以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切.(1)证明PM +PN 为定值，并求点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与轨迹Ω交于另一点Q (异于点B )，与直线x =2交于一点G ，∠QNB 的角平分线与直线x =2交于点H ，是否存在常数λ，使得BH =λBG恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，x 24+y 23=1(2)存在，λ=12【分析】(1)依题意可得OO 1 =2-PM 2，连接PN ，可得OO 1 =PN2，即可得到PM +PN 为定值，根据椭圆的定义得到点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a =4，c =1，即可求出椭圆方程；(2)设Q x 0,y 0 ，G 2,y 1 ，H 2,y 2 ，直线AQ 的方程为x =my -2m ≠0 ，即可得到m =4y 1，再联立直线与椭圆方程，解出y 0，从而得到k QN ，k NH ，设∠BNH =θ，再根据二倍角的正切公式得到方程，即可得到y 2=12y 1，从而得解；【详解】(1)解：如图，以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切，则OO 1 =AB 2-PM 2=2-PM2.连接PN ，因为点O 和O 1分别是MN 和PM 的中点，所以OO 1 =PN2.故有PN 2=2-PM2，即PN +PM =4，又4>2=MN，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆.因为2a=4，c=1，所以b2=a2-c2=3，故Ω的方程为x24+y23=1.(2)解：存在λ=12满足题意.理由如下：设Q x0,y0，G2,y1，H2,y2.显然y1y2>0.依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为x=my-2m≠0，因为点G在这条直线上，所以my1=4，m=4 y1 .联立x=my-2,3x2+4y2=12,得3m2+4y2-12my=0的两根分别为y0和0，则y0=12m3m2+4，x0=my0-2=6m2-83m2+4，所以k QN=y0x0-1=12m3m2+46m2-83m2+4-1=4mm2-4=4y14-y21，k NH=y2.设∠BNH=θ，则∠BNQ=2θ，则k QN=tan2θ，k NH=tanθ，所以tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2y21-y22=4y14-y21，整理得y1-2y2y1y2+2=0，因为y1y2>0，所以y1-2y2=0，即y2=12y1.故存在常数λ=12，使得BH=λBG.3(2023·全国·高三专题练习)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)由仿射变换得：x =xa，y=yb，则椭圆x2a2+y2b2=1变为x 2+y 2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k =abk，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C:x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为55，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点且AB=855，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线l1，l2且l1⊥l2，切点分别为M,N．(1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9；(2)若原点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，延长表示距离d1，d2的两条直线，与椭圆C交于Y,W两点，过O作OZ⊥YW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．【答案】(1)证明见解析(2)是定值，定值为619π【分析】(1)利用仿射变换将椭圆方程变为圆的方程，设原斜率分别为k1，k2，k1k2=-1，则变换后斜率k 1⋅k 2=a2b2k1k2，设变换后坐标系动点Q x0,y0，过点Q x0,y0的直线为l:y-y0=k x-x0，将圆的方程和直线方程联立，利用直线和圆相切结合韦达定理求解即可；(2)由图中的垂直关系，利用等面积法S△OYW=12OYOW=12YWOZ和1|OY|2+1|OW|2=OY|2+OW|2 OY|2OW|2=|YW|2OW|2OY|2，结合椭圆的性质求解即可.【详解】(1)由仿射变换得：x =xa，y=yb，则椭圆x2a2+y2b2=1变为x 2+y 2=1设原斜率存在分别为k1，k2，k1k2=-1，变换后为k 1=abk1，k 2=abk2，所以k 1⋅k 2=a2b2k1k2=-a2b2=e2-1，设变换后的坐标系动点Q x0,y0，过点Q x0,y0的直线为l:y-y0=k x-x0l:kx-y-kx0-y0=0到原点距离为d=kx0-y0k2+1=1，即kx0-y02=k2+1⇒x20-1k2-2x0y0k+y20-1=0，由韦达定理得：k 1k 2=y20-1x20-1=-a2b2，化简得：a2x20+b2y20=a2+b2由于原坐标系中x0=xa，y0=yb⇒x=ax0，y=by0所以在原坐标系中轨迹方程为：x2+y2=a2+b2，由e=ca=55b2a=455解得a2=5b2=4，所以点P的轨迹方程为x2+y2=9，当切线斜率不存在时，由椭圆方程x25+y24=1易得P点在x2+y2=9上.(2)如图所示延长OY交l1于N，延长OW交l2于M，由题意可知∠GPM=∠OGP=∠OHP=π2，所以四边形OGPH为矩形，∠YOW=π2，所以S△OYW=12OYOW=12YWOZ，且1|OY|2+1|OW|2=OY|2+OW|2OY|2OW|2=|YW|2OW|2OY|2，|YW |2OW |2OY |2分子分母同乘|OZ |2得4S 24OZ 2S 2=1OZ 2=1OY 2+1OW 2，因为OY ⊥OW ，当直线OY ,OW 斜率存在时，设l OY :y =k 3x ，l OW :y =-1k 3x ，由x 2a 2+y 2b 2=1y =k 3x解得x 2Y=a 2b 2b 2+a 2k 23，y 2Y =a 2b 2k 23b 2+a 2k 23，所以OY 2=a 2b 21+k 23 b 2+a 2k 23，由x 2a 2+y 2b 2=1y =-1k 3x解得x 2W=a 2b 2k 23b 2k 23+a 2，y 2W =a 2b 2b 2k 23+a 2，所以OW 2=a 2b 21+k 23 b 2k 23+a2，所以1OY 2+1OW 2=b 2+a 2k 23a 2b 2(1+k 23)+b 2k 23+a 2a 2b 2(1+k 23)=a 2+b 2a 2b 2，当斜率不存在时仍成立，所以1|OZ |2=a 2+b 2a 2b 2，OZ 2=x 2+y 2=a 2b 2a 2+b 2=209，所以Z 所形成的轨迹与P 所形成的轨迹的面积之差=9-209 π=619π是定值.4(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆W :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆W 上的点与点P 0,2 的距离的最大值为4.(1)求椭圆W 的标准方程；(2)点B 在直线x =4上，点B 关于x 轴的对称点为B 1，直线PB ,PB 1分别交椭圆W 于C ,D 两点(不同于P 点).求证：直线CD 过定点.【答案】(1)x 28+y 24=1(2)证明见解析【分析】(1)根据离心率可得a =2b =2c ，设点T m ,n 结合椭圆方程整理得TP =-(n +2)2+8+2b 2，根据题意分类讨论求得b =2，即可得结果；(2)设直线CD 及C ,D 的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线CD 的斜率是否存在.【详解】(1)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆W 的离心率为22，得a =2b =2c ，设点T m ,n 为椭圆上一点，则m 22b 2+n 2b2=1,-b ≤n ≤b ，则m 2=2b 2-2n 2，因为P 0,2 ，所以TP =m 2+(n -2)2=2b 2-2n 2+n 2-4n +4=-(n +2)2+8+2b 2，①当0<b <2时，|TP |max =-(-b +2)2+8+2b 2=4，解得b =2(舍去)；②当b ≥2时，|TP |max =8+2b 2=4，解得b =2；综上所述：b =2，则a =22,c =2，故椭圆W 的标准方程为x 28+y 24=1.(2)①当CD 斜率不存在时，设C x 0,y 0 ,-22<x 0<22且x 0≠0，则D x 0,-y 0 ，则直线CP 为y =y 0-2x 0x +2，令x =4，得y =4y 0-8x 0+2，即B 4,4y 0-8x 0+2，同理可得B 14,-4y 0-8x 0+2.∵B 与B 1关于x 轴对称，则4y 0-8x 0+2+-4y 0-8x 0+2=0，解得x 0=4>22，矛盾；②当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y =kx +m ，m ≠2，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，其中x 1≠0且x 2≠0，联立方程组y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 化简可得2k 2+1 x 2+4kmx +2m 2-8=0，Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-8 =88k 2+4-m 2 >0，则m 2<8k 2+4，所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-81+2k 2，由P 0,2 ，可得k PC =y 1-2x 1,k PD =y 2-2x 2，所以直线PC 的方程为y =y 1-2x 1x +2，令x =4，得y =4y 1-8x 1+2，即4,4y 1-8x 1+2，直线PD 的方程为y =y 2-2x 2x +2，令x =4，得y =4y 2-8x 2+2，即4,4y 2-8x 2+2，因为B 1和B 关于x 轴对称，则4y 1-8x 1+2+4y 2-8x 2+2=0，把y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式，则4kx 1+m -8x 1+2+4kx 2+m -8x 2+2=0，整理可得1+2k x 1x 2+m -2 x 1+x 2 =0，则1+2k ×2m 2-81+2k 2+m -2 ×-4km1+2k2=0，∵m ≠2，则m -2≠0，可得1+2k ×m +2 -2km =0，化简可得m =-4k -2，则直线CD 的方程为y =kx -4k -2，即y +2=k x -4 ，所以直线CD 过定点4,-2 ；综上所述：直线CD 过定点4,-2 .【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y =kx +t ，由题设条件将t 用k 表示为t =mk ，得y =k (x +m )，故动直线过定点(-m ,0)．(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．5(2023春·四川眉山·高二校考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点D (4,0)，斜率为k 的直线l 不过点D ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，∠ADO =∠BDO (O 为坐标原点).直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)过定点，1,0 .【分析】(1)根据已知条件列方程即可解得a ,b 值，方程可求解；(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，联立椭圆方程结合韦达定理得x 1,x 2关系，又∠ADO =∠BDO 得k AD +k BD =0，代入坐标化简即可求解.【详解】(1)由题意可得2b =2ca =32c 2=a 2-b 2，解得a 2=4，b 2=1所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 联立y =kx +mx 24+y 2=1整理得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=8km 2-44k 2+1 (4m 2-4)>0，即4k 2-m 2+1>0又x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1因为∠ADO =∠BDO ，所以k AD +k BD =0，所以y 1x 1-4+y 2x 2-4=kx 1+m x 2-4 +kx 2+m x 1-4x 1-4 x 2-4 =0所以2kx 1x 2+(m -4k )x 1+x 2 -8m =0，即2k ⋅4m 2-44k 2+1+(m -4k )⋅-8km 4k 2+1-8m =0整理得8k +8m =0，即m =-k ，此时Δ=3k 2+1>0则直线l 的方程为y =kx -k ，故直线l 过定点1,0 .6(2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为12，且经过点6,2 ，椭圆C 的右顶点到抛物线E :y 2=2px p >0 的准线的距离为4．(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与椭圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OA ⋅OB=-4，则在x 轴上是否存在点H ，使得x 轴平分∠MHN ？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y 212+x 29=1；y 2=4x(2)存在；H 92,0 【分析】(1)依题意得到方程组，即可求出a 2，b 2，从而得到椭圆方程，再求出椭圆的右顶点，即可求出p ，从而求出抛物线方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据OA ⋅OB=-4得到m =-2k ，再假设在x 轴上存在点H x 0,0 ，使得x 轴平分∠MHN ，则直线HM 的斜率与直线HN 的斜率之和为0，设M x 3,y 3 ，N x 4,y 4 ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由y 3x 3-x 0+y 4x 4-x 0=0，即可求出x 0，从而求出H 的坐标；【详解】(1)解：由已知得c a =124a 2+6b 2=1a 2=b 2+c 2，∴a 2=12，b 2=9．∴椭圆C 的方程为y 212+x 29=1．∴椭圆C 的右顶点为3,0 ．∴3+p2=4，解得p =2．∴抛物线E 的方程为y 2=4x ．(2)解：由题意知直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由y =kx +my 2=4x消去y ，得k 2x 2+2km -4 x +m 2=0．∴Δ1=2km -4 2-4k 2m 2=-16km +16>0，∴km <1．∴x 1+x 2=4-2km k 2，x 1x 2=m 2k2．∴y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=km 4-2km k2+2m 2=4m k ．∴OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=m 2k2+4m k =-4．∴m k +2 2=0，∴mk=-2．∴m =-2k ，此时km =-2k 2<1．∴直线l 的方程为y =k x -2 ．假设在x 轴上存在点H x 0,0 ，使得x 轴平分∠MHN ，则直线HM 的斜率与直线HN 的斜率之和为0，设M x 3,y 3 ，N x 4,y 4 ，由y =k x -2y 212+x 29=1消去y ，得3k 2+4 x 2-12k 2x +12k 2-36=0．∴Δ2=12k 2 2-43k 2+4 12k 2-36 >0，即5k 2+12>0恒成立．∴x 3+x 4=12k 23k 2+4，x 3x 4=12k 2-363k 2+4．∵y 3x 3-x 0+y 4x 4-x 0=0，∴k x 3-2 x 4-x 0 +k x 4-2 x 3-x 0 =0．∴2x 3x 4-x 0+2 x 3+x 4 +4x 0=0．∴24k 2-723k 2+4-x 0+2 12k 23k 2+4+4x 0=0．∴16x 0-723k 2+4=0．解得x 0=92．∴在x 轴上存在点H 92,0 ，使得x 轴平分∠MHN ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在圆锥曲线综合中的应用，属于难题；在解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．7(2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B 1，若△F 1B 1F 2为等边三角形，且点P 1,32在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A 1，A 2，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点(异于椭圆E 的顶点)，直线AA 1、BA 2与y 轴的交点分别为M 、N ，若|ON |=3|OM |，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点1,0 或4,0【分析】(1)由已知条件，椭圆的定义及a ,b ,c 的关系可知a 2=4c 2和b 2=3c 2，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；(2)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由直线AA 1的方程即可求出点M 的坐标，由BA 2的方程即可求出点N 的坐标，由已知条件可知5x 1+x 2 -2x 1x 2-8=0，分直线AB 的斜率存在和直线AB 的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线AB 的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.