解不等式和数形结合解含参数不等式

数形结合解不等式和数形结合解含参数不等式问题教案

（新授）

Ⅰ、课题引入

1、引例：已知C <0，试比较1,2,2C

C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小． 分析 这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在

同一坐标系中，画出三个函数：1231,2,2x

x y x y y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的图象位于y 轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：122C

C C ⎛⎫>> ⎪⎝⎭

。 2、学生思考后教师指出：数形结合是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化、复杂问题简单化。

数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的问题。

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，应用数形结合的思想方法解题，通常从以下几个方面入手：①函数与函数图象；②不等式与函数图象；③曲线与方程；④参数本身的几何意义；⑤代数式的结构特点；⑥概念自身的几何意义；⑦可行域与目标函数最值。

其中不等式、参数问题与最值问题是本节课的研究重点。

Ⅱ、探索新知

例1．

x > 解：原不等式等价于20()202x I x x x ⎧≥⎪+≥⎨⎪+>⎩

或0()20x II x <⎧⎨+≥⎩，

解得()02()20I x II x ≤<-≤<；

综上可知，原不等式的解集为{|22}x x -≤<

另解：12y y x =

=，则原不等式的解就是使

1

y =的图象在2y x =的上方的那段对

应的横坐标，故由图象可知解集为{|22}.x x -≤< 例

2．若关于x 的方程x 2 + 2kx + 3k = 0的两根都在-1和3之间，求k 的取值范围.

解：解法一：令f (x) = x 2 + 2kx + 3k ，

其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x) = 0的解，由y = f (x)的图

象可知，要使两根都在-1和3之间，只需⎩⎨⎧f

(-1) > 0f (3) > 0- 1 < - k < 34k 2

- 12k ≥0，∴k ∈(- 1，0]. 解法二：设函数f (x) = x 2，g(x) = -2k(x + 32)，问题转化为两函数图

象的两个交点的横坐标必须在- 1和3之间.

画出两函数图象（如图），而PA 、PB 的斜率相等，都是2，∴0≤- 2k < 2，即k ∈(- 1，0]

例3．求函数u = 2t + 4 + 6 - t 的最值.

[分析]由于等式右端根号内同为t 的一次式，故作简单换元，设2t + 4 = m ，无法转化为一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：设x = 2t + 4，y = 6 - t ，u = x = y ，且x 2 + 2y 2 = 16 (0

≤x ≤4，0≤y ≤22)，

所给函数化为以u 为参数的直线方程y = - x + u ，它与椭圆x 2 +

2y 2 = 16在第一象限的部分(包括端点)有公共点(如图)时u min = 22；

当直线与椭圆相切于第一象限时，u 取最大值.

由⎩⎨⎧y = - x + u x 2 + 2y 2 = 16得3x 2 – 4ux + 2u 2 – 16 = 0， 解△ = 0得u = ±26，取u = 26，即u max = 2 6.

Ⅲ、巩固练习

练习一：

1x >+（学生作答，教师总结）

解法一 （用代数方法求解），此不等式等价于：

()

22502501010251x x x x x x ⎧+≥⎪+≥⎧⎪+≥⎨⎨+<⎩⎪+>+⎪⎩或 解得：51122x x -≤<--≤<或 故原不等式的解集是522x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭

解法二 （采用图象法）

设2552,,022y y x x y ⎛⎫⎛⎫==+≥-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

对应的曲线是以5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭

为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．

1x =+可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是522x x ⎧

⎫-≤<⎨⎬⎩⎭

． 借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，

可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．

练习二：已知x ，y 满足22

11625

x y +=，求3y x -的最大值和最小值。 分析：对于二元函数3y x -在22

11625

x y +=限定条件下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。

令3y x b -=，则3y x b =+，原问题转换为：在椭圆22

11625

x y +=上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y 轴上的截距最大或最小。

由图形所知，当直线3y x b =+与椭圆22

11625

x y +=相切时，

有最大

截距与最小截距。

y x b x y x bx b =++=⎧⎨⎪⎩

⎪⇒++-=3162511699616400022

22 由，得±，故的最大值为，最小值为。∆==--01331313b y x

Ⅳ、归纳小结

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，在解不等式问题中、参数问题及最值问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

Ⅴ、作业

1．若不等式x + a ≥x(a > 0)的解集为{x|m ≤x ≤n}，且|m – n| = 2a ，则a

的值为[ ]

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解：画出y = x + a 及y = x 的图象，依题意，m = - a ，n = a ， 从而x + a = a =>a = 0或a = 2，选B.

2．若x ∈(1，2)时，不等式(x – 1) 2 < log a x 恒成立，则a 的取值范围为[ ]

A. （0，1）

B. （1，2）

C. （1，2]

D. [1，2]

解：令y 1= (x – 1) 2 ，y 2 = log a x ，

若a >1，两函数图象如图所示，显然当x ∈(1，2)时，

要使y 1 < y 2，只需使log a 2≥(2 – 1) 2，即a ≤2，

∴当1 < a ≤2时，不等式(x – 1) 2 < log a x 对x ∈(1，2)恒成立。

若0 < a < 1，两函数图象如下图所示，显然当x ∈(1，2)时，

不等式(x – 1) 2 < log a x 恒不成立，可见应选C.

3．f (x) = x 2 + bx + c 对任意实数t 都有f (2 + t) = f (2 – t)，则f (1)、f (- 3)、

f (4)由小到大依次为________。

解：由f (2 + t) = f (2 – t)知，f (x)的图象关于直线x=2对称，又f (x) = x 2 +

bx + c 为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f (x)的图象，易知f

(1) < f (4) < f (- 3).