高中数学竞赛历年真题三角函数部分及答案
专题15三角函数与解三角形2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题15三角函数与解三角形第二缉1．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC 的三个顶点到平面α的距离分别为1， 2，3，则△ABC 的重心G 到平面α的距离为_______． 【答案】{0，23，43，2} 【解析】（1）当△ABC 的三个顶点在平面α的同侧时，由公式d =ℎ1+ℎ2+ℎ33求得重心G 到平面α的距离为2．（2）当△ABC 的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α的异侧时，求得重心G 到平面α的距离分别为0，23，43．故答案为：{0，23，43，2}2．【2018年贵州预赛】函数y =2(5−x)sin nx −1(0≤x ≤10)的所有零点之和等于________． 【答案】60 【解析】函数y =2(5−x)sin nx −1(0≤x ≤10)的零点即为方程2(5－x )sinπx 在区间[0，10]上的解⇔函数y =2sinπx 的图像与函数y =15−x 的图像在区间[0，10]上的交点的横坐标．因为函数y =2sinπx 的图像与函数y =15−x 的图像均关于点(5，0)对称，且在区间[0，10]上共有12个交点（6组对称点)．每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60．所以函数y =2(5－x )sinπ－1(0≤x ≤10)的所有零点之和等于60． 故答案为：603．【2018年浙江预赛】已知α，β∈(3π4，π)，cos(α+β)=45，得sin(α+β)=−35，cos (α−π4)=−513，所以cos (β+π4)=_____【答案】−5665 【解析】cos (β+π4)=cos (α+β)sin (α−π4)=−5665.4．【2018年浙江预赛】在△ABC 中，AB +AC =7,且三角形的面积为4,则sin ∠A 的最小值为________. 【答案】3249【解析】由AB +AC =7⇒AB ×AC ≤494,又12AB ×ACsin∠A =4⇒sin∠A ≥3249,AB =AC =72时取等号.5．【2018年浙江预赛】设x ，y ∈R 满足x −6√y −4√x −y +12=0，则x 的取值范围为________. 【答案】14−2√13≤x ≤14+2√13 【解析】由x −6√y −4√x −y +12=0⇒(√x −y −2)2+(√y −3)2=1. 令√x −y −2=cosθ，√y −3=sinθ⇒x =(2+cosθ)2+(3+sinθ)2=14+√52sin(θ+φ)(sinφ=√13)， 所以14−2√13≤x ≤14+2√13.6．【2018年重庆预赛】在△ABC 中，sin 2A +sin 2C =2018sin 2B ，则(tanA+tanC)tan 2BtanA+tanB+tanC =________． 【答案】22017【解析】因为sin 2A +sin 2C =2018sin 2B 所以a 2+c 2=2018⋅b 2注意到：tanA +tanB +tanC =tanA ⋅tanB ⋅tanC 故(tanA+tanC)tan 2B tanA+tanB+tanC=(tanA +tanC)tan 2B tanA ⋅tanB ⋅tanC =(1tanA +1tanC)tanB=sin 2BsinA⋅sinC ⋅1cosB =b 2ac (2aca 2+c 2−b 2)=2b 22018b 2−b 2=22017． 故答案为：220177．【2018年陕西预赛】设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A −C =π2.a,b,c 成等差数列，则cosB =________. 【答案】34 【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C 表示∠A 与∠B ；根据a ，b ，c 成等差，得到2b =a +c ，利用正弦定理实现边角转化。
高一三角函数竞赛题（含答案）
竞赛试题选讲：三角函数一1．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为的弧度数为（ ）A ．3 B ．π-3 C ．3-2p D ． 2p-3 2．若f (sin x )=cos2x ，则(cos )f x 等于（等于（ ）． A ．－cos2xB ．cos2xC ．－sin2xD ．sin2x答．Ａ ∵f (sin x )=cos2x ，∴(cos )=(sin())=cos2()=cos(2)=cos 222f x f x x x x p pp ----3．已知：集合þýüîíìÎ-==Z k k x x P ,3)3(sin |p ，集合，集合þýüîíìÎ--==Z k ky y Q ,3)21(sin |p ，则P 与Q 的关系是 （ ）．A ．P ÌQ B ．P ÉQ C ．P=Q D ．P ∩Q=φ 答．Ｃ∵(21)(3)(3)sinsin[8]sin333k k k pp p p ----=-+=，∴Ｐ＝Ｑ，∴Ｐ＝Ｑ4．化简sin(2)cos(2)tan(24)p p -+---所得的结果是（所得的结果是（ ））Ａ．2sin 2 Ｂ．０Ｂ．０ Ｃ．2sin 2- Ｄ．－１Ｄ．－１答．Ｃ答．Ｃ sin(2)cos(2)tan(24)=sin 2(cos 2)tan 22sin 2p p -+---+-=- 5．设99.9,412.721-==a a ，则21,a a 分别是第分别是第 象限的角象限的角若集合一、二若集合一、二 07.4122,2pp <-<得1a 是第一象限角；是第一象限角；9.994,2pp p <-+<得2a 是第二象限角是第二象限角6．|,3A x k x k k Z pp p p ìü=+££+Îíýîþ，{}|22B x x =-££，则B A =___[2,0][,2]3p-7．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d =π10sin60t，其中[0,60]t Î。
高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)：专题14三角函数与解三角形第一缉(解析版)
专题 14 三角函数与解三角形第一缉
1．【2021 年江西预赛】△ 퐴�
72° ,则∠� =
.
中,AB= �, � = �, 퐴 = � ,且�4 + �4 + �4 = 2�2 �2 + �2 ,若∠퐴 =
【答案】63
【解析】cos2
3
−
52 4
.
7．【2021 年浙江预赛】已知△ 퐴� 三个顶点的坐标为퐴(0,0), �(7,0), (3,4) ,过点(6 − 2 2, 3 − 2) 的
直线分别与线段 AC,BC 交于 P,Q。若�훥��
=
14 3
,则|
�| + |
�| =
.
【答案】4
+
42 3
【解析】如下图所示,
设
(6 − 2 2, 3 −
,
sin(�
+
�)
=−
3 5
, sin
�−�
4
=
12 13
.则 cos
�
+
� 4
的值为
.
【答案】−
56 65
【解析】因为�, � ∈
3� 4
,
�
.所以� + � ∈
3� 2
,
2�
,
�
−
� 4
∈
� 2
,
3� 4
.
因为
sin(�
+
�)
=−
3 5
,
sin
�−�
4
=
12 13
,
所以
高中数学三角函数专项(含答案)
高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.2．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．3．已知()()()cos sin 3cos 0f x x x x ωωωω=+>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.4．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.5．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.6．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）7．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.8．关于函数()()33cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）.9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.10．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．二、单选题11．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-412．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ）A B C D 13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点M ，使得12MF F △的面积等于2122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．12⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭14．已知点P 是曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦15．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4516．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ）A ．1B C ．32D ．217．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1618．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．919．设函数()3sinxf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞20．若函数()()11,0sin ,0133,1x x x f x x x x ππ⎧-++≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，满足()()()()()f a f b f c f d f e ====且a 、b 、c 、d 、e 互不相等，则a b c d e ++++的取值范围是（ ）A ．340,log 9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．390,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．340,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．330,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 23．如图，四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元，修路每1百米的费用为a 元，其中a 为正常数．设FAB θ∠=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）用θ表示该工程的总造价S ；（2）当cos θ为何值时，该工程的总造价最低？24．已知函数2()232sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f = （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围.25．已知函数2()6f x x ax =--(a 为常数，a R ∈).给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3xg x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =. （1）当5a =时，求不等式2(())0f g x ≥的解集； （2）求函数4(())y f g x =的最小值；（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为()g x ，()g x 满足条件：存在实数a ，使得关于x 的不等式(())0f g x ≤的解集为[,]s t ，其中常数s ，t R ∈，且0s >.对选择的()g x 和任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数()223sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.27．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.28．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数()()2n f x a b x R =⋅+∈的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；（II ）若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．29．已知函数()()()2331?0f x cos x sin x cos x ωωωω=+-->，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值. 30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题 1．321163．140324．115．3310+31036．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭7．1π-##1π-+ 8．②③9735+ 1015二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．A 15．C16．B 17．C 18．A 19．C 20．C 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫=⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭,即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3) 因为222233()sin 2sin 22sin cos 3sin 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有 2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x x BCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-，因为15y ≤≤，所以有55664y y +-≥=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.23．（1）()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3cos 4θ=时，()16()S af θθ=取得最小值 【解析】(1)根据题意可知4sin BF θ=,4cos AF θ=,进而求得Rt ABFS 与EFGH S 正方形再求得总造价S 即可.(2)由(1)有()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】（1）在Rt ABF 中,FAB θ∠=,4AB =,所以4sin BF θ=,4cos AF θ=. 由于Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE 是四个完全相同的直角三角形,所以4sin AE BF CG DH θ====,4(cos sin )EF FG GH HE θθ====-,所以Rt114cos 4sin 8sin cos 22ABFS AF BF θθθθ=⋅⋅=⨯⨯=, 2224(cos sin )16(12sin cos )EFGH S EF θθθθ==-=-正方形.所以()48sin cos 1016(12sin cos )1344sin S a a a θθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯16[20sin cos (12sin cos )13sin ]a θθθθθ=+-⨯+ 16(13sin 6sin cos )a θθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）记()13sin 6sin cos f θθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则22232()cos 6(cos sin )12cos cos 612(cos )(cos )43f θθθθθθθθ'=--=-++=--+. 令()0f θ'=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 4θ=或2cos 3θ=-(舍).