姚启钧光学第三章答案

1. 证：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n 1和n 2。光线通过第一介质中指定的A 点后到达同一介质中指定的B 点。为了确定实际光线的路径，通过A,B 两点作平面垂直于界面，O O ′是他们的交线，则实际 光线在界面上的反射点C 就可由费马原理来确定（如右图

）。

（1） 反正法：如果有一点C ′位于线外，则对应于C ′，必

可在O O ′线上找到它的垂足C ′′.由于C A ′>C A ′′,B C ′>B C ′′,故光谱B C A ′总是大于光程B C A ′′而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。

（2） 在图中建立坐oxy 标系，则指定点A,B 的坐标分

别为（y x 11,）和（

y

x 22,），未知点C 的坐标为（0,x ）。

C 点在B A ′′,之间是，光程必小于C 点在B A ′′以外的

相应光程，即x x

x 2

1<

<，于是光程ACB 为：

x x n y x x n CB n AC n ACB n 2112

1

2

2

1

1

1

1

)()(+

−++−=+=根据费马原理，它应取极小值，即：

()()()()()(1

2

2

22211212111−′=+−−−+−−=AC C A n y x x x x n y x x x x n ACB n dx d

Q i i 1

1

=′，∴0

)(1=ACB n dx d

取的是极值，符合费马原理。故问题得证。

2.(1)证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S 发出的光

束

经薄透镜折射后成一个明亮的实象点S ′。由于球面AC 是由S 点

发出的光波的一个波面，而球面DB 是会聚于S ′的球面波的一个

波面，固而SB SC =, B S D S ′=′.又

Q

光程

FD EF n CE CEFD ++=，

而光程AB n AB =。根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，

这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值或

极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程却相等。

由于实际的光线有许多条。我们是从中去两条来讨论，故从

物点发出

并会聚到像点的所有光线的光程都相等得证。 除此之外，另有两图如此，并与今后常用到：

3.解：由13164−L P 的结果

)

1

1(n h P P −=′得：

1

1(2n d d −=

=

5.111(30−

×

=10（cm ）

4.解：由P 170结果知： （1） Q

2sin 2sin

A A n +=

θ, 2sin 2sin 0

A A n +=θ

∴ A

A

n −=−]2

sin [sin 21

θ

60

]260

sin 6.1[sin 21

o

o

−×=− 60]8.0[sin 21

o

−=− 6013.532o

o

−×= 26.46=o

6146′≈o

（2） 80532

6061462′

=+′=+=′o

o

o

o

A i θ (3) Q

i i n 10

2sin sin =

∴

6.11

6.190sin sin sin 10

2

=

=′=′o

n i i

143868.386.11

sin 1

2

′===′−o

o

i 而 91211438602

2

′=′−=′−=o

o

o

i A i

又 Q n d

i

i =

10

2sin sin i n i 2

10

sin sin =

4335433557.35)

9121sin 1(sin 10

min

1

10

′==′

≈=′=∴−o

o

o

o

i i i 故：

5.证：

414

.1222

245sin 2sin .245

.1i 90

90:i 90902

1nsin30sin sin 30

30

2

1

sin 2n

sin sin sin 1

21

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

2

22

12

1

==×=====⊥=+=∴=+⊥=+∴==+=∴

=

′′===o

o

o

o

o

o

o

o

o

Q Q Q θθθγθθαααθγαθθθαθθ

θθθθn or i n i i i i i

n 由此可推论讨论：得证。

即故：，

，又得证。

即，而又得证。

＝而＝＝即：则＝

若

6.解：