【详解】(1)∵△F 1B 1F 2为等边三角形，且B 1F 1 +B 1F 2 =2a ，∴a =2c ，又∵a 2=b 2+c 2，∴b 2=3c 2，设椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将点P 1,32 代入椭圆方程得14c 2+912c2=1，解得c 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由已知得A 1-2,0 ，A 22,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ,则直线AA 1的斜率为y 1x 1+2，直线AA 1的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，即点M 坐标为0,2y 1x 1+2，直线BA 2的斜率为y 2x 2-2，直线AA 1的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，即点N 坐标为0,-2y 2x 2-2,∵|ON |=3|OM |,∴|ON |2=9|OM |2,∴4y 22x 2-2 2=36y 21x 1+2 2，又∵y 21=3-3x 214=12-3x 214，y 22=3-3x 224=12-3x 224，∴4-x 22x 2-2 2=9×4-x 21x 1+22，即2+x 22-x 2=92-x 1 2+x 1，整理得5x 1+x 2 -2x 1x 2-8=0，①若直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +b ，将直线方程与椭圆方程联立y =kx +bx 24+y 23=1得3+4k 2 x 2+8kbx +4b 2-12=0，其中Δ=64k 2b 2-43+4k 2 4b 2-12 =1612k 2-3b 2+9 >0，x 1+x 2=-8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2-123+4k 2，即-5×8kb 3+4k 2-2×4b 2-123+4k2-8=0，4k 2+5kb +b 2=0，4k +b k +b =0，所以b =-4k 或b =-k ，当b =-4k 时，直线AB 的方程为y =kx -4k =k x -4 ，此时直线AB 恒过点4,0 ，当b =-k 时，直线AB 的方程为y =kx -k =k x -1 ，此时直线AB 恒过点1,0 ，②若直线AB 的斜率不存在时x 1=x 2，由2+x 22-x 2=92-x 1 2+x 1得2+x 22-x 2=92-x 2 2+x 2，即x 22-5x 2+4=0，解得x 2=1或x 2=4，此时直线AB 的方程为x =1或x =4，所以此时直线AB 恒过点1,0 或4,0 ，综上所述，直线AB 恒过点1,0 或4,0 .8(2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测)已知F 1(-2,0)，F 2(2,0)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，且A 2,53为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y =-2x +t 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于P ,Q 两点，射线F 1P ，F 1Q 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p ∈D 时，总存在实数t ，使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 29+y 25=1(2)存在，D =(5,+∞)，证明见解析【分析】(1)求出点A 2,53到两焦点的距离，再用椭圆的定义可得a =3，结合b 2=a 2-c 2可得b 2，从而可得椭圆的方程；(2)直线l 与抛物线联立，结合判别式有p +4t >0，要使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内，根据题意，有F 1P ⋅F 1Q<0，结合韦达定理可得p >5，从而可证明问题.【详解】(1)由题意知c =2，A 2,53为椭圆上的一点，且AF 2垂直于x 轴，则AF 2 =53，AF 1 =(2+2)2+53 2=133，所以2a =AF 1 +AF 2 =133+53=6，即a =3，所以b 2=32-22=5，故椭圆的方程为x 29+y 25=1；(2)l 方程为y =-2x +t ，联立抛物线方程，得y 2=2px y =-2x +t ，整理得y 2+py -pt =0，则Δ=p 2+4tp >0，则p +4t >0①，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-p ，y 1y 2=-pt ，则x 1+x 2=t +p 2,x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=t 24，由F 1的坐标为(-2,0)，则F 1P =(x 1+2，y 1)，F 1Q=(x 2+2，y 2)，由F 1M 与F 1P 同向，F 1N 与F 1Q 同向，则点F 1在以线段MN 为直径的圆内，则F 1M ⋅F 1N <0，则F 1P ⋅F 1Q<0，则(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2<0，即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 1<0，则t 24+2t +p 2 +4-pt <0，即t 24+(2-p )t +p +4<0②，当且仅当Δ=(2-p )2-4×14(p +4)>0，即p >5，总存在t >-p4使得②成立，且当p >5时，由韦达定理可知t 24+(2-p )t +p +4=0的两个根为正数，故使②成立的t >0，从而满足①，故存在数集D =(5,+∞)，对任意p ∈D 时，总存在t ，使点F 1在线段MN 为直径的圆内．9(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为M 1、M 2，短轴长为23，点C 上的点P 满足直线PM 1、PM 2的斜率之积为-34．(1)求C 的方程；(2)若过点1,0 且不与y 轴垂直的直线l 与C 交于A 、B 两点，记直线M 1A 、M 2B 交于点Q ．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点Q 在定直线x =4上【分析】(1)设点P x 0,y 0 ，则x 0≠±a ，可得出y 20=b 21-x 20a2，利用斜率公式结合已知条件可得出b 2=34a 2，再利用椭圆的短轴长可得出b 2、a 2的值，即可得出椭圆C 的方程；(2)设l 的方程为x =my +1，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设点Q x ,y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，写出直线M 1A 、M 2B 的方程，联立这两条直线方程，可得出点Q 的横坐标，即可得出结论.【详解】(1)解：设P x 0,y 0 ，则x 0≠±a ，且x 20a 2+y 20b 2=1，所以，y 20=b 21-x 20a2，则k PM 1⋅k PM 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y20x 20-a 2=b 21-x 20a 2x 20-a2=-b 2a2=-34，故b 2=34a 2①，又2b =23②，联立①②，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)解：结论：点Q 在定直线上x =4．由(1)得，M 1-2,0 、M 22,0 ，设Q x ,y ，设直线l 的方程为x =my +1，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x 24+y 23=1x =my +1，整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 >0，∴y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4， 直线M 1A 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，直线M 2B 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，所以，y 1x 1+2x +2 =y 2x 2-2x-2 ，可得x +2x -2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 =y 2my 1+3 y 1my 2-1 =my 1y 2+3y 2my 1y 2-y 1=-9m 3m 2+4+3-6m 3m 2+4-y 1 -9m 3m 2+4-y 1=-27m 3m 2+4-3y 1-9m 3m 2+4-y 1=3，解得x =4，因此，点Q 在直线x =4上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.10(2023·全国·高三专题练习)如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为-12，椭圆的焦距为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为-12，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则MO 2+MQ 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)是定值，定值为32【分析】(1)由题意求出直线AC ，BD 的斜率，即可求出-b 2a2=-12，又因为焦距为2，即可就出椭圆的标准方程.(2)方法一：联立直线PQ 与椭圆的方程由k OP ⋅k OQ =-12可求出2t 2=1+2k 2，又因为：MO 2+MQ 2=x 21+x 222+y 21+y 222，又点P ，Q 在椭圆上，代入即可求出答案.方法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得x 21+2y 21=2x 22+2y 22=2，联立直线PQ 与椭圆的方程由k OP ⋅k OQ =-12可求出y 1=-x 1x 22y 2，代入化简得x 21=2y 22，即可求出答案.【详解】(1)由题意，c =1，则A -a ,-b ,B a ,-b ,C a ,b ,D -a ,b ，所以k AC =2b 2a =b a ，k BD =2b-2a=b -a ，所以k AC ⋅k BD =-b 2a2=-12，解得：a =2，=1，∴椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)(方法一)设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22.设直线PQ ：y =kx +t ，由y =kx +t x 22+y 2=1，得：1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0，x 1+x 2=-4kt1+2k2x 1x 2=2t 2-21+2k2，由k OP ⋅k OQ =-12，得x 1x 2+2y 1y 2=1+2k 2 x 1x 2+2kt x 1+x 2 +2t 2=0，代入化简得：2t 2=1+2k 2.∵MO 2+MQ 2=x 1+x 22 2+y 1+y 22 2+x 1-x 1+x 22 2+y 1-y 1+y 222=x 21+x 222+y 21+y 222，又点P ，Q 在椭圆上，∴x 212+y 21=1，x 222+y 22=1，即x 21+x 224+y 21+y 222=1，∵x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-4kt 2t 22-2⋅2t 2-22t 2=2，∴x 21+x 224=12.∴MO 2+MQ 2=x 21+x 224+y 21+y 222+x 21+x 224=32.即MO 2+MQ 2=32为定值.(方法二)由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得x 21+2y 21=2x 22+2y 22=2 ，把y 1=-x 1x 22y 2代入上式，化简x 21=2y 22，得y 21+y 22=1，x 21+x 22=2，MO 2+MQ 2=12x 21+x 22+y 21+y 22 =32.11(2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习)已知离心率为22的椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 1、A 2，上顶点为B ，且△A 1BF 的外接圆半径大小为3．(1)求椭圆C 方程；(2)设斜率存在的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点(P ,Q 位于x 轴的两侧)，记直线A 1P 、A 2P 、A 2Q 、A 1Q 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，若k 1+k 4=53k 2+k 3 ，求△A 2PQ 面积的取值范围．【答案】(1)x 24+y 22=1(2)0,5830 【分析】(1)根据椭圆离心率确定椭圆中a ,b ,c 的关系，再结合正弦定理的推论确定外接圆半径与边角关系即可得c 的值，从而求得椭圆方程；(2)由题可设直线l :x =ty +m t ≠0 ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，根据斜率的计算式可得k 1k 2=-12，k 3k 4=-12，再由已知等式k 1+k 4=53k 2+k 3 确定k 2k 3=-310，由坐标关系进行转化可求得m 的值，求解△A 2PQ 面积的表达式，结合函数性质即可得△A 2PQ 面积的取值范围．【详解】(1)根据椭圆C 的离心率为22知a =2c ，所以b =a 2-c 2=c ，如图，则OF =OB =c则在△A 1BF 中，可得∠BFA 1=3π4，A 1B =OA 1 2+OB 2=3c ，由正弦定理得A 1Bsin ∠BFA 1=3c22=6c =2×3，解得c =2，所以a =2，b =2，所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)由条件知直线l 的斜率不为0，设直线l :x =ty +m t ≠0 ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立x =ty +mx 24+y 22=1，得t 2+2 y 2+2mty +m 2-4=0，Δ>0得2t 2+4>m 2于是y 1+y 2=-2mt t 2+2，y 1y 2=m 2-4t 2+2，因为A 1-2,0 ，A 22,0 ，P x 1,y 1 代入椭圆方程得x 214+y 212=1，所以k 1k 2=y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=21-x 214 x 21-4=-12，同理k 3k 4=-12，于是k 1=-12k 2，k 4=-12k 3，因为k 1+k 4=53k 2+k 3 ，所以-12k 2-12k 3=53k 2+k 3 ，即-k 2+k 32k 2k 3=53k 2+k 3 ．又直线l 的斜率存在，所以k 2+k 3≠0，于是k 2k 3=-310，所以y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=-310，即10y 1y 2+3x 1-2 x 2-2 =0，又x 1=ty 1+m ，x 2=ty 2+m ，所以10y 1y 2+3ty 1+m -2 ty 2+m -2 =0，整理得3t 2+10 y 1y 2+3t m -2 y 1+y 2 +3m -2 2=0，所以3t 2+10 m 2-4t 2+2 +3t m -2 -2mt t 2+2+3m -2 2=0，化简整理得m -2 2m +1 =0，又P 、Q 位于x 轴的两侧，所以y 1y 2=m 2-4t 2+2<0，解得-2<m <2，所以m =-12，此时直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，于是直线l 恒过定点D -12,0 ．当m =-12时，y 1+y 2=t t 2+2，y 1y 2=-154t 2+2，△A 2PQ 的面积S △A 2PQ =12A 2D ⋅y 1-y 2 =12×52×y 1+y 2 2-4y 1y 2=54t t 2+22-4-154t 2+2 =54⋅16t 2+30t 2+2，令16t 2+30=λ，因为直线l 的斜率存在，则λ>30，t 2=λ2-3016，于是S △A 2PQ =54⋅16λλ2+2=20λ+2λ，又函数y =20λ+2λ在30,+∞ 上单调递减，所以△A 2PQ 面积的取值范围为0,5830 ．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆相交的坐标关系，利用坐标运算解决直线斜率关系及面积关系.解决本题的关键是确定直线直线A 1P 、A 2P 、A 2Q 、A 1Q 之间的斜率关系，结合椭圆上的任意一点与左右顶点之间的斜率关系，可将四个斜率值简化为两个斜率关系，即可减少位置数，从而利用坐标运算及坐标关系确定所设直线过定点，于是简化所求面积表达式中的变量个数从而可结合函数关系确定取值范围，得以解决问题.12(2023·江西南昌·统考模拟预测)已知A 2,0 ，B 0,1 是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两个顶点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点P 2,1 的直线l 与椭圆E 交于C ，D ，与直线AB 交于点M ，求PM PC +PMPD的值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)PM PC +PM PD =2【分析】(1)根据椭圆顶点坐标直接可得椭圆方程；(2)设直线方程，可得点M ，联立直线与椭圆结合韦达定理，再根据两点间距离化简可得解.【详解】(1)由A 2,0 ，B 0,1 是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两个顶点，得a =2，b =1，即E :x 24+y 2=1；(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，所以设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，M x 3,y 3 ，直线l 的斜率为k ，则PC =x P -x 1 1+k 2=2-x 1 1+k 2，同理PD =2-x 2 1+k 2，PM =2-x 3 1+k 2，则PM PC+PM PD=2-x 32-x 1+2-x 32-x 2．设l ：y -1=k x -2 ，而AB ：x 2+y =1，联立解得x 3=4k2k +1，所以2-x 3=2-4k 2k +1=22k +1；联立直线l 与椭圆E 方程，消去y 得：4k 2+1 x 2-8k 2k -1 x +16k 2-16k =0，所以x 1+x 2=8k 2k -1 4k 2+1，x 1x 2=16k 2-16k 4k 2+1，所以12-x 1+12-x 2=-x 1+x 2-4x 1-2 x 2-2=-x 1+x 2-4x 1x 2-2x 1+x 2 +4=-8k 2k -14k 2+1-416k 2-16k4k 2+1-2×8k 2k -1 4k 2+1+4=2k +1，所以2-x 32-x 1+2-x 32-x 2=22k +1×2k +1 =2，即PM PC +PMPD =2．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