记03cos 4θ=,所以当0(0,)θθ∈时,()0f θ'<,()f θ单调递减；当0(,)4πθθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3cos 4θ=时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3cos 4θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题. 24．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x表达式，利用(0)f =a 的值. （2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,]π上有且只有一个零点，223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25．（1）[31log 2,)++∞；（2）2min–5,26,2245,2a a ay a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩；（3）1a ≥-. 【解析】（1）令()2u g x =，则()0f u ≥的解为1u ≤-或6u ≥，由后者可得2(())0f g x ≥的解. （2）令()4t g x =，则[1,1]t ∈-，分类讨论后可求26y t at =--，[1,1]t ∈-的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.（3）取()32()log g x g x x ==，可以证明()g x 满足条件，再利用换元法考虑任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立可得实数a 的取值范围.【详解】（1）当5a =时，()256f x x x =--.令()2u g x =，因为2560u u --≥的解为1u ≤-或6u ≥，所以31x ≤-（舍）或36x ≥，故31log 2x ≥+，所以2(())0f g x ≥的解集为[31log 2,)++∞.（2）令()4cos ,t g x x x R ==∈，则[1,1]t ∈-，函数4(())y f g x =的最小值即为()26h t t at =--，[1,1]t ∈-的最小值. 当()1,12a ∈-即22a -<<时， ()2min 64a h t =--. 当12a ≤-即2a ≤-时，()min 5h t a =-； 当12a >即2a >时， ()min –5h t a =-. 故2min –5,26,2245,2a a a y a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩. （3）取()32()log g x g x x ==，令2log u x =，设260u au --≤的解集为闭区间[]12,u u ，由12u u u ≤≤得1222u u x ≤≤，故(())0f g x ≤的解集为122,2u u ⎡⎤⎣⎦，取12u s =，则0s >，故()g x 满足条件.当[2,4]x ∈时，2[]1,u ∈，故()0f u ≤在[1,2]上恒成立，故2211602260a a ⎧-⨯-≤⎨--≤⎩，解得1a ≥-， 所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【点睛】本题考查复合函数的性质及复合函数对应的不等式的解与恒成立问题，此类问题可通过换元法把复合函数问题转化为二次函数的最值问题或恒成立问题，本题有一定综合性，是难题.26．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可 【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π， 22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2； 当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题27．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】【分析】 （1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值．【详解】（1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈； （2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1- 【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．28．（Ⅰ）1()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得n ；（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可.【详解】由题意得：()()22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+=-+ 其中cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 12n ∴=，解得：2n =()()21f x x ωϕ∴=-+（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+()min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ()*412642T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+ ()3212k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴= ()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，解得：2m = ()2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭ 令232242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.29．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果． 【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤， ∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=， ∴()2(2)13f x sin x π=+-．由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
2022历年全国高中数学联赛《三角函数》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《三角函数》专题真题汇编 1、设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( D )（A ）(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π)Y(2k π+ ,2k +),k Z2、在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ D ）． Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜3、若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是（ ） (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253 【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]， y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．4、设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12【答案】B【解析】由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ．5、设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则a cb cos 的值等于（ C ）A. 21-B. 21C. −1D. 1 6、arcsin(sin2000︒)=__________.【答案】-20°【解析】sin 2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°故a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= -a rcs in(sin20°)= -20°7、使不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 。
高中三角函数历年高考真题_含答案
历年高考三角函数专题一，选择题1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ）A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是 （ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ） A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin 330︒等于 （ ） A．2-B ．12-C ．12D．214.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 （ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ） A.2π B .π C.32πD.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 二，填空题19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
高中数学联赛真题三角函数与解三角形A辑
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题05三角函数与解三角形A 辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB的取值范围是( )A ．(0,+∞)B ．(0,√5+12) C ．(√5−12,√5+12) D ．(√5−12,+∞)2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f (x )=3sinx +2cosx +1.若实数a ，b ，c 使得af (x )+bf (x －c )=1对任意实数x 恒成立，则bcosc a的值等于( )A ．−12B ．12C ．−1D ．13．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≥|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则△ABC 一定为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC 内接于单位圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A1，B 1，C 1.则AA 1⋅cos A 2+BB 1⋅cos B 2+CC 1⋅cos C2sinA+sinB+sinC的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．85．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x 的方程x 2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π126．【2003高中数学联赛（第01试）】若x ∈[−5π12,−π3]，则y =tan (x +2π3)−tan (x +π6)+cos (x +π6)的最大值是( )A ．125√2B ．116√2C ．116√3D ．125√37．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数y =sin|x|，y =cos|x|，y =|cotx |，y =lg|sinx|中以π为周期，在(0,π2)上单调递增的偶函数是( )A ．y =sin|x|B ．y =cos|x|C ．y =|cotx|D ．y =lg|sinx|8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC =60°，AC =12，BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k =8√3B ．0<k ⩽12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k =89．【2000高中数学联赛（第01试）】设sinα>0,cosα<0，且sin α3>cos α3，则α3的取值范围是( )A ．(2kπ+π6,2kπ+π3),k ∈ZB ．(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k ∈ZC ．(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈ZD ．(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈Z10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A (1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ，C ，那么，△ABC 是( ). A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定11．【1997高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x 2−πx,α=arcsin 13，β=arctan 54，γ=arccos (−13)，δ=arccot (−54)，则( )A．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ)B．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)12．【1996高中数学联赛（第01试）】设x∈(−12,0)，以下三个数：α1=cos(sinxπ)，α2=sin(cosxπ)，α3= cos(x+1)π的大小关系是( )A．α3<α2<α1B．α1<α3<α2C．α3<α1<α2D．α2<α3<α113．【1995高中数学联赛（第01试）】log in 1cos1,log sin1tan1,log geos 1sin1,log cos 1 tan 1的大小关系是( ) A．log sin1cos1<log cos1sin1<log sin1tan1<log cos1tan1B．log cos1sin1<log cos1tan1<log sin1cos1<log sin1tan1C．log sin1tan1<log cos1tan1<log cos1sin1<log sin1cos1D．log cos1tan1<log sin1tan1<log sin1cos1<log cos1sin114．【1994高中数学联赛（第01试）】设a，b，c是实数.那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是( )A．a，b同时为0，且c>0B．√a2+b2=cC．√a2+b2<c D．√a2+b2>c15．【1994高中数学联赛（第01试）】已知0<b<1，0<a<π4，则下列三数：x=(sina)log b sina，y=(cosa)log b cosa,z=(sina)log b cosa的大小关系是( )A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z16．【1993高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，若c－a等于AC边上的高h，则sin C−A2+cos C+A2的值是( )A．1B．12C．13D．−117．【1992高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且CA ,sinB sinA都是方程log√bx=log b(4x−4)的根，则△ABC( ). A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形18．【1990高中数学联赛（第01试）】设a∈(π4,π2)，则(cosa)cosa，(sina)cosa,(cosa)sina的大小顺序是( )A．(cosα)cosα<(sinα)cosα<(cosα)sinαB．(cosα)cosα<(cosα)sinα<(sinα)cosαC．(sinα)cosα<(cosα)cosα<(cosα)sinαD．(cosα)sinα<(cosα)cosα<(sinα)cosα19．