2018年安徽省马鞍山市二模数学试卷及答案

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安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测数学(文)试卷Word版含答案

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}ln 1A x y x ==+，集合{}2B x x =≤，则A B ⋂=（） A ．∅ B ．R C.(]1,2- D ．(]0,+∞2.已知复数z 满足34zi i =+，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限3.若一组数据12,,,n x x x 的方差为1，则1224,24,,24n x x x +++的方差为（）A ．1B ．2 C. 4 D ．84．设,x y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．2B ．3 C. 4 D ．55．已知等比数列{}n a 满足()13541,41a a a a =⋅=-，则7a 的值为（） A ．2 B ．4 C.92D ．6 6．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，,EF 分别为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅=（）A ．12 B ．32- C.32 D ．12- 7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．23π B ．43π C.83π- D ．283π- 8.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ ”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问一边在勾上的内接正方形边长为多少步？ ”现向此三角形内投一粒豆子，则豆子落在这个内接正方形内的概率是（） A ．90289 B ．120289 C. 180289 D ．2402899.执行如图所示的程序框图，则输出d 的最大值为（）A 1B 110.设0ω>，函数2cos 5y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移5π个单位长度后与函数2sin 5y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象重合，则ω的最小值是（） A ．12 B ．32 C. 52 D ．7211.过抛物线()220y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，8AF BF ⋅=，则p 的值为（）A ．4B ．12C. 1 D ．2 12.已知函数()f x 在R 上满足()()2f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()f x x '>.若()()112f a f a a +--≥，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞ C.(],0-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2log 1,137,1x x x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1f x =-，则x = ．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为a ，则双曲线的离心率为．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos 23cos 1,5A A b +==，ABC ∆的面积S =ABC ∆的周长为．16.在三棱锥A BCD -中，1,AB BC CD AC ====A BCD -的体积最大时，其外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，2437,152a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和n T .18.如图，在三棱台111ABC A B C -中，111114,2AB BC BB A B B C =====，且1B B ⊥面ABC ，90ABC ∠=︒，,D G 分别为,AC BC 的中点，,E F 为11AC 上两动点，且2EF =.（1）求证：BD GE ⊥；（2）求四面体B GEF -的体积.19.某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率.20.在直角坐标系中，己知点()()2,0,2,0A B -，两动点()()0,,0,C m D n ，且3mn =，直线AC 与直线BD 的交点为P . （1）求动点P 的轨迹方程；（2）过点()1,0F 作直线l 交动点P 的轨迹于,M N 两点，试求FM FN ⋅的取值范围.21.已知函数(),x e af x a R x-=∈.（1）若()f x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围；（2）求证：当1,0a x <<>0时，()1f x >恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求AB 的大小. 23.选修4-5：不等式选讲已知()1f x x x m =+++，()232g x x x =++. （1）若0m >且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）不等式()3f x ≤的解集为A ，不等式()0g x ≤的解集为B ，B A ⊆，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDCAB 6-10: DBBDC 11、12：DA二、填空题13. 12x =或3log 696π三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则：113746152a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1352a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式：()*233n a n n N =+∈ （2）由（1）知，22332n nn a n -=+-()()()23320522336n n n n n n ⎧+-<≤⎪=⎨-+≥⎪⎩， ①当05n <≤时，23322332n n n n +-=+-，有：()()21212352333422212n n n n nT n n +-++=-=+-+-，②当6n ≥时，5133T =，()23322233n n n n +-=-+()()()51256412452335234131122n n n n n T T n n -+-++--=-=--+-，12234264n n T n n +=--+，综上所述：()()21*12*342205,2342646,n n n n n n n N T n n n n N ++⎧+-+<≤∈⎪=⎨--+≥∈⎪⎩18.证明：（1）取AB 的中点O ,连接11,,OG OA C G ,∵AB BC =,D 为AC 的中点, ∴BD AC ⊥,又11//AC AC ,∴11BD AC ⊥,∵11//BG B C ,且11BG B C =,∴四边形11BGC B 为平行四边形,∴11//GC BB , 同理，四边形11OBB A 为平行四边形，∴11//GC OA .∴四边11OGC A 为平行四边形, ∵1B B ⊥面ABC ,∴1C G ⊥面ABC ,∴1C G BD ⊥,又1111AC C G C ⋂=,∴BD ⊥面11A C GO ,∵GE ⊂面11A C GO ,∴BD GE ⊥.（2）∵1C G ⊥面ABC ,1C G ⊂面11A C GO ,∴面11AC GO ⊥面ABC , ∵面11AC GO ⋂面ABC OG =,∵//,OG AC BD AC ⊥,∴BM OG ⊥,∴BM ⊥面11A C GO ,∴BM 为点到面11A C GO 的距离，即BM =又11142422GEF S GC EF ∆=⨯⨯=⨯⨯=,∴11433B GEF GEF V BM S -∆=⨯⨯==19.解：（1）根据所给数据可得如下22⨯列联表由表中数据可得：()225018141262254.327 3.8412426302052K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯. ∴有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异 .（2）由题意，抽取6人，2030-岁有2人，分别记为12,A A ；30-40岁有4人，分别记为1234,,,B B B B ；则抽取的结果共有15种：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ,设“至少有1人年龄在30-39岁”记为事件A ，则事件A 包含的基本事件有14种∴()1415P A =即至少有1人年龄在3040-岁的概率1415. 20.解：（1）直线AC 的方程：()22my x =+ ()1 直线BD 的方程：()22ny x =-- ()2 上述两式相乘得：()2244mn y x =--，又3mn =，于是：22143x y += 由3mn =得0,0m n ≠≠，∴2x ≠±所以动点P 的轨迹方程：()221243x y x +=≠±.（2）当直线MN 的斜率不存在时，331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有：330,,0,22FM FN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得94FM FN ⋅=-；当直线MN 的斜率存在时，设方程：()()()11221,,,,y k x M x y N x y =- 联立：()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：()22224384120k x k x k +-+-= 有221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，由()()()21212121212111FM FN x x x x y y k x x x x ⋅=-+++=+-++⎡⎤⎣⎦()()()2222222291412899114343434443k k k k k k k k +⎡⎤-+-+=-=--⎢⎥++++⎣⎦；由20k >，可得：()2999344443k -<--<-+，综上所得：FM FN ⋅的取值范围：93,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦21.解：（1）由题意知()()21x e x af x x -+'=，令()()()1,0x g x e x a x =-+≠，则()x g x e x '=⋅，当0x <时，()0,()x g g x '<在(),0-∞上单调递减，当0x >时，()0,()x g g x '>在()0,+∞上单调递增，又()01g a =-，∵()f x 在定义域内无极值点， ∴1a >又当1a =时，()f x 在(),0-∞和()0,+∞上都单调递增也满足题意，所以1a ≥ （2）()()21x e x af x x-+'=，令()()1x g x e x a =-+，由（1）可知()g x 在()0,+∞上单调递増，又()()01010g a g a ⎧=-<⎪⎨=>⎪⎩，所以()f x '存在唯一的零点()00,1x ∈，故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递増，∴()()0f x f x ≥由()0010x e x a -+=知()001x f x e => 即当01,0a x <<>时，()1f x >恒成立.22.解：（1）由ρθ=，得圆C 的直角坐标方程为：(2224x y -+=.（2）(法一)由直线l 的参数方程可得直线l 的普通方程为：0x y +，代入圆C 方程消去y 可得230x -+=∴12123x x x x +=⋅=∴AB =(也可以用几何方法求解）(法二）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得：()()2224-+=整理得：22270t ++=∴1212272t t t t +=-⋅=根据参数方程的几何意义，由题可得：2AB =23.解：（1）()()()111f x x x m x x m m =+++≥+-+=-(当1x =-时，等号成立）∵()f x 的最小值为 1，∴11m -=，∴2m = 或0m =，又0m >，∴2m =. （2）由()0g x ≤得，[]2,1B =--，∵B A ⊆，∴(),3x B f x ∀∈≤，即()13x x m -+++≤444x m x x x m x ⇔+≤+⇔--≤+≤+ 42m x +⇔≥-且4m ≤422m +⇔-≤-且404m m ≤⇔≤≤.。

2018届安徽省马鞍山市九年级二模试卷数学试题(原卷版+解析版)

