姚启钧光学第三章答案

1. 证：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n 1和n 2。

光线通过第一介质中指定的A 点后到达同一介质中指定的B 点。

为了确定实际光线的路径，通过A,B 两点作平面垂直于界面，O O ′是他们的交线，则实际 光线在界面上的反射点C 就可由费马原理来确定（如右图）。

（1） 反正法：如果有一点C ′位于线外，则对应于C ′，必可在O O ′线上找到它的垂足C ′′.由于C A ′>C A ′′,B C ′>B C ′′,故光谱B C A ′总是大于光程B C A ′′而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。

（2） 在图中建立坐oxy 标系，则指定点A,B 的坐标分别为（y x 11,）和（yx 22,），未知点C 的坐标为（0,x ）。

C 点在B A ′′,之间是，光程必小于C 点在B A ′′以外的相应光程，即x xx 21<<，于是光程ACB 为：x x n y x x n CB n AC n ACB n 21121221111)()(+−++−=+=根据费马原理，它应取极小值，即：()()()()()(12222211212111−′=+−−−+−−=AC C A n y x x x x n y x x x x n ACB n dx dQ i i 11=′，∴0)(1=ACB n dx d取的是极值，符合费马原理。

故问题得证。

2.(1)证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S 发出的光束经薄透镜折射后成一个明亮的实象点S ′。

由于球面AC 是由S 点发出的光波的一个波面，而球面DB 是会聚于S ′的球面波的一个波面，固而SB SC =, B S D S ′=′.又Q光程FD EF n CE CEFD ++=，而光程AB n AB =。

根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程却相等。

由于实际的光线有许多条。

我们是从中去两条来讨论，故从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等得证。

除此之外，另有两图如此，并与今后常用到：3.解：由13164−L P 的结果)11(n h P P −=′得：11(2n d d −==5.111(30−×=10（cm ）4.解：由P 170结果知： （1） Q2sin 2sinA A n +=θ, 2sin 2sin 0A A n +=θ∴ AAn −=−]2sin [sin 21θ60]260sin 6.1[sin 21oo−×=− 60]8.0[sin 21o−=− 6013.532oo−×= 26.46=o6146′≈o（2） 805326061462′=+′=+=′ooooA i θ (3) Qi i n 102sin sin =∴6.116.190sin sin sin 102==′=′on i i143868.386.11sin 12′===′−ooi 而 912114386022′=′−=′−=oooi A i又 Q n dii =102sin sin i n i 210sin sin =4335433557.35)9121sin 1(sin 10min110′==′≈=′=∴−ooooi i i 故：5.证：414.1222245sin 2sin .245.1i 9090:i 909021nsin30sin sin 303021sin 2nsin sin sin 12121212212211121222222121==×=====⊥=+=∴=+⊥=+∴==+=∴=′′===oooooooooQ Q Q θθθγθθαααθγαθθθαθθθθθθn or i n i i i i in 由此可推论讨论：得证。

即故：，，又得证。

即，而又得证。

＝而＝＝即：则＝若6.解：)(2551260)(606011211011111111cm ys s y ss y y cm s s sf s f s s −=×−−−=′−=′∴−′−=′−−=′∴−=−−+′−′=′∴′=+′Q Q 又－即：)(552101212211)(2)10(51/////cm r r r s scm s y y s ss y y =∴=−==+=−×−=−=∴−==即又Q Q β（2）.05是凸透镜>=cm r Q9.证：P D n y P D y n n n ynn y ′=′∴′====′1112121,第一次折射：QP E P E P E P E P P P E d y ny d y y n n ′−′=′−−′−=′∴′=−′=′−′===111112112)()()(1,n,1第二次折射：n n dn d d p D d n p D d p D d p D n nd p D d y n 1)11(1)()(1)()(1111111−=−=+′−−′=−′−−′=−′−−′=由图可知，若 使凹透镜向物体移动n n d1−的距离 亦可得到同样的结果。