【1989高中数学联赛（第01试）】若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=cosB−sinA+i(sinB −cosA)在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限20．【1989高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=arctanx+12arcsinx的值域是( ).A．(−π,π)B．[−3π4,3π4]C．(−3π4,3π4)D．[−π2,π2]21．【1987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )A．10√2B．14C．5√6D．1222．【1987高中数学联赛（第01试）】如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，∠ABC=2a(0<a<π3).现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点A所走路程的总长度为( )A．22π(1+sina)−66a B．22π+683πsina−66aC．673πD．33π−66a23．【1986高中数学联赛（第01试）】设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( )A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}B．{x|2nπ−θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}C．{x|(2n−1)π+θ<x<2nπ−θ,n∈Z}D．{x|(2n−1)π−θ<x<2nπ+θ,n∈Z}24．【1985高中数学联赛（第01试）】已知方程arccos45−arccos(−45)=arcsinx，则( )A．x=2425B．x=−2425C．x=0D．这样的x不存在25．【1984高中数学联赛（第01试）】若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是( )A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动26．【1983高中数学联赛（第01试）】已知等腰△ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么sinA和cosA中( )A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定27．【1983高中数学联赛（第01试）】任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与r，那么( )A．l>R+r B．l⩽R+r<R+r<6l D．A，B，C三种关系都不对C．16)都有( )28．【1982高中数学联赛（第01试）】对任何φ∈(0,π2A．sinsinφ<cosφ<coscosφB．sinsinφ>cosφ>coscosφC．sincosφ>cosφ>cossinφD．sincosφ<cosφ<cossinφ29．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等.条件乙:两个三角形全等( )A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件30．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:√1+sinθ=a.条件乙:sinθ2+cosθ2=aA．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件31．【1981高中数学联赛（第01试）】设α≠kπ2(k=0,±1,±2,⋯),T=sinα+tanαcosα+cotαA．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负优质模拟题强化训练1．△ABC的三边长分别为AB=a，BC=b，CA=c．若{c=√a2−2+√b2−2a=√b2−3+√c2−3b=√c2−4+√a2−4，则→AB⋅→BC，→BC⋅→CA，→CA⋅→AB中小于0的个数为（）．A．3B．2C．1D．02．arccos13+12arccos79=（）.A．3π8B．2π3C．π2D．arcsin893．设f(x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值是（）.A．0B．1C．12D．√324．函数y=(sinx−1)(cosx−1)2+sin2x(x∈R)的最大值为（）.A．√22B．1C．12+√22D．√25．设曲线f(x)=acosx+bsinx的一条对称轴为x=π5。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=【答案】A 【解析】 【详解】由()1sin 3f x x ≥得sin (1cos 01cos 0x x x ），-≥-≥，所以该式不一定成立，sinx 有可能是负数，所以选项A 错误； ()sin sin 2cos x f x x x x =≤≤+.所以选项B 正确；()sin 2cos x f x x=+=sin 0||cos (2)x x ---表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到()f x ≤C 正确； ()()f x f x ππ++-=sin sin 002-cos 2-cos 2-cos x x x x x-+==，所以选项D 正确.故答案为A2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D【答案】B 【解析】 【详解】因为()sin cos sin cos 122sin cosxx x x x y x ⋅-++=+⋅，令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()21sin cos 12x x t ⋅=-，于是()()22211112.2121t t t y t t --+==-++- 令()(21t g t t t =+，则()()22211t g t t '-=+. 由()0g t '=知1t =-或1.因为(()()111,1,22g g g g =-=-==()g t 的最小值是()112g -=-，所以y 的最大值是11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为:B3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,1--【答案】D 【解析】 【详解】1sin224y x x π⎤⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦..下面的讨论均视k Z ∈. （1）当222k x k πππ≤≤+时，1y =； （2）当32224k x k ππππ+<≤+时，1y =-； （3）当3224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （4）当2x k ππ=+或322k ππ+时，1y =-；（5）当3222k x k ππππ+<<+时，2y =-； （6）当372224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （7）当72224k x k ππππ+≤<+时，1y =-. 综上，{}2,1,1y ∈--. 故答案为D4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【详解】sin cos αα+，所以，p 是q 的充要条件．5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【详解】由条件有)sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++2sincos sin 22A C A C B +-⇒︒+ 2cos cos cos 22A C A C B +-⎫=︒+⎪⎭2sin cos222A C A C A C ++-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ sin B B =. 利用辅助角公式有2sin cossin 3223A C A C B ππ+-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 262B A C π-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ 2sin cos 2626B B ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭60602sin cos cos 0222B A C B -︒--︒⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭606060sinsin sin 0244B AC B B A C -︒-+-︒-+-︒⇒︒︒=， 所以，600B ∠-︒=或者600A C B ∠-∠+∠-︒=或者600B A C ∠-∠+∠-︒=, 即60B ∠=︒或者60C ∠=︒或者60A ∠=︒,亦即A B C ∠∠∠、、中有一个为60︒.若60B ∠<︒,则60A B ∠≤∠<︒，所以，只能60C ∠=︒，此时，180A B C ∠+∠+∠<︒,矛盾； 若60B ∠>︒，则60C B ∠≥∠>︒,所以，只能60A ∠=︒，从而，180A B C ∠+∠+∠>︒，亦矛盾. 选C. 二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．【答案】3- 【解析】 【详解】 根据π3x y =-，π3z y =+，则tan x =tan z =所以tan tan x y tan tan y z 22tan 3tan tan 13tan y z x y -=-． 则229tan 3tan tan tan tan tan tan 313tan y x y y z z x y-++==--． 故答案为-37．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c成等比数列，则2:ABC S a ∆=___________.【解析】 【详解】因为A 、B 、C 成等差数列，2B A C =+，3180B A B C =++=︒，因此60B =︒.又因为a 、c成等比数列，所以c qa =，b =由正弦定理()sin sin 120a qa A A ==︒-，整理得22sin A q =221A q q=-，()()232235420q q q q ⎡⎤-+++-=⎣⎦. 所以2q =，1sin 2A =，30A =︒，90C =︒.故212ABC S ab ∆==，所以2:ABC S a ∆=8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角α、β满足αβ≠，且()()22cos cos 1tan tan 2αβαβ++⋅=，则αβ+=__________． 【答案】90 【解析】 【详解】由已知等式得()()()()22222tan tan 1tan tan 21tan 1tan αβαβαβ+++⋅=++，()()2tan tan tan tan 10αβαβ-⋅-=.但锐角αβ≠，故tan tan 10αβ⋅-=()cos 090αβαβ⇒+=⇒+=︒.故答案为909．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．【答案】2π 【解析】 【详解】解析：当=2,x k k Z π∈时，sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，当2,x k k Z π≠∈时，sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，其中2x k ππ≠+且2x k ππ≠+，画出图象可得函数周期为2π．故答案为：2π.10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】 【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.11．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC AC B =+-=，则+BC AB 的值为__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解析：记ABC 中A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 如图，设内切圆的半径为r ，则tan22A r b c a =+-，tan 22C r a b c =+-，tan 22B r a c b =+-，故5()b c a a b c a c b +-++-=+-，故()57a c b +=， 即7a c +=， 故答案为：712．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______． 【答案】16 【解析】【详解】解析：2sin sin 2sin sin 2(sin sin )A B C B C A +=⇒=-2sincos 4sin cos 2222A C A C C A A C ++-+⇒⋅=⋅sin 2sin tan 3tan 2222A C C A C A+-⇒=⇒=． 令tan 2A t =，则222259595527326sin sin 22191t t t t A C t t t t +++=+=+++216416t t +=≥=．当113,tan ,tan 22222A C t ===时，tan02A C+>，所以180A C +<︒， 故min5916sin sin A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 故答案为：1613．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.【答案】【解析】 【详解】()cos cos 2sin sin 2sin 222γγγααγα⎛⎫-+=+≤ ⎪⎝⎭，同理()cos cos 2sin2γββγ-+≤，故cos 2cos cos cos()6sin22cos()cos αβγαγβγγγ++-+-++≤，而22cos 2sin 3116sin 6sin 12sin 222222γγγγγ⎛⎫+++=--+ -⎪=⎝⎭，因为0sin 2γ≤≤23112sin 222γ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭当且仅当,24ππγαβ===时，各等号成立，故答案为：14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形ABC 的三个边长a b c 、、成等比数列，并且满足a b c ≥≥.则A ∠的取值范围为___________.【答案】2[,)33ππ【解析】 【详解】由条件2b ac =，结合余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，则有11cos (1)22a c B c a =+-≥，从而(0,]3B π∈，而A 是最大角，从而2,33A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范是___________.【答案】14⎫⎪⎣⎭ 【解析】 【详解】解析：333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++ ()223(cos sin )cos cos sin sin 1(cos sin 1)θθθθθθθθ+-++=++.令cos sin x θθ=+，则4x πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 2x θθ-=， 于是2323321112232231(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2x x x x x x x m x x x x x ⎛⎫--+ ⎪+-+--⎝⎭=====-+++++， 为然m是上的减函数，所以()(1)f f m f ≤<，即14m ⎫∈⎪⎣⎭.故答案为：41,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，2AB =.若动点P ，Q 分别在AB ，BC 边上，且直线PQ 把ABC 的面积等分，则线段PQ 的取值范围为______.【答案】 【解析】 【分析】【详解】如图所示，设,BP x BQ y ==,所以113sin 30222BPQBBCSxy S ︒===,所以23xy =由余弦定理可得,2222222312266PQ x y xy x y x x=+-=+-=+-, 易得[1,2]x ∈,所以2[1,4]x ∈, 所以2367PQ ≤≤,则PQ 的取值范围为[436,7]-. 故答案为：[436,7]-.17．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.