高考数学(精讲+精练+精析)专题10_1 椭圆试题 理(含解析)

高考数学(精讲+精练+精析)专题10_1 椭圆试题 理(含解析)

专题10.1 椭圆【三年高考】1. 【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A2. 【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 .【答案】63．【2016高考山东理数】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 3，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=.因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）（i ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得x y =/，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=.设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0>∆，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ，因此142223210+=+=m m x x x ,将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=.联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=mx x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上.4．【2016年高考北京理数】已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）3 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M .直线PB 的方程为1100+-=x x y y .令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y xx AN N .所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BMAN .上，BM AN ⋅为定值.5．【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．（II ）由题意3t >，0k >，(),0A t -.将直线AM 的方程()y k x t =+代入2213x y t +=得()222223230tkx ttk x t k t +++-=.由(22123t k x t tk ⋅=+得)21233t tk x tk-=+，故()221621t k AM x t k +=++=由题设，直线AN 的方程为(1y x t k=-，故同理可得()261k t k AN +==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-.当32k =式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩322k <<.因此k 的取值范围是)32,2.6. 【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【答案】22325()24x y -+=7.【2015高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.【解析】（I ）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又510OM k =，从而5210b a =，进而得225,2a b c a b b ==-=，故25c e a ==. （II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB 15ybb =，点N 的坐标为51,)2b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为1517,)244x b +-+.又点T 在直线AB 上，且1NS ABk k ⋅=-,从而有11517424415712255x b b b b b b x ⎧+-+⎪=⎪⎪⎪⎨+⎪=⎪⎪-⎪⎩解得3b =，所以35a =，故椭圆E 的方程为221459x y +=.8.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆()222210x y ab a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥F 2F 1PQyxO（1）若1222,22PF PF =+=-，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e(2)解法一：如图(21)图，设点P 00(,y )x 在椭圆上，且12PF PF ⊥，则22222000022y +=1,x x y c a b ，求得22200=2,y .c b x a b a c-=±由12|P F |=|||P F |PQ ,得0>0x ,从而()(22222222222221|PF |=22222.c b a b a b a a b a a b a c ⎛⎫⎫-+=-+-=+- ⎪⎪⎭⎝⎭由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a ,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a ，又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |2|PF |，因此12|PF|=4a ，于是222224.aa b a 解得2141163222e ⎡⎤⎛⎫=+-=⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦9.【2015高考陕西，理20】已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【解析】（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc，则原点O 到直线的距离22bcd ab c ==+，由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率32c a .10. 【2014全国大纲理 6】已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=【答案】A【解析】因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝3.又因为椭圆的离心率e ＝ca＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选A ．11. 【2014江西，理15】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 【答案】2212. 【2014全国课标Ⅱ，理 20】设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直．直线1MF 与C 的另一交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b【解析】（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34， ∴2324b ac =，又222a b c =+，解之：12c e a ==或2-（舍）， 故：直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12（Ⅱ）由题意知：点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac =+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac=⨯-+，得24b a =……①∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a =--，∴21(,)24c b F N a =--，∴23(,)24c b N a--，又∵23(,)24c b N a --在椭圆C 上，∴4222291641b c a a b+=……② 联立①、②解得：7a =，b =【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系是高考考试的热点，考查方面离心率是重点，其它利用性质求椭圆方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求椭圆的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．预测2017年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2017年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用设而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【2017年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】椭圆的定义与标准方程 【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a +=(122||a F F >). 注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>.给定椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>，要根据,m n 的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中,,a b c 关系为：222a b c =+.【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 【2016届淮南市高三第二次模】以双曲线2213x y -=的左右焦点为焦点，离心率为12的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211216x y += B ．221128x y += C ．2211612x y += D ．221812x y += 【答案】C【解析】由题意得，双曲线的焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，即2c =，又离心率为12，即12c a =，解得4a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆的方程为2211612x y +=，故选C ． 2. 【2016届广西柳州高中高三4月高考模拟】已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的面积为222b ，则12cos F PF ∠= . 【答案】13.【考点2】椭圆的几何性质【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)y x a b a b+=>> 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a顶点 长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b ) 长轴顶点(0，±a )，短轴顶点(±b,0) 对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称离心率e ＝ca∈(0，1)，其中c ＝a 2－b 22.点00(,)P x y 与椭圆22221x y a b +=关系（1）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔2200221x y a b +=；（3）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222a b c =+化出关于,a c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：222222c a b e a a -===221b a -⇒21b e a=-. 4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[,a c a c -+].4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值. 【考点针对训练】1. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】椭圆()22211y x b b+=<的左焦点为,F A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O 的右侧，若FAB ∆的外接圆圆心为(),P m n ，且0m n +>，椭圆离心率的范围为（ ） A ．20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为2,1F F ，过2F 作直线l 垂直于x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，若若1F AB ∆为等腰直角三角形，且0190=∠B AF ，则椭圆C的离心率为（ ） A ．21- B ．212- C ．22- D ．22【答案】A【解析】∵2AF x ⊥ 轴，∴2b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭， ．∵1F AB 为等腰直角三角形，∴122||F F AF = ，∴222222221b c ac b a c e e a=∴==-∴=-，， ，化为()22100e e e +-=>， ．解得222212e -+==- ．故选：A ．【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知椭圆C:22193x y +=，直线:l 2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，点()0,1P ，且PA =PB ，则直线l 的方程为 ．【答案】20x y --=或20x y ++=2. 【2016届湖北省八校高三二联】定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(22212x y +=及点()2,0A -，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.k k 【解析】（Ⅰ）由分析知：点P 在圆内且不为圆心，故2322PA PM AM +==,所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆， 设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则22332222a a c c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩⎩，所以21b =，故曲线W 的方程为22 1.3x y +=【应试技巧点拨】１．焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①椭圆的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．２．离心率的求法椭圆的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出,a c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出,a c的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于,a c或,a b的方程，通过这个方程解出ca 或b a ，利用公式cea=求出，对双曲线来说，221bea=+，对椭圆来说，221bea=-.3．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算．①斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长21212||1||PP k x x =+-或122121||1||P P y y k=+-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： ()2121212||4x x x x x x -=+-，()2211212||4y y y y y y -=+-.②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4.直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件. 5.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.6．注意椭圆的范围，在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标(),P x y 时，则x a ≤，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因．7．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间，最值有重要意义． 二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三第九次月考】设斜率为22的直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点P ,Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A 、22 B 、23 C 、21 D 、31【答案】B【解析】设点,P Q 在x 轴上的射影分别为焦点21F F ，，()的长为其中1122OF c c PF =，从而c F F PF PF 2232112=+=，得22=e . 2. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知某椭圆的方程为()22211x y a a+=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 是椭圆上的任意一点，且PAB ∆21，若已知()3,0M -，)3,0N ，点Q 为椭圆上的任意一点，则14QN QM+的最小值为（ ） A ．2 B ．94C ．3D ．322+ 【答案】B3. 【2016届河北省衡水中学高三下练习五】椭圆()222:106x y C a a +=>的离心率是6，则实数a 为（ ）A ．655 B ．5 C ．655或5 D ．55或5 【答案】C【解析】由椭圆()222:106x y C a a +=>，（1）当62>a 时，616222=-=a a e ，得556=a ；（2）当62<a 时，616622=-=a e ，得5=a ，故选项为C ． 4. 【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ．6[,3]3【答案】B5.【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测理】 已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,点A 是椭圆M与圆()2224:9C x y m +-=在第一象限的交点, 且点A 到2F 的距离等于13m .若椭圆M 上一动点到点1F 与到点C 的距离之差的最大值为2a m -,则椭圆M 的离心率为（ ） A ．13 B ．12CD【答案】B【解析】设点P 为椭圆M 上的动点，则122||||2||||2(||||)PF PC a PF PC a PF PC -=--=-+．当2,,C P F 三点共线时，1||||PF PC -取得最大值2a m -，此时2||CF m =．又2||||CA AF m +=，所以点A是线段2CF 上靠近2F的一个三等分点，所以2(,)33A c b，代入椭圆方程，得22222()()331c b a b +=，即2248199c a +=，解得12c a =，即12e =，故选B ． 6. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】若P 为椭圆1151622=+y x 上任意一点，EF 为圆4)1(22=+-y x 的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是______.【答案】[]215，【解析】因为()()PE PF NE NP NF NP ⋅=-⋅-()2NE NF NP NE NF NP =⋅-⋅++22cos 04NE NF NP NP π=-⋅-+=-+．又因为椭圆2211615x y +=的4,1a b c ===，()10N ，为椭圆的右焦点，∴[][],3,5NP a c a c ∈-+=∴[]521PE PF ⋅∈，．故答案为：[]521，． 7. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知2F 为椭圆()22401mx y m m +=<<的右焦点, 点()0,2A ,点P 为椭圆上任意一点, 且2PA PF -的最小值为43-,则m = ． 【答案】298. 【2016届广西来宾高中高三5月模拟理】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【答案】6【解析】由已知()()22224PM PN R OPR OP ROP a OP ⋅=-+=-=+-，()()22222121212112cos 44OP OP PF PF PF PF PF PF P ==+=++∠()()2222121212112cos 24PF PF PF PF PF PF P =+-+-∠()()()2221211222224a PF PF c a =--=-，所以()()()22426PM PN a a ⋅=+--=．故答案为6.9. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，ABF ∆的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 过点(4,0)M -，求当ABF ∆面积最大时直线AB 的方程.10. 【2016届陕西省黄陵中学高三下第六次模拟理】已知点()0,1A 与13,2B ⎫⎪⎭都在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，直线AB 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；（Ⅱ）设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠？若存在，求点E 的坐标；若不存在，说明理由．