含参数不等式的解法(含答案)

含参数不等式的解法
典题探究
例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )2
4
(
sin sin 4)(2
<-++
=m B f B B
B B f 且π
恒成立，求实数m 的范围。

例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2
,0(4,cos sin π
π
∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

演练方阵
A 档（巩固专练）
1．设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≥-<<-+-≤+)1(11
)11(22)1()1(2x x
x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(－21
，+∞) B.(－21，2
1) C.(－∞，－2)∪(－2
1
，1)
D.(－2，－2
1
)∪(1，+∞)
2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2
，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2
b
)，则f (x )·g (x )
＞0的解集是__________.
3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.
4． 解不等式)0( 01)1
(2
≠<++
-a x a
a x 5. 解不等式0652
2>+-a ax x ，0≠a
6．已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；
(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.
7．解不等式log a (1－
x
1
)＞1
8．设函数f (x )=a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.
9.设124()lg
,3
x x
a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

10.已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。

B 档（提升精练）
1.定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )
①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
2.下列四个命题中：①a +b ≥2ab ； ②sin 2x +x 2sin 4
≥4 ； ③设x ，y 都是正数，若y x 91+=1，
则x +y 的最小值是12 ； ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是
__________.
3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.
4.已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2.
(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范围.
5.某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即
10
x
，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍.
(1)设y =ax ，其中a 是满足3
1
≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y =
3
2
x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围.
6.设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1. (1)求证：f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1；(2)求证：f (x )在R 上单调递减； (3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R}，若A ∩B =∅，求a 的取值范围.
7.已知函数f (x )=
1
222+++x c bx x (b ＜0)的值域是［1，3］，
(1)求b 、c 的值；(2)判断函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论； (3)若t ∈R ，求证：lg
57≤F (|t －61|－|t +6
1|)≤lg 513
.
8.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2
+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

9.设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2
(1)(2)f ax x f a --<-对于任意
[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10.若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++222
2log 21log log 恒成立，求实数x 的
取值范围。

C 档（跨越导练）
1． 设z y x a z ab y b x b a b a b
b
a a 、、，则，，，且，1)
11(log log log 10====+>>+之间的大小关系为( )
A 、z x y <<
B 、x y z <<
C 、x z y <<
D 、z y x <<
2．已知422=+y x ，那么582-+y x 的最大值是（ ）
（A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）15
3．若0αsin 2βsin αsin 222＝-+，则βcos αcos 22+的取值范围是（ ）
（A ）[1,5] （B ）[1,2] （C ）]4
9,1[ （D ）[－1，2] 4．数列{}n a 中，0>n a ，且{}1+n n a a 是公比为)0q (q >的等比数列，满足
)(32211N n a a a a a a n n n n n n ∈>++++++，则公比q 的取值范围是（ ）
（A ）2210+<
<q （B ）2510+<<q （C ）2210+-<<q （D ）2
5
10+-<<q 5．已知0>>b a ，全集I=R ·M={2
|b
a x
b x +<<}，N={a x ab x <<|}，则M N =（ ）
（A ）{ab x b x ≤<|} （B ）{2
|b
a x a
b x +<<} （C ）{2|b a x b x +<
<} （D ）{2
|b
a x x +<，或x a ≥} 6．定义在R 上的奇函数f x ()是减函数，设0≤+
b a ，给出下列不等式：
（A ）0)()(≤-a f a f ； （B ）0)()(≥-b f a f ；
（C ）)()()()(b f a f b f a f -+-≤+ （D ）)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 其成立的是 （ ）
（A ）①与③ （B ）②与③ （C ）①与④ （D ）②与④
7．若实数x ,y 满足xy >0，且x y z 2=，则xy x +2的最小值为 。

8.如图，假设河的一条岸边为直线MN ，又AC ⊥MN
于C ，点B 、D 在MN 上。

先需将货物从A 处运往B 处，经陆路AD 与水路DB.已知AC=10公里，BC=30公里，又陆路单位距离的运费是水路运费的两倍，为使运费最少，D 点应选在距离C 点多远处?
9．若奇函数f （x ）在定义域（-1，1）上是减函数 ⑴求满足M a f a f 的集合0)1()1(2<-+- ⑵对⑴中的a ，求函数[]x
x
a a x F -⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2
11log )(的定义域。