2018年安徽省马鞍山市二模数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. -2的相反数是（）A. B. 2 C. D. -22. a2＋3a2 =（）A. 4a4B. 3a4C. 4a2D. 3a23. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有．．．．两个视图相同的是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④4. 下列多项式中，不能因式分解的是（）A. a2＋1B. a2－6a＋9C. a2＋5aD. a2－15. 把养鸡场的一次质量抽查情况作为样本，样本数据落在2.0～2.5（单位：千克）之间的频率为0.21，于是可估计这个养鸡场的2000只鸡中，质量在2.0～2.5千克之间的鸡的只数是（）A. 158B. 1580C. 42D. 4206. 的整数部分为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（）A. 1B. -2C. -2或1D. 28. 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A. B.C. D.9. 如图，已知在ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P由点A出发，沿AC向点C运动，到点C停止，速度为2c m/s，同时，点Q由AB中点D出发，沿DB→BC向点C运动，到点C停止，速度为1cm/s，连接PQ，设运动时间为x（s），ΔAPQ的面积为y（cm），则y关于x的函数图像大致为（）A. B. C. D.10. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在边BC上的点N处，点F落在边DC上的点M处，若点M恰好是边CD的中点，那么的值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 据报载，2017年马钢全年生产钢铁37000000吨，其中37000000用科学记数法表示为___________．12. 方程的解是x=___________．13. 如图，ΔABC中，AC = BC = 4，∠C = 90°，将ΔABC折叠，使A点落在BC的中点A＇处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，则AD = ___________．14. 如图，已知平行四边形ABCD中，AD = 6，AB = ，∠A = 45°．过点B、D分别做BE⊥AD，DF⊥BC，交AD、BC与点E、F．点Q为DF边上一点，∠DEQ = 30°，点P为EQ的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN =EQ，则EM的长等于___________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 计算：16. 观察下列关于自然数的不等式：30 × 21 > 31 × 20 ①41 × 32 > 42 × 31 ②52 × 43 > 53 × 42 ③… …根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个不等式：63 × 54 > ；（2）写出你猜想的第n个不等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形)的顶点A、C的坐标分别是(-5，5)，(-2，3)．（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）请在x轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并直接写出点P的坐标．18. 如图，一航船在A处测到北偏东60°的方向有一灯塔B，航船向东以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处，又测到灯塔B在北偏东15°的方向上，求此时航船与灯塔相距多少海里？（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE ≌ △ACD；（2）若AB = 5，BC = 3，求AE．20. 某校组织360名师生外出活动，计划租用甲、乙两种型号的客车；经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．（1）已知师生行李打包后共有164件，若租用10辆甲、乙两种型号的客车，请你帮助设计出该校所有可行的租车方案；（2）若师生行李打包后共有m件，且170 < m ≤ 184，如果所租车辆刚好把所有师生和行李载走（每辆车均以最多承载量载满），求m的值．六、（本题满分12分）21. 有一枚质地均匀的正四面体骰子，四面分别标有数字1，2，3，4；将骰子掷两次，第一次朝下一面的数字记为b，第二次朝下一面的数字记为c．（1）计算b > c的概率；（2）计算方程x2 + bx + c = 0有实数根的概率．七、（本题满分12分）22. 已知，如图，抛物线y = ax2 + bx + c交x轴于A(4，0)，C(-1，0)两点，交y轴于点B(0，3) ．（1）求抛物线y = ax2 + bx + c的解析式；（2）点P是抛物线（在点A与点B之间的部分）上的点，求△ABP的面积最大值；（3）若点M在y轴上，且△ABM为等腰三角形，请直接写出M点坐标．八、（本题满分14分）23. 如图，已知矩形ABCD，点E为AD上一点，BE ⊥AC于F点．（1）若AE=AD，△AEF的面积为1时，求△ABC的面积；（2）若AD = 4，tan∠EAF =，求AF的长；（3）若tan∠EAF =，连接DF，证明DF=AB．2018年安徽省马鞍山市二模数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. -2的相反数是（）A. B. 2 C. D. -2【答案】B【解析】分析：根据相反数的概念，由只有符号不同的两数互为相反数可求解.详解：因为-2与2只有符号不同，所以-2的相反数为2.故选：B.点睛：此题主要考查了求一个数的相反数，关键是明确相反数的特点，从只有符号不同和到原点的距离相等来判断.2. a2＋3a2 =（）A. 4a4B. 3a4C. 4a2D. 3a2【答案】C【解析】分析：根据合并同类项的法则合并同类项即可.详解：原式故选C.点睛：考查合并同类项法则：字母和字母的指数保持不变，系数相加减即可.3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有．．．．两个视图相同的是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④【答案】D【解析】分析：逐个分析几何体的三视图，作出解答.详解：正方体的三个视图都是正方形，三棱台的三个视图都不同，所以①③都不满足题意；圆锥的正视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是有圆心的圆，满足题意；正四棱锥正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是正方形和两条对角线，满足题意.故选D.点睛：考查几何体的三视图，掌握各立体图形的特点以及三视图的概念是解题的关键.4. 下列多项式中，不能因式分解的是（）A. a2＋1B. a2－6a＋9C. a2＋5aD. a2－1【答案】A【解析】分析：利用因式分解的方法判断即可．详解：A. 原式不能分解，符合题意；B. 原式不合题意；C. 原式=x(x+5)，不合题意；D. 原式，不合题意，故选A.点睛：考查因式分解的方法，常见的因式分解的方法有，提取公因式法，公式法，十字相乘法.5. 把养鸡场的一次质量抽查情况作为样本，样本数据落在2.0～2.5（单位：千克）之间的频率为0.21，于是可估计这个养鸡场的2000只鸡中，质量在2.0～2.5千克之间的鸡的只数是（）A. 158B. 1580C. 42D. 420【答案】D【解析】分析：根据频数=频率×样本容量，进行计算即可．详解：∵1.5∼2.0(单位：千克)之间的频率为0.21，鸡的总数为2000，∴质量在1.5∼2.0千克之间的鸡的数量=0.21×2000=420只.故选D.点睛：考查用样本估计总体，熟记频数=频率×样本容量.6. 的整数部分为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B详解：即的整数部分为2.故选B.点睛：考查无理数的估算，可以用“夹逼法”.7. 已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（）A. 1B. -2C. -2或1D. 2【答案】A【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义得到即原式变形，整体代入即可．详解：∵a是方程的一个根，∴∴故选A.点睛：考查了一元二次方程的解，采用了整体代入法，难度适中.8. 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.详解：设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为，每千克赚的钱为则.故选C.点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.9. 如图，已知在ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P由点A出发，沿AC向点C运动，到点C停止，速度为2c m/s，同时，点Q由AB中点D出发，沿DB→BC向点C运动，到点C停止，速度为1cm/s，连接PQ，设运动时间为x（s），ΔAPQ的面积为y（cm），则y关于x的函数图像大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：应该分段进行讨论. 当时，当时，当时.详解：当时，过点Q作QH⊥AC于点H，∠C=90°，AC=6，BC=8，∵BC⊥AC，∴QH∥BC，∴△AQH∽△ABC，∴,即解得∴当时，当时，故选A.点睛：考查动点问题，涉及三角形的面积，相似三角形的判定与性质.难度较大，对学生综合能力要求较高.10. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在边BC上的点N处，点F落在边DC上的点M处，若点M恰好是边CD的中点，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】D学。

2018届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量检测文科数学试题及答案

A．0B．1C．2D．
答案：C
命题意图：本题考查程序框图，简单题．
5．若双曲线与抛物线有相同的焦点，则的值为（▲）
A．4B． C．2D．
答案：B
命题意图：本题考查双曲线的定义及计算，简单题．
6.设，且，则有（▲）
A．最大值27B．最小值27C．最大值54D．最小值54
答案：D
命题意图：本题考查基本不等式应用，指数函数的性质，简单题．
马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
高三文科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
8. 函数的图象向左平移后所得的图象关于轴对称，则的值可能是（▲）
A. B． C． D．
答案：A
命题意图：本题考查三角函数图形变换，简单题．
9．在△ABC中，已知向量与满足，且，则△ABC为（▲）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形
答案：A
命题意图：本题考查向量的数量积运算及应用，中等题．
16． (本小题满分12分)
已知向量，，函数 2( ＋ )· ．
(Ⅰ) 求函数的最小正周期；
(Ⅱ) 在中，角的对边分别为，且，．
求外接圆的半径．
命题意图：本题综合考查平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，简单题.
【解析】
(Ⅰ) 2( + )·

2018年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(理科)

令，
则
由图象知，
函数的图象为图中粗线部分．
因为表示过定点的直线，
要使该直线和粗线有三个交点，
则有．
由题得，．
所以，
，
所以的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
在中，由正弦定理得，，
解得，
又为钝角，
如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，和都是边长为的正三角形．
（1）求证：面；
（2）求二面角的大小．
直线与抛物线交于、两点，且，其中为原点．
（1）求此抛物线的方程；
（2）当时，过，分别作的切线相交于点，点是抛物线上在，之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，，求与的面积比．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，，求的大小．
[选修4-5：不等式选讲]
已知，．
（1）若且的最小值为，求的值；
（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2018年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【解答】
解：设，，
∴ ，，
∴
．
由题得，
∴
．
故选．
12.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
【解析】
由题意可得数列的前几项，可得数列为周期为的数列，且以，，，反复出现，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和．

安徽省马鞍山市中考数学二模试卷

安徽省马鞍山市中考数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）（﹣8）2的立方根是（）A . -2B . ±2C . 4D . ±4【考点】2. （2分）某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（）A . 4个B . 5个C . 6个D . 7个【考点】3. （2分） (2018八上·江汉期末) 下列运算正确的是（）A . a3•a4＝a12B . （a3）﹣2＝aC . （﹣3a2）﹣3＝﹣27a6D . （﹣a2）3＝﹣a6【考点】4. （2分）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BFA=30°，那么∠CEF等于（）A . 20°B . 30°C . 45°D . 60°【考点】5. （2分） (2017八下·萧山开学考) 直线y=kx+b过点（2，2）且与直线y=﹣3x相交于点（1，a），则两直线与x轴所围成的面积为（）A . 2B . 2.4C . 3D . 4.8【考点】6. （2分）(2016·宝安模拟) 不等式组的解集是（）A . x＞2B . x≤3C . 2＜x≤3D . x≥3【考点】7. （2分） (2019八下·永春期中) 如图，函数（）和（）的图象相交于点A ，则不等式＞的解集为（）A . ＞B . ＜C . ＞D . ＜【考点】8. （2分）(2018·信阳模拟) 如图是边长为10 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）不正确的（）A .B .C .D .【考点】9. （2分） (2016八上·徐州期中) 在下列命题中，正确的是（）A . 长度相等的弧是等弧B . 直径所对的圆周角是直角C . 三点确定一个圆D . 三角形的外心到三角形各边的距离相等【考点】10. （2分）(2017·常州模拟) 若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A . x1=0，x2=4B . x1=1，x2=5C . x1=1，x2=﹣5D . x1=﹣1，x2=5【考点】二、填空题 (共5题；共6分)11. （2分） (2019七上·石家庄月考) 较大小：﹣ ________﹣；﹣8________|﹣8|(填“＜”“＝”或“＞”).【考点】12. （1分）(2017·百色) 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，则点C的对应点坐标为________．【考点】13. （1分） (2020九上·锦江期末) 光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率（代表入射角，代表折射角）.小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验；通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块，图③是实验的示意图，点A,C,B 在同一直线上，测得，则光线从空射入水中的折射率n等于________.【考点】14. （1分）(2017·河池) 如图，直线y=ax与双曲线y= （x＞0）交于点A（1，2），则不等式ax＞的解集是________．【考点】15. （1分） (2020八下·抚顺期末) 如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点分别是边上的中点，则的最小值是________.【考点】三、解答题 (共11题；共116分)16. （5分）(2019·金华) 计算：|-3|-2tan60°+ +（）-1【考点】17. （10分） (2019八下·雁江期中) 解分式方程（1）＋＝2.（2）＋1＝ .【考点】18. （15分）(2018·潮南模拟) 如图所示，在∠BAC中（1）利用尺规按下列要求作图，作∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点D，过点D分别作线段DE⊥AB 于点E、线段DF⊥AC于点F．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BE=CF．（3）求证：AB+AC=2AF．【考点】19. （11分） (2019七下·南平期末) 某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，已知图①中A，E两组对应的小长方形的高度之比为2：1．请结合相关数据解答以下问题：月消费额分组统计表组别月零花钱消费额/元A10≤x＜100B100≤x＜200C200≤x＜300D300≤x＜400E x≥400（1）本次调查样本的容量是________；（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；（3）若该学校有2500名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量．【考点】20. （5分） (2018八上·鄂城期中) 在△ABC中，AB=BC，△ABC≌△A1BC1 ， A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点，观察并猜想线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论.【考点】21. （5分） (2017九上·辽阳期中) 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为多少m?【考点】22. （15分） (2020八下·吴兴期中) 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元。

2018年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)