11.【2015届湖北省襄阳市第五中学高三第一学期11月质检】若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（ ）A ．2211220x y += B ．221412x y += C ．221128x y += D ．221812x y += 【答案】D【解析】椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），所以椭圆的焦点在y 轴上，且422=-b a ，故能排除A ，B ，C 答案为D.12.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】设1F 、2F 是椭圆)10(1222<<=+b by x 的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若||3||11B F AF =，且x AF ⊥2轴，则=2b （ ） A ．41 B ．31 C ．32 D ．43【答案】C【解析】由题意1(,0)F c -，2(,0)F c ，x AF ⊥2轴，∴22||AF b =，∴A 点坐标为2(,)c b ，设(,)B x y ，则||3||11B F AF =，∴2(,)3(,)c c b x c y ---=+，∴251(,)33B c b --，代入椭圆方程可得22 221()53()13bcb--+=，∵221b c=+，∴223b =．13. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】已知点(,4)P m是椭圆22221+=x ya b(0)>>a b上的一点，12,F F是椭圆的两个焦点，若12∆PF F的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为．【答案】35；14.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，2），且离心率等于32，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设||||=||||PM MQPN NQλ=，试求λ的取值范围．1F2FyxP15.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一理】如图，1F 、2F 为椭圆2222:1x y C a b +=的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率32e =，2312DEF S ∆=-．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．（Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则11(,)2x P y 、21(,)2xQ y ． ①当直线AB 的斜率不存在时，即12x x =，12y y =-，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即221211210224x x x y y y ⨯+=-=，解得22114x y =，又点11(,)A x y 在椭圆上，所以2211414y y +=，解得112||,||22y x ==1121||||12AOB S x y y ∆=⨯-=． ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+．由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，222(41)8440k x kmx m +++-=， 由根与系数的关系可得122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+ ，由以PQ为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即1212022x x y y ⋅+⋅=，即121204x xy y +=． 故221212121214()()()44x x k kx m kx m x x km x x m ++++=+++，222221444844141k m km mk m k k +--=⨯+⨯+++2222821041k m m k =--=+，整理得2222(21)(41)80m k k m -+-=，即222410m k --=．所以22412k m +=． ，而222212121222844||()4()44141km m x x x x x x k k ---=+-=-⨯++222216(41)(41)k m k =+-+，故222212241||1|4141k AB k x x k m k +=+-=+-+ ， 而点O 到直线AB 的距离21d k=+，所以222221141||4122411AOBk S AB d k m k k ∆+=⨯=⨯+-⨯++2222222||2||4121412m m k m m m k m=+-=-=+． 综合①②可知AOB ∆的面积为定值1．拓展试题以及解析1. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的离心率为e ，直线2y x =与以C 的长轴为直径的圆交于A B 、两点,且曲线C 恰好将线段AB 三等分,则2e 的值为( ) A ．12 B ．18 C ．1011 D ．34【答案】C数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力．以及运算求解能力，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题.2．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b 上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，当π12ABF ∠=时，椭圆的离心率为___________. xyOAFB【答案】3【解析】设椭圆的左焦点为F 1,连接AF 1,BF 1,由对称性及AF BF ⊥可知，四边形AFBF 1是矩形，所以|AB=|F 1F|=2c ，所以在Rt△ABF 中，π2sin12AFc ，π2cos12BF c ，由椭圆定义得ππ2(cos sin)21212c a，即116=ππππ3cos sin2sin()1212412cea===++．【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，解直角三角形，三角恒等变形，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，椭圆的简单几何性质，是高考考查的热点，故选此题.3.已知椭圆22221(0)yx a ba b+=>>的离心率为22，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点122015,,,M M M，过1M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于12,P P两点，1P点在x轴上方；过2M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于34,P P两点，3P点在x轴上方；以此类推，过2015M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于40294030,P P两点，4029P点在x轴上方，则4030条直线124030,AP AP AP，，的斜率乘积为_______.【答案】20151.2-【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线的斜率，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题初看似乎很难，细细分析，利用椭圆的对称性很容易解出，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.4.设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，定义椭圆C的“隐圆”方程为222222a bx ya b+=+，若抛物线214x y=-的准线恰好过椭圆C的一个焦点，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C的方程和“隐圆”E的方程；（Ⅱ）过“隐圆”E上任意一点P作“隐圆”E的切线l与椭圆C交于,A B两点，O为坐标原点. (i)证明:AOB∠为定值；(i i)连接PO 并延长交“隐圆”E 于点Q ，求ABQ 面积的取值范围. 【解析】（Ⅰ）由抛物线214x y =-得24y x =-的准线方程为x=1，因为过椭圆C 的一个焦点，所以1c =，又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以1b c ==，故椭圆C 的方程为2212x y +=， “隐圆”E 的方程为2223x y +=； （ii ）由于PQ 是“隐圆”的直径，所以1623ABQ S AB PQ AB ∆==，所以要求ABQ ∆面积的取值范围，只需求弦长AB 的取值范围，当直线AB 的斜率不存在时，由（i ）知263AB =，因为2222212228(21)||(1)()(1)(12)k m AB k x x k k -+=+-=++422424284518[1]34413441k k k k k k k ++=⋅=+++++,① 0k ≠时2281||[1]1344AB k k =+++为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++,所以22881[1]313344k k<+≤++,所以26||33AB <≤，当且仅当22k =±时取”=” ②当0k =时,26||3AB =．|AB |的取值范围为26||33AB ≤≤，ABQ ∴∆面积的取值范围是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,新定义,圆的性质,焦三角等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点到直线320x y -+=的距离为5,且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，连接椭圆短轴端点A 与椭圆上不同于A 的两点,M N ，与以椭圆短轴为直径的圆分别交于,P Q 两点，且Q P 恰好经过圆心O ，求AMN ∆面积的最大值．（2）由题意知直线,AM AN 的斜率存在且不为0，AM AN ⊥，不妨设直线AN 的斜率为(0)k k >，则AN ：1y kx =-，由22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=-⎩，∴2221891(,)9191k k N k k -++．∴2222222189118||()(1)1919191k k k AN k k k k -=++=++++1k -代替k ，且由0k >得2222118118||111991kAM k k kk=+=+++222222211818162(1)112919(9)(19)AMN k k k S k k k k k k ∆+=++=++++342221162()162()99829982k k k k k k k k++==++++,设1k k μ+=（μ≥2，当且仅当k=1时取等号），则21621622764829(2)864929AMN S μμμμμμ∆==≤=+-+⋅．（当且仅当649μμ=，即83μ=时取等号）. 【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,基本不等式等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题. 6.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的离心率为e ，直线:l y ex a =+与,x y 轴分别交于B A 、点.（Ⅰ）求证：直线l 与椭圆C 有且仅有一个交点； （Ⅱ）设T 为直线l 与椭圆C 的交点，若AT eAB =，求椭圆C 的离心率；（Ⅲ）求证：直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a（Ⅱ）由题意得(,0),(0,),aA B a e -(,)T c a ec --，因为ATeAB =，所以21a ec ea e e -=⇒-=因为01e <<，所以51.2e -=（Ⅲ）设12,F F 为椭圆C 的左右焦点，M 为直线:l y ex a =+上任意一点.设1F 关于直线:l y ex a =+的对称点为1(,)F x y '，则121212MF MF MF MF F F ''+=+≥.由02201y x c e a y e x c+-⎧=⋅+⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩得22122322(,)1(1)e c c e c c F e e e--+'++，因此22222222122222224224(1)4()()42.1(1)(1)c e c c e e c F F c a e e e e e e--++-'=+=⨯==+++所以122MF MF a +≥， 即直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质, 函数最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，第二问出题形式新颖，故选此题.7.已知1F 、2F 分别是离心率为21的椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，M 是椭圆E 上一点，线段M F 1的中点为N ，△O NF 1（O 为坐标原点）的周长为3. (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)过1F 作与x 轴不垂直的直线l 交椭圆E 于B A ,两点，)0,(m Q ，若||||QB QA =，求实数m 的取值范围.。

高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)

高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

2019版高考数学理一轮课时达标50椭圆 含解析 精品

2019版高考数学理一轮课时达标50椭圆 含解析 精品

课时达标 第50讲[解密考纲]对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( A ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k ＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴2k>2，解得0<k <1.故选A . ∴实数k 的取值范围是(0,1)．故选A ．2．(2018·山东济南质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( A )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 24＋y 2＝1D ．x 216＋y 24＝1解析 由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ，所以a ＝2.又e ＝c a ＝12，所以c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 因此椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( C )A ．12B ．23C ．34D ．45解析 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ， 所以3a ＝4c ，所以e ＝34.4．(2018·福建厦门模拟)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E交于A ，B 两点，若△F AB 的周长的最大值是8，则m ＝( B )A ．0B ．1C ．3D ．2解析 设椭圆的左焦点为F ′，则△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ＝8，所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时，△F AB 的周长取得最大值，所以0＝－1＋m ，所以m ＝1.故选B ．5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( B )A ．32B ．332C ．94D ．154解析 设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332.故选B ．6．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C )A ．24 B ．12C ．22D ．32解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a ，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.故选C ．二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__x 2＋3y 22＝1__.解析 设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.8．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是__x ＋2y －3＝0__.解析 设过点M (1,1)的方程为y ＝kx ＋(1－k )， 代入x 2＋2y 2－4＝0得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0， 所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12， 故所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.9．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为__⎭⎪⎫2，1__.解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角，即B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，∴(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋ca －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1. 三、解答题10．(2018·河南洛阳一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析 (1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．将y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，∴x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65. 11．(2018·广州五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P ，Q ，当∠PMQ ＝60°，求直线PQ 的方程．解析 (1)∵c a ＝22，∴a 2＝2c 2，a 2＝2b 2，又椭圆E 经过点(6，1)，∴6a 2＋1b 2＝1，解得a ＝22，b ＝2，∴椭圆E 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ， 依题意可设M (－4，m )(m >0)．由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°， ∵|OP |＝22，∴|OM |＝42， ∴(－4)2＋m 2＝42，又m >0，解得m ＝4，∴M (－4,4)，∴直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由|MP |＝|MQ |，|OP |＝|OQ |可得OM ⊥PQ ，∴直线PQ 的斜率k PQ ＝1，设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ， ∵∠OMP ＝30°，∴∠POM ＝60°，∴∠OP A ＝30°，由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2，∴|n |12＋(－1)2＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，∴直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝3 2.(1)求椭圆的方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．解析 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，则a ＝2c ，b ＝c .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝2a ＋2b 2a ＝22c ＋2c ＝32，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB 与直线CD 中有一条与x 轴垂直时，另一条与x 轴重合． 由题意知S 四边形＝12|AB |·|CD |＝12×22×2＝2.②当AB ，CD 都不垂直于坐标轴时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．代入x 2＋2y 2－2＝0中得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，∴|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·22k 2＋11＋2k 2＝22(k 2＋1)1＋2k 2.同理，|CD |＝22⎝⎛⎭⎫1k 2＋11＋2k 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.∴S 四边形＝12·|AB |·|CD |＝12·22(k 2＋1)1＋2k 2·22(k 2＋1)k 2＋2＝4(k 2＋1)22k 4＋2＋5k 2＝4⎝⎛⎭⎫k ＋1k 22⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1. ∵2⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝⎛⎭⎫2k ·1k 2＋1＝9， 当且仅当k ＝±1时取等号，∴S 四边形∈⎣⎡⎭⎫169，2. 综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎡⎦⎤169，2.。