10.解：γn n s n s n −′=−′Q21212,1212=′=′−′−′=′−′−′∴==′∞=n n n n n n n n s s 故而：γγγP ′11.解：（1）由73208−L P 经导知：)(6)15.1(245.1)1(2cm n nR f =−×=−=′按题意，物离物方主点H 的距离为)46(+−， 于是由)(15151303510161111111cm s f s s f s s =′∴=−=−+=′+=′′=−′得（2）5.14615=+=′=s s β12.解：r n n s n s n r n n s n s n −′−′′=∴−′=−′Q（1）r s r n r n n rn s nrs ==−′−′=∴=′11即Q 仍在原处（球心），物像重合 （2）r n n r n n r n r n n n s n r s +′=−′−′=−′−′=∴=′22221γQ )(22n n nDn n nr s +′=+′=)(05.6)153.1(22057.1cm ≈+××=13.解：（1）即鱼在原处又cm r s rn r n r n n s n r s s n r n n sn r n n s n s n 152==′∴′=+−′=′′=+−′=∴−′=−′′Q Q（2）33.1133.11515=×=′⋅′=′=n n s s y y βQ14解： （1）cm r n n n f cmr n n n f 647.17233.150.150.1647.15233.150.133.1=×−=−′′=′−=×−−=−′′=Qcm f s f s s s f s sf s f s f s f 5.1846.18647.7176.141)647.15(8647.17811−≈−≈−=−−−×−=−′=′∴−==′′=+′′－即而（2）2046.250.133.185.18≈≈×−−=′⋅′=′=n n s s y y β（3）光路图如右： 15解： （1）cm s s f s s s f s f ff s f s f f nf n n r r r n n n nf rn n rn n nn n r n r 92.400244.012.3912011111112.39)33.15.1(21033.1,,,)(1111121211221−=′=′∴−=−−−=−=′=+′′−∴−=′=+′′′−=−≈−××=+−=∴′=====−−=−′+−′−−′−凸又Q Q（2）cms s f s s s f s f ff s fs f fn n nrn f n n r r r n n n n f rn n rn n n n n r n r 23.130756.012.3912011111112.39)33.15.1(21033.1)(2,,,)(22222222221211221−=′=′∴−=−+−=′+=′=−+′′∴−=′=+′′−=−≈−××−=−′−=+=′∴′=====+=′−−′+−−′−凹又Q Q （3）16.解：（1）透镜在空气中和在水中的焦距分别为：6.211)154.1(401)1(11154.109.222.3408.13633.1)408.1361(33.1)1()1()()()1()1()11(1)11)(1(11211212121212121212212211=−×=−′=−≈−−=−−×=′′−′′′−′=∴′′−′=′′−′′′′−′′=′−′′′′−=−′′−−′=′′∴−′′−=′−−=′n f rr f f n f f n n f f n f f n n f f n f f n n n n f f n n n n n n n n f f r r n n n f rr n f（2）透镜置于水2cs 中的焦距为：cm f r r n n n f 4.43708.0992.34992.3408.06.21162.162.154.1)11(13213−=−−=′∴−=×−=−′′′′−=′17.解：cmrr n n n n f n n n n f rn r n nn 78.4409.033.033.1251201(33.1133.1)11()1(212122211−≈×−=−−−=−′−−′=′∴′==+=′−−Q18.解：（1））。

，像点的坐标（同理，对于发散透镜其像点的坐标平行光从光面谢下射考虑也可能去负值，而81.1510).81.15,10(508577.010*******∴≈×=′=′=′=′∴∞=′=+′cmtg s s cmf s s f s s xyxoQ（2）fs fs f s s s f f f s s f s f s s −=′−=′=′∞=′=′−+′=′+=′∴′=′=′111011111111光无像点即，发射光束仍为平行－－Q Qcm 15.055.0110552102211111），故像点的坐标为（置，再考虑到像点另一种放＝又−=×−−=′=′∴′=′−=−=−=′∴−=−+−=′+=′∴cm y s s y s s y y cmf s f ff f s s βQ 其光路图如右19.解：透镜中心和透镜焦点的位置如图所示：20.解：)(606013001501111111cm s f s s f s s =′∴=−+=′+=′∴′=′－Qmm cm d s l p p cm t s s s d s s d ss d06.2206.010632812.060450d r y ,12.01.0300603002t 222s 2tg 821=≈××−=′−==∆=×+=−′=∴⋅−′−′=−−λλθθ距为公式知，干涉条纹的间干光源，故由双缝干涉这两个象点，构成了相＝即：＝又Q21.解：Q 该透镜是由A,B ；两部分胶合而成的（如图所示），这两部分的主轴都不在光源的中心轴线上，A 部分的主轴P O A A 在系统中心线下方0.5cm 处，B 部分的主轴F O B B ′则在系统中心线上方0.5cm 处。