2018年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|y =ln(x +1)}，集合B ={x||x|≤2}，则A ∩B =( ) A.⌀ B.R C.(−1, 2] D.(0, +∞] 【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】求定义域和不等式的解集，再求集合的交集．【解答】集合A ={x|y =ln(x +1)}={x|x +1>0}={x|x >−1}，集合B ={x||x|≤2}={x|−2≤x ≤2}，则A ∩B ={x|−1<x ≤2}=(−1, 2]．2. 已知复数z 满足zi =3+4i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】 D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．【解答】由zi =3+4i ，得z =3+4i i=(3+4i)(−i)−i 2=4−3i ，∴ 复数z 在复平面内对应的点的坐标为(4, −3)，位于第四象限．3. 若一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为1，则2x 1+4，2x 2+4，…，2x n +4的方差为（） A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】 C【考点】极差、方差与标准差【解析】由D(aX +b)=a 2(DX)，能求出结果．【解答】∵ 一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为1，∴ 2x 1+4，2x 2+4，…，2x n +4的方差为：22×1=4．4. 设x ，y 满足约束条件{x ≥0y ≥0 ，则z =2x −y 的最大值为（）【答案】 A【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件{x ≥0y ≥0x +y ≤1作出可行域，化目标函数z =2x −y 为y =2x −z ，由图可知，当直线y =2x −z 过点A(2, 0)时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2．5. 已知等比数列{a n }满足a 1=1，a 3⋅a 5=4(a 4−1)，则a 7的值为（）A.2B.4C.92D.6 【答案】 B【考点】等比数列的通项公式【解析】由等比数列通项公式得q 6−4q 3+4=0，解得q 3=2，由此能求出a 7的值．【解答】∵ 等比数列{a n }满足a 1=1，a 3⋅a 5=4(a 4−1)， ∴ q 2⋅q 4=4(q 3−1)， ∴ q 6−4q 3+4=0，解得q 3=2，∴ a 7=a 1q 6=1×22=4．6. 如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60∘，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则AE →∗EF =( )A.12B.−32C.32D.−12【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】运用向量的加减运算和数量积的定义以及性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，可得AB→⋅AD→=2×2×cos60∘=2，则AE→∗EF=(AB→+12AD→)⋅12BD→=12(AB→+12AD→)⋅(AD→−AB→)=12(12×4−4+12×2)=−12，7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.2π3B.4π3C.8−π3D.8−2π3【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥而得到的几何体．【解答】由三视图可知：该几何体为一个圆柱各挖去一个圆锥而得到的几何体．∴该几何体的体积V=π×12×2−13×12π×2=4π3．8. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是()A.60 289B.90289C.120289D.240289【答案】C【考点】【解析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出内接正方形边长，然后分别求出三角形和正方形的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求【解答】解：由题意得，直角三角形两直角边长分别为5步和12步，面积为30，设内接正方形边长为x，则x12=5−x5，解得x=6017，所以正方形的面积为60217，所以向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是60217230=120289.故选C.9. 执行如图所示的程序框图，则输出d的最大值为（）A.√2−1B.√2C.2D.√2+1【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是求半圆y=√1−x2上的点到直线x−y−2= 0的距离的最大值，利用点到直线的距离公式即可计算得解．【解答】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是求半圆y=√1−x2上的点到直线x−y−2= 0的距离的最大值，如图：可得：d的最大值为OP+r=√2+1．10. 设ω>0，函数y=2cos(ωx+π5)的图象向右平移π5个单位长度后与函数y=2sin(ωx+π5)图象重合，则ω的最小值是（）A.1 2B.32C.52D.72【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的关系式的平移变换和诱导公式求出结果．【解答】函数y=2cos(ωx+π5)的图象向右平移π5个单位长度，得到：y=2cos(ωx−ωπ5+π5)=2cos(−ωx+ωπ5−π5)与函数y=2cos(ωx+π2+π5)=2cos(π2−ωx−π5)图象重合，则：−ωx+ωπ5−π5=π2−ωx−π5+2kπ(k∈Z)，整理得：ω=−10k+52(k∈Z)，由于：ω>0，则：当k=0时，ω取最小值，即：ω=52，11. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|⋅|BF|=8，则p的值为（）A.4B.12C.1D.2【答案】D【考点】抛物线的求解此题暂无解析【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，抛物线的焦点F(p2,0)，准线为x=−p2，∴直线AB的方程为y=x−p2，代入y2=2px可得x2−3px+p24=0，∴x1+x2=3p，x1x2=p24．又∵|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，∴|AF|⋅|BF|=(x1+p2)(x2+p2)=x1x2+p(x1+x2)+p2=p24+3p22+p24=2p2=8，解得p=2．故选D．12. 已知函数f(x)在R上满足f(x)+f(−x)=x2，当x∈(0, +∞)时，f′(x)>x．若f(1+a)−f(1−a)≥2a，则实数a的取值范围是（）A.[0, +∞)B.[1, +∞)C.(−∞, 0]D.(−∞, 1]【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】令g(x)=f(x)−12x2，由g(−x)+g(x)=0，可得函数g(x)为奇函数．利用导数可得函数g(x)在R上是增函数，若f(1+a)−f(1−a)≥2a转化为g(1+a)≥g(1−a)，可得关于a的不等式，由此解得a的范围．【解答】∵f(−x)+f(x)=x2，∴f(x)−12x2+f(−x)−12x2=0，令g(x)=f(x)−12x2，∵g(−x)+g(x)=f(−x)−12x2+f(x)−12x2=0，∴函数g(x)为奇函数．∵x∈(0, +∞)时，f′(x)>x．故函数g(x)在(−∞, 0)上也是增函数，由f(0)=0，可得g(x)在R 上是增函数，f(1+a)−f(1−a)≥2a ，等价于g(1+a)≥g(1−a)，故1+a ≥1−a ，解得：a ≥0，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知函数f(x)={log 2(1−x),x <13x −7,x ≥1 ，若f(x)=−1，则x =________．【答案】12或log 36【考点】函数与方程的综合运用分段函数的应用【解析】利用导函数的解析式，化简方程，求解即可．【解答】函数f(x)={log 2(1−x),x <13x −7,x ≥1，当x <1时，f(x)=−1，可得：log 2(1−x)=−1，解得x =12，当x ≥1时，f(x)=−1，可得3x −7=−1，解得x =log 36；已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为a ，则双曲线的离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的离心率【解析】求出双曲线的一个焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，转化求解即可．【解答】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过其中一个焦点(c, 0)作渐近线bx +ay =0的垂线段，垂线段为12a ，可得：√a 2+b 2=12a ，可得：4b 2=a 2，即4c 2=5a 2，可得e =ca=√52．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A +3cosA =1，b =5，△ABC 的面积S =5√3，则△ABC 的周长为________．【答案】 9+√21三角形求面积【解析】由二倍角的余弦公式，解方程可得cosA，sinA，由面积公式可得c，再由余弦定理解得a，进而得到所求周长．【解答】cos2A+3cosA=1，即为2cos2A+3cosA−2=0，解得cosA=12（−2舍去），sinA=√1−14=√32，由S=12bcsinA=12×5c×√32=5√3，解得c=4，a2=b2+c2−2bccosA=25+16−2×5×4×12=21，解得a=√21，可得△ABC的周长为√21+5+4=9+√21．在三棱锥A−BCD中，AB=1,BC=√2,CD=AC=√3，当三棱锥A−BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．【答案】6π【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由题意画出图形，可知△ABC为Rt△，要使四面体ABCD的体积最大，则CD⊥平面ABC，取三角形ABC的外心，进一步找出四面体外接球的球心，求出半径，则答案可求．【解答】解：∵AB=1，BC=√2，CD=AC=√3，∴△ABC为直角三角形，要使四面体ABCD的体积最大，则CD⊥平面ABC，三棱锥是长方体的一部分，AD是扩展后的长方体的对角线，AD的中点是三棱锥外接球的球心，设O为四面体ABCD的外接球的球心，此时半径OC=AD2=√62．则外接球的表面积为4π×( √62)2=6π．故答案为：6π.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a2=37，S4=152．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n −2n |}的前n 项和T n ．【答案】设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则{a 1+d =374a 1+6d =152 ，解得{a 1=35d =2，所以数列{a n }的通项公式a n =2n +33(n ∈N ∗)；由（1）知，|a n −2n|=|2n +33−2n|={2n +33−2n (0<n ≤5)2n−(2n +33)(n ≥6)， ①当0<n ≤5时，|2n +33−2n |=2n +33−2n ，有T n =(35+2n+33)n2−2(1−2n )1−2=n 2+34n −2n+1+2，②当n ≥6时，T 5=133，|2n +33−2n |=2n −(2n +33)T n −T 5=64(1−2n−5)1−2−(45+2n+33)(n−5)2=2n+1−n 2−34n +131，T n =2n+1−n 2−34n +264，综上所述T n ={n 2+34n −2n+1+2(0<n ≤5,n ∈N ∗)2n+1−n 2−34n +264(n ≥6,n ∈N ∗)．【考点】数列的求和【解析】（1）设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得数列的通项公式；（2）讨论0<n ≤5，n >5，去绝对值，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则{a 1+d =374a 1+6d =152 ，解得{a 1=35d =2，所以数列{a n }的通项公式a n =2n +33(n ∈N ∗)；由（1）知，|a n −2n|=|2n +33−2n|={2n +33−2n (0<n ≤5)2n−(2n +33)(n ≥6)， ①当0<n ≤5时，|2n +33−2n |=2n +33−2n ，有T n =(35+2n+33)n2−2(1−2n )1−2=n 2+34n −2n+1+2，②当n ≥6时，T 5=133，|2n +33−2n |=2n −(2n +33)T n −T 5=64(1−2n−5)1−2−(45+2n+33)(n−5)2=2n+1−n 2−34n +131，T n =2n+1−n 2−34n +264，综上所述T n ={n 2+34n −2n+1+2(0<n ≤5,n ∈N ∗)2n+1−n 2−34n +264(n ≥6,n ∈N ∗) ．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，AB=BC=BB1=4，A1B1=B1C1=2，且B1B⊥面ABC，∠ABC=90∘，D，G分别为AC，BC的中点，E，F为A1C1上两动点，且EF= 2．（1）求证：BD⊥GE；（2）求四面体B−GEF的体积．【答案】证明：取AB的中点O，连接OG，OA1，C1G，∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又AC // A1C1，∴BD⊥A1C1，∵BG // B1C1，且BG=B1C1，∴四边形BGC1B1为平行四边形，∴GC1 // BB1，同理，四边形OBB1A1为平行四边形，∴GC1 // OA1．∴四边OGC1A1为平行四边形，∵B1B⊥面ABC，∴C1G⊥面ABC，∴C1G⊥BD，又A1C1∩C1G=C1，∴BD⊥面A1C1GO，∵GE⊂面A1C1GO，∴BD⊥GE；∵C1G⊥面ABC，C1G⊂面A1C1GO，∴面A1C1GO⊥面ABC，∵面A1C1GO∩面ABC=OG，又∵OG // AC，BD⊥AC，∴BM⊥OG，∴BM⊥面A1C1GO，∴BM为点到面A1C1GO的距离，即BM=√2，又S△GEF=12×GC1×EF=12×4×2=4，∴VB−GEF =13×BM×S△GEF=13×√2×4=4√23．柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】（1）取AB的中点O，连接OG，OA1，C1G，由题意可证明四边形BGC1B1为平行四边形，可得GC1 // BB1，同理，四边形OBB1A1为平行四边形，可得GC1 // OA1，进一步得到四边OGC1A1为平行四边形，再由线面垂直的性质定理即可证明BD⊥GE；（2）结合已知条件求出BM为点到面A1C1GO的距离，然后求出GEF的面积，再由体积公式计算可得答案．