专题十三 二次函数-知识点与题型全解析(解析版)

13 二次函数

考点总结【思维导图】

【知识要点】

知识点一二次函数的概念

概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ， b ， c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数a≠0，而b ， c可以为零．

二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

1．下列函数中，是二次函数的有（）

①y=1−√2x2②y=1

x ③y=x(1−x)④y=(1−2x)(1+2x)

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】

①y=1−√2x 2=−√2x 2+1，是二次函数； ②y=1

x ，分母中含有自变量，不是二次函数； ③y=x(1−x)=−x 2+x ，是二次函数； ④y=(1−2x)(1+2x)=−4x 2+1，是二次函数. 二次函数共三个， 故答案选C.

2．下列函数是二次函数的是（ ）

A ．y =2x +1

B ．y =−2x +1

C ．y =x 2+2

D ．y =1

2x −2 【答案】C 【解析】

根据二次函数的定义，形如y =ax 2+bx +c （其中a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是y =x 2+2。故选C 。 3．下列函数不属于二次函数的是（ ） A ．y =(x −1)(x +2) B ．()21

y x 12

=

+ C ．y =1−√3x 2 D ．()2

2y 2x 32x =+-

【答案】D 【解析】

把每一个函数式整理为一般形式，

A 、y =(x −1)(x +2)=x 2+x -2，是二次函数，正确；

B 、()21y x 12

=

+=12x 2+x+1

2，是二次函数，正确； C 、y =1−√3x 2，是二次函数，正确；

D 、()2

2y 2x 32x =+-=2x 2+12x+18-2x 2=12x+18，这是一个一次函数，不是二次函数， 故选D.

4．下列函数中是二次函数的是（ ）

A ．y=2（x ﹣1）

B ．y=（x ﹣1）2﹣x 2

C ．y=a （x ﹣1）2

D ．y=2x 2﹣1

【答案】D 【解析】

A 、y=2x ﹣2，是一次函数，

B 、y=（x ﹣1）2﹣x 2=﹣2x+1，是一次函数，

C 、当a=0时，y=a （x ﹣1）2不是二次函数，

D 、y=2x 2﹣1是二次函数． 故选D ．

题型一 待定系数法求二次函数解析式

例1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值如下表：

下列说法正确的是( ) A ．抛物线的开口向下 B ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大 C ．二次函数的最小值是－2 D ．抛物线的对称轴是直线x ＝－5

2

【答案】D 【解析】

将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y =ax 2+bx +c 中， 得：{0=16a −4b +c

0=a −b +c 4=c ,解得：{a =1b =5c =4，

∴二次函数的解析式为y =x ²+5x +4. A. a =1>0，抛物线开口向上，A 不正确；

B. −b

2a =−5

2,当x ⩾−5

2时，y 随x 的增大而增大，B 不正确；

C. y =x ²+5x +4=(x +5

2) ²−9

4,二次函数的最小值是−9

4，C 不正确；

D. −b

2a =−5

2,抛物线的对称轴是x =−5

2，D 正确.

故选D. 跟踪训练一

1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

那么关于它的图象，下列判断正确的是( )

A．开口向上

B．与x轴的另一个交点是(3，0)

C．与y轴交于负半轴

D．在直线x＝1的左侧部分是下降的

【答案】B

【解析】

A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4．

将（﹣1，0）代入，得

a（﹣1﹣1）2+4=0，

解得a=﹣2．

∵a=﹣2＜0，

∴抛物线的开口方向向下，

故本选项错误；

B、抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；

C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；

D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；

故选：B．

题型二根据二次函数的定义求参数值

例2．抛物线y=ax2+bx−3经过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）

A．3 B．9 C．15D．−15

【答案】C

【解析】

∵抛物线y=ax2+bx−3经过点（2，4），∴4=4a+2b−3，即4a+2b=7。

∴8a +4b +1=2(4a +2b )+1=2×7+1=15。故选C 。 跟踪训练二

1．已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【解析】

解：（1）根据一次函数的定义，得：m 2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m ﹣1≠0即m≠1；

∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m 2﹣m≠0 解得m 1≠0，m 2≠1

∴当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．

知识点2：二次函数的图象和性质（重点） 二次函数的基本表现形式：

①y =ax 2；②y =ax 2+k ；③y =a (x −ℎ)2；④y =a (x −ℎ)2+k ；⑤y =ax 2+bx +c . 第一种：二次函数y =ax 2的性质（最基础） 1.下列关于二次函数22y x =的说法正确的是( ) A ．它的图象经过点(−1,−2) B ．它的图象的对称轴是直线x =2 C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 D ．当x =0时，y 有最大值为0 【答案】C