北师大版高中数学必修5正弦定理2

正弦定理

教学目标

（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；

（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；

（3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．

教学重点，难点

正弦定理的推导及其证明过程．

教学过程

一．问题情境

在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？

探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则 sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b c A B C ==．

探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？

二．学生活动

学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理．

三．建构数学

探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？

证法 1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有

sin AD

B c =，sin AD

C b =，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a c A C =，

所以sin sin sin a b c A B C ==．

若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b c A B C ==．综上可知，结论成立．

证法2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则s i n A

D c B =，sin B

E a C =，sin C

F b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b c A B C ==．

探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？

在ABC ∆中，有BC BA AC =+

．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），

于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅ ．设AC 与AD 的

夹角为α，

则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅

，

其中，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-

；当

C ∠为钝角时，90C α=-︒．故可得sin sin 0c B b C -=， 即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a c A C =．因此sin sin sin a b c A B C ==．

四．数学运用

1．例题：

例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．

解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b c A B C ==，

所以

sin 10sin 45sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin105sin sin 30a C c A ︒===︒

因此， b ，c 的长分别为和

说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．

2．练习：

（1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．

（2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．

（3）在ABC ∆中，30bc =，

ABC S ∆=A ∠= ．

（4）课本练习第1题．

五．回顾小结：

1．用两种方法证明了正弦定理：

（1）转化为直角三角形中的边角关系；

（2）利用向量的数量积．

2．初步应用正弦定理解斜三角形．