【解答】证明：取AB的中点O，连接OG，OA1，C1G，∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又AC // A1C1，∴BD⊥A1C1，∵BG // B1C1，且BG=B1C1，∴四边形BGC1B1为平行四边形，∴GC1 // BB1，同理，四边形OBB1A1为平行四边形，∴GC1 // OA1．∴四边OGC1A1为平行四边形，∵B1B⊥面ABC，∴C1G⊥面ABC，∴C1G⊥BD，又A1C1∩C1G=C1，∴BD⊥面A1C1GO，∵GE⊂面A1C1GO，∴BD⊥GE；∵C1G⊥面ABC，C1G⊂面A1C1GO，∴面A1C1GO⊥面ABC，∵面A1C1GO∩面ABC=OG，又∵OG // AC，BD⊥AC，∴BM⊥OG，∴BM⊥面A1C1GO，∴BM为点到面A1C1GO的距离，即BM=√2，又S△GEF=12×GC1×EF=12×4×2=4，∴VB−GEF =13×BM×S△GEF=13×√2×4=4√23．某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30−39岁的概率．【答案】根据所给数据填写列联表如下，由表中数据计算可得：K2=50(18×14−12×6)224×26×30×20=22552≈4.327>3.841，∴有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异；由题意，抽取6人，20−30岁有2人，分别记为A1，A2；30−40岁有4人，分别记为B1，B2，B3，B4；则抽取的结果共有15种，即：(A1, A2)，(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A1, B4)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)，(A2, B4)，(B1, B2)，(B1, B3)，(B1, B4)，(B2, B3)，(B2, B4)，(B3, B4)，设“至少有1人年龄在30−39岁”记为事件A，则事件A包含的基本事件有14种，∴P(A)=1415；即至少有1人年龄在30−40岁的概率为1415．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率独立性检验【解析】（1）根据所给数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】根据所给数据填写列联表如下，由表中数据计算可得：K 2=50(18×14−12×6)224×26×30×20=22552≈4.327>3.841，∴ 有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异；由题意，抽取6人，20−30岁有2人，分别记为A 1，A 2； 30−40岁有4人，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4；则抽取的结果共有15种，即：(A 1, A 2)，(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 1, B 4)， (A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 2, B 3)，(A 2, B 4)，(B 1, B 2)， (B 1, B 3)，(B 1, B 4)，(B 2, B 3)，(B 2, B 4)，(B 3, B 4)，设“至少有1人年龄在30−39岁”记为事件A ，则事件A 包含的基本事件有14种， ∴ P(A)=1415；即至少有1人年龄在30−40岁的概率为1415．在直角坐标系中，己知点A(−2, 0)，B(2, 0)，两动点C(0, m)，D(0, n)，且mn =3，直线AC 与直线BD 的交点为P ．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过点F(1, 0)作直线l 交动点P 的轨迹于M ，N 两点，试求FM →⋅FN →的取值范围．【答案】直线AC 的方程：y =m 2(x +2)(1)直线BD 的方程：y =−n2(x −2)(2) 上述两式相乘得：y 2=−mn 4(x 2−4)，又mn =3，于是：x 24+y 23=1由mn =3得m ≠0，n ≠0，∴ x ≠±2 所以动点P 的轨迹方程：x 24+y 23=1(x ≠±2)．当直线MN 的斜率不存在时，M(1,32),N(1,−32)，有：FM →=(0,32),FN →=(0,−32)，得FM →⋅FN →=−94；当直线MN 的斜率存在时，设方程：y =k(x −1)，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2) 联立：{x 24+y 23=1y =k(x −1) ，整理得：(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0 有x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2−124k 2+3，由FM →⋅FN →=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=(1+k 2)[x 1x 2−(x 1+x 2)+1](1+k 2)[4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1]=−9(k 2+1)4k 2+3=−94−94(4k 2+3)；由k 2>0，可得：−3<−94−94(4k 2+3)<−94，综上所得：FM →⋅FN →的取值范围：(−3,−94]．【考点】轨迹方程圆锥曲线的综合问题【解析】（1）求出AC ，BD 的方程，然后通过mn =3，求出P 的轨迹方程．（2）通过斜率是否存在，转化求解，点直线的斜率不存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及转化不是斜率的数量积，推出结果即可，【解答】直线AC 的方程：y =m 2(x +2)(1)直线BD 的方程：y =−n2(x −2)(2) 上述两式相乘得：y 2=−mn 4(x 2−4)，又mn =3，于是：x 24+y 23=1由mn =3得m ≠0，n ≠0，∴ x ≠±2 所以动点P 的轨迹方程：x 24+y 23=1(x ≠±2)．当直线MN 的斜率不存在时，M(1,32),N(1,−32)，有：FM →=(0,32),FN →=(0,−32)，得FM →⋅FN →=−94；当直线MN 的斜率存在时，设方程：y =k(x −1)，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2) 联立：{x 24+y 23=1y =k(x −1) ，整理得：(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0 有x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2−124k 2+3，由FM →⋅FN →=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=(1+k 2)[x 1x 2−(x 1+x 2)+1](1+k 2)[4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1]=−9(k 2+1)4k 2+3=−94−94(4k 2+3)；由k 2>0，可得：−3<−94−94(4k 2+3)<−94，综上所得：FM →⋅FN →的取值范围：(−3,−94]．已知函数f(x)=e x −a x,a ∈R ．（1）若f(x)在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围；（2）求证：当0<a <1，x >0时，f(x)>1恒成立．【答案】由题意知f ′(x)=e x (x−1)+ax 2，令g(x)=e x (x −1)+a ，(x ≠0)，则g ′(x)=e x ⋅x ，当x <0时，g ′(x)<0，g(x)在(−∞, 0)上单调递减，当x >0时，g ′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上单调递增，又g(0)=a −1，∵ f(x)在定义域内无极值点， ∴ a >1，又当a =1时，f(x)在(−∞, 0)和(0, +∞)上都单调递增也满足题意，所以a ≥1；证明：f ′(x)=e x (x−1)+ax 2，令g(x)=e x (x −1)+a ，由（1）可知g(x)在(0, +∞)上单调递増，又{g(0)=a −1<0g(1)=a >0，所以f ′(x)存在唯一的零点x 0∈(0, 1)，故f(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递増， ∴ f(x)≥f(x 0)，由e x 0(x 0−1)+a =0知f(x 0)=e x 0>1，即当0<a <1，x >0时，f(x)>1恒成立．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出导函数，构造函数g(x)=e x (x −1)+a ，(x ≠0)，求出g ′(x)=e x ⋅x ，通过当x <0时，当x >0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解即可．（2）求出f ′(x)=e x (x−1)+ax 2，令g(x)=e x (x −1)+a ，求出函数的最值，证明结论即可．【解答】由题意知f ′(x)=e x (x−1)+ax 2，令g(x)=e x (x −1)+a ，(x ≠0)，则g ′(x)=e x ⋅x ，当x <0时，g ′(x)<0，g(x)在(−∞, 0)上单调递减，当x >0时，g ′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上单调递增，又g(0)=a −1，∵ f(x)在定义域内无极值点， ∴ a >1，又当a =1时，f(x)在(−∞, 0)和(0, +∞)上都单调递增也满足题意，所以a ≥1；证明：f ′(x)=e x (x−1)+ax 2，令g(x)=e x (x −1)+a ，由（1）可知g(x)在(0, +∞)上单调递増，又{g(0)=a −1<0g(1)=a >0 ，所以f ′(x)存在唯一的零点x 0∈(0, 1)，故f(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递増， ∴ f(x)≥f(x 0)，由e x 0(x 0−1)+a =0知f(x 0)=e x 0>1，即当0<a <1，x >0时，f(x)>1恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{x =−√6−√2ty =2√6+√2t（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4√6cosθ．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求|AB|的大小．【答案】∵ 圆C 的方程为ρ=4√6cosθ．∴ 圆C 的直角坐标方程为：(x −2√6)2+y 2=24．（法一）∵ 直线l 的参数方程为：{x =−√6−√2ty =2√6+√2t（t 为参数）．∴ 由直线l 的参数方程可得直线l 的普通方程为：x +y −√6=0，代入圆C 方程消去y 可得：x 2−3√6x +3=0 ∴ x 1+x 2=3√6,x 1∗x 2=3∴ |AB|=√1+(−1)2∗√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√21．（法二）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得： (−3√6−√2t)2+(2√6+√2t)2=24，整理得：2t 2+10√3t +27=0 ∴ t 1+t 2=−5√3,t 1∗t 2=272根据参数方程的几何意义，由题可得：|AB|=√2∗|√2t 1−√2t 2|=2√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√21．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由圆C 的极坐标方程，能求出圆C 的直角坐标方程．（2）法一：由直线l 的参数方程可得直线l 的普通方程，代入圆C 方程得x 2−3√6x +3=0，由此能求出|AB|．法二：将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得：2t 2+10√3t +27=0，根据参数方程的几何意义，能求出|AB|．【解答】∵ 圆C 的方程为ρ=4√6cosθ．∴ 圆C 的直角坐标方程为：(x −2√6)2+y 2=24．（法一）∵ 直线l 的参数方程为：{x =−√6−√2ty =2√6+√2t（t 为参数）．∴ 由直线l 的参数方程可得直线l 的普通方程为：x +y −√6=0，代入圆C 方程消去y 可得：x 2−3√6x +3=0 ∴ x 1+x 2=3√6,x 1∗x 2=3∴ |AB|=√1+(−1)2∗√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√21．（法二）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得： (−3√6−√2t)2+(2√6+√2t)2=24，整理得：2t 2+10√3t +27=0 ∴ t 1+t 2=−5√3,t 1∗t 2=272根据参数方程的几何意义，由题可得：|AB|=√2∗|√2t 1−√2t 2|=2√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√21． [选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x +1|+|x +m|，g(x)=x 2+3x +2．（1）若m >0且f(x)的最小值为1，求m 的值；（2）不等式f(x)≤3的解集为A ，不等式g(x)≤0的解集为B ，B ⊆A ，求m 的取值范围．【答案】f(x)=|x +1|+|x +m|≥|(x +1)−(x +m)|=|1−m|（当x =−1时，等号成立） ∵ f(x)的最小值为 1，∴ |1−m|=1，∴ m =2或m =0，又m >0，∴ m =2．由g(x)≤0得，B =[−2, −1]，∵ B ⊆A ，∴ ∀x ∈B ，f(x)≤3，即−(x +1)+|x +m|≤3⇔|x +m|≤x +4⇔−x −4≤x +m ≤x +4⇔x ≥−m+42且m ≤4⇔−m+42≤−2且m ≤4⇔0≤m ≤4．【考点】函数的最值及其几何意义函数与方程的综合运用【解析】（1）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，求解m 即可．（2）求出集合B ，推出集合的包含关系，转化为绝对值不等式，推出结果即可．【解答】f(x)=|x +1|+|x +m|≥|(x +1)−(x +m)|=|1−m|（当x =−1时，等号成立） ∵ f(x)的最小值为 1，∴ |1−m|=1，∴ m =2或m =0，又m >0，∴ m =2．由g(x)≤0得，B =[−2, −1]，∵ B ⊆A ，∴ ∀x ∈B ，f(x)≤3，即−(x +1)+|x +m|≤3⇔|x +m|≤x +4⇔−x −4≤x +m ≤x +4⇔x ≥−m+42且m ≤4⇔−m+42≤−2且m ≤4⇔0≤m ≤4．。