【答案】22【解析】 【分析】 【详解】令(sin cos 224t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭， ()22213211222t t y t tt t-++===+≥当且仅当12t t =即2t =.故答案为：2218．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上，记PQR 、ABC 的面积分别为PQR S、ABCS，则PQR ABCS S的最小值为__________．【答案】15【解析】 【分析】 【详解】（1）当PQR 的直角顶点在ABC 的斜边上，如图1所示，则P ，C 、Q ，R 四点共圆，180APR CQR BQR ∠=∠=︒-∠，所以sin sin APR BQR ∠=∠．在APR △、BQR 中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==∠∠． 又45,A B PR QR ∠=∠=︒=，故AR BR =，即R 为AB 的中点． 过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=， 所以22221124PQR ABCBC SPR SBC BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥=，此时PQR ABCS S 的最小值为14．（2）当PQR 的直角顶点在ABC 的直角边上，如图2所示．设1,(01),02BC CR x x BRQ παα⎛⎫==≤≤∠=<< ⎪⎝⎭，则90CPR PRC BRQ α∠=︒-∠=∠=． 在Rt CPR 中，sin sin CR xPR αα==，在BRQ 中， 31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=-， 由正弦定理，11sin 3sin sin sin cos 2sin sin sin 44x RQ RB x x B RQB απαααπα-=⇔=⇔=∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此222111122sin 2cos 2sin PQRx SPR ααα⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 这样，()()2222111cos 2sin 512cos sin PQR ABCS Sαααα⎛⎫=≥= ⎪+++⎝⎭，当且仅当arctan 2α=时取等号，此时PQR ABCS S的最小值为15．故答案为：15.19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程223cos cos 22cos cos2cos4,[0,2]4x x x x x x π+-=∈的实数x 构成的集合的元素个数为________． 【答案】14 【解析】 【分析】 【详解】将方程变形为，1cos2cos44cos cos2cos42x x x x x +-=-．两边同乘2sin x ，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：(sin3sin )(sin5sin3)sin8sin x x x x x x -+--=-，即sin5sin8x x =，故58(21),x x k k π+=+∈Z 或852,x x k k π=+∈Z ， 即21,13k x k π+=∈Z 或2,3k x k π=∈Z ． 又因为在方程两边同时乘sin x 时，所以引入了增根,x k k π=∈Z （代入原方程检验可得）． 再结合[0,2]xπ，得所求结果为14．故答案为：14.20．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2b c a +-=，则2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +-值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +- 2211(1cos )(1cos )12(cos cos cos 1)22b Cc B bc A B C =-+--++- 22(2)(cos cos 1114)(cos cos 22)b c bc b C b c B c c B b C =++-+-+221(2cos )4b c bc A ++-22221111(2)()142242b c a b c bc ba ca a +-=++--+==． 故答案为：1.21．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】 【分析】 【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+． 注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥． 同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：22．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，并且sin cos sin A B C 、、成等比数列，cos sin cos A B C 、、成等差数列，则B 为____________. 【答案】23π【解析】 【分析】 【详解】依题意，2sin sin cos ,cos cos 2sin A C B A C B =+=， 前一式积化和差可得2cos()2cos cos A C B B -=-，后一式和差化积可得cos2cos 22A C B-=， 所以22cos()2cos18cos 14cos 322A CB AC B --=-=-=+，联立两式得1cos 2B =-或3（舍去），所以23B π=. 故答案为：23π. 23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数x y 、、z 满足2225x xy y ++=，22144y yz z ++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=_________.【答案】【解析】 【分析】 【详解】易知三个等式可化为2222222222cos1205,2cos12012,2cos12013.x y xy y z yz z x zx ⎧+-︒=⎪+-︒=⎨⎪+-︒=⎩构造Rt ABC ，其中13,5,12AB BC CA ===.设P 为ABC 内一点，使得,,,120PB x PC y PA z BPC CPA APB ===∠=∠=∠=︒. 因BPCCPAAPBABCSSSS++=，则11()sin12051222xy yz zx ++︒=⨯⨯，所以xy yz zx ++=故答案为：24．（2021·全国·高三竞赛）设()cos ()cos 30xf x x =︒-，则()()()1260f f f ︒+︒++︒=_________．【解析】 【分析】 【详解】 因为()cos ()cos 30xf x x =︒-，所以：()()()()cos 60cos ()60cos 30cos 30x xf x f x x x ︒-+︒-=+︒--︒()()()()cos cos 602cos30cos 30cos 30cos 30x x x x x +︒-︒-︒===-︒-︒令：()()()1259s f f f =︒+︒++︒，① ()()()()595821s f f f f =︒+︒++︒+︒，②①+②得：：()()()()()()2159258591s f f f f f f =︒+︒+︒+︒++︒+︒=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以s =()()()59312592f f f +++=．又()()1cos6060cos 3060f ︒︒==︒=︒-，则()()()()125960f f f f ︒+︒++︒+︒==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知cos cos 1x y +=，则sin sin xy -的取值范围是________. 【答案】⎡⎣【解析】 【分析】 【详解】设sin sin x y t -=，易得2cos in sin 1cos s 2y x y t x --=，即21cos()2t x y -+=. 由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t≤故答案为：⎡⎣.26．（2020·全国·高三竞赛）在ABC中，6,4AB BC ==，边AC 66sin cos 22A A+的值为_______． 【答案】211256． 【解析】【分析】由中线长公式计算出AC 的长度，然后运用余弦定理计算出cos A 的值，化简后即可求出结果. 【详解】记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=． 故答案为：211256【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数()4sin 23cos 22sin 4cos f x x x a x a x =+++的最小值为－6，则实数a 的值为________ .【答案】【解析】 【详解】令sin 2cos x x t +=，则[t ∈， ∴224sin 23cos 25t x x =++，∴2()()225,[f x g t t at t ==+-∈，当2a-≤a ≥函数的最小值为：(((22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =当2a-a ≤-函数的最小值为：22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =，不合题意，舍去；当2a-<a -< 函数的最小值为：22256222a a a g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =.故答案为：28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若AC =AB =25tan 12π=，则BC =____________ .【解析】 【详解】5tan 12π=，得2sin 56tan 122cos 6A A πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5tan tan 612A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5,612A k k πππ+=+∈Z . 结合0A π<<，得5,6124A A πππ+==. 所以由余弦定理，得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅⋅22222cos4π=+-⋅2=所以BC29．（2018·全国·高三竞赛）设 A B C ∠∠∠、、是ABC 的三个内角.若sin ,A a =cos B b =,其中,a ＞0,0b >,且221a b +≤,则tan C =______.【解析】 【详解】因为cos 0B b =>,所以,B ∠为锐角,sin B又221a b +≤,则sin sin A a B =≤. 于是()sin sin A B π-≤. 若A ∠为钝角,则A π-∠为锐角.又B ∠为锐角,则A B A B ππ-∠≤∠⇒∠+∠≥矛盾.从而,A ∠为锐角,且cos A .故sin tan cos A A A ==sin tan cos B B B ==则tan tan tan tan tan 1A B C A B +==⋅-30．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边．若4cos a b C b a +=，()1cos 6A B -=，则cos C ______． 【答案】23【解析】 【详解】由题设及余弦定理知222222422a b a b c a b c b a ab+-+=⋅⇒+=()()2221cos21cos22sin sin sin 1cos cos 22A BC A B A B A B --⇒=+=+=-+⋅-()2111cos 1cos 21cos 66C C C =+⇒+=-2cos 3C ⇒=或34-． 而()3cos cos 2sin sin 0cos 4C A B A B C ++=⋅>⇒=-（舍去）．因此，2cos 3C =． 31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的ABC ∆，只要()+p q r p q R 、+=∈，就有222sin sin sin p A q B pq C +>，则正数r 的取值范围是______.【答案】01r <≤ 【解析】 【详解】设的三边长分别为a 、b 、c . 则222sin sin sin p A q B pq C +>①22211a b c q p⇔+>. 若1r ≤，则()22221111a b q p a b q p qp ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭ ()22a b c ≥+>；若1r >，令2rp q ==. 当a b =，C π∠→时，2221 22a b rc +→<，式①不成立.综上，01r <≤.32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B +--的取值范围是______. 【答案】()2,0- 【解析】 【详解】由02A B C π<∠∠∠<、、 22A B AB πππ⇒<∠+∠⇒∠-∠，2B A π∠>-∠.则0cos sin 1A B <<<，0cos sin 1B A <<<故2cos cos sin sin 0A B A B -<+--<. 所以取值范围是()2,0-.33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆221x y +=上三个点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y满足1231230x x x y y y ++=++= .则222222123123x x x y y y ++=++=__________.【答案】32【解析】 【详解】设1cos x α=，2cos x β=，3cos x γ=，1sin y α=，2sin y β= 3sin y γ=. 由题设知ABC ∆的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故()222313cos cos cos cos2cos2cos2222αβγαβγ++=+++=， ()222313sin sin sin cos2cos2cos2222αβγαβγ++=-++=. 故答案为3234．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．【解析】 【分析】 【详解】令cos ,cos ,cos A x B y C z ===，则236x y z +=，即223y z x =-． 因为222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=， 所以22222212233x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得222134********z x z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2228134Δ44510393z z z z ⎛⎫⎛⎫=----≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2413(1)(1)4039z z z z ⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭， 于是24134039z z +-≤，得z ≤ 所以cos C．16. 35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数n p 、，且2p ≥，设正实数12,,,n m m m 满足1111npi im ==+∑，则12n m m m 的最小值为_______．【答案】(1)mp n - 【解析】 【分析】【详解】令2tan ,0,,1,2,,2p i i i m x x i n π⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭．由题设可得22212cos cos cos 1n x x x +++=，于是：2222121cos cos cos sin n n x x x x -+++=，222221221cos cos cos cos sin n n n x x x x x --++++=，……2222231cos cos cos sin n x x x x +++=，将上述各式利用均值不等式得：2221(1)cos sin n n n x x --≤， 22221(1)cos sin n n n x x ---≤，……2231(1)cos sin n n x x -≤，再把上述n 个不等式相乘，得()2222221212(1)cos cos cos sin sin sin n n n n x x x x x x -≤，即22212tan tan tan (1)n n x x x n ≥-．由于2tan ,1,2,,p i i m x i n ==，故12(1)n pn m mm n ≥-，当且仅当1(1)p i m n =-时上式等号成立．