第三章 二维图形基础

while(k<=length) {
SetPixel(hdc,x,y,RGB(0,0,0)); x=x+deltx; y=y+delty; k=k+1; Sleep(50); } }
2018/5/11
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3 Bresenham直线生成算法
Bresenham直线生成算法是由Bresenham提出的一种精确而有效的 光栅线段生成算法，算法的目标是选择表示直线的最佳光栅位置。 为此，算法根据直线的斜率确定选择变量在X方向上或在Y方向上 每次递增一个单位，另一变量的增量为0或1，它取决于实际直线 与最近网格点位置的距离，这一距离称为误差。算法的构思巧妙， 使得每次只需检查误差项的符号即可确定所选象素。
2018/5/11
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3.2.1 圆的参数方程生成算法
圆是图形中经常使用的元素，圆被定义为所有离一中心位置 （xc,yc）距离为给定值R的点集，其函数方程为： (x﹣xc)2﹢(y﹣yc)2﹦R2 利用这个方程，我们可以沿X轴从xc﹣R 到xc﹢R以单位步长计算对 应的y值来得到圆周上每点的位置, 但这并非是生成圆的好方法。
2018/5/11
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直线的点斜式方程
y﹦m· x﹢b 其中，m表示直线的斜率，b是y轴截距。给定线段的两个端点 （x1,y1）和（x2,y2)，可以计算斜率m和截距b: m﹦(y2﹣y1)/(x2﹣x1) b﹦y1﹣m· x1 对任何沿直线给定的x的增量△x，对应的y增量△y： △y﹦m· △x 同样，对应于y的增量△y，x的增量△x为： △x﹦(1/m)△y
2018/5/11
对于斜率值大于1的 线段，只要交换x和 y之间的规则，即沿 Y方向以单位步长增 加并计算最接近线 段路径的x连续值。 考虑到XY平面各种 八分和四分区域间 的对称性， Bresenham算法对任 意斜率的线段具有 通用性。
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Bresenham算法直线绘制例子： 考虑绘制从点（0，0）到（8，4）的线 段。 初值计算：x=0 y=0 Δx=8 Δy=4 ( 循环计算过程部分： e﹦-x for k﹦1 To x putpixel(x,y) e﹦e﹢2y If (e≥0) y﹦y﹢1 e﹦e﹣2x endif x﹦x﹢1
2018/5/11
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通常，所选象素点与实际的直线位置之间存在差值。当斜率m 在0-1之间时，x每增加一单位，y 应该增加m，记e为y方向上的误 差。当选取实际直线位置上方的象素点时，误差为e﹦m﹣1；当选 取实际直线位置下方的象素点时，误差为e﹦m。 为了简化判断，可首先令误差项的初值为e0﹦-1/2，这样只要 判断e的符号即可。第一步，当 e1﹦m﹢e0≥0，选取上面的象素 点（1,1）；当e1﹦m﹢e0＜0,选取下面的象素点（1,0）。e1作为 累计误差项供下一步判断继续使用。设第k步的误差为ek，选取上 面象素点后的积累误差为： ek+1﹦ek﹢（m﹣1） 选取下面的象素点后的积累误差为： ek+1﹦ek﹢m
2018/5/11
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DDA直线生成算法的伪语言描述
begin if abs(x2﹣x1)≥abs(y2﹣y1) then lenght﹦abs(x2﹣x1) else lenght﹦abs(y2﹣y1) endif △x﹦(x2﹣x1)/lenght △y﹦(y2﹣y1)/lenght x﹦x1 y﹦y1 k﹦1 while(k≤lenght) putpixel(x,y) x﹦x﹢△x y﹦y﹢△y k﹦k﹢1 endwhile end
2018/5/11
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修改后的Bresenham直线生成算法描述
由于x、y是整数，因此算法全部运算都只使用整 数，修改后的Bresenham直线生成算法描述如下： begin x﹦x1 y﹦y1 x﹦x2﹣x1 y﹦y2﹣y1 E﹦-x for k﹦1 To x putpixel(x,y) E﹦E﹢2y If (E≥0) y﹦y﹢1 E﹦E﹣2x endif x﹦x﹢1 next k endfor end