10．已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度的立方成正比。

当该机以a 公里/小时的速度飞行时，其耗油费用为m 元（油的价格为定值）。

又设此机每飞行1小时，除耗油费用外的其他费用为n 元。

试求此机飞行l 公里时的最经济时速及总费用。

含参不等式的解法参考答案
典题探究
例1【解析】：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：
0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，
0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0
)12()1(20
)12()1(22
2
x x x x ，所以x 的范围是)2
3
1,271(
++-∈x 。

例2【解析】：保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1
是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需⎩⎨
⎧<---=∆>-0
)1(8)1(0
12
m m m ，所以，)9,1[∈m 。

例3【解析】：由]1,0(s i n ,0,1s i n 22c o s )2
4(
s i n s i n 4)(2
∈∴<<+=++=B B B B B
B B f ππ ]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即⎩
⎨
⎧+<->2)(2
)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m
例4【解析】(1)：由于函]4
3,4[4),4sin(2cos sin π
πππ
-∈--
=
->x x x x a ，显然
函数有最大值2，2>∴a 。

(2) ：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥
a 。

演练方阵
A 档（巩固专练）
1. 【答案】C 【解析】：由f (x )及f (a )＞1可得：
⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≥1111a a ③ 解①得a ＜－2，解②得－
2
1
＜a ＜1，解③得x ∈∅
∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－
2
1
，1） 2. 【解析】：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0
的解集是(－2
,22a b -).由f (x )·g (x )＞0可得：
⎪⎩⎪
⎨⎧-
<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222
,0)(0)(0)(0)(22
22a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，
2b )∪(－2b
，－a 2) 答案：(a 2，
2b )∪(－2
b
，－a 2) 3. 【答案】：［－2，2］【解析】：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得⎩⎨
⎧≤≥-0
)1(0
)1(f f 解得a ∈［－2，2］.
4. 【解析】：分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。

本题只需讨论两根的大小即可。

解：原不等式可化为：()0)1
(<--a
x a x ，令a a 1=，可得：1±=a
∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1<
，故原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
<<a x a x 1|； 当1=a 或1-=a 时，a
a 1
=
,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>
,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。

5. 【解析】： 此不等式()0245222
>=--=∆a a a ，又不等式可分解为
，故只需比较两根a 2与a 3的大小.
解 原不等式可化为：，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a
a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，
即23a a ，解集为{}|23x x a x a ><或
()0)1
(<--a
x a x ()0)3(2>--a x a x ()0)3(2>--a x a x
6. 【解析】：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )
(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0
(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.
此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－4
25
，显然此函数在［－1，1］上递增.
∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6. 7. 【解析】：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
>->-a x
x 1101
1 由此得1－a ＞
x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a
-11
＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧<->-a x
x 11011 由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a
-11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a
-11
＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜
a
-11}. 8. 【解析】：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立.
⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔211132
2
m x mx x
mx mx 在x ∈(0，1]恒成立. 整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1
)1(122
2
x x m x
x 恒成立，
即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m x x m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1
)1(122
2x x m x
mx 恒成立， ∵211222x x x x -=-在x ∈(0，1]上为增函数，∴2
102x x
->，∴m ＜
x x 212-恒成立⇔m ＜0. ①
②
又∵212(1)211
x x x x +=-++--，在x ∈(0，1]上是减函数，
∴1
1
2-+x x ＜－1.
∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m x x m 恒成立⇔m ∈(－1，0)①
当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1
)1(122
2x x m x
mx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0
②
∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)
9.【解析】 ：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义1240x x a ⇔++>，对(,1)x ∈-∞恒
成立.212(22)4
x
x x x a --+⇔>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。

令2x t -=，2()()g t t t =-+又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1
(,)2
t ∈+∞恒
成立，又()g t 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，3
4
a ∴≥-。

10.方法一:解：原不等式4sinx+cos2x<-a+5⇔
当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max -a+5>(4sinx+cos2x)⇔
设f(x)=4sinx+cos2x 则 22
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3≤ ∴-a+5>3a<2∴
方法二:题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2
x,故若采用换元法把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。

解：不等式a+cos2x<5-4sinx 可化为a+1-2sin 2
x<5-4sinx,令sinx=t,则t ∈[-1,1],
∴不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立⇔2t 2-4t+4-a>0,t ∈[-1,1]恒成立。