故答案为：(1)mp n -.36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角ABC 的三个内角、、A B C ，满足sin sin sin A B C =⋅，则tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值为_______．【答案】163【解析】 【分析】 【详解】由题设可知，0,,2A B C π<<，则cos 0,cos 0B C >>．又由A B C π++=及sin sin sin A B C =⋅ 得()()sin sin sin B C B C π-+=⋅， 即()sin sin sin B C B C +=⋅，则sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=⋅， ① 由cos 0,cos 0B C >>，①式两边同时除以cos cos B C ⋅， 可得tan tan tan tan B C B C +=⋅． 设tan tan B C s +=，则tan tan B C s ⋅=， 由0,2B C π<<知，tan 0,tan 0B C >>，则0s >． 于是有()tan tan B s B s ⋅-=，故2tan tan 0B s B s -+=，从而有22(tan )(4)244s s sB s s -=-=-．又2(tan )02s B -≥，得(4)04s s -≥，而0s >．所以4s ≥．故4s ≥．tan tan tan tan(())tan tan A B C B C B C π⋅⋅=-+⋅⋅2tan tan tan tan 1tan tan 1B C s B C B C s +=-⋅⋅=-⋅-． 因为4s ≥，于是求tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值转化为求函数2()(4)1x f x x x =≥-的最小值．考虑函数221()(4),()(1)2(4)111x x f x x f x x x x x x =≥==-++≥---，即()f x 在[)4,+∞上单调递增，从而()()4,4x f x f ≥≥． 因此()f x 的最小值在4x =时取得，为2416(4)413f ==-． 由tan tan tan tan 4B C B C +=⋅=得，tan tan 2B C ==，从而4tan 3A =， 故当4tan 3A =，tan tan 2BC ==时，tan tan tan A B C ⋅⋅取得最小值163． 故答案为：163. 37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12 【解析】 【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A =3B =9C ，则cos cos A B +cos cos cos cos B C C A +=____________ .【答案】14-【解析】 【详解】设,3,9C B A θθθ===，由39θθθπ++=得13πθ=，所以cos cos cos cos cos cos S A B B C C A =++9339coscos cos cos cos cos 131313131313ππππππ=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边同乘4sin 13π，得到 246810124sin2sincos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫⋅=+++++⎪⎝⎭35375sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭971191311sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin13π=-.所以，14S =-.故答案为：14-．三、解答题39．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值．【答案】23【解析】 【分析】 【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x 的方程：{}202020201arctan k x x k==∑（这里{}[][],x x x x =-为不超过实数x 的最大整数） 【答案】{}0 【解析】 【分析】 【详解】（1）当0x <时，{}202020201arctan 0(1,2,,2020),arctan 0k x x k x k k =<=<≤⋅⋅⋅∑，此时原方程无解．（2）当0x =时，有{}202020001arctan0k x x k===∑． （3）当01x <<时，令arct ()1)2an (0x xf x x =-<<，则211()0(01)12f x x x '=-><<+， 故()f x 在()0,1上递增．有()()00f x f >=，即arctan 2x x > 于是，此时{}202020204202020201111125arctan 2224k k k x x x xx x x k k k =====>>=>∑∑∑，即1x >，矛盾．故无解．（4）当1≥x 时，注意到111123tan(arctan arctan )112316++==-， 且由110arctan arctan arctan1arctan1232π<+<+=，知11arctan arctan 234+=π．则{}20202020202011111arctan arctan arctan1arctan arctan 1232k k x x k k π===≥>++=>∑∑，与{}202001x <<，矛盾．故此时无解．由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为{}0．41．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC【解析】 【分析】 【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-． 因为()()1122,,,CA x y CB x y ==， 所以21cosCA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCACB C =⋅⋅ 12211122x y x y ==-回到原题，连结OA 、OB 、OC ，则： ABCOABOBCOACSSSS=++112cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22αβαββγβγ=-+- 12cos sin 2sin cos 2αγαγ+- sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin 0,2cos 2cos 2cos 0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin ,cos cos cos .αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩ 所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=， 所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC 42．（2019·上海·高三竞赛）已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin A B =()sin A B +，求tanA 的最大值.【答案】43【解析】 【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--， 这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t. 当413arctan ,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立.所以，tanA 的最大值为43.43．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，证明：coscos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A BA B C ⋅⋅⋅++≥ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，对ABC ∆，作其相伴111A B C ∆. 则11cos 2B E B B O =，111cos 2C G C A C =，111cos 2C G A B C =. 故11111111111111coscos 22cos2B E C G B C B O A C B E B C A C G B O A C B C ⋅⋅⋅==⋅. 由O 、E 、1C 、F 四点共圆得11111B E B C B O B F ⋅=⋅则111cos cos 22cos 2B C B F A AC ⋅=.类似地，111coscos 22cos 2B C C G A A B ⋅=，111cos cos 22cos2B C A E A B C ⋅= 记111A B C ∆的三边111111B C C A A B 、、分别为111a b c 、、，相应边上的高111A E B F C G 、、分别为123h h h 、、，且其面积为S 、则312222222111111111cos cos 222111222cos2B C h h h S S S S A a b c a b c a b c ⋅⎛⎫∑=++=++=++ ⎪⎝⎭.其中，“∑”表示轮换对称和.由熟知的不等式222111111334a b c S++≥，得coscos 33222cos 2B CA ⋅∑≥. 当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，若cos cos 2sin sin A BB A+=，证明:∠A ＋∠B ＝90° 【答案】见解析 【解析】 【详解】由sin cos sinB sin sin sin sinB 0A A cosB A B A ⇒⋅+⋅-⋅-⋅=()()sin cos sin sinB cosB sinA 0A A B ⇒-+-=()()sinA sin 90sinB sinB sin 90sinA 0A B ⎡⎤⎡⎤⇒︒--+︒--=⎣⎦⎣⎦909090902sinA cossin 2sin cos sin 2222A B A B B A B AB ︒-+︒--︒-+︒--⇒⋅⋅+⋅⋅ 902sin sin cos 45?sin cos 450222A B A B A B A B ⎡⎤︒----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒⋅︒-+⋅︒+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=0902A B ︒--⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()90cos sin sin sin sin sin 0222A B A B A B A B A B ︒----⎛⎫⎡⎤⇒++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222cos sin 2sin cos 02222A B A B A B A B -+-+⋅+⋅>sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 90sin 02A B ︒--⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭ 90A B ⇒∠+∠=︒()10A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，. 45．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC 的三个内角满足2A C B ∠+∠=∠,cos cos A C +=cos 2A C -的值.【解析】 【详解】由题设知60,B ∠= 120A C ∠+∠=︒. 设2A Cα∠-∠=,则2A C α∠-∠=,于是,60,60A C αα∠=+∠=-. 故()()cos cos cos 60cos 602cos60cos cos A C αααα+=++-=⋅=.()()()260cos 6032cos2cos120cos cos604αααα+⋅-⎫==+︒=-⎪⎭.故223cos cos 2cos 04αααα⎫=--⇒+-=⎪⎭()(32cos 0αα⇒+=.若3cos 1αα+⇒=<-舍，从而,2cos 0cos αα=⇒=. 46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()()3333sin cos sin cos f x x x m x x =+++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有最大值2.求实数m 的值.【答案】1m =- 【解析】 【详解】注意到，()()233sin cos sin cos sin cos 3sin cos x x x x x x x x ⎡⎤+=++-⋅⎣⎦()()()223sin cos sin cos sin cos 12x x x x x x ⎧⎫⎡⎤=++-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭.令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 则()()()223333931222f x t t t mt m t t g t ⎡⎤⎛⎫=--+=-+∆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由()233322g t m t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，有以下两种情形.（1）32m ≥. 由()0g t '>，知()max 92322g t g m ⎫==-+=⎪⎭ 230m ⇒-<，矛盾.（2）32m <. 若32132m -<-，即0m <时，()()max 1321g t g m m ==+=⇒=-；若32132m -≤≤-3012m ⎛≤≤ ⎝⎭时， ()max271523248g t g m m ==⇒=-⇒=-，矛盾；若3232m ->-33122m ⎛<< ⎝⎭时，()max 3 222g t g m ⎫==+=⎪⎭34m ⇒=-. 综上，1m =-.47．（2019·全国·高三竞赛）求(),f xy =【答案】42 【解析】 【详解】注意到，2cos472cos 26x x +=+ ()2222cos 16x =-+ ()428cos cos 1x x =-+，同理，()42cos478cos cos 1y y y +=-+，而22cos4cos48sin sin 6x y x y +-⋅+ ()()22cos47cos478sin sin 8x x x y =+++-⋅-()428cos cos 1x x =-++ ()428cos cos 1y y -+- ()()2281cos 1cos 8x y ---()44228cos cos 8cos cos x y x y =+-⋅，()()42424422,8cos cos 1cos cos 1cos cos cos cos f x y x x y y x y x y =-++-+++-⋅，如图，作边长为1的正SAB ∆、SBC ∆、SCD ∆，在SB 、SC 上分别取点X 、Y 使得2cos SX x =，2cos SY y =，联结AX 、AY ，则(),f x y ()8AX XY YD =++，其最小值就是线段ASD 的长度，即当2x y π==时，min 2842f ==.48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】由于1111tan arctan 1412111n n n n n π-⎛⎫+-== ⎪++⎝⎭+⨯+，只需证： 2111arctan arctan arctanarctan 3712nn n n +++=+++．设*(),2nf n n n =∈+N ，注意到：21()(1)12111()(1)1121n n f n f n n n n n f n f n n n n n ----++==-+-+++⋅++，即21tan[arctan ()arctan (1)]tan arctan 1f n f n n n ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 又由于()f n 、(1)f n -、211n n ++均大于0，则21[arctan ()arctan (1)],,arctan 0,2212f n f n n n πππ⎛⎫⎛⎫--∈-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 从而21arctanarctan ()arctan (1)1f n f n n n =--++． 所以2111arctan arctan arctan371n n +++=++arctan ()arctan (0)arctan 2nf n f n -=+，所以对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．49．（2021·全国·高三竞赛）设αβγ、、是锐角，满足αβγ+=，求证：cos cos cos 1αβγ++-≥【答案】证明见解析 【解析】 【详解】2cos cos cos 12coscos2sin 222αβαβγαβγ+-++-=⋅- 2cos cos sin sin 2222γαβγαβ-+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭.由于0,224αβγπ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以cos cos cos sin 2222αβαβγγ-+>=>. 由恒等式()()222222()()ac bd ad bc a b c d ---=--可知，如果0a b >>且0c d >>，则ac bd -≥cos cossinsin2222γαβγαβ-+⋅≥-⋅===所以cos cos cos 1αβγ++-≥50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C ---.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C---.在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=， cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++. 而上式左边228zx yxz⋅=，故原不等式得证【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,1--4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．。