2018/5/11
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3.1 直线生成算法
最基本的图形显示方式是直线方式。实际上，无论什么复杂图形， 它们无非是由直线段和曲线段组成。而对于曲线及各种复杂的图 形，可以将其离散成许多小直线段，连接各直线来逼近欲生成的 曲线或其它复杂图形，所以一般图形都可以看成是由直线段组成。 因此，直线段生成的质量好坏与速度快慢将直接影响整个图形生 成的质量和速度。在光栅显示器上显示图形是将线段上所有象素 点亮的过程。如果已知直线段两个端点，可以有很多种不同的数 学方法来决定应改变在两端点之间的那些象素的亮度值才能显示 出两点间的直线。在绘图仪上绘直线段，主要决定X、Y方向上的 位移量，这些算法之间主要区别是判别和生成x、y增量的过程和 方法的不同。
2018/5/11
DDA方法计算象素位置要 比直接使用代数方程快。 它利用光栅特性消除了 代数方程中的乘法，而 在X和Y方向使用合适的 增量来逐步沿线段的路 径计算各象素位置。但 浮点增量的连续迭加中 取整误差的积累会使长 线段所计算的象素位置 偏离实际线段，而且算 法中的取整操作和浮点 运算仍然十分耗时。
2018/5/11
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以第一象限的直线为例。假 设斜率m在0－1之间。如右图 所示。若通过（0,0）的直线 的斜率m＞l／2，它与x﹦1直 线的交点离y﹦l直线较y﹦0 直线近，光栅点（1,1）比 （1,0）更逼近于该直线，因 此应该取象素点（1,1）。如 果斜率m＜l／2，则应取象素 点（1,0）。当斜率m﹦l／2 时，差值相同，可以任选 （1,1）或（1,0）象素点。
2018/5/11
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DDA直线生成算法
DDA直线生成算法是一种基于上述直线方程的线段扫描转换算法。 在一个坐标轴上以单位间隔增量，决定另一个坐标轴上最靠近线 段路径的对应整数值。为了使产生的直线光滑，应使X、Y两方向 上每一步的增量都不大于一个单位，因此当|m|≤1时，应该使用x 做自变量，而当|m|＞1时应该使用y做自变量。也就是说应该选定 x2﹣x1和y2﹣y1中绝对值较大者作为步进的控制量。假定x2﹣x1 的绝对值大于y2﹣y1的绝对值，取x为一个象素单位长，即x 每次 递增一个象素，然后利用下式计算相应的y值： yk+1﹦yk﹢△y﹦yk﹢m· △x 对于|m|＞1的线段，可通过计算由Y方向的增量△y引起的改变来 生成直线： xk+1﹦xk﹢△x﹦xk﹢m· △y
2018/5/11
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圆的方程绘制方法C++实现
void 圆的方程绘制(HDC hdc) { double xc=300,yc=200,R=150; double x,y; y=yc; for(x=xc-R;x<=450;x++) { y=sqrt(R*R-(x-xc)*(x-xc))+yc; SetPixel(hdc,x,y,RGB(0,0,0)); y=-sqrt(R*R-(x-xc)*(x-xc))+yc; SetPixel(hdc,x,y,RGB(0,0,0)); Sleep(50); } }
2018/5/11
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1. 点的生成
点是图形中最基本的图素，直线、曲线以及其它的图元都是点的 集合。在几何学中，一个点既没有大小，也没有维数，点只是表 示坐标系统中一个位置。在计算机图形学中，点是用数值坐标来 表示的。在直角坐标系中点由（x,y) 两个数值组成的坐标表示， 在三维坐标系中点是由（x,y,z)三个数值组成的坐标表示。 在输出设备上输出一个点，就要把应用程序中的坐标信息转换 成所用输出设备的相应位置。对于一个CRT监视器来说，输出一个 点就是要在指定的屏幕位置上打开电子束，使该位置上的荧光点 亮。 在PC机中，点亮屏幕上一个点是由BIOS控制完成的，各种程 序语言中都有描点语句。例如C语言为putpixel(x,y,color)。
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DDA直线绘制的C++实现