2021高考理科数学(人教A版)一轮复习课时规范练48椭圆 Word版含解析

2021高考理科数学(人教A版)一轮复习课时规范练48椭圆 Word版含解析

姓名，年级：时间：课时规范练48 椭圆基础巩固组1.已知椭圆x 23+y 24=1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，|MF 1｜—｜MF 2｜=1,则△MF 1F 2是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形 C 。

锐角三角形 D.等边三角形 2.(2019山东临沂质检，6)点A ，B分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a 〉b 〉0)的左、右顶点,F为右焦点，C 为短轴上不同于原点O 的一点，D 为OC 的中点，直线AD 与BC 交于点M ，且MF ⊥AB ，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C 。

√23D.√323.（2019福建福州八县(市）联考，7）椭圆x 225+y216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2,过F 1的一条直线与椭圆交于A ,B 两点,若△ABF 2的内切圆面积为π，且A （x 1,y 1)，B （x 2，y 2)，则｜y 1—y 2｜=（ )A.√53B 。

103C.203D.534。

已知椭圆C ：x 29+y 25=1，若直线l 经过M (0,1),与椭圆交于A ,B 两点,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则直线l 的方程为（ )A 。

y=±12x+1 B 。

y=±13x+1 C.y=±x+1D 。

y=±23x+15。

（2019河南八市重点高中联考,9）已知F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 24=1（a>2)的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF 1F 2的面积为4√3,则椭圆C 的离心率的取值范围为( ） A 。

(0,12) B.(12,1)C.(0,√32) D 。

(√32,1)6。

(2019河北衡水中学高三模拟二,15）如图所示，A ,B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点,OC 的延长线交椭圆于点M ,且|OF|=√2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为 .7。

高中数学选修一3.1.2 椭圆(第二课时)(精练)(解析版)

高中数学选修一3.1.2 椭圆(第二课时)(精练)(解析版)

3.1.2 椭圆【题组一 直线与椭圆的位置关系】1．（2020·全国高二课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ）A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】直线2244mx ny x y +=+=和圆22202m n >∴<+<点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆22m n +=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2个2．（2018·全国高二课时练习）如果过点M(-2,0)的直线l 与椭圆2x 2+y 2=1有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．-∞⎛ ⎝⎦B ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭C ．11-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦【答案】D【解析】设过点M （-2，0）的直线l 的方程为y=k （x+2），联立()22212y k x x y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩＝ ，得（2k 2+1）x 2+8k 2x+8k 2-2=0， ∵过点M （-2，0）的直线l 与椭圆2212x y +=有公共点，∴△=64k 4-4（2k 2+1）（8k 2-2）≥0，整理，得k 2≤12解得-k 22≤≤∴直线l 的斜率k的取值范围是⎡⎢⎣⎦ 故选：D 3．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆2244x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数m 的取值范围是____________.【答案】2525≤≤-m 【解析】由2241{x y y x m+==+，得225210x mx m ++-=．因为直线与椭圆有公共点，所以()2242010m m ∆=--≥，即254m ≤，解得2525≤≤-m ． 4．当m 取何值时，直线:L y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离． 【答案】详见解析【解析】将y x m =+代入22916144x y +=中，化简得222532161440x mx m ++-=，其判别式257614400m ∆=-+.当>0∆，即55m -<<时，直线和椭圆相交，当0∆=，即5m =±时，直线和椭圆相切.当∆<0，即5m >或5m <-时，直线和椭圆相离. 【题组二 弦长】1．（2019·广西百色田东中学高二期中（文））椭圆22416+=x y 被直线112y x =+截得的弦长为________.【解析】由22416112x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并化简得2260,x x +-= 设直线与椭圆的交点为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则1212x 2,6,x x x +=-=-所以弦长12MN x =-=.2．（2020·辽宁葫芦岛高二期中（文））已知椭圆2241x y +=及直线:l y x m =+．（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线l 的方程．【答案】（1）,22⎡-⎢⎣⎦；（2；此时:l y x = 【解析】（1）将直线方程与椭圆方程联立得：()2241x x m ++=即：225210x mx m ++-=直线和椭圆有公共点 ()2242010m m ∴∆=--≥，解得：m ⎡∈⎢⎣⎦（2）由（1）可知，直线与圆相交时，>0∆，即22m ⎛∈- ⎝⎭设直线与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y则1225m x x +=-，21215m x x -=AB ∴==当0m =时，()2max545m-=，则max5AB= ∴直线被椭圆截得的最长弦长为5；此时:l y x =3（2020·武威市第六中学高二月考（理））点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>一点，F 为椭圆C 的一个焦点，||PF1-1．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y x m =+被椭圆C ，求m 的值 【答案】（1）2212x y +=；（2）1m =±【解析】（1）由点P 是椭圆2222:?1(0)x y C a b a b+=>>一点，F 为椭圆C 的一个焦点，||PF 的11．可得11a c a c ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b =，所以椭圆方程为：2212x y +=.（2）设直线y x m =+与曲线C 的交点分别为()()1122M x ,y ,N x ,y联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234220x mx m ++-=, ()222Δ1612222480m m m =--=->,即m << 又21212422,33m m x x x x --+==，MN ==22242244333m m --⎛⎫⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得2880m -=，∴1m =±，符合题意.综上，1m =±.4.（2020·四川双流中学）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上短轴长为2，过左顶点A 的直线l 与椭圆交于另一点B . （1）求椭圆C 的方程； （2）若43AB =，求直线l 的倾斜角. 【答案】（1）2212x y +=；（2）45或135.【解析】（1）由题意的222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，则1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩2212x y +=.（2）由题意直线的斜率存在，因为左顶点为1sin 62x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 设直线l 的方程为()2y k x =+，代入椭圆方程，得到()222221420kx x k +++-=，因为一个根为1x =2x =，则1243AB x =-==， 化简2870k k --=，即21k =，1k =±，则倾斜角45或135.5．（2019·四川高二期末（文））已知椭圆()222:220C x y b b +=>.（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且3AB =，求AOB ∆的面积.【答案】（1）e =；（2.【解析】（1）椭圆()2222:102x y C b b b+=>，∴椭圆长半轴长为a =，短半轴长为b ，2c e a ∴====；（2）设斜率为1的直线l 的方程为y x m =+，且()11,A x y 、()22,B x y ，1b =，∴椭圆C 的方程为22:22x y +=，由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，.消去y 得2234220x mx m ++-=，又有1221243223m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩.12AB x ∴=-===3=，解得：214m =满足>0∆，∴直线l 的方程为102x y -±=. 故O到直线的距离14d ==，11223412AOE S AB d ∆∴=⋅=⨯=. 【题组三 点差法】1．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．24x y += C ．2314x y += D ．28x y +=【答案】D【解析】设过点A 的直线与椭圆相交于两点，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则有22111369x y +=①，22221369x y +=②，①﹣②式可得：()()()()121212120369x x x x y y y y -+-++=又点A 为弦EF 的中点，且A （4，2），∴x 1+x 2=8，y 1+y 2=4，∴836（x 1﹣x 2）﹣49（y 1﹣y 2）=0 即得k EF =121212y y x x -=--∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y ﹣2=﹣12（x ﹣4），即x+2y ﹣8=0．故选：D ． 2．（2020·湖北宜都二中高二期末（理））椭圆221169x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ） A ．932-B ．9 32C ．9 64D ．9 16【答案】A【解析】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()121212120169x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()12121212 169x x x x y y y y +-+-=-，即()()()()12121212916x x y y y y x x +--=+-，即121292164y y x x -⨯-=⨯-，即12129 32y y x x -=--，∴弦所在的直线的斜率为932-，故选A.3．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为13-的直线l 被椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>截得的弦恰被点(1,1)M 平分，则C 的离心率是______．. 【解析】设直线l 与椭圆的交点为1122(,),(,)A x y B x y因为弦恰被点(1,1)M 平分，所以12122,2x x y y +=+=由2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+= 化简可得：212212y y b x x a -=--，因为直线l 的斜率为13-，所以21221213y y b x x a -=-=-- 即2213b a =所以离心率e ==4．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2(O 为原点)，则k 1·k 2的值为________. 【答案】－12【解析】设直线l 的方程为：1(2)y k x =+，由122(2)21y k x x y =+⎧⎨+=⎩，整理得 ：2222111(12)8810k x k x k +++-=，所以211221812k x x k -+=+，2112218112k x x k -=+，所以1121112112214(2)(2)(4)12k y y k x k x k x x k +=+++=++=+，所以211221142(,)1212k k P k k -++，12122112121214212k k k k k k -+==--+，所以1212k k =-5．（2019·甘肃兰州一中高二期末（理））椭圆221(0,0)ax by a b +=>>与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段ABb a 的值为( )【答案】A【解析】把y ＝1﹣x 代入椭圆ax 2+by 2＝1得ax 2+b （1﹣x ）2＝1， 整理得（a +b ）x 2﹣2bx +b ﹣1＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 22b a b =+，y 1+y 2＝22ba b-+， ∴线段AB 的中点坐标为（b a b +，aa b+）， ∴过原点与线段AB 中点的直线的斜率k 2aa ab b b a b+===+．∴b a =．故选：A ． 6．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆(22212x y a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为－2的直线与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则a 的值是______. 【答案】2【解析】椭圆(22212x y a a +=>，所以焦点在x 轴上11 / 11 因为过左焦点1F 作的直线斜率为－2， P 是AB 的中点，设00(,)P x y ，1122(,),(,)A x y B x y将A 、B 坐标代入椭圆方程，可得22112222221212x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减，化简得 ()()1212212122x x y y a y y x x +--=+-，即0202x k a y -= 进一步化简得0202y k a x -=⨯，代入22124a -=-⨯解得a=2。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。

【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。

2020版高考数学 47 椭圆的定义、标准方程及其性质 理(含解析)新人教A版

2020版高考数学 47 椭圆的定义、标准方程及其性质 理(含解析)新人教A版

课后限时集训（四十七）椭圆的定义、标准方程及其性质（建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A。

错误!B．（1,＋∞)C．(1，2) D.错误!C [由题意得错误!解得1＜k＜2.故选C。

]2．（2018·惠州二模)设F1，F2为椭圆x29＋错误!＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则错误!的值为( ）A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!D ［如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，｜PF2|＝错误!＝错误!，｜PF1｜＝2a－｜PF2｜＝错误!，错误!＝错误!,故选D.］3.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!A [由题意得2a＝错误!＝8错误!(cm),短轴长即2b为底面圆直径12 cm，∴c＝错误!＝2错误!cm，∴e＝错误!＝错误!。

故选A.］4．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( )A．1 B.错误!C．2 D．2错误!D [设a，b,c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，错误!×2cb＝1⇒bc＝1，2a＝2错误!≥2错误!＝2错误!，当且仅当b＝c ＝1时，等号成立．故选D.］5．已知A（－1,0)，B是圆F:x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为( ) A.错误!＋错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C.x23－错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1D ［由题意得｜PA|＝|PB｜，∴|PA|＋｜PF|＝｜PB｜＋|PF｜＝r＝23＞｜AF｜＝2，∴点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆，且a ＝错误!，c＝1，∴b＝错误!，∴动点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝1，故选D.]二、填空题6．(2018·全国卷Ⅰ改编）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1的一个焦点为（2,0），则C的离心率为________．错误![由题意可知a2－4＝4，∴a2＝8,即a＝2错误!。

高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文(含解析)新人教A版

高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文(含解析)新人教A版

高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文（含解析）新人教A 版9-5 椭圆课时作业A 组——基础对点练1．已知直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点．若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【答案】B2．(2019·武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 【答案】B3．(2019·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59【答案】B4．(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3 C.3－12D.3－1 【答案】D5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A .35B.12C.23D.34【答案】A6．以F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 【答案】C7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为__________．【答案】x 216＋y 24＝1 8．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为__________．【答案】249．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)． (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点． 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程．(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．B 组——能力提升练1．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)【答案】A2．由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆x 2c 2＋y 2b2＝1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0.由右椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的焦点F 0和左椭圆x 2c 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)的焦点F 1，F 2确定的△F 0F 1F 2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(x ≥0)的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，33 【答案】C3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．【答案】x ＋2y －3＝04．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．【答案】6＋ 2 6－ 25．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程．(2)求m的取值范围．。