高中数学竞赛与强基计划试题专题：三角函数
高中数学竞赛与强基计划试题专题：三角函数一、单选题1．（2021·北京·高三强基计划）已知O 为ABC 的外心，,AB AC 与OBC △的外接圆分别交于点D ，E ．若DE OA =，则OBC ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．以上答案都不对2．（2020·北京·高三强基计划）设等边ABC 的边长为1，过点C 作以AB 为直径的圆的切线交AB 的延长线于点D ，AD BD >，则BCD △的面积为（）ABCD ．前三个答案都不对3．（2020·北京·高三强基计划）（）AB．CD ．前三个答案都不对4．（2020·北京·高三校考强基计划）使得sin115cos1n >+成立的最小正整数n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．（2020·北京·高三校考强基计划）在ABC中，90,1,A AB AC ∠=︒==点P 满足0||||||PA PB PCPA PB PC ++=，则（）A ．120APC ∠=︒B ．120APB ∠=︒C ．||2||PB PA =D ．||2||PC PB = 6．（2020·北京·高三校考强基计划）设,αβ为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值为（）本号资*料全部来源于微信公众号：数学第六感A．4BC ．1D7．（2020·北京·高三校考强基计划）212lim arctan nn k k →∞==∑（）A ．3π4B ．πC ．5π4D ．3π28．（2020·北京·高三校考强基计划）sin arctan1⎛+= ⎝⎭（）A ．1BCD ．22二、多选题9．（2020·北京·高三校考强基计划）设ABC 的三边长a ，b ，c 都是整数，面积是有理数，则a 的值可以为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中123∠∠∠==），得到四个小正方形,,,A B C D ，记它们的面积分别为,,,A B C D S S S S ，则以下结论正确的是（）A ．A DBC S S S S +=+B ．AD B C S S S S ⋅=⋅C ．2A D B S S S + D ．2D A CS S S +<11．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若{3cos (sin 1)0a cb Cc b C +=+-=），则（）A ．3B π=B ．4B π=C ．ABC 3316D ．ABC 332三、填空题12．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．13．（2022·江苏南京·高三强基计划）设0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数2sin cos y x x =的最大值为___________.14．（2022·江苏南京·高三强基计划）在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知2cos cos sin sin sin a C b A a A B c A -=-，则tan A 的值为___________.15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数4153y x x =--___________.16．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范围是___________.17．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.18．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．19．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______．20．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC A C B =+-=，则+BC AB 的值为__________．21．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.22．（2022·福建·高二统考竞赛）已知α，β，()0,γπ∈，且，则cos cos sin 2αβγ++的最大值为___________.23．（2022·浙江·高二竞赛）已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2b aC a-=，则角A 的取值范围是______.24．（2022·北京·高三校考强基计划）在ABC 中，()2ABC cS a b =- ，其外接圆半径2R =，且())224sin sin sin A B b B -=-，则sinsin 22A B C-+=___________.25．（2022·北京·高三校考强基计划）在梯形ABCD 中，,AD BC M ∥在边CD 上，有ABM CBD BCD ∠∠∠==，则AMBM取值范围为___________.26．（2022·北京·高三校考强基计划）若ABC 三边长为等差数列，则cos cos cos A B C ++的取值范围是___________.27．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．四、解答题28．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctan arctan 37114n n n π++++=+++ ．29．（2022·新疆·高二竞赛）直角三角形DEF 的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边,,AB BC CA 上，且=90,=30DEF EDF ∠∠︒︒，求DEFABCS S 的最小值．30．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .高中数学竞赛与强基计划试题专题：三角函数答案一、单选题1．（2021·北京·高三强基计划）已知O 为ABC 的外心，,AB AC 与OBC △的外接圆分别交于点D ，E ．若DE OA =，则OBC ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．以上答案都不对【答案】B【分析】利用圆周角和圆心角的关系可求OBC ∠的大小.【详解】如图，连结BE ．由于DE OA OB OC ===，于是弧BO 分别与弧DE 、弧OC 相等，进而可得弧BD 与弧OE 相等、弧OD 与弧CE 相等，进而190902EBC OBD AOB ECB ∠=∠=︒-∠=︒-∠，从而90BEC ∠=︒，因此BC 是OBC △外接圆的直径，进而45OBC ∠=︒．2．（2020·北京·高三强基计划）设等边ABC 的边长为1，过点C 作以AB 为直径的圆的切线交AB 的延长线于点D ，AD BD >，则BCD △的面积为（）A ．16-B ．16-C ．16D ．前三个答案都不对【答案】C【分析】利用射影定理可求4OD =，故可求BCD △的面积.【详解】如图，设题中圆的圆心为O ，CD 与圆O 切于点T ，连结,CO TO ，则12OC OT ==，于是OD =，从而1112242216BCD S BD OC ⎛⎫=⋅⋅=⨯-⨯= ⎪⎝⎭△．3．（2020·北京·高三强基计划）222323cos cos 523cos cos 4sin θθθθθ++-++（）A 23B ．223C 223D ．前三个答案都不对【答案】D【分析】利用基本不等式可求代数式的最大值.【详解】题中代数式为223cos 123cos 10(3cos 1)10(3cos 1)33θθθ+++-++-++111033≤+21023+=210(3cos 1)103cos 3cos 123θθθ-+=⇒+103．4．（2020·北京·高三校考强基计划）使得sin115cos1n >+成立的最小正整数n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】先证明3,1s π02in 6x x x x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭>成立，再结合2()1f x x x =+-21151sin1sin 1+-n 的值.【详解】根据题意，有21151sin1sin 1n >+-记2()1f x x x =+-，则函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增函数．设()31sin 6g x x x x =-+，则：()2222sin 2sin sin 11cos 12222222g x x x xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭+⎝=-⎭'，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin 22x x >，故()0g x '>，故()g x 为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，故()()30100sin 6g x g x x x >=⇔->+.接下来利用当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，31sin 6x x x >-以及正弦函数的单调性估计sin1．511sin1sin 663π=-<<<有16661045sin15553f f f ⎛⎫⎛⎫<=<<=++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此使得不等式成立的最小正整数n 的值为5．5．（2020·北京·高三校考强基计划）在ABC 中，90,1,A AB AC ∠=︒==点P 满足0||||||PA PB PCPA PB PC ++=，则（）A ．120APC ∠=︒B ．120APB ∠=︒C ．||2||PB PA =D ．||2||PC PB = 【答案】ABCD【分析】根据题设条件可得P 为ABC 的费马点，如图，以,AB BC 为边作等边三角形,ABE BCD ，可证,PAB BAD △∽△PBC BEC △∽△，故可判断各项的正误.【详解】根据题意，,,PA PB PC方向上的单位向量之和为零向量，因此120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，进而P 为ABC 的费马点．如图，以,AB BC 为边作等边三角形,ABE BCD ，则60BPD BCD ∠=∠=︒，故,,,B P C D 四点共圆，故PBC PDC ∠=∠，故D PBA A B ∠=∠，故12PA BA PAB BAD PB BD ⇒==△∽△，同理，12PB BE PBC BEC PC BC ⇒==△∽△，因此所有选项均正确．6．（2020·北京·高三校考强基计划）设,αβ为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值为（）A ．4B C ．1D 【答案】A【分析】利用基本不等式可求最大值.【详解】解法一：由sin cos()sin ααββ+=得2cos cos sin sin sin sin αββαβα-=，所以2cos sin tan sin tan ββαβα-=．因为,αβ均为锐角，所以22cos sin tan 1tan 11sin 12tan 42tan tan βββαββββ===≤+++，当且仅当tan β=tan α的最大值是4．解法二:由sin cos()sin ααββ+=得:1cos()sin sin [sin(2)sin ]sin 2αββααβαα+=⇒+-=，于是11sin sin(2)33ααβ=+≤，等号当111arcsin ,arccos 323αβ==时取得，因此tan α的最大值为1tan arcsin 34=．7．（2020·北京·高三校考强基计划）212lim arctan nn k k →∞==∑（）A ．3π4B ．πC ．5π4D ．3π2【答案】A【分析】利用裂项相消法可求数列的和，再根据基本极限可求题设中数列的极限.【详解】根据题意，有22(1)(1)arctanarctan arctan(1)arctan(1)1(1)(1)k k k k k k k +--==+--++-，于是211]2lim arctan lim arctan(1)arctan(1)nnn n k k k k k →∞→∞===+--∑∑()()lim arctan 1arctan arctan1arctan 0n n n ∞→=++--3π4=．8．（2020·北京·高三校考强基计划）sin arctan1arcsin arccos 510⎛++= ⎝⎭（）A ．1B．10C．5D．2【答案】A【分析】利用复数的乘法可求3个角的和的正弦值.【详解】arctan1,arcsin510分别是复数1i,2i,3i +++的辐角，于是题中代数式为复数(1i)(2i)(3i)10i z =+++=的辐角的正弦值，为1．二、多选题9．（2020·北京·高三校考强基计划）设ABC 的三边长a ，b ，c 都是整数，面积是有理数，则a 的值可以为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】CD【分析】由特例可得a 的值可以取3，4，再利用整数的性质可判断a 的值不可能为1，2，故可得正确的选项.【详解】取三边为3，4，5的三角形，其面积为6，此时a 的值可以取3，4．当1a =时，有||||a b c a b c b -<<+⇒=，此时ABC 2413(mod 4)b -≡，不为完全平方数，因此ABC 的面积不可能是有理数．当2a =时，不妨设2b c ≤≤，有||||a b c a b c b -<<+⇒=或1c b =+．情形一若c b =，则ABCp q=，其中p ，q 为互质的正整数，则()2221q b p -=，于是21b -为完全平方数，而正整数的完全平方数的最小间隔为22213-=，因此该情形不成立．情形二若1c b =+，则2222(1)23cos 44b b b C b b+-+-+==，于是面积为有理数，等价于sin C =2121293(mod 4)b b +-≡，因此ABC 的面积不可能是有理数．综上所述，a 的值不可能为1，2，可能为3，4．故选：CD.10．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中123∠∠∠==），得到四个小正方形,,,A B C D ，记它们的面积分别为,,,A B C D S S S S ，则以下结论正确的是（）A ．A DBC S S S S +=+B ．AD B C S S S S ⋅=⋅C ．2A D B S S S + D ．2D A CS S S +<【答案】BC【详解】设123α∠=∠=∠=，最大正方形的边长为1，小正方形,,,A B C D 的边长分别为a b c d ,,,．∵2cos ,sin cos a b ααα==，2sin cos ,sin c d ααα==，4422sin cos 2sin cos A D S S αααα+=+≥，22sin cos B C S S αα==，2A D B S S S +≥，所以C 正确；4444sin sin ,sin sin A D B C S S S S αααα==，所以A D B C S S S S =，所以B 正确，故选：BC.11．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若{cos (sin 1)0a cbc b C ++-=），则（）A ．3B π=B ．4B π=C ．ABCD ．ABC 【答案】AC【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。
高中数学 三角函数5部分25个考点100道典型题!