2018年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

D．（0，+∞]
2．（5 分）已知复数 z 满足 zi＝3+4i，则复数 z 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（5 分）若一组数据 x1，x2，…，xn 的方差为 1，则 2x1+4，2x2+4，…，2xn+4 的方差为（）（5 分）设 x，y 满足约束条件
，则 z＝2x﹣y 的最大值为（）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．（5 分）已知等比数列{an}满足 a1＝1，a3•a5＝4（a4﹣1），则 a7 的值为（）
A．2
B．4
C．
D．6
6．（5 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD＝60°，E，F 分别为 BC，CD
的中点，则
＝（）
（t 为参数）．在
极坐标系（与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半
轴为极轴）中，圆 C 的方程为
．
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求|AB|的大小．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 f（x）＝|x+1|+|x+m|，g（x）＝x2+3x+2．
13．（5 分）已知函数
，若 f（x）＝﹣1，则 x＝
．
14．（5 分）已知双曲线
，过其中一个焦点分别作两条渐近线的
垂线段，两条垂线段的和为 a，则双曲线的离心率为
．
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15．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cos2A+3cosA＝1，b＝5，

安徽省马鞍山市2017-2018学年高三下学期第二次模拟数学(文)试卷 Word版含解析

2017-2018学年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分1．已知全集U=Z，集合A={x|x2=x}，B={﹣1，0，1，2}，则如图中的阴影部分所表示的集合等于（）A． {﹣1，2} B． {﹣1，0} C． {0，1} D． {1，2}2．复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C． 3﹣4i D． 3+4i3．“任意x∈R，2x2+x﹣1≤0”的否定为（）A．任意x∈R，2x2+x﹣1≥0 B．存在x0∈R，2x02+x0﹣1＞0C．任意x∈R，2x2+x﹣1≠0 D．存在x0∈R，2x02+x0﹣1≤04．如图所示，程序框图的输出结果为（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 75．已知A，B，C是圆O上的三点，若=（），则与的夹角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 90°6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，则该零件的表面积为（）A． 37π B． 46π C． 50π D． 54π7．圆C：x2+y2+2x+2y+1=0被直线l：x+y+1=0截得的劣弧长为（）A． B． C． D．8．若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥不对立 B．对立不互斥 C．互斥且对立 D．以上都不对9．已知平面区域Ω：，则Ω的面积为（）A． 11 B． 13 C． 15 D． 1710．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b），其中a＜b则下列关于f（x）的说法正确的是（） A．若函数f（x）在区间（m，n）内只有一个零点，则必有f（m）f（n）＜0B．若函数f（x）在区间（m，n）内有两个零点，则必有f（m）f（n）＜0C．若函数y=f（x）﹣t（t＞0）在R上有两个零点α，β（α＜β），则必有α＜a＜b ＜βD．若函数y=f（x）﹣t在R上有两个零点α，β（α＜β），则存在实数t，使得α+β＞a+b二、填空题：每小题5分，共25分11．已知直线4x﹣y+4=0与抛物线y=ax2相切，则a= ．12．已知等比数列{a n}满足a m•a n=a23，则+的最小值是．13．已知函数f（x）=，则f（log29）= ．14．若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S=a2﹣（b﹣c）2，则sinA= ．15．对于函数f（x）=，给出下列结论：①f（x）为奇函数；②x=是f（x）的一条对称轴；③2π是f（x）的一个周期；④f（x）在[﹣，]上为增函数；⑤f（x）的值域为[﹣，]；其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题16．已知△ABC的面积为2，且满足0＜≤4，设和的夹角为θ（1）求tanθ的取值范围（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的最值．17．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表汇总①、②位置相应的数据，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率．18．如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD．FC∥EA，G，H分别是AB，EF的中点，EA=AB=2CF=2（Ⅰ）证明：GH∥平面BCF；（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．19．设数列{a n}前n项的和S n=n2（Ⅰ）求数列a n}的通项公式（Ⅱ）设b n=a3+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项的和T n．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，其中a∈R．（Ⅰ）谈论函数f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，若存在x1，x2，使得f（x1）•f（x2）＜0，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C的焦点是F1（0，﹣），F2（0，），点P在椭圆C上且满足|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）若A为椭圆C的下顶点，过点A的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点P，Q（P，Q与A不重合），试证明直线PQ经过定点．2015年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分1．已知全集U=Z，集合A={x|x2=x}，B={﹣1，0，1，2}，则如图中的阴影部分所表示的集合等于（）A． {﹣1，2} B． {﹣1，0} C． {0，1} D． {1，2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：规律型．分析：由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），然后根据集合的基本运算即可．解答：解：∵A={x|x2=x}，∴A={x|x=0或x=1}={0，1}，由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），∴∁U A={x|x∈Z且x≠0且x≠1}，∴B∩（∁U A）={﹣1，2}．故选：A．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C． 3﹣4i D． 3+4i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．解答：解：（）2=[]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．故选A．点评：本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．3．“任意x∈R，2x2+x﹣1≤0”的否定为（）A．任意x∈R，2x2+x﹣1≥0 B．存在x0∈R，2x02+x0﹣1＞0C．任意x∈R，2x2+x﹣1≠0 D．存在x0∈R，2x02+x0﹣1≤0考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称的否定是特称写出结果即可．解答：解：因为全称的否定是特称，所以，“任意x∈R，2x2+x﹣1≤0”的否定为：存在x0∈R，2x02+x0﹣1＞0．故选：B．点评：本题考查的否定，全称与特称的否定关系，基本知识的考查．4．如图所示，程序框图的输出结果为（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=121时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1满足条件S＜100，S=4，k=2满足条件S＜100，S=13，k=3满足条件S＜100，S=40，k=4满足条件S＜100，S=121，k=5不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图和算法，正确依次写出每次循环得到的S，k 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．已知A，B，C是圆O上的三点，若=（），则与的夹角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 90°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意和向量的运算可得BC为圆O的直径，进而由直径所对的圆周角为直角可得结论．解答：解：∵A，B，C是圆O上的三点，=（），∴根据向量加法的运算，几何意义得出O为BC的中点，即BC为圆O的直径，∴圆周角∠CAB=90°∴与的夹角为90°．故选：D点评：本题考查向量的夹角，涉及圆的知识，属基础题．6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，则该零件的表面积为（）A． 37π B． 46π C． 50π D． 54π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的各面面积，累加可得答案．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，其表面相当于底面半径为3高为2圆柱表面积与底面半径为2，高为4圆柱侧面积之和，底面半径为3高为2圆柱表面积为2π×3×（3+2）=30π，底面半径为2，高为4圆柱侧面积为：2π×2×4=16π，故组合体的表面积S=30π+16π=46π，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．7．圆C：x2+y2+2x+2y+1=0被直线l：x+y+1=0截得的劣弧长为（）A． B． C． D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心（﹣1，﹣1）到直线l：x+y+1=0的距离为d的值，设弦长对的圆心角为2θ，则由cosθ=的值，可得θ的值，从而求得2θ的值，今儿求得弦对的弧长．解答：解：圆C：x2+y2+2x+2y+1=0，即（x+1）2+（y+1）2 =1，它的圆心（﹣1，﹣1）到直线l：x+y+1=0的距离为d==，设弦长对的圆心角为2θ，则由cosθ==，可得θ=，2θ=，故弧长等于圆周长的，即×2π×1=，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于基础题．8．若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥不对立 B．对立不互斥 C．互斥且对立 D．以上都不对考点：概率的基本性质．专题：计算题．分析：通过举例子，得到满足P（A∪B）=P（A）+P（B）的两个事件不一定互斥也不一定对立．解答：解：设X是[0，1]上的均匀分布而事件A={0≤X≤0.5}事件B={0.5≤X≤1}显然P（A）=P（B）=0.5而P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.5+0.5=1但 AB={0.5} 不是空集所以事件A和B不互斥而若事件A={0≤X＜0.5}事件B={0.5＜X≤1}显然P（A）=P（B）=0.5，而P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.5+0.5=1，P（AB）=0显然事件A和B不对立，但AB是空集故选：D．点评：本题考查要说明一个为假，只需一个反例即可，属于基础题．9．已知平面区域Ω：，则Ω的面积为（）A． 11 B． 13 C． 15 D． 17考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据对应的图象即可求出对应的面积．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，解得，即C（﹣1，﹣1），当，解得，即A（﹣2，），由，解得，即B（﹣2，），由，解得，即E（4，﹣），由，解得，即D（4，），则△ABC的面积为=，则△CDE的面积为=[﹣（﹣）]×[4﹣（﹣1）]=，则阴影部分的面积之和为+=13，故选：B．点评：本题主要考查阴影部分的面积的计算，根据条件作出对应的平面区域是解决本题的关键．10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b），其中a＜b则下列关于f（x）的说法正确的是（） A．若函数f（x）在区间（m，n）内只有一个零点，则必有f（m）f（n）＜0B．若函数f（x）在区间（m，n）内有两个零点，则必有f（m）f（n）＜0C．若函数y=f（x）﹣t（t＞0）在R上有两个零点α，β（α＜β），则必有α＜a＜b ＜βD．若函数y=f（x）﹣t在R上有两个零点α，β（α＜β），则存在实数t，使得α+β＞a+b考点：的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由于函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b），其中a＜b，令f（x）=0，可得x=a或b，因此函数f（x）有两个零点．A．若函数f（x）在区间（m，n）内只有一个零点，则必有f（m）f（n）≤0，即可判断出正误；B．若函数f（x）在区间（m，n）内有两个零点，则必有f（m）f（n）＞0，即可判断出正误；C．