2023年高考数学微专题练习专练51椭圆含解析理

2023年高考数学微专题练习专练51椭圆含解析理

专练51 椭圆命题范围：椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质．[基础强化]一、选择题1．椭圆x 216＋y 26＝1上一点M 到其中一个焦点的距离为3，则点M 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长为( )A ．23B ．43C ．6D ．123．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b4．动点P 到两定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 216＋y 29＝1B ．x 225＋y 29＝1C ．x 225＋y 216＝1D ．x 2100＋y 236＝1 5．已知椭圆的长轴长为8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 216＋y 29＝1 B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C ．x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 6．曲线x 225＋y 29＝1与x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．[2021·全国乙卷]设B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是( )A ．[22，1) B ．[12，1) C ．(0，22] D ．(0，12] 8．[2022·西宁一中高三测试]设椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32C ．32D ．6或3 9．[2022·陕西省高三三模]我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x ＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a ＞b ＞c ＞0).如图所示，设点F 0、F 1、F 2是相应椭圆的焦点，A 1、A 2和B 1、B 2是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1B ．3，1C ．5，3D ．5，4 二、填空题10．[2021·全国甲卷]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．[能力提升]13．[2022·全国甲卷(理)，10]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( )A.32B.22C.12D.1314．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知F 1，F 2，B 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点、右焦点、上顶点，连接BF 2并延长交C 于点P ，若△PF 1B 为等腰三角形，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．33D ．2215．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．16．[2022·安徽省蚌埠质检]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB 的中点为M (1，1)时，直线l 的方程为________． 专练51 椭圆1．D ∵a ＝4，由椭圆的定义知，M 到另一个焦点的距离为2a －3＝2×4－3＝5. 2．B 由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.3．B 由题意得，c a ＝12，∴c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，∴4b 2＝3a 2.故选B.4．B 依题意，动点P 的轨迹是椭圆，且焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由c ＝4，2a ＝10，即a ＝5，得b ＝a 2－c 2＝3，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1. 5．B ∵2a ＝8，∴a ＝4，e ＝c a，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. 6．D ∵c 2＝25－k －(9－k )＝16，∴c ＝4， ∴两曲线的焦距相等．7．C 解法一 依题意，B (0，b )，设P (a cos θ，b sin θ，θ∈[0，2π)，因为|PB |≤2b ，所以对任意θ∈[0，2π)，(a cos θ)2＋(b sin θ－b )2≤4b 2恒成立，即( a 2－b 2)sin 2θ＋2b 2sin θ＋3b 2－a 2≥0对任意θ∈[0，2π)恒成立．令sin θ＝t ，t ∈[－1，1]，f (t )＝(a2－b 2)t 2＋2b 2t ＋3b 2－a 2，则原问题转化为对任意t ∈[－1，1]，恒有f (t )≥0成立．因为f (－1)＝0，所以只需－2b 22（a 2－b 2）≤－1即可，所以2b 2≥a 2，则离心率e ＝1－b 2a 2≤22，所以选C.解法二 依题意，B (0，b )，设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则|y 0|≤b ，x 20 a 2＋y 2b 2＝1，可得x 2＝a 2－a 2b 2y 20 ，则|PB |2＝x 20 ＋(y 0－b )2＝x 20 ＋y 20 －2by 0＋b 2＝－c 2b2y 20 －2by 0＋a 2＋b 2≤4b 2.因为当y 0＝－b 时，|PB |2＝4b 2，所以－b 3c 2≤－b ，得2c 2≤a 2，所以离心率e ＝c a ≤22，故选C.8．C 由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，若P 为短轴的顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2为等边三角形， ∴∠P 不可能为直角，若∠F 1＝90°，则|PF 1|＝b 2a ＝32，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝32.同理∠F 2＝90°时，S △PF 1F 2＝32，故选C.9．A 由题意知，a 2－b 2＝(32)2＝34，b 2－c 2＝(12)2＝14，∴a 2－c 2＝1.又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝1，b ＝1.∴a 2＝74，a ＝72.10．8解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8.11.35解析：由题意知，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b ，整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝35或e ＝－1(舍去).12．3解析：∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2＝90°，又S △PF 1F 2＝b 2tan45°＝9，∴b ＝3.13．A 设P (x 1，y 1)，则点Q 的坐标为(－x 1，y 1).由题意，得点A (－a ，0).又直线AP ，AQ 的斜率之积为14，所以y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝14，即y 21 a 2－x 21 ＝14①.又点P 在椭圆C 上，所以x 21 a 2＋y 21 b 2＝1②.由①②，得b 2a 2＝14，所以a 2＝4b 2，所以a 2＝4(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝32.故选A. 14．C 由椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 由椭圆的对称性，得|BF 1|＝|BF 2|＝a ， 设|PF 2|＝m ，则|BP |＝a ＋m ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －m ， 因为△PF 1B 为等腰三角形，所以|BP |＝|PF 1|， 即a ＋m ＝2a －m ，得m ＝a2，所以|PF 2|＝a 2，|BP |＝|PF 1|＝3a2，在△BF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠BF 2F 1＝a 2＋4c 2－a 22a ·2c ＝ca，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠BF 2F 1＝（a 2）2＋4c 2－（3a 2）22·2c ·a 2＝2c 2－a2ac，又∠BF 2F 1＋∠PF 2F 1＝π，所以cos∠BF 2F 1＋cos∠PF 2F 1＝0，即c a ＋2c 2－a 2ac＝0，整理，得3c 2＝a 2， 所以e 2＝13，由e ∈(0，1)，得e ＝33.15．[22，1) 解析：设P 0为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的上顶点，由题意得∠F 1P 0F 2≥90°，∴∠OP 0F 2≥45°，∴c a ≥sin45°，∴e ≥22， 又0<e <1，∴22≤e <1. 16．x ＋2y －3＝0解析：由题可知直线AB 的斜率存在；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于点A ，B 都在椭圆上，所以x 21 a 2＋y 21 b 2＝1 ①，x 22 a 2＋y 22b 2＝1(a ＞b ＞0) ②，①－②，化简得－b 2a 2＝y 21 －y 22 x 21 －x 22；又因为离心率为22，所以1－b 2a 2＝22， 所以b 2a 2＝12，即y 21 －y 22 x 21 －x 22 ＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝－12； 又线段AB 的中点为M (1，1)，所以（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）2（x 1－x 2）（x 1＋x 2）2＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以直线AB 的斜率为－12，故所求直线l 的方程为y ＝－12(x －1)＋1，即x ＋2y －3＝0.。

高考数学专题《椭圆》习题含答案解析

高考数学专题《椭圆》习题含答案解析

专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ）ABC ．D ．【答案】B 【解析】，选B ．2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=2359e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=.故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得x =，所以1,3A c ⎫⎪⎪⎭把点A 代入椭圆方程得到22221331c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析．【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，或1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =．则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+>，43-，∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围.【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b+（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-．从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=．再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤．同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<，故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，=∴10AM MF +≤+当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为10．9．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>，且点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】（1）由e =得：12c b a ==，，又点(21)A ，在椭圆上，所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =，因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-，与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD =10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，①又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>，由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△即12F PF △1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．C．⎫⎪⎪⎭D．⎫⎪⎭【答案】C练提升【分析】若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin b aα=求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 45b a α=≤︒=222a c ≤，∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎭．故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠，∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立，在2AFF V 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF emn mn mn a +-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤．故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.1 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q为短轴的端点，故离心率πcos 4c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B = ，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.和5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．.【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ，根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12F PF ∆中，由余弦定理，可得：2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ，整理得2221243=+c a a ，所以22121134+=e e ，又2212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH（H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y，所以点0⎫⎪⎭H y 由λ=HQ PH ，所以λ=HQPH0⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ HQ x y y，0,0⎫=⎪⎭PH x 又λ= HQ PH，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x所以00x y y==由220014x y +=221=y 则点Q221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥所以234e ≥，则e ≥，又1e <所以⎫∈⎪⎪⎭e故答案为：⎫⎪⎪⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得.【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围.【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ，如图所示：A 、B 、C 、D 四点，此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角，所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==.因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y+=的两个焦点，P是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值．【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y +=，由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-，∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6+②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN = ，求直线n 的斜率.【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，结合MN =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C，原点O 到直线0bx cy bc +-=，所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c ==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++.因为MN =，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.练真题1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由得，，1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒AP 222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=由正弦定理得,所以，故选D.3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．4.（2019·全国高考真题（文））设为椭圆的两个焦点，为上2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠22214,π54sin(3c a c e a c =∴==+121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,223611n n +=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=12F F ，22:+13620x y C =M C一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：a；（2）若点9,10M ⎛ ⎝在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【详解】12MF F △M (2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△12014,42MF F S y =⨯=∴=△0y =20136x ∴=03x =03x =-M \(（1）c e a =====b a ∴=a ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝，可得b >设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】（Ⅰ） 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ） 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。

人教版高中数学选择性必修一讲义3.1.1 椭圆(第一课时)(精练)(解析版)

人教版高中数学选择性必修一讲义3.1.1 椭圆(第一课时)(精练)(解析版)

3.1.1 椭圆【题组一 椭圆的定义】1．（2020·全国高三其他（理））已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -,P 是动点,且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠,设点P 的轨迹为C .① 存在常数(0)a a ≠,使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值; ② 存在常数(0)a a ≠,使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值; ③ 不存在常数(0)a a ≠,使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值; ④ 不存在常数(0)a a ≠,使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 【正确答案】②④【详细解析】设点P 的坐标为:P （x ,y ）, 依题意,有:33y ya x x ⨯=+-, 整理,得:22199x y a-=,对于①,点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆,且c ＝4,a ＜0,椭圆在x 轴上两顶点的距离为6,焦点为:2×4＝8,不符; 对于②,点的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆,且c ＝4,椭圆方程为:22199y x a +=-,则9916a --=,解得:259a =-,符合;对于③,当79a =时,22197x y -=,所以,存在满足题意的实数a ,③错误;对于④,点的轨迹为焦点在y 轴上的双曲线,即22199y x a +=-,不可能成为焦点在y 轴上的双曲线, 所以,不存在满足题意的实数a ,正确. 所以,正确命题的序号是②④.2．（2018·福建高二期末（理））已知△ABC 的周长为20,且顶点B （0,﹣4）,C （0,4）,则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【正确答案】B【详细解析】∵△ABC 的周长为20,顶点B （0,﹣4）,C （0,4）, ∴BC ＝8,AB +AC ＝20﹣8＝12,∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值,∴点A 的轨迹是椭圆, ∵a ＝6,c ＝4∴b 2＝20,∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B ．3．（2020·全国高三其他（文））已知椭圆2212516x y +=,()3,0A ,()2,1B -,点M 是椭圆上的一动点,则MA MB +的最小值为（ ）A ．6B ．10C ．11D ．12-【正确答案】B【详细解析】由题意知A 为椭圆的右焦点,设左焦点为1F ,由椭圆的定义知110MF MA +=, 所以110MA MB MB MF +=+-. 又11MB MF BF -≤,如图,设直线1BF 交椭圆于1M ,2M 两点.当M 为点1M 时,1MB MF -最小,最小值为10故选:B4．（2019·湖北襄阳。