三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。
【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。
A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。
高中数学竞赛0710试题之三角函数教师版
高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——三角、向量一、选择题1.（07全国）设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x−c )=2，于是取21==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x−c )=1，由此得1cos -=acb 。
一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ϕ，其中20π<<ϕ且32tan =ϕ，于是af (x )+bf (x−c )=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ。
由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+)3(01)2(0sin )1(0cos b a c b c b a ， 若b =0，则由(1)知a =0，显然不满足(3)式，故b≠0。
所以，由(2)知sin c =0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k ∈Z )。
当c=2kπ时，cos c =1，则(1)、(3)两式矛盾。
故c=2kπ+π(k ∈Z )，cos c =−1。
由(1)、(3)知21==b a ，所以1cos -=ac b 。
2.（08全国）ABC ∆中，边,,a b c 成等比数列，则sin cot coscos A C A B+的取值范围是（ C）A. (0,)+∞B.C. D. )+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是． 3．（08江苏）如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22A π， cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 4.（08河北）已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．A []11-，B []2-，2C 0⎡⎣ D⎡⎣答案：D ．解：设sin sin x y t -=，易得21cos cos sin sin 2t x y x y --=，即()21cos 2t x y -+=．由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t ≤ 5.（08湖南）设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（ ）Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<解：因为00002818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.6.（08江西）若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2kkkx kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3． 解：记()sin sin cos cos cos 2k k k f x x kx x kx x =⋅+⋅- ，则由条件，()f x 恒为0，取2x π=，得()sin12k k π=-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此n 为偶数，令2n m =，则41k m =-，故选择支中只有3k =满足题意．二、填空题1.（08江西）0sin 20sin 40sin80⋅⋅= .解：()0000008sin 20sin 40sin804cos 20cos60sin80⋅⋅=-()0004sin80cos202sin802sin100sin 602sin80=-=+-02sin 60==所以0sin 20sin 40sin 80⋅⋅=． 2.（08湖北）设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 15 3.（08湖北）若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 3 ．4．（08湖北）在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为16715．5．（08湖北）已知a OA =，b OB =，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==，6π=∠AOB ，y x +=，则=-y x -2 ．6．（07全国）在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________解：因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅BF AB AC BE AB AB ，即22=⋅+⋅+⋅+。
高中数学三角函数专项(含答案)
高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．设函数()sin f x x π=，()21g x x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数()()f x yg x =存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________.2．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 3．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____．4．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______5．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.6．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．7．设向量OA a =，OB b =，OC c =，2a b a b ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且向量c 与向量a c -的夹角为3π，则||||c c b -的取值范围是____________．8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23a A π==．若mb nc +（0,0m n >>）有最大值，则nm的取值范围是__________． 9．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足1222PA PC +=的点P 有__________个.二、单选题11．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．,212．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，23cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1213．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C 3D 314．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()02f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）A ．5571,2424⎛⎤⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦15．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ）A ．()f x 为常数B ．()f x 有极小值C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数16．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π17．设函数242,0()sin ,60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足12122||a a b b +22221122a b a b ++||23AB =，则这样的点A 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，5BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．3420．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．23．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos ,3sin 2)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.25．如图，长方形ABCD 中，2,3AB BC ==，点,,E F G 分别在线段,,AB BC DA （含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.（1）求角θ的取值范围；（2）求出EFG ∆周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ∆周长l 的取值范围. 26．已知函数()23sin 212cos f x x x +-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.27．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 28．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m ，圆心角为0120的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD //AB ；上，CD //AB ；OAB ∆区域为文化展区，AB 长为3域，且CD 长不得超过200m.(1)试确定A ，B 的位置，使OAB ∆的周长最大？(2)当OAB ∆的周长最长时，设2DOC θ∠=，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值.29．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域． 30．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值； (2)若6,2BC AB AD ==b ．【参考答案】一、填空题1．②④23．③④4．05．742ω<<或91322ω<≤.6．227． 8．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭910．18二、单选题 11．A 12．A 13．C 14．A 15．A 16．C 17．B 18．D 19．A 20．D 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】(1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.23．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12.【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间 （2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增，解得：36k x k ππππ-≤≤+，故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈.（2）∵02x π≤≤，∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.24．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.（1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-= 整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -=∴sin cos()sin A A C C +=∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π= （2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-,∵ACD ∆为正三角形,∴2254cos CD C A α=-=,在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin AC βα=, ∴sin sin AC βα=,∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=-- 2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-,12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.25．（1）[,]63ππ（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈，EFG ∆周长l 的取值范围为1)]（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可.（2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=，在Rt ΔEBF 中，求得1sin EF θ=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111()cos sin sin cos f θθθθθ=++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，此时tan θ=02πθ<<，所以max 3πθ=当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值， 此时=3BEF π∠，所以min 236πππθ=-=故所求θ的取值集合为[,]63ππ （2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=，1AE =，所以1cos EG θ= 在Rt ΔEBF 中，cos cos()2BE BEF EF πθ∠=-=，1BE =，所以1sin EF θ= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+2222222211sin cos 1sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+== 因为[,]63ππθ∈，所以sin 0,cos 0θθ，1sin cos FG θθ= 所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ=++=++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈ 令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-= 所以22(1)211t l t t +==-- 因为[,]63ππθ∈，57[,]41212πππθ+∈，所以sin()4πθ+∈所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈所以EFG ∆周长l 的取值范围为1)]本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.26．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；（2）先求平移后的函数解析式，再求值域.【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.27．(1) PN =(0,x ∈；(2) arctan . 【解析】【分析】（1）求出PM ,AM ,运用余弦定理,求得PN ；（2）求出PN 的最小值,由于//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,通过解直角三角形PMN ,即可得到.【详解】（1）在APM ∆中,PM =AM =；其中0x <<在MND ∆中,2MN x ⎫=⎪⎪⎝⎭,在PMN ∆中,PN =(0,x ∈；（2）当(0,x 时,PN 最小,此时43PN =. 因为在底面ABCD 中,MN BD ⊥,AC BD ⊥,所以//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,在PMN ∆中,PMN ∠为直角,tan PNM ∠=所以arctan 4PNM ∠=,异面直线PN 与11A C 所成角的大小 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法等.属于难题.28．（1）OA 、OB 都为50m ；（2）8sin 64sin cos S θθθθ=-+；0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；最大值为2625(8m +. 【解析】【分析】对于（1），设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在△OAB 中，利用余弦定理可得22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，整理得222m n mn =++，结合基本不等式即可得出结论； 对于（2），当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD 为等腰梯形，过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB ，CD 的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知，8sin 64sin cos S θθθθ=-+ ，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S 的最大值．【详解】解：（1）设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在OAB ∆中，22222cos 3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++.所以22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+.所以m n 100+，当且仅当m n 50==时，m n +取得最大值，此时OAB ∆周长取得最大值.答：当OA 、OB 都为50m 时，OAB ∆的周长最大.（2）当AOB ∆的周长最大时，梯形ABCD 为等腰梯形.如上图所示，过O 作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB 、CD 的中点，所以DOE θ∠=.由CD 200，得0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 在ODF ∆中，DF 200sin θ=，OF 200cos θ=.又在AOE ∆中，OE OAcos 253π==，故EF 200cos 25θ=-. 所以1(503400sin )(200cos 25)2S θθ=- 625(38sin )(8cos 1)θθ=-625(838sin 64sin cos 3)θθθθ=-+，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 令()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， ()838cos 64cos 216sin 64cos 26f πθθθθθθ'⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 又16sin 6y πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭及cos 2y θ=在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上均为单调递减函数， 故()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数. 因1()1640623f π⎫'=-⨯>⎪⎪⎝⎭，故()0f θ'>在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 于是，()f θ在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递增函数. 所以当6πθ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8153)+. 答：当6πθ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为2625(8153)m +. 【点睛】 本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+()16sin 64cos 26f πθθθ'⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.属于难题. 29．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）[)2,1- 【解析】【分析】（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域 【详解】（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6y x π=+． （2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦可得 222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （3）设 26t x π=+，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=- 时，min 2f =- 当t 趋于6π时，函数值趋于1，故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)2,1- ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力．30．（1）13； （233 【解析】【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果.【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B, 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=, (2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =,在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠ 由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=, ()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==. BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.。
三角函数-历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案
、三角函数部分2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 ◆答案： 47- ★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []13,1+- ★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]3,3-∈x ，21cos 2x y -=， 所以()1121cos 2--=-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]13,1+-。
2016A 6、设函数10cos 10sin )(44kx kx k f +=，其中k 是一个正整数。