函数f（x）=t（t＞0）在R上有两个零点α，β（α＜β），则必有α＜a＜b＜β，即可判断出正误；D．函数f（x）=t在R上有两个零点α，β（α＜β），根据对称性可得：α+β=a+b，即可判断出正误．解答：解：由于函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b），其中a＜b，令f（x）=0，可得x=a或b，因此函数f（x）有两个零点．A．函数f（x）在区间（m，n）内只有一个零点，则必有f（m）f（n）≤0，因此不正确；B．若函数f（x）在区间（m，n）内有两个零点，则必有f（m）f（n）＞0，因此不正确；C．函数f（x）=t（t＞0）在R上有两个零点α，β（α＜β），则必有α＜a＜b＜β，正确；D．函数f（x）=t在R上有两个零点α，β（α＜β），则α+β=a+b，因此不存在实数t，使得α+β＞a+b，不正确．故选：C．点评：本题考查了函数零点存在定理、二次函数的零点与对称性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题：每小题5分，共25分11．已知直线4x﹣y+4=0与抛物线y=ax2相切，则a= ﹣1 ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立直线与抛物线方程组成方程组，通过判别式为0qj jk．解答：解：直线4x﹣y+4=0与抛物线y=ax2联立，消去y可得：ax2﹣4x﹣4=0，a≠0，因为直线4x﹣y+4=0与抛物线y=ax2相切，所以△=16+16a=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．12．已知等比数列{a n}满足a m•a n=a23，则+的最小值是．考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质可得m和n均为正整数，且m+n=6，可得+=（+）（m+n）=（5++），由基本不等式可得．解答：解：∵等比数列{a n}满足a m•a n=a23，∴m和n均为正整数，且m+n=6，∴+=（+）（m+n）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当=即m=2且n=4时取等号，∴+的最小值为：故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及基本不等式求最值，属基础题．13．已知函数f（x）=，则f（log29）= ﹣．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：注意分段函数各段的范围，由对数的性质和运算法则，结合对数恒等式=N，计算即可得到．解答：解：由于函数f（x）=，则f（log29）=f（log29﹣1）﹣1=f（log2）﹣1=f（log2﹣1）﹣2=f（log2）﹣2=f（log2﹣1）﹣3=f（log2）﹣3=f（log2﹣1）﹣4=f（log2）﹣4=﹣4=﹣4=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查分段函数的运用：求函数值，注意各段的范围，考查对数的性质和运算法则及对数恒等式，属于中档题．14．若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S=a2﹣（b﹣c）2，则sinA= ．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用余弦定理求得 4﹣4cosA=sinA，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得 tan的值，可得sinA=的值．解答：解：△ABC中，由于面积S=a2﹣（b﹣c）2 =b2+c2﹣2bc•coA﹣（ b2+c2﹣2bc）=2bc ﹣2bc•cosA，而S=bc•sinA，∴2bc﹣2bc•cosA=bc•sinA，求得 4﹣4cosA=sinA，即4﹣4（1﹣2）=2sin cos，∴tan=，∴sinA====，故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．15．对于函数f（x）=，给出下列结论：①f（x）为奇函数；②x=是f（x）的一条对称轴；③2π是f（x）的一个周期；④f（x）在[﹣，]上为增函数；⑤f（x）的值域为[﹣，]；其中正确的结论是①③④（写出所有正确结论的序号）考点：的真假判断与应用．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：①由于2+cosx≠0，因此函数f（x）的定义域为R．利用奇函数的定义判断f（﹣x）=﹣f（x）是否成立即可；②判定=是否成立即可；③判定f（x+2π）=f（x）是否成立即可；④利用导数研究其单调性即可得出；⑤由④可得得出函数f（x）的值域．解答：解：①由于2+cosx≠0，因此函数f（x）的定义域为R．∵f（﹣x）===﹣f（x），∴f（x）为奇函数，正确；②∵==，==，∴≠，因此x=不是f（x）的一条对称轴，不正确；③∵∀x∈R，f（x+2π）===f（x），∴2π是f（x）的一个周期，正确；④∵f′（x）==，由f′（x）≥0，解得x∈（k∈Z），当k=0时，可得函数f（x）的一个单调递增区间为，因此f（x）在[﹣，]上为增函数，正确；⑤由④可得：f（x）的值域为，因此⑤不正确．综上可得：只有①③④正确．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题16．已知△ABC的面积为2，且满足0＜≤4，设和的夹角为θ（1）求tanθ的取值范围（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的最值．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：三角函数的求值．分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围；（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ﹣），由θ的范围和三角函数公式可得答案．解答：解：（1）由题意可得=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴=cbcosθ==，由0＜≤4，可得0＜≤4，解得tanθ≥1；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣），由（1）知tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴θ∈[，），所以2θ∈[，），∴sin（2θ）∈[，1]，∴1+2sin（2θ）∈[2，3]，∴f（θ）的取值范围为：[2，3]．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．17．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（Ⅱ）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率．考点：频率分布表．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率、频数与样本容量的关系，求出①、②的数值，并画出频率分布直方图；（Ⅱ）先求出第2、5组的人数，再根据分层抽样原理，求出第2、5组应抽取的人数；（Ⅲ）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）根据题意，得；①小组[165，170）内的频数是100×0.150=15，②小组[170，175）内的频率=0.300，画出频率分布直方图如下；（Ⅱ）第2组有15人，第5组有20人，分层抽样方法从第2、5组中随机抽取7名学生，第2组中应抽取7×=3人，第5组中应抽取7﹣3=4人；（Ⅲ）第2组的学生记为a、b、c，第5组的学生记为1、2、3、4，从这7名学生中随机抽取2名学生，基本事件数是ab，ac，a1，a2，a3，a4，bc，b1，b2，b3，b4，c1，c2，c3，c4，12，13，14，23，24，34共21种不同取法；至少有1名学生来自第5组的基本事件数是：a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，c1，c2，c3，c4，12，13，14，23，24，34共18种不同取法；对应的概率为P==．点评：不同考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．18．如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD．FC∥EA，G，H分别是AB，EF的中点，EA=AB=2CF=2（Ⅰ）证明：GH∥平面BCF；（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明GH∥平面BCE，可找到底面菱形的对角线交点O，连OH，OG，证明平面GHO∥平面BCF，从而得到GH∥平面BCE；（Ⅱ）把多面体ABCDEF的体积转化为2V B﹣ACEF求解．解答：（Ⅰ）证明：如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连OH，OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，又∵G，H分别为AB，EF的中点，∴GO∥BC，HO∥CF，∴平面GHO∥平面BCF，∵GH⊂平面GHO，∴GH∥面BCF；（Ⅱ）解：∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BO，又BO⊥AC，∴BO⊥面ACEF，∴V ABCDEF=2V B﹣ACEF=2×=2×．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．设数列{a n}前n项的和S n=n2（Ⅰ）求数列a n}的通项公式（Ⅱ）设b n=a3+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项的和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由数列的前n项和结合a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把数列a n}的通项公式代入b n=a3+（﹣1）n a n，然后对n分类求和．解答：解：（Ⅰ）由S n=n2，得a1=S1=1，当n≥2时，=2n﹣1，当n=1时上式成立，∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）a3=2×3﹣1=5，b n=a3+（﹣1）n a n=5+（﹣1）n（2n﹣1），当n为偶数时，T n=5n﹣1+3﹣5+7﹣…+（2n﹣1）=；当n为奇数时，T n=5n﹣1+3﹣5+7﹣…+（2n﹣3）﹣（2n﹣1）=．点评：本题考查了数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了分类讨论求数列的和，是中档题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，其中a∈R．（Ⅰ）谈论函数f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，若存在x1，x2，使得f（x1）•f（x2）＜0，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求f′（x）=，这时候就要讨论a的取值，从而判断出使f′（x）＞0的区间和f′（x）＜0的区间，从而判断出f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可以得到当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（）上单调递减．而要存在，使得f（x1）•f（x2）＜0，只要使f（x）在上的最小值小于0，而最大值大于0即可．所以需要讨论a的取值，从而找出f（x）在的最小值和最大值建立关于a的不等式，解不等式即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=；函数f（x）的定义域为（0，+∞）；①若a≤0，则x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；∴此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②若a＞0，则x时，f′（x）＞0；x∈（）时，f′（x）＜0；f（x）在（0，）上单调递增，在[）上单调递减；（Ⅱ）①若0＜≤，即a≥e，则f（x）在上单调递减；∴此时，f（x）；∴不存在，使f（x1）•f（x2）＜0；②若，即则f（x）在（，）上单调递增，在（）上单调递减；∴是f（x）在上的最大值；∵；∴要存在，使得f（x1）•f（x2）＜0，只要：﹣lna＞0；∴0＜a＜1；∴此时；③若，即0，则f（x）在[]上单调递增；f（e）=2﹣ae是f（x）在[]上的最大值；∴只需2﹣ae＞0；∴；∴此时；综上得实数a的取值范围为（0，1）．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及根据导数找单调区间的方法和过程，对于第二问，想到求f（x）在的最小值和最大值，并使最小值小于0，最大值大于0是求解本问的关键．21．已知椭圆C的焦点是F1（0，﹣），F2（0，），点P在椭圆C上且满足|PF1|+|PF2|=4 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）若A为椭圆C的下顶点，过点A的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点P，Q（P，Q与A不重合），试证明直线PQ经过定点．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）根据椭圆的定义得出，结合a，b，c的关系判断即可．（II）设l1：y=kx﹣2，l2：y=﹣2，运用方程组得出P（，），把﹣代入k得出Q（，），运用特殊位置，猜想定点M（0，﹣），再运用斜率公式证明三点共线即可．解答：解：（I）∵椭圆C的焦点是F1（0，﹣），F2（0，），点P在椭圆C上且满足|PF1|+|PF2|=4，∴2a=4，a=2，c=，b=，=1，（Ⅱ）∵A为椭圆C的下顶点，∴A（0，﹣2），设l1：y=kx﹣2，l2：y=﹣2，或即（4+k2）x2﹣4kx=0，x=，y=，P（，），把﹣代入k得出Q（，）当k=1时P（，﹣），Q（﹣，），猜想定点为M（0，﹣），∴K PM=，K QM=，即K PM，=K QM=，所以P，Q，M三点共线，直线PQ经过定点M（0.）．点评：本题考查了直线与椭圆方程的运用，直线与椭圆的位置关系，计算量大，化简仔细，运用特殊位置得出定点，再论证，难度较大．。

2018届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测理科数学试题(扫描版)