设f(t)= 2t 2
-4t+4-a ，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min =f(1)=2-a,∴2-a>0∴a<2 B 档（提升精练）
1.【答案】：A 【解析】 ：由题意f (a )=g (a )＞0，f (b )=g (b )＞0，且f (a )＞f (b )，g (a )＞g (b )
∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )
而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］
=2g (b )＞0，∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) 同理可证：f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )
2. 【答案】：④ 【解析】 ：①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式：|x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε.
3. 【答案】：5公里处 解析：由已知y 1=
x
20
；y 2=0.8x (x 为仓库与车站距离)费用之和 y =y 1+y 2=0.8x +
x
20
≥2x x 208.0⋅=8
当且仅当0.8x =
x
20
即x =5时“=”成立 4.证明：(1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1，且x ＞0.
∵x 1＜2＜x 2＜4，∴(x 1－2)(x 2－2)＜0，即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4， 1
2)42(2
1
2)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-
=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得
(2)解：由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1·x 2=
a
1
＞0，所以x 1，x 2同号
1°若0＜x 1＜2，则x 2－x 1=2，∴x 2=x 1+2＞2，∴g (2)＜0，即4a +2b －1＜0 ①
又(x 2－x 1)2
=
44
)1(2
2=-
-a
a b ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得，21)1(2+-b ＜3－2b ② 解②得b ＜4
1 2°若 －2＜x 1＜0，则x 2=－2+x 1＜－2∴g (－2)＜0，即4a －2b +3＜0 ③ 又2a +1=1)1(2+-b ，代入③式得21)1(2+-b ＜2b －1
④ 解④得b ＞
4
7
. 综上，当0＜x 1＜2时，b ＜
4
1，当－2＜x 1＜0时，b ＞47.
5.【解析】 ：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p (1+10x )元、n (1－10
y
)元、npz 元，因而
)10)(10(100
1
),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+
=，
在y =ax 的条件下，z =1001［－a ［x －a a )1(5-］2
+100+a a 2
)1(25-］.由于3
1≤a ＜1，则0＜a a )1(5-≤10.要使售货金额最大，即使z 值最大，
此时x =a
a )
1(5-. (2)由z =
100
1 (10+x )(10－32
x )＞1，解得0＜x ＜5.
6.(1)证明：令m ＞0，n =0得：f (m )=f (m )·f (0).∵f (m )≠0，∴f (0)=1 取m =m ，n =－m ，(m ＜0)，得f (0)=f (m )f (－m ) ∴f (m )=
)
(1
m f -，∵m ＜0，∴－m ＞0，∴0＜f (－m )＜1，∴f (m )＞1 (2)证明：任取x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］
=f (x 1)－f (x 2－x 1)·f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］，
∵f (x 1)＞0，1－f (x 2－x 1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在R 上为单调减函数. (3)由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-<+⎪⎩⎪⎨⎧==+->+021
)(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得θ，由题意此不等式组无解，数形结合得：
1
|2|2+a ≥1，解得a 2≤3 ∴a ∈［－3，3］
7.(1)【解析】 ：设y =
1
222+++x c bx x ，则(y －2)x 2－bx +y －c =0
①
∵x ∈R ，∴①的判别式Δ≥0，即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0，即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0 ② 由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根
⎪⎩
⎪⎨⎧+=
⨯+=+48312312b c c ∴c =2，b =－2，b =2(舍） (2)任取x 1，x 2∈［－1，1］，且x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，且 (x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0，∴f (x 2)－f (x 1)=－
)
1)(1()1)((2)12(12222121122
1
2
22x x x x x x x x x x ++--=+-
-+＞0，
∴f (x 2)＞f (x 1)，lg f (x 2)＞lg f (x 1)，即F (x 2)＞F (x 1) ∴F (x )为增函数. ,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+--
=t t u t t u 记即－31≤u ≤3
1
，根据F (x )的单调性知 F (－31)≤F (u )≤F (31
)，∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 5
13对任意实数t 成立.
8【解析】 ：原不等式可化为 (x-1)p+x
2
-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则原
问题等价于f(p)>0在p ∈[-2,2]上恒成立，故有：
方法一：10(2)0x f -<⎧⎨>⎩或10(2)0
x f ->⎧⎨->⎩∴x<-1或x>3.
方法二：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.
9【解析】 ：()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立
212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立
210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，令2()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>，又m i n (0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min 1,0()1,204
2,2
a a a g x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。