若对任意实数a ，均有{}{}R x x f a x a x f ∈=+<<|)(1|)(，则k 的最小值为◆答案：16★解析：由条件知，10cos 10sin 2)10cos 10(sin )(22222kx kx kx kx x f -+= 4352cos 415sin 12+=-=kx kx 其中当且仅当)(5Z m km x ∈=π时，)(x f 取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间)1,(+a a 至少包含一个最大值点，从而15<k π，即π5>k ． 反之，当π5>k 时，任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期，此时}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<成立．综上可知，正整数的最小值为161]5[=+π．2015A 2、若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ◆答案：2★解析：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)c o s 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+2c o s sin 22=-+=αα．2015A 7、设w 是正实数，若存在b a ,)2(ππ≤<≤b a ，使得2sin sin =+wb wa ，则w 的取值范围是 ◆答案：9513[,)[,)424w ∈+∞ ★解析：由2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式．当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．2015B 3、某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值为◆答案：★解析：由辅助角公式：sin cos )T a t b t t ϕ=+=+，其中ϕ满足条件sin ϕϕ==，则函数T 的值域是[，室内最大温差为105．故a b +≤≤等号成立当且仅当a b ==。
高中数学三角函数测试卷(答案解析版)
高中数学三角函数测试卷(答案解析版)高中数学三角函数测试卷(答案解析版)一、选择题1. 假设α是锐角，sinα=0.6，那么sin(90°-α)的值是多少？解析：根据三角函数的互余关系，sin(90°-α) = cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 0.6²) = 0.8。
答案：0.82. 已知tanα = 3/4，sinα的值为多少？解析：由tanα = sinα/cosα可得sinα = tanα × cosα = 3/4 × 4/5 = 3/5。
答案：3/53. 已知sinα = 1/2，cosβ = 3/5，α和β都是锐角，则sin(α+β)的值是多少？解析：根据两角和的公式，sin(α+β) = sinα × cosβ + cosα × sinβ = (1/2) × (3/5) + √(1 - (1/2)²) × √(1 - (3/5)²) = 3/10 + √(3/10 × 7/10) = 3/10 + √(21/100) = 3/10 + 3√21/10√10 = (3 + 3√21)/10。
答案：(3 + 3√21)/10二、填空题4. 在锐角三角形ABC中，已知∠A=30°，BC=6，AC=10，则AB 等于多少？解析：根据正弦定理，AB/AC = sin∠B/sin∠A，代入已知条件得到AB/10 = sin∠B/sin30°，即AB = 10×sin∠B/sin30°。
由∠B + ∠C = 90°可得∠B = 90° - ∠A - ∠C = 90° - 30° - 60° = 0°。
因此，AB =10×sin0°/sin30° = 0/0 = 0。
高中数学三角函数专项(含答案)
高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________3．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 4．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.5．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____．6．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点；③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单递增函数.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________. 9．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭13．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）AB ．3CD ．14．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =则（ ）A ．1B C D ．9815．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．116．已知函数()()sin 302f x x πϕϕ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，现有如下三个结论：①ϕ的最小值为3π； ②当ϕ取得最大值时，将函数()f x 的图像向左平移18π个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③函数()f x 在[]0,2π上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．317．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④18．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞19．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．820．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB ．C ．D ．三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.23．已知函数()2sin 2cos 3f x x a x =+-.（1）当1a =时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a的值；若不存在，试说明理由.24．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 25．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值； ()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a x b x x ==-， 设函数(),0,2f x a b x π⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求()f x 的值域（Ⅱ）设函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围．27．已知函数()sin()0,04,||2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++><<< ⎪⎝⎭图象的一个最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛+ ⎝和11,212π⎛-⎝． （1）求()f x 的解析式；（2）若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m ≤-，求m 的取值范围．28．已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()sin cos 1g x x x x =--.（1）若()f x 在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值； （2）若函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，求a 的取值范围.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．982．1008或10093 4．115．③④ 6．②③ 7．①③8．910．12+二、单选题 11．A 12．C 13．B 14．B 15．C 16．C 17．B 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-.【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤ （2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.23．（1）1-；（2）存在，且2a =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数取得最大值，即()max 1f x =-；（2）()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0=t 时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减， ∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意. 【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 24．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案.【详解】（1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a -+-=+-=>，则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 25．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞【解析】 【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max 1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决. 【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈ 令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---，①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍）综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立， 等价于12max 1()()24f x f x a -≤-， 2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-12max ()(25)()3f x f x =---=-∴ 1234a -≥，∴ 138a ≥， 综上所述：13[,)8a ∈+∞. 【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题.26．（Ⅰ）11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数()f x 的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得()h x 的解析式，要使()()sin 20f x h x x m ++-<在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，即不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令()()sin2y f x h x x =++求出函数的最小值，即可得实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()222991sin cos 1cos cos cos cos 888f x x x x x x x =+-=-+-=-+- ()211cos 28f x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos 1x ∴≤≤()1188f x ∴-≤≤ ()f x ∴的值域为11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）函数()21cos cos 8f x x x =-+-的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，()2211cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 依题意，不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设()()5sin2cos sin sin24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin ,0,42y x x x x x π⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，令[]cos sin ,0,1,142t x x x x t ππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则[]2211,1,142y t t t t ⎛⎫=-+-=--∈- ⎪⎝⎭∴函数()()sin2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ∴ min 94m y >=- 故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题.27．(1) ()2sin(2)3f x x π=-[22]-， 【解析】【分析】（1）根据题意得到()21T k Z k π=∈+，42k ω=+所以2ω=，再代入数据计算得到，2A =b =3πϕ=-得到答案.（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦得到0()2f x ≤≤+ 202m m +≥⎧⎪⎨+⎪⎩. 【详解】（1）由题意得1151()12122k T ππ-=+，则()21T k Z k π=∈+． 又2T πω=，则42k ω=+，因为04ω<<，所以2ω=．2A ==,b ==因为()f x 的图象经过点5(,212π，所以52sin(2)212πϕ⨯+=+ 所以23k πϕπ=-+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-．故()2sin(2)3f x x π=-+（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦从而,0()2f x ≤≤+()2f x m ≤-≤，所以()2m f x m +≤≤+．要使得存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m -≤， 则202m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩解得22m -≤≤．故m 的取值范围为[22]-，． 【点睛】本题考查了三角函数的解析式，存在问题，计算函数的值域是解题的关键.28．（1）4π（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间，令0k =，得3ππ44x -≤≤，可知区间[],b b -3ππ,44⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，即可求出正数b 的最大值；（2）令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣，可将问题转化为()21122h t t at =-+-在⎡⎣的零点问题，分类讨论即可求出答案.【详解】解：（1）由πππ2π2π242k x k -≤+≤+，k ∈Z 得3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z . 因为()f x 在[],b b -上单调递增，令0k =，得3ππ44x -≤≤时()f x 单调递增，所以π43π4b b ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩解得π4b ≤，可得正数b 的最大值为4π. （2）()()sin cos 21g x x x af x =-+-()sin cos sin cos 1x x a x x =-++-， 设πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,2t ⎡⎤∈⎣⎦.它的图形如图所示. 又()()2211sin cos sin cos 1122x x x x t ⎡⎤=+-=-⎣⎦，则()sin cos sin cos 1x x a x x -++-21122t at =-+-，2t ⎡∈⎣，令()21122h t t at =-+-， 则函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，可知()21122h t t at =-+-在2⎡⎣内最多一个零点.①当0为()h t 的零点时，102-=显然不成立； ②2()h t 3202a -=，得32a =32a =211022t at -+-=中， 得21321022t --=，解得12t =，22t =，不符合题意. ③当零点在区间(2时，若210a ∆=-=，得1a =，此时零点为1，即1t =，由24t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知不符合题意； 若210a ∆=->，即1a >，设211022t at -+-=的两根分别为1t ，2t ，由121t t =，且抛物线的对称轴为1t a =>，则两根同时为正，要使()21122h t t at =-+-在2⎡⎣内恰有一个零点，则一个根在()0,1内，另一个根在()2,+∞内， 所以()()102000h h h ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩解得32a >综上，a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.29．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |，可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ）即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。
三角函数部分高考题(带答案)
即 sin(B C) 0 ∴ B C
BC
6
A
(B
C)
2 3
由正弦定理
a sin A
b sin B
c sin C
得
1
b c a sin B 2 3 2 2
sin A
3
2
31.已知函数 f (t)
1 t 1 t ,
g ( x)
cos x
f
(sin
x)
sin
x
f
(cos x),
x ( ,
因此
0≤
sin
2πx 6
1 2
3≤
2
，即 f (x) 的取值范围 为320， ．
25.求函数 y 7 4sin x cos x 4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值。
【解】： y 7 4sin x cos x 4cos 2 x 4cos 4 x
7 2sin 2x 4cos2 x 1 cos2 x
26.知函数
f (x) 2cos2x 2sinxcosx 1（ x R,
0 ）的最小值正周期是
2．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的最大值，并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合．
（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
y Asin(x ) 的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分 12 分．
4 3
，所以
tan
2
tan tan 2 1 tan tan2
1
∵,
为锐角，∴ 0
2
3 2
，∴
2 =
3 4
30.在 ABC 中，角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ， a 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
）
A 焦点在x轴上的椭圆
B 焦点在x轴上的双曲线
C 焦点在y轴上的椭圆
D 焦点在y轴上的双曲线
12,(2005年)设, , 满足0 2 ，若对于任意的 x R
4
cosx cosx cosx 0，则 = 3 。
提示：令 f x cosx cosx cosx 0 ，则f f f 0 ，可解得：
解：原不等式变形为 cos2 x 1 acos x a2 0 对任意的 x R 恒成立。运用换元法，令t=cosx,则
g1 0
可得到
gt t2 1 at a2
0
对任意的
t 1,1 恒成立。只需要
g1 0
即可，又因为a为负数，
所以 a 2
6,(2003年)若
x
5 12
,
3
，则
2
所以
AA1 cos
A 2
2sin B
A cos 2
A 2
sin
B
sinA
B
sin
B
sin C
同理 BB1 sin A sin C,CC1 sin A sin B ，所以原式=2
11,(2005年 )方程 sin
x2 2 sin
3 cos
y2 2 cos
3 1 表示的曲线是（
y
tan
x
2 3
tan x cos x 6 6
的最大值是（
C
）
A 12 2
5
B
11 2 6
C 11 3
6
D 12 3
5
解：
y
tan x 2 tan x 3
cost sin t cost sin t cost
6
2
2 sin 2t
cot x 6
1,(2000年)设 sin A 2k
6
0, cos
,2k , k
3
0 ，且
Z
sin
3
B
c
os 3
，则
3
2k , 2k 3 6 3
的取值范围是（
, k Z 3
D
）
C 2k 5 ,2k , k Z
6
D 2k ,2k 2k 5 ,2k , k Z
7,(2004年)设锐角 使关于x 的方程x2 4x cos cot 0 有重根，则 的弧度数是（B ）
A6
B 或 5
12 12
C 或 5
6 12
D
12
8,(2004年)设点O在ABC 内部，且有OA
2OB
3OC
0
，则
ABC的面积与 AOC
的面积比为（ C A2
） B
3 2
C3
D
5 3
cos cos cos 1
2
，所以
,
,
2
3
,
4 3
，所以
4 3
13,(2006年)已知 ABC，若对任意的实数t，BA t BC AC ，则 ABC一定为（ C ）
A 锐角三角形 B 钝角三角形
C 直角三角形 D 答案不确定
解：设 BE t BC 则 BA t BC BA BE EA AC ，即线段AE的长度大于等于线段AC的长度， 即直线BC外一点A与直线BC上任一点的连线长度大于等于线段AC的长度，所以线段AC的 长度为A点到直线BC的距离，即 AC BC ，所以 ABC为直角三角形。
,
k
Z
，选D
2,(2000年) arcsin sin 2000
=
20或
-
9。
3,(2001年)在四个函数 y sin x , y cosx , y ctgx, y lg sin x 中以 为周期，在 0, 上
单调递增的偶函数是（ D ）
2
A y sin x B y cosx
A
解：做 OD 2OB,OF 3OC,做平行四边形ODEF ，则 ADF中
OA OD OF 0 ，所以点O为ADF的重心，所以
SAOD
SAOF
SDOF
S , 又SAOB
1 2
SAOD
S 2
,
SAOC
1 3
SAOF
S 3
, SBOC
1 2
SODC
1 6
SODF
S 6
OC
F
B
D
E
9,(2004年 )在平面直角坐标系xoy中，函数 f x asin ax cosaxa 0 在一个最小正周期长的区
C y ctgx D y lg sin x
4,(2001年)如果满足ABC 60, AC 12, BC k 的 ABC恰有一个，那么k的取值范围
是（ D ）
A k 8 3 B 0 k 12
C2
D 0 k 12或 k 8 3
解：ABC
中，由正弦定理知：
AC sin B
BC ,sin A sin A
BC sin B k sin 60
AC
12
3k 24
，因为满足条件的
ABC
只有一个，所以 0 A B或A ，即 0 sin A sin 60或sin A 1 ，解得 0 k 12或k 8 3
2
5,(2002年)使不等式 sin2 x acosx a2 1 cosx 对于一切 x R 恒成立的负数a的取值范围 是 a 2。
4
3
6
解：满足 sin 0,cos 0 的
的范围是
2k
2
,2k
,
k
Z
，于是
3
的取值范围是
2k 3
, 2k , k Z 6 3 3
，满足
sin 3
cos 3
的
3
的取值范围是
2k
Hale Waihona Puke 4,2k5 4
, k
Z
故所求范围是两个区间的交集，为
2k
4
,2k
3
2k
5 6
,2k
间上的图像与函数 gx a2 1 的图像所围成的封闭图形的面积是
。
解：f x a2 1sinax 由对称性可知， 所求封闭图形的面积为矩形ABCD面积
的一半。
AB 2
a2 1, BC T 2
a
S AB • BC 2 a2 1
2
a
10,(2005年)ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于 A1, B1,C1
则
AA1
c
os
A 2
BB2
c
os
B 2
CC1
c
os
C 2
的值为（
A）
A
sin A sin B sin C
A2
B4
C6
D8
C
解：由AA1 是角A的平分线和同弧所对的圆周角相等可知
B
A1
CBA1 CAA1
A 2
,ABA1
B
A 2
,所以
ABC中应用正弦定理得：
AA1 2R 2 sin B A
cost,t
cos
sin
4
,
6
x
6
x 6
,令 g t
，令 t x , 6
2 cost,
sin 2t
x y
5 12
,
3
,t
4
,
2 与y cost 在 t sin 2t
6
，所以
4
,
6
是单调递增的，所以函数
gx
单调递增，所以
gmax
g 11 3 6 6