2018年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测理科数学参考答案B B B A D BC 3121131=4n n n n n n a a a a a a a a ++++-+=++==+=∴24444(4)=n n n n a a a a +++=-=--，∴{}n a 是周期为4的数列，且12341,2,3,2a a a a ====， ∴1235012350a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅=1(15949)⋅++++2(261050)+⋅++++3(371147)+⋅++++2(481248)+⋅++++ =2525．第II 卷（非选择题，共90分）15．6π16．44[,)913--提示：()0g x =(2)a x ⇔-()gx 有三个零点⇔()max{(h x f x =的图象（图中粗线部分）与直线(2)y a x =-有三个公共点．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）如图，ABC △中A 为钝角，过点A 作AD AC ⊥交BC 于D ，已知AB =，2AD =．（1）若30B =︒，求BAD ∠ 的大小；（2）若3BC BD =，求BD 的长．【命题意图】本题考查解三角形有关知识，难度：简单题．解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠ ， 2sin 30=︒， …3分解得sin ADB ∠=，又ADB ∠为钝角，则120ADB ∠=︒ ，故30BAD ∠=︒．…………6分（另解：在ABD △中，由余弦定理解得2BD =，从而ABD △是等腰三角形，得30BAD ∠=︒）（2）设BD x =，则2DC x =．∵AD AC ⊥，∴21cos 2ADC x x ∠==，∴1cos ADB x∠=-． ……………………9分 D CB A在ABD △中由余弦定理得，28cos 4x ADB x-∠==， ∴2814x x x-=-，解得2x =，故2BD =． ……………………12分注：其他解法请酌情给分． 18．（12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸()x mm 之间近似满足关系式by ax =（,a b 为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如1(ln ln )i i i x y 6(ln )i x6(ln )i y 62(ln )i x 75.3 24.6 18.3101.4（1）根据所给数据，求（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间()97e e ，内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望．附：对于一组数据11()v u ，，22()v u ，，()n n v u L ，，，其回归直线u v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni ii ni i v u nv uv nv ，ˆˆuv ．【命题意图】本题考查线性回归和随机变量的分布列有关知识，对学生运算有一定要求，难度：中等题．解：（1）对(,0)b y ax a b ，两边取自然对数得ln ln ln y b x a ，……………………2分令ln ,ln i i iiv x u y ，得ln u bv a ，由12211ˆ2ni ii ni i v u nv ub v nv ， ……………………4分 ˆln 1aˆae ，故所求回归方程为12yex ． ……………………6分（2）由1212(,)498158,68,7897yex e e e x x x xx，即优等品有3件， ………7分的可能取值是0，1，2，3，且 ……………………8分0333361(0)20C C P C ，1233369(1)20C C P C ， 2133369(2)20C C P C ， 3033361(3)20C C PC ． ……………………10分∴19913()0123202020202E ． ……………………12分 19．（12分）如图，在五棱锥M ABCDE -中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ， 24AD BC ==，AB =，MEA △和MED △都是边长为的正三角形．（1）求证：ME ⊥面MBC ；（2）求二面角B MC D --的大小．【命题意图】本题考查空间线面关系的证明和二面角的计算，对空间想象能力和运算能力都有一定要求，难度：中等题．解：（1）证明：分别取AD 和BC 的中点O ，F ，连接OF ，OM ，MF ．由平面几何知识易知,,E O F 共线，且EF BC ⊥．………1分由4AE DE AD ===得2OE =，从而AOM △≌△EOM ≌△DOM ， ∴OM AD ⊥，又//AD BC ，∴OM BC ⊥．∴BC ⊥面MEF ，∴BC ME ⊥．……………………………………3分在Rt △EOM中，2OM =，∴MF =，在等腰梯形ABCD 中，2OF ，=4EF ，∴222EF ME MF =+，∴ME MF ⊥， ……………………………………5分又MF BC F =I ，,MF BC ⊂面MBC ，∴ME ⊥面MBC ． ………………………6分（2）由（1）知MO ⊥面ABCDE 且OA OF ⊥，故建立空间直角坐标系如图所示．…7分则(0,0,2)M ，(0,2,0)E -，(1,2,0)C -，(2,0,0)D -，(1,2,0)DC =u u u r ，(2,0,2)DM =u u u u r ．由（Ⅰ）知面MBC 的法向量为(0,2,2)EM =u u u u r．…8分设面MDC 的法向量为(,,)n x y z =r，则由00n DC n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得20220x y x z +=⎧⎨+=⎩，令2x =，得(2,1,2)n =--r，∴EM cos ,EM EM n n n ⋅<>===⋅r u u u rr u u u r r u u u r ……11分所以，二面角B MC D --大小为135︒． ……12分20．（12分）直线4y kx =+与抛物线C ：22(0)x py p =>交于A 、B 两点，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，其中O 为原点．（1）求此抛物线的方程；（2）当0k =时，过A B ,分别作的切线相交于点D ，点E 抛物线C 上在A B ,之间的任一点，抛物线C 在点E 处的切线分别交直线AD 和BD 于点,P Q ，求ABE ∆与PQD ∆的面积比．【命题意图】本题考查抛物线相关知识的综合运用，难度：中等题．解：(1) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将4y kx =+代入22x py =，得2280x pkx p --=．其中0∆>， 122x x pk +=，128x x p =-． ……………………2分所以，221212121228164x x OA OB x x y y x x p p ⋅=+=+=-+u u u r u u u r ．由已知，8160p -+=，2p =．所以抛物线的方程24x y =． ……………………5分A D E M(2) 当0k =时，(4,4)A -，(4,4)B ，易得抛物线C 在A B ,处的切线方程分别为24y x =--和24y x =-．从而得(0,4)D -． ……………………………………7分设2(2,)(22)E a a a -<<，则抛物线C 在E 处的切线方程为2y ax a =-，设直线PQ 与x 轴交点为M ，则2(0,)M a -．由2y ax a =-和24y x =--联立解得交点(2,2)P a a --，由2y ax a =-和24y x =-联立解得交点(2,2)Q a a +， ……………………………………9分所以2211(4)(2)(2)2422PQD P Q S DM x x a a a a ∆=-=-----+=-， 22114844422ABE E S AB y a a ∆=-=⨯⨯-=-， ……………………………………11分所以ABE ∆与PQD ∆的面积比为2． ……………………12分注：其他解法请酌情给分． 21．（12分）已知函数()ln g x x x =，21()(0)2ax h x a -=>．（1）若()()g x h x <对(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：不等式3422212(1)(1)(1)ne n n n+++<L 对于正整数n 恒成立，其中 2.71828e =L 为自然对数的底数．【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，难度：难题．解：（1）法一：记21()()()ln 22a f x g x h x x x x =-=-+，则()()ln 1x f 'x x ax ϕ==+-，1()'x a xϕ=-， ① 当1a ≥时，∵(1,)x ∈+∞，∴1()10'x a a xϕ=-<-≤，∴()f 'x 在(1,)+∞上单减，又(1)10f 'a =-≤，∴'()0f x <，即()f x 在(1,)+∞上单减，此时，1()(1)02a f x f -<=-≤，即()()g x h x <； ② 当01a <<时，考虑1(1,)x a ∈时，1()0'x a a a xϕ=->-=，∴()f 'x 在1(1,)a 上单增，又(1)10f 'a =-≥，∴'()0f x >，即()f x 在1(1,)a上单增，综上所述，[1,)a ∈+∞． ……………………5分法二：当(1,)x ∈+∞时，()()g x h x <等价于22ln 1()x x a F x x +>=， 32(1ln )()x x x F'x x--=，记()1ln m x x x x =--，则()ln 0m'x x =-<， ∴()m x 在(1,)+∞上单减，∴()(1)0m x m <=，∴()0F'x <，即()F x 在(1,)+∞上单减，()(1)1F x F <=，故[1,)a ∈+∞． …………5分（2）由（Ⅰ）知：取1a =，当(0,)x ∈+∞时，()()g x h x <恒成立，即21ln 2x x x -<恒成立，即21ln 2x x x -<恒成立， ……………………7分即22(112ln(1)2(1)2(1)x x xx x x +-++<=++）对于(0,)x ∈+∞恒成立，由此，222222222()2()11ln (1)()(),1,2,,2212()2k k k k k k k n n k n k n n n k n n n++<=+≤+=+++L ，于是2222221212ln[(1)(1)(1)]ln (1)ln(1)ln(1)n nn n n n n n+++=++++++L L22222211212()2111n n n n n n n n <++++++++++L L 221(1)(1)()41n n n n n n ++=++32322212211221[3]44(1)(1)n n n n n n n n n n +++-+-=⋅=-++ 221(1)(1)3[3]44(1)n n n n n -+-=-≤+，故3422212(1)(1)(1)ne n n n+++<L ． ……………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为：(x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρθ=（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求AB 的大小.分分2)24=分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()1f x x x m =+++，2()32g x x x =++．（1）若0m >且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）不等式()3f x 的解集为A ，不等式()0g x 的解集为B ，B A ⊆，求m 的取值范围．【命题意图】本题考查含绝对值不等式基本知识，难度：中等题．解：（1）()1(1)()1f x x x m x x m m =++++-+=-（当1x =-时，等号成立） ∵()f x 的最小值为1，∴11m -=，∴2m =或0m =，又0m >，∴2m =．（2）由()0g x 得，[2,1]B =--，∵B A ⊆， ……………………5分 ∴x B ∀∈，()3f x ，即(1)3x x m -+++⇔4x m x ++⇔44x x m x --++⇔42m x +-且4m ⇔422m +--且4m ⇔04m ． ……………………10分。

数学-安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题(理)(解析版)

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1. 复数的共轭复数为（）A. B. C. D.2. 等比数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.3. 若实数满足约束条件则的最小值为（）A. 2B. 1C.D. 不存在4. 已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.5. 从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）A. B. C. D.6. 若，则的值不可能为（）A. B. C. D.7. 如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）A. B. 2 C. D.8. 如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.9. 二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（）A. 3B. 5C. 6D. 710. 设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.11. 已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.12. 已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652第Ⅱ卷二、填空题13. 已知向量满足，，则的夹角为__________．14. 点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．15. 已知四面体中，，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为__________．16. 已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.18. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.19. 如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.20. 直线与抛物线交于两点，且，其中为原点. （1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.21. 已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.23. 选修4-5：不等式选讲已知，.（1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】B【解析】根据题意化简得，，选A.【解析】当时,,当时，所以，故选B.3. 【答案】B【解析】由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点C(0，1)时，直线的纵截距z最小，所以的最小值为，故选B.4. 【答案】A【解析】对于函数f(x),当x≥0时，-x≤0,所以，同理当x<0时，，所以函数f(x)是偶函数.令，所以，所以函数h(x)是偶函数，所以排除B,D.当时，，故选A.5. 【答案】D【解析】由题得总的基本事件个数为,事件A分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有种方法，共有6种方法，所以由古典概型的公式得，故选D.6. 【答案】B【解析】由题得，所以，把代入，, 显然不成立，故选B.【解析】先读懂程序框图，由程序框图得，d表示的就是上半圆上的点到直线x-y-2=0的距离，画图由数形结合可以得到，故选C.8. 【答案】A【解析】先作出经过三点所在的平面，可以取的中点F，则平行四边形就是过三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截交线平行），所以剩下部分的三视图是A，故选A.9.【答案】D【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为，由题得为整数，所以故选D.10. 【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到与函数图象重合，则：，解得：，，当时，，故选C.11. 【答案】C【解析】设,由题得，所以，故选C.12.【答案】B【解析】由题得，.故选B.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】【解析】由题得, 因为,所以故填.14.【答案】【解析】由题得所以所以（舍去负根），所以，故填.15.【答案】【解析】∵，∴即为直角三角形，当面时，三梭锥的体积最大，又∵，外接圆的半径为，故外接球的半径满足，∴外接球的表面积为，故答案为.16.【答案】【解析】由题得有三个零点，所以有三个零点，所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点.所以由题得.所以所以a的取值范围为.三、解答题17.解：（1）在中，由正弦定理得，，解得，又为钝角，则，故.(另解：在中，由余弦定理解得，从而是等腰三角形，得）（2）设，则.∵，∴，∴.在中由余弦定理得，，∴，解得，故.18.解：（1）对，两边取自然对数得，令，得，由，，故所求回归方程为.（2）由，即优等品有3 件，的可能取值是0，1，2, 3，且,,.其分布列为∴.19.（1）证明：分别取和的中点，连接.由平面几何知识易知共线，且.由得，从而，∴，又，∴.∴面，∴.在中，，∴，在等腰梯形中，，∴，∴，又，面，∴面.（2）解：由（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.则，.由（1）知面的法向量为.设面的法向量为，则由，得，令，得，∴.所以，二面角大小为.20.解：（1）设，将代入，得.其中，.所以，.由已知，.所以抛物线的方程.（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，所以，，所以与的面积比为2.21. （1）解：法一：记，则，，①当时，∵，∴，∴在上单减，又，∴，即在上单减，此时，，即,所以a≥1.②当时，考虑时，，∴在上单增，又，∴，即在上单増，,不满足题意. 综上所述，.法二：当时，等价于，，记，则，∴在上单减，∴，∴，即在上单减，，故.（2）证明：由（1）知：取，当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，即对于恒成立，由此，，，于是，故.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程代入圆的方程可得：整理得：∴根据参数方程的几何意义，由题可得：.23.解：（1）(当时，等号成立）∵的最小值为1，∴，∴或，又，∴.（2）由得，，∵，∴，即且且.。