10【解析】 原不等式变形为()()01log 2log 1log 22
22>+-+-x x x p ， 现在考虑p 的一次函数： ()()()1l o g 2l o g 1l o g 2222+-+-=x x x p p f
∴ ()0>p f 在(]2,2-∈p 上恒成立
()()()01log 2log 1log 2222
22>+-+--=-x x x f ()()()01log 2log 1log 222222>+-+-=x x x f
解得： 8>x 或210<<x ∴ x 的取值范围为()+∞⋃⎪⎭
⎫ ⎝⎛,821,0 C 档（跨越导练）
1.【答案】 C 【解析】： a b +=1
∴
x z y b z ab
b a ab y x a b b a a a a <<∴->-=-=+=
>∴=>∴<<<<∴1log 11lg lg 1 1log log 1010，，， 2.【答案】B 【解析】：由220442222≤≤-⇒≥-=⇒=+y y x y x .
由)4(5822y y x u -=-+=222)4('·)4(151)8(58-=--=---=-+y u y y y y 在[－2,2]上单调递减，∴当y =2时，11)42(152max =--=u . 选B.
（利用圆的参数方程也可很快求解）
3.【答案】B 【解析】：βαβα2222sin sin 2cos cos --=+，而ααβsin 2sin 2sin 22-=-， 故1)1(sin 2sin 2sin 2sin 2cos cos 22222+-=+-+-=+ααααβα.
又∵0sin sin 2sin 222≤-=-βαα,∴1sin 0≤α≤,∴2cos cos 122≤+≤βα。

选B.
4.【答案】 B 【解析】解一：设1211)(-+=n n n q a a a a ，不等式可化为
.)()()(12121121+->+n n n q a a q a a q a a
∵,0q ,0a n >> ∴.012<--q q .2
510+<<q 选B. 解二：令n=1，不等式变为433221a a a a a a >+，··2212121q a a q a a a a >+
∵0a a 21>，∴2q q 1>+，解之2
510+<<q . 5.【答案】A
6.【答案】C
7.【解析】提示：3241341321213232422=⋅=≥++=+y x x xy xy x xy ，当且仅当221x xy =即x y 2=时，上式等号成立，又22=y x 故此时2,1==y x
8. 解：设CD ＝x 公里，设水路运价每公里为a 元，
则陆路运价为每公里2a 元，运费
)30())100((22x a x x a y -+-+= (0≤x ≤30) 令x x z -+=)100(22, 则10022+=+x x z , 平方得3x 2-2z x +(400-z 2
)=0
由x ∈R, 得△=4z 2-4×3(400-z 2)≥0
由z≥0 解得z≥310,当且仅当3310=
x 时 310=z 因此当3310=x 时y 有最小值，故当3
310=CD 公里时，运费最少。

注：对于x x z -+=10022，也可以设x =10tgθ(0≤θ＜2
π＝去解。

9.【解析】： ⑴ ∵f (x )是奇函数,又f (1-a )+f (1-a 2)<0,∴f (1-a )<f (a 2-1)
又)(x f 是减函数，∴1-a >a 2-1再由1111)1,1(2<-<-<--∈a a x 得
解得M={a |0<a <1}
⑵ 为使F （X ）=log a [1-(a 1)x 2-x ]有意义，必须1)1(,0)1(122<>---x x x x a
a 即 )1(,1.1,1a u a a o =>∴<< x x -2是增函数
,02<-∴x x 解得0<x <1，F （x ）的定义域为{x |0<x <1}
10. 解：设最经济的时速为x 公里/小时；依题意，设1小时耗油费用为y 1（元）， 由已知，耗油量与其速度的立方成正比，则耗油费用也与速度的立方成正比， 因此可设31kx y =；又由已知，当x a y m ==时，1，代入上式可求出3a m k =∴331a mx y = 由题意，飞行1小时的总费用为
n a mx +33 设飞行l 公里的总费用为y ，则
323232334322mn a l x n x n a mx l x n a mx l x l n a mx y ≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=· 当且仅当332
22m n a x x n a mx ==，即时，32
min 4
3mn a l y = 答：最经济的时速为3
2m n a 公里/小时，总费用为3243mn a l 元。