void DDA直线绘制(HDC hdc) { int k; double x1=50,y1=50,x2=300,y2=350; double x,y,deltx,delty,length; if (fabs(x2-x1)>=fabs(y2-y1)) length=fabs(x2-x1); else length=fabs(y2-y1); deltx=(x2-x1)/length; delty=(y2-y1)/length; x=x1; y=y1; k=1;
2018/5/11
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3.2 二次曲线绘制算法
二次曲线是指那些能用二次函数 Ax2﹢Bxy﹢Cy2﹢Dx﹢Ey﹢F﹦0 来表示的曲线，包括圆、椭圆、抛物线、双曲线等。由于图形输出 设备的基本动作是显示象素点或者是画以步长为单位的直线段， 所以，从图形显示器和绘图机上输出的图形，一般除了水平线和 垂直线以外，其他的各种线段，包括直线和曲线，都是由很多的 点和短直线构成的锯齿形线条组成的。也就是说，需要把曲线离 散化，把它们分割成很多短直线段，用这些短直线段组成的折线 来逼近曲线。
2018/5/11
此Bresenham算法在计 算直线斜率和误差项时 要用到浮点算术运算和 除法，如果采用整数算 术运算和避免除法，可 以加快算法的速度。实 际上，误差项e的数值 大小与算法的执行没有 什么关系，相关的只是 e的符号，因此作简单 变换，即可得到整数算 法。
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将e乘以2x记为E﹦2xe，则E同e有相同的符号，取代e 判断E的符号确定象素点的过程仍然正确。此时上述算法中各 误差项的表示式做如下变动： 初始误差项： E0﹦2xe0 ﹦ - x ； 积累误差 ek+1﹦ek﹢m修改为： Ek+1﹦2xek+1 ﹦2x(ek﹢y/x） ﹦2xek﹢2y ﹦Ek﹢2y； 如果选取上面的象素点，积累误差还要减去1，修改为： Ek+1﹦2x（ek+1﹣1） ﹦E k+1﹣2x
第三章 二维图形基础
物体的形状和颜色可用象素矩阵或直线线段和多边形 填充区域等基本几何结构来描述。点和直线段是最简 单的几何成分，其它可供构造图形的输出图元有圆及 其它圆锥曲线、二次曲面、样条曲线和曲面、多边形 填充区域以及字符串等。而二维图形的生成是三维图 形生成的基础，研究计算机生成图形需先从二维图形 的生成开始。下面将讨论一些基本二维图元生成技术 和算法，以光栅图形系统的扫描转换方法为基础。
2018/5/11
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2. DDA直线生成算法
直线是点的集合，在几何学中直线被定义为两个点之间的最短距 离。也就是说一条直线是指所有在它上面的点的集合。直线是一 维的，即它们具有长度但没有面积。直线可以向一个方向及其相 反的方向无限伸长，这不是计算机图形学中所需要的，在图形学 中研究的对象是直线段。已知线段的起点坐标（x1,y1），终点坐 标（x2,y2)，这两点就确定了一条线段。 一般来讲，任何图形输出设备都能准确地画出水平线X和垂直 线Y,或对角线，但要画出一条准确斜线不是件容易的事。在光栅 系统中，线段通过象素绘制，水平和垂直方向的台阶大小受象素 的间隔限制。这就是说，必须在离散位置上对线段取样，并且在 每个取样位置上决定距线段最近的象素，画一条直线实际上就计 算出来一系列与该线靠近的象素。
2018/5/11
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Bresenham直线生成算法的伪语言描述
begin x﹦x1 y﹦y1 x﹦x2-x1 y﹦y2-y1 m﹦y/x e﹦-1/2 for k﹦1 to x putpixel(x,y) e﹦e﹢m if(e≥0) y﹦y﹢1 e﹦e﹣1 endif x﹦x﹢1 next k endfor end
2018/5/11
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Bresenham直线绘制的C+线绘制(HDC hdc) for(k=1;k<=deltx;++k) { { int k; double x1=50,y1=50,x2=300,y2=300; SetPixel(hdc,x,y,RGB(0,0,0)); E=E+2*delty; double x,y,deltx,delty,E; if(E>=0) { x=x1; y=y+1; y=y1; E=E-2*deltx; deltx=x2-x1; }; delty=y2-y1; x=x+1; E=-deltx; Sleep(50); } }