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，(0,)x ∈+∞时，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，又2()()f x f x x +-=，222()()()()0g x g x f x f x x x x ∴-+=-+-=-=()g x ∴为奇函数，又(0)0f =，()0g x ∴=，()g x ∴为(,)-∞+∞上的增函数，又(1)(1)2f a f a a +--≥ (1)(1)0g a g a ∴+--≥，即(1)(1)g a g a ∴+≥-，11a a ∴+≥-，0a ∴≥）．12x 或．921. 16．6π三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，2437,152a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和n T .【命题意图】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，意在考查学生解决问题的能力以及运算求解能力，中等题.解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则：113746152a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1352a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式：*233()n a n n N =+∈ ………….4分（2）由（1）知，2332(05)223322(233)(6)n n nn n n n a n n n ⎧+-<≤-=+-=⎨-+≥⎩， ① 当05n <≤时，23322332n n n n +-=+-，有： 21(35233)2(12)3422212n n n n n T n n +++-=-=+-+-， …………………………………….6分 ② 当6n ≥时，5133T =，23322(233)n n n n +-=-+512564(12)(45233)(5)234131122n n n n n T T n n -+-++--=-=--+-， 12234264n n T n n +=--+， …………………………………….10分综上所述：21*12*3422(05,)234264(6,)n n n n n n n N T n n n n N ++⎧+-+<≤∈=⎨--+≥∈⎩…………………………………….12分 18．（12分）如图，在三棱台111ABC A B C -中，11111224AB BC BB A B B C =====,且1B B ⊥面ABC ，90ABC ∠=︒，D G ,分别为AC BC ,的中点，EF ，为11A C 上两动点，且2EF =.（1）求证：BD GE ⊥；（2）求四面体B GEF -的体积.【命题意图】本题主要考查立体几何的基本知识、基本思想、基本方法，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，中等题.证明：（1）取AB 的中点O ,连接11OG OA C G ，，,AB BC =，D 为AC 的中点，BD AC ∴⊥，又AC ∥11A C ，11BD A C ∴⊥ ，BG ∥11B C ，且11BG B C =,∴四边形11BGC B 为平行四边形，1GC ∴∥1BB ,同理, 四边形11OBB A 为平行四边形, 1GC ∴∥1OA ∴四边形11OGC A 为平行四边形,1B B ⊥面ABC ,1C G ∴⊥面ABC , ……………………………3分 1C G ∴⊥BD ,又1111A C C G C ⋂=,BD ∴⊥面11A C GO , GE ⊂面11A C GO ,∴BD GE ⊥. ……………………………6分（2）1C G ⊥面ABC ， 1C G ⊂面11A C GO ，∴面11A C GO ⊥面ABC ，面11A C GO 面=ABC OG ,OG ∥AC ,BD AC ⊥,BM OG ∴⊥,BM ∴⊥面11A C GO ，∴BM 为点到面11A C GO的距离，即BM = ……………………………9分又11142422GEF S GC EF ∆=⨯⨯=⨯⨯=, 11433B GEFGEF V BM S -∆∴=⨯⨯==. ……………………………12分 19.（本小题满分12分）某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的22⨯列联表,并判断是否有95% 的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？G E FB 1C 1B CA 1D A MGE F B 1C 1C A 1DA附：2K （2）6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率。

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量数学试卷(理)含答案

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A ．12i -B ．12i+ C.1i -D ．1i-2．等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为（）ABC.D3．若实数,x y 满足约束条件10,310,10.x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为（）A ．2B ．1C.4-D ．不存在4.已知函数()4,04,0,x xe xf x e x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩()2gx x =，则函数()()y f x g x =⋅的大致图象是（）A ．B ．C.D．5.从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）A B D 6，则a 的值不可能为（）A B D 7.如图所示的一个算法的程序框图，则输出d 的最大值为（）A B ．2C.D 8.如图，点E 在正方体的棱1CC 上，且，削去正方体过1,,B E D 三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A ．B ．C.D ．9.11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的顶的个数为（）A ．3B ．5C.6D ．710．设0ω>，图象重合，则ω的最小值是（）ABD 11.已知,M N 为椭圆上关于长轴对称的两点，,A B 分别为椭圆的左、右顶点，设12,k k 分别为直线,MA NB 的斜率，则）A B D 12.已知数列{}n a满足对13n ≤≤时，n a n =，且对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为（）A ．2448B ．2525C.2533D ．2652第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,a b 满足，，则,a b 的夹角为．14.点F A B 、、分别为双曲线实轴端点、虚轴端点，且FAB∆为直角三角形，则双曲线C 的离心率为．15.已知四面体ABCD中，，当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为．16.个零点，则实数a 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，ABC∆中A 为钝角，过点A 作AD AC ⊥交BC 于D ，已知（1）若30B =︒，求BAD ∠的大小；（2）若3BC BD =，求BD 的长.18.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸()x mm 之间近似满足关系式by ax =(,a b 为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；（2.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记x 为取到优等品的件数，试求随机变量x 的分布列和期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v u v u v u ，其回归直线()u a b v=+的斜率和截距的最小二乘19.如图，在五棱锥M ABCDE -中，四边形ABCD 为等腰梯形，，MEA ∆和MED ∆都是边长为.（1）求证：ME ⊥面M BC ；（2）求二面角B M C D --的大小.20.直线4y kx =+与抛物线()2:20C x py p =>交于A B 、两点，且0OA OB ⋅=，其中O 为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当0k =时，过,A B 分别作C 的切线相交于点D ，点E 是抛物线C 上在,A B 之间的任意一点，抛物线C 在点E 处的切线分别交直线AD 和BD 于点,P Q ，求ABE ∆与PQD ∆的面积比.21.（1）若()()g x h x <对()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2对于正整数n 恒成立，其中 2.71828e = 为自然对数的底数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：（t 为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求.23.选修4-5：不等式选讲，()232g x x x =++.（1）若0m >且()f x的最小值为1，求m 的值；（2）不等式()3f x≤的解集为A，不等式()0g x≤的解集为B，B A⊆，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BBBAD6-10:BCADC11、12：CB 二、填空题14.15.6π三、解答题17.，又ADB ∠为钝角，则120ADB ∠=︒，故30BAD ∠=︒.(另解：在ABD ∆中，由余弦定理解得2BD =，从而ABD∆是等腰三角形，得30BAD ∠=︒）（2）设BD x =，则2D C x =.∵AD AC ⊥，∴在ABD ∆中由余弦定理得，，解得2x =，故2BD =.18.解：（1）对(),0b y ax a b =>，两边取自然对数得ln ln ln y b x a =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得ln u bv a =+，由，ln 1a a e =⇒=，（23件，ξ的可能取值是0，1，2,3，且其分布列为19.解：（1）证明：分别取AD 和BC 的中点,O F ，连接,,OF OM MF .由平面几何知识易知,,E O F 共线，且EF BC ⊥.得2OE =，从而AO M EO M D O M ∆≅∆≅∆，∴O M AD ⊥，又//AD BC ，∴O M BC ⊥.∴BC ⊥面MEF ，∴BC M E ⊥.在Rt EOM ∆中，在等腰梯形ABCD中，∴222EF ME MF =+，∴ME MF ⊥，又M F BC F ⋂=，,MF BC ⊂面M BC ，∴ME ⊥面M BC .（2）由（1）知MO ⊥面ABC D E 且OA O F ⊥，故建立空间直角坐标系如图所示.则()()(),,(0,0,20,2,01,2,02,0,0),M E C D ---，()()1,2,0,2,0,2DC DM ==.由（1）知面M BC 的法向量为设面MDC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DC n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得20220x y x z +=⎧⎨+=⎩，令2x =，得()2,1,2n =--，所以，二面角B M C D --大小为135︒.20.解：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，将4y kx =+代入22x py =，得2280x pkx p --=.其中 0∆>，12122,8x x px x x p +==-.由已知，8160,2p p -+==.所以抛物线的方程24x y =.（2）当0k =时，()()4,4,4,4A B -，易得抛物线C 在,A B 处的切线方程分别为24y x =--和24y x =-.从而得()0,4D -.设()()222,2E a a a -<<，则抛物线C 在E 处的切线方程为2y ax a =-，设直线PQ 与x 轴交点为M ，则()20,M a -.由2y ax a =-和24y x =--联立解得交点()2,2P a a --，由2y ax a =-和24y x =-联立解得交点()2,2Q a a +，所以ABE ∆与PQD ∆的面积比为2.21.解：（1则()()ln 1x f x x axϕ'==+-，①当1a ≥时，∵()x 1,∈+∞，∴，∴()f x '在()1,+∞上单减，又()110f a '=-≤，∴()0f x '<，即()f x 在()1,+∞上单减，，即() ()g x hx <；②当01a <<时，，∴()f x '在又()110f a '=-≥，∴()0f x '>，即()f x 在综上所述，[)1,a ∈+∞.法二：当()x 1,∈+∞时，()()g x h x <等价于，记()1ln m x x x x=--，则()ln 0m x x '=-<，∴()m x 在()1,+∞上单减，∴()0(1)m x m <=，∴0()F x '<，即()F x 在()1,+∞上单减，()1(1)F x F <=，故[)1,a ∈+∞.（2）由（1）知：取1a =，当()0,x ∈+∞时，()()g x hx <恒成立，对于()0,x ∈+∞恒成立，，1,2,,kL n =，22.解：（1，得圆C 的直角坐标方程为：（2）(法一)由直线l 的参数方程可得直线l 的普通方程为：代入圆C 方程消去y 可得(也可以用几何方法求解）(法二）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得：根据参数方程的几何意义，由题可得：23.解：（1当1x =-时，等号成立）∵()f x 的最小值为1，∴2m =或0m =，又 0m >，∴2m =.（2）由()0g x ≤得，[]2,1B =--，∵B A ⊆，∴(),3x B f x ∀∈≤，即且404m m ≤⇔≤≤.。