2021年高考数学考点50椭圆必刷题理含解析

2021年高考数学考点50椭圆必刷题理含解析

考点50 椭圆1．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是A． B． C． D．【答案】B2．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】B【解析】的焦点坐标为，离心率为，，椭圆，，，得，，为直角三角形，故选B.3．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为( )A． B． C． D．【答案】A4．已知点P（x0，y0）（x0≠）在椭圆C：（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM （O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．（0，）【答案】C5．已知双曲线的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，直线过点与双曲线交于两点，若，且，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题，6．已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D7．已知椭圆的中心在原点，直线与坐标轴的交点是椭圆的两个顶点. （1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上的两点，且满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为与轴交点为，与轴交点为，又直线与坐标轴交点为椭圆的顶点，所以椭圆的顶点为，，故所求椭圆方程为8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求以为圆心与直线l相切的圆的方程．【答案】（1）（2）.【解析】（1）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为，所以，所以，又，9．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为：．（2）当直线斜率不存在时，，或，，此时弦长．当直线斜率存在时，设的方程为：，10．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0【答案】B【解析】由题意知：>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2．故选B．2.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()A．B．C．D．4【答案】A【解析】a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝．3.椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知△ABF为直角三角形，其中|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由勾股定理，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2＝2a2＋a2－c2，整理得c2＋ac－a2＝0，同除a2得e2＋e－1＝0，∴e＝，∵e∈(0,1)，∴e＝．4.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上焦点是F1，过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A，B两点，已知A(，)．(1)求椭圆E的方程；(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点，求C点的坐标．【答案】（1）＋x2＝1 （2）(，－)【解析】(1)由A(，)和P(3,4)可求直线PF1的方程为y＝x＋1．令x＝0，得y＝1，即c＝1．椭圆E的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，由椭圆的定义可知．2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2．∴a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋x2＝1．(2)设与直线PF1平行的直线l：y＝x＋m．，消去y得3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)＝0，即m2＝3，∴m＝±．要使点C到直线PF1的距离最远，则直线l要在直线PF1的下方，所以m＝－．此时直线l与椭圆E的切点坐标为(，－)，故C(，－)即为所求．5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.【答案】（1）；（2），或..【解析】（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，即可求出的方程；（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，因由题意知，所以，将韦达定理得到的结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，故方程为.（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，又是方程的根，因此，由得因由题意知，所以，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.6.已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）圆上存在两个不同点，满足..【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，考查学生的数形结合思想.第一问，利用直线方程得到椭圆的左焦点坐标，再结合离心率，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由已知弦长为，则由垂径定理得到圆的半径，从而得到圆的标准方程，利用两点间的距离公式得到和，代入已知中，得到P点的轨迹方程为圆，利用两个圆的位置关系判断两个圆相交，所以存在点P.因为直线的方程为，令，得，即 1分∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为. ４分（2）∵圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，∴由垂径定理得，故圆的方程为. ８分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。

第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为082b，长轴长为092a焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝122c对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14原点离心率e＝ca(0<e<1)a，b，c的关系15a2＝b2＋c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)y2 m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，B 1，B 2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB 1B 2的面积为6，则满足条件的点P 的个数为()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，则短轴|B 1B 2|＝2b ＝6，设椭圆上点P 的坐标为(m ，n )，由△PB 1B 2的面积为6，得12|B 1B 2|·|m |＝6，解得m ＝±2，将m ＝±2代入椭圆方程，得n ＝±332，所以符合题意的点P ，22，共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8，则点M 的轨迹方程为________________．答案x 212＋y 216＝1解析因为x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8>4，所以点M 的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，由题意得2a ＝8，即a ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝12，所以点M 的轨迹方程为x 212＋y 216＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以ca＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 29＋y 25＝1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，故所求的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.【通性通法】在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【巩固迁移】1．△ABC 的两个顶点为A (－3，0)，B (3，0)，△ABC 的周长为16，则顶点C 的轨迹方程为()A ．x 225＋y 216＝1(y ≠0)B ．y 225＋x 216＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题意，知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故顶点C 的轨迹为以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.其方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案43解析因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝43.(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析解法一：由题意，知c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，∴|PF 1||PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×163×32＝433解法二：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝4tan30°＝433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【巩固迁移】2．(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A ．25B ．302C ．35D ．352答案B解析解法一：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1||PF 2|＝152，|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，而PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO |＝|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|，即|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|＝12|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝1221＋2×152×35＝302.故选B.解法二：设∠F 1PF 2＝2θ，0＜θ＜π2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2＝cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝35，解得tan θ＝12.由椭圆的方程可知，a 2＝9，b 2＝6，c 2＝a 2－b 2＝3，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y P |＝12×23×|y P |＝6×12，解得y 2P ＝3，所以x 2P ＝＝92，因此|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝3＋92＝302.故选B.解法三：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO |)2＋|F 1F 2|2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝42，易知|F 1F 2|＝23，解得|PO |＝302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，点M ，N 在C 上，若|MF 2|＋|NF 2|＝6，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A ．9B ．20C ．25D ．30答案C解析根据椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝8，|NF 1|＋|NF 2|＝8，因为|MF 2|＋|NF 2|＝6，所以8－|MF 1|＋8－|NF 1|＝6，即|MF 1|＋|NF 1|＝10≥2|MF 1|·|NF 1|，当且仅当|MF 1|＝|NF 1|＝5时，等号成立，所以|MF 1|·|NF 1|≤25，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中，结合|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．【巩固迁移】3．(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆的右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2或最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为()A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 26＝1D ．x 25＋y 24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－3)，且与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．答案x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1解析椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是e ＝12，当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋3b 2＝1，2＝8，2＝6，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1；当焦点在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋4b 2＝1，2＝253，2＝254，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.【通性通法】1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【巩固迁移】4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的两个焦点，若P |PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，解得a＝2.又P C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以1222＋1，解得b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，则该椭圆的方程为________________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定() A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相同的离心率答案B解析由椭圆x225＋y29＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆x225－k＋y29－k1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝25－k，b1＝9－k，c1＝4，所以其长轴长是225－k，短轴长是29－k，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为()A．2B．23C．233D．4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a 2－c 2＝3c 2，所以b ＝3c ，故2a 2b ＝a b ＝2c 3c ＝233，所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1的长轴长为43，则其焦距为________．答案6解析由题意，得2a ＝43，所以a 2＝12，c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，解得c ＝3，故焦距2c ＝6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．答案33解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x＝c ，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为，因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，又|AF 1|＝|BF 1|，则△AF 1B 为等边三角形．解法一：由|F 1F 2|＝3|AF 2|，可知2c ＝3·b 2a ，即3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．解法二：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |＝43a ，又|AF 1|sin60°＝|F 1F 2|，所以43a ×322c ，解得c a ＝33，即e ＝33.解法三：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AB |＝|AF 1|＝|BF 1|＝43a ，即2b 2a ＝43a ，即2a 2＝3b 2，所以e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．解法一：设M (x 0，y 0)，MF 1→·MF 2→＝0⇒(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝0⇒x 20－c 2＋y 20＝0⇒y 20＝c2－x 20，点M (x 0，y 0)在椭圆内部，有x 20a 2＋y 20b 2<1⇒b 2x 20＋a 2(c 2－x 20)－a 2b 2<0⇒x 20>2a 2－a 4c2，要想该不等式恒成立，只需2a 2－a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e ＝c a <22，而e >0⇒0<e <22，即椭圆离心解法二：由MF 1→·MF 2→＝0，可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上，即圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，所以c <b ，则c 2<b 2，即c 2<a 2－c 2，所以2c 2<a 2，即e 2<12，又e >0，所以0<e <22，【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解方法三构造a ，c 的齐次式，可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．【巩固迁移】8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．6答案A解析由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.9．(2024·广东六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．答案33，解析设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2，得|PF 2|＝|F 1F 2|，即2c ，得m 2＝4c 2＝－a 4c2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1，即椭圆离心率的取值范围是33，考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案3解析由题意知，圆E 的圆心为E (1，0)，半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ，所以NE ⊥MN ，且|NE |＝1.又E (1，0)为椭圆C 的右焦点，所以2≤|ME |≤4，所以当|ME |＝2时，|MN |取得最小值，又|MN |＝|ME |2－|NE |2，所以|MN |min ＝22－12＝ 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意，知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1．已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为()A ．x 29＋y 2＝1B ．y 29＋x 25＝1C ．y 29＋x 2＝1D ．x 29＋y 25＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.故选D.2．(2024·九省联考)椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为12，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．2答案A解析由题意得e ＝a 2－1a＝12，解得a ＝233.故选A ．3．(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案B解析由9x 2＋4y 2＝36，可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e k 的取值范围是()A ．(0，3)BC ．(0，3)D ．(0，2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件，知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件，知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.5．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部，且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1答案D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，因为圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切，所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r .因为|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，知M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D.6．(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．1B ．2C ．4D ．5答案B解析解法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan45°＝1＝12|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.解法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.7．(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF周长的最大值为()A ．4＋5B ．6C ．25＋2D ．8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8.8．(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，Q 为C 上两点，2PF 2→＝3F 2Q →，若PF 1→⊥PF 2→，则C 的离心率为()A ．35B ．45C ．135D ．175答案D解析设|PF 2→|＝3m ，则|QF 2→|＝2m ，|PF 1→|＝2a －3m ，|QF 1→|＝2a －2m ，|PQ |＝5m ，在△PQF 1中，得(2a －3m )2＋25m 2＝(2a －2m )2，即m ＝215a .因此|PF 2→|＝25a ，|PF 1→|＝85a ，|F 2F 1→|＝2c ，在△PF 1F 2中，得6425a 2＋425a 2＝4c 2，故17a 2＝25c 2，所以e ＝175.故选D.二、多项选择题9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下列说法中正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件答案CD解析对于A ，当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，－k >0，－1>0，－1>4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，－1>0，－k >0，－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，D 正确．故选CD.10．(2024·海口模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6，为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，|AB |的取值范围是6)，∴△周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，解得－332，又F (6，0)，∴AF →·BF →＝0，∴AF ⊥BF ，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF＝12×26×1＝6，D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案14解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m ，b ＝1，所以1m＝2，m ＝14.12．(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，c ＝22－2，＝22，＝22，＝2，从而a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.13．(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，下顶点为A ，AF 的延长线交C 于点B ，若|AF |∶|BF |＝2∶1，则C 的离心率为________．答案33解析解法一：如图，设椭圆C 的右焦点为F ′，则|AF |＝|AF ′|＝a ，因为|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BF |＝a 2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3a 2，又|BF |＋|BF ′|＝2a ，所以|BF ′|＝2a －|BF |＝3a2，由余弦定理可知cos ∠BAF ′＝|AB |2＋|AF ′|2－|BF ′|22|AB ||AF ′|＝13，设O 为坐标原点，椭圆C 的焦距为2c ，则离心率e ＝ca ＝sin ∠OAF ′，因为∠BAF ′＝2∠OAF ′，故cos ∠BAF ′＝1－2sin 2∠OAF ′＝1－2e 2，所以e ＝33.解法二：设B 在x 轴上的射影为D ，由于|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BD |＝|OA |2＝b 2，|FD |＝|OF |2＝c 2，即－3c 2，将B 的坐标代入C 的方程，得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，得e ＝33.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案[1，4]解析由已知，得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝2a|PF 1|（2a －|PF 1|）＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4]．四、解答题15．(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 1P C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (0，－1)，点M 是椭圆C 上任意一点，求|MA |的最大值．解(1)因为P 3，P 4关于坐标轴对称，所以P 3，P 4必在椭圆C 上，有1a 2＋34b 2＝1，将点P 1(1，1)代入椭圆方程得1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2＝1，所以P 1(1，1)不在椭圆C 上，P 2(0，1)在椭圆C 上，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A (0，－1)是椭圆C 的下顶点，设椭圆上的点M (x 0，y 0)(－1≤y 0≤1)，则x 204＋y 20＝1，即x 20＝4－4y 20，所以|MA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＝4－4y 20＋(y 0＋1)2＝－3y 20＋2y 0＋5＝－0＋163，又函数y ＝－＋163在∞，＋，所以当y 0＝13时，|MA |2取到最大值，为163，故|MA |的最大值为433.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的标准方程．解(1)由题意，得A (－a ，0)，直线EF 2的方程为x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝ca ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝（2c ）2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②，得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.17．(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆CD ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以b ＞1，2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 所以C 正确；由PF 1→＝F 1Q →可得，F 1为PQ 的中点，而P (1，1)，F 1(－1，0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝（－3＋1）2＋（－1－0）2＋（－3－1）2＋（－1－0）2＝5＋17＝2a ，所以D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是()A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程，知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2的最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则k P A 1＝y ′x ′＋4，k P A 2＝y ′x ′－4，有k P A 1·k P A 2＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有k P A 1·k P A 2＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确．故选CD.19．(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，BP →＝2PO →，△BMN 的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解如图，由题意可得|BP |＝23b ，|PO |＝13b ，连接PF .由题意可知|BP |＝|PF |，在Rt △POF 中，由勾股定理，得|PO |2＋|OF |2＝|PF |2，＋c 2，整理得b 2＝3c 2，所以a 2－c 2＝3c 2，即a 2＝4c 2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.在Rt △BOF 中，cos ∠BFO ＝|OF ||BF |＝c a ＝12，所以∠BFO ＝60°.设直线MN 交x 轴于点F ′，交BF 于点H ，在Rt △HFF ′中，有|FF ′|＝|HF |cos ∠BFO ＝a ＝2c ，所以F ′为椭圆C 的左焦点，又|MB |＝|MF |，|NB |＝|NF |，所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长，又△FMN 的周长为4a ，所以4a ＝16，解得a ＝4.所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.20．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12.又因为0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是12，(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。

北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质练习(含答案)

北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质练习(含答案)

北师大版2021版高考数学（理）一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质练习[基础题组练]1．(2020·河北衡水二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，则ab＝( )A.98 B ．322C.43D ．324解析：选D.因为e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝13，所以8a 2＝9b 2，所以a b ＝324.故选D. 2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. 因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选A.由|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.4．设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1 B ．5－12C.22D ．2＋1解析：选A.不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，因为△PF 1F 2为直角三角形，所以PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝22c ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，所以椭圆E 的离心率e ＝2－1.故选A.5．(2020·江西赣州模拟)已知A ，B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两点，且A ，B 关于坐标原点对称，F 是椭圆的一个焦点，若△ABF 面积的最大值恰为2，则椭圆E 的长轴长的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.如图所示，设直线AB 的方程为ty ＝x ，F (c ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x 2a 2＋y 2b2＝1可得y 2＝a 2b 2b 2t 2＋a 2＝－y 1y 2，所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c （y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝c a 2b 2b 2t 2＋a 2≤cb ，当t ＝0时取等号．所以bc ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4，a ≥2.所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.故选D.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)7．(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．解析：设椭圆的长半轴长为a 千米，半焦距为c 千米，月球半径为r 千米．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝100＋r ，a －c ＝15＋r ，解得2c ＝85.即椭圆形轨道的焦距为85千米． 答案：858．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋（－4）2≥45，所以1≤b <2.又e ＝c a ＝1－b 2a2＝1－b 24，所以0<e ≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 9．已知F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2.(1)求△ABF 2的周长；(2)若AF 2⊥BF 2，求△ABF 2的面积．解：(1)因为F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2. 所以△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝4 2. (2)设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 2＋2y 2＝2，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 因为AF 2⊥BF 2，所以F 2A →·F 2B →＝0， 所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(my 1－2)(my 2－2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－m 2－1m 2＋2－2m ×2m m 2＋2＋4 ＝－m 2＋7m 2＋2＝0. 所以m 2＝7.所以△ABF 2的面积S ＝12×|F 1F 2|×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝89.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(3，0)，离心率为e .(1)若e ＝32，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22<e ≤32，求k 的取值范围． 解：(1)由题意得c ＝3，c a ＝32，所以a ＝2 3.又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k 2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为矩形，所以AF 2⊥BF 2.因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)， 所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0.即－a 2（a 2－9）（1＋k 2）a 2k 2＋（a 2－9）＋9＝0，将其整理为k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2. 因为22<e ≤32，所以23≤a <32，12≤a 2<18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.[综合题组练]1．设椭圆：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ，O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为( )A.12 B ．13 C.14 D ．15解析：选B.如图，设点M 为AC 的中点，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且|OF ||FA |＝|OM ||AB |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.故选B. 2．(2020·福建福州一模)已知F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是△F 1PF 2内切圆的圆心，过F 1作F 1M ⊥PK 于点M ，O 是坐标原点，则|OM |的取值范围为( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，3)D ．(0，23)解析：选C.如图，延长PF 2，F 1M 相交于N 点，因为K 点是△F 1PF 2内切圆的圆心，所以PK 平分∠F 1PF 2， 因为F 1M ⊥PK ，所以|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点， 因为O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，所以|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||<12|F 1F 2|＝c ＝3，所以|OM |的取值范围是(0，3)． 故选C.3．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若AF 1⊥AF 2，S △F 1AF 2＝2，则椭圆C 的方程为________．解析：因为点A 在椭圆上，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，对其平方，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝4a 2，又AF 1⊥AF 2，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，则2|AF 1||AF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，即|AF 1||AF 2|＝2b 2，所以S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|＝b 2＝2.又△AF 1F 2是直角三角形，∠F 1AF 2＝90°，且O 为F 1F 2的中点，所以|OA |＝12|F 1F 2|＝c ，由已知不妨设A 在第一象限，则∠AOF 2＝30°，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，则S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·12c ＝12c 2＝2，c 2＝4，故a 2＝b 2＋c 2＝6，所以椭圆方程为x 26＋y 22＝1.答案：x 26＋y 22＝14．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设正方形的边长为2m ，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m >c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝（5－1）24，所以0<e <5－12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 5．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值． 解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0， 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 2＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.6．(2020·江西八校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为其左、右焦点，B 1，B 2为其上、下顶点，四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2，点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆(记为圆P )总经过坐标原点O .(1)求椭圆E 的长轴A 1A 2的长的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E ，若给定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝3，则圆P 和圆F 1的公共弦MN 的长是不是定值？如果是，求|MN |的值；如果不是，请说明理由．解：(1)依题意四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2bc ， 所以2bc ＝2.因为|A 1A 2|＝2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时取“＝”，此时a ＝2， 所以长轴A 1A 2的长的最小值为22，此时椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)是定值．设点P (x 0，y 0)，则x 202＋y 20＝1⇒y 20＝1－x 202.圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋y 20，即x 2＋y 2－2x 0x －2y 0y ＝0，① 圆F 1的方程为(x ＋1)2＋y 2＝3，即x 2＋y 2＋2x －2＝0，②①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0，所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d＝|x0＋2|（x0＋1）2＋y20＝|x0＋2|（x0＋1）2＋1－12x20＝|x0＋2|12x20＋2x0＋2＝2，则|MN|＝23－d2＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.。

人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业53 椭圆(含答案)

人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业53 椭圆(含答案)

课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2.4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.②①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数，∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ，∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ， 整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0， 所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2，∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2，∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12，∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2，∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk1＋2k 2＝0，∴－16k＋4mk1＋2k2＝0，即4k(－4＋m)1＋2k2＝0，∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4. ∴存在定点M(0,4)，使得∠AMO＝∠BMO.。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：52 椭圆含解析

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：52 椭圆含解析

课时作业52 椭圆一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( A )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( D )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A.306B.7C.306或7D.56或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C.4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( C )A.14B.13C.12D.23 解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝(5－1)24，∴0<e <5－12.故选B.二、填空题7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是(－3,0)或(3,0)．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32.解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.三、解答题11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0， 由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75.又|AB |＝1＋34(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.12．已知椭圆C ：x 23m ＋y 2m ＝1，直线l ：x ＋y －2＝0与椭圆C 相交于两点P ，Q ，与x 轴交于点B ，点P ，Q 与点B 不重合．(1)求椭圆C 的离心率；(2)当S △OPQ ＝2时，求椭圆C 的方程；(3)过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若|PN |＝λ|BQ |，求λ的值． 解：(1)a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝2m ，e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将x ＋y －2＝0代入椭圆C 的方程并整理得4x 2－12x ＋12－3m ＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m )>0得m >1.且有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝12－3m4，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·9－(12－3m)＝6m－1，原点到直线l的距离d＝2，所以S△OPQ＝12|PQ|·d＝12×6·m－1×2＝2，解得m＝73>1，故椭圆方程为x27＋3y27＝1.(3)直线l的垂线为ON：y＝x，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x，x＋y－2＝0，解得交点N(1,1)．因为|PN|＝λ|BQ|，又x1＋x2＝3，所以λ＝|PN||BQ|＝|x1－1||x2－2|＝|2－x2||x2－2|＝1，故λ的值为1.13．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆x2a2＋y24＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(D)A．20 B．10C．2 5 D．4 5解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎨⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 24＝1，得N (c ，4a )，∴H (0，2a )，M (－2c ，－2a )．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋(－2a )24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.14．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2147)． 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )A.32B.3－52 C.－1＋52D.3－12解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝ba x ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝ab b 2＋a 2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得(b 2a 2)2＋b2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B. 16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π.其中正确命题的序号是②③.解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。

高考数学试题分项解析 专题17 椭圆 理含解析 试题

高考数学试题分项解析 专题17 椭圆 理含解析 试题

智才艺州攀枝花市创界学校专题17椭圆考纲解读明方向考纲解读考点内容解读要求常考题型预测热度掌握椭圆的定义、几何图形、HY方程及简单性质掌握选择题解答题★★★掌握填空题解答题★★★掌握解答题★★★分析解读2021年高考全景展示1．【2021年理数全国卷II】，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，那么的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或者不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或者不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．【2021年卷】点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，那么当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深入认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目的量表示为一个(或者者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.3．【2021年理卷】椭圆，双曲线．假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点间隔之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点间隔之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或者不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或者不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 4．【2021年理数卷】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.〔I〕求椭圆的方程；〔II〕设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.假设(O为原点)，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或者【解析】分析：〔Ⅰ〕由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．那么椭圆的方程为．〔Ⅱ〕设点P的坐标为〔x1，y1〕，点Q的坐标为〔x2，y2〕．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值是或者详解：〔Ⅰ〕设椭圆的焦距为2c，由知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．〔Ⅱ〕设点P的坐标为〔x1，y1〕，点Q的坐标为〔x2，y2〕．由有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5〔k+1〕=，两边平方，整理得，解得，或者．所以，k的值是或者点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算才能，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2021年全国卷Ⅲ理】斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．〔1〕证明：；〔2〕设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】〔1〕〔2〕或者〔2〕由题意得，设，那么.由〔1〕及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，那么.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或者.点睛：此题主要考察直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由得到,求出m得到直线方程很关键，考察了函数与方程的思想，考察学生的计算才能，难度较大。

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高考数学复习 课时作业52 椭圆一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( A )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( D )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( C )A.306B.7C.306或7 D.56或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C.4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( C )A.14B.13C.12D.23解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝5－124，∴0<e <5－12.故选B. 二、填空题7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m取最大值时，点P 的坐标是(－3,0)或(3,0)．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x－y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32. 解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2＝32. 三、解答题11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0， 由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0， 得m 2<4，⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75.又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.12．已知椭圆C ：x 23m ＋y 2m＝1，直线l ：x ＋y －2＝0与椭圆C 相交于两点P ，Q ，与x 轴交于点B ，点P ，Q 与点B 不重合．(1)求椭圆C 的离心率；(2)当S △OPQ ＝2时，求椭圆C 的方程；(3)过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若|PN |＝λ|BQ |，求λ的值．解：(1)a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝2m ，e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将x ＋y －2＝0代入椭圆C 的方程并整理得4x 2－12x ＋12－3m ＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m )>0得m >1.且有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝12－3m4，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2·9－12－3m＝6m －1，原点到直线l 的距离d ＝2，所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12×6·m －1×2＝2，解得m ＝73>1，故椭圆方程为x 27＋3y 27＝1.(3)直线l 的垂线为ON ：y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得交点N (1,1)．因为|PN |＝λ|BQ |，又x 1＋x 2＝3，所以λ＝|PN ||BQ |＝|x 1－1||x 2－2|＝|2－x 2||x 2－2|＝1，故λ的值为1.13．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( D )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N (c ，4a )，∴H (0，2a )，M (－2c ，－2a)．把点M的坐标代入椭圆方程得4c2a 2＋－2a24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.14．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2， ∴(4k 2－5)·4m 2－14k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋941＋k2， 又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87， ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2147)．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )A.32B.3－52C.－1＋52D.3－12解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝bax ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝ab b 2＋a 2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a4＝0，两边同时除以a 4，得(b 2a 2)2＋b 2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝1－－1＋52＝3－52，故选B.16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36；④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号是②③.解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。

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