课后作业处理

挖掘埋藏在课本中的宝藏

——谈课后习题的使用与拓展

汤敬鹏(兰州市57中学，730070)

在教辅材料大行其道的今天，我们发现有一些教师在平时教学中并不太愿意使用教材中的课后习题，他们觉得课后习题难度不大，对学生的训练价值不高，相比之下，他们更喜欢使用有一定难度的课外教辅材料。对于这种做法，笔者不敢苟同，笔者认为，课后习题是一种重要的教学资源，它是教材编写者经过认真思考，精心选择与编写而成的，它们具有很强的针对性与较高的训练价值，课后习题其实是埋藏在课本中的宝藏。作为教师，不仅要使用课后习题，更要精心处理课后习题，使课后习题的教育价值得到充分的发挥。笔者现就人教版普通高中数学教材(以下简称“教材”)中课后习题的使用，谈谈自己的看法，本文所用例题均为教材中的课后习题。

1.1利用课后习题纠错示错，巩固数学双基

每节课后的习题，都针对本节所学内容而编制，具有很强的针对性与基础性，课后作业有助于学生加深对新学概念的理解，有助于学生对所学知识进行应用，一些习题中还针对学生可能产生的知识误区或知识盲点，埋藏有知识“陷阱”，这样可以帮助学生从反面理解概念，或提醒学生关注其盲点。教师要善于利用这些习题，帮助学生从正反两方面掌握概念、夯实基础。

例1：在等比数列{a n }中，已知211a 3=,214S 3=,求a 1与q 学生在解答这道习题时，首先会想到用等比数列求和的公式q 1q 1a S n 1n --=)(及

等比数列通项公式1n 1n q a a -=来求解，但初次使用公式时，学生往往会忽略等比数列求和公式有q ≠1的限制，从而引起解答的错误，教师在讲评作业时，先要提醒学生注意这个限制条件，做题时首先要判断这个等比数列是否为非零常数列，若是，则需使用S n =na 1来进行计算；之后，教师要提出问题，这种已知S n ，求a 1和q 的问题，是否可以不按q=1和q ≠1进行分类讨论，进而指出，利用数

列求和定义：S n =a 1+a 2+…+a n 解决这类问题，可以避开讨论。 解：∵211a 3= 291q 1q 123a q a q a S 233233=++=++=

)( ∴02q 1q

12=-+ 解得q=1或21q -= 当q=1时，23

a a 31==；当21q -=时，6q a a 2

31== 教师不仅要引导学生对自己的错误进行反思，还要引导学生去发现课本习题编制的不完善或错误之处，这不仅使学生的基础进一步得到巩固，还能培养学生形成质疑反思的意识。

例2：已知：x 1x 1x f +-=lg )(，求证：)()()(ab

1b a f b f a f ++=+ 学生在做这道习题时，往往不假思索地进行证明，在作业讲评时，教师可提出如下问题：f(-5)+f(3)=f(71

)成立吗？以引导学生去发现这道习题存在的问

题。学生在计算定义域后，发现此题应给出a 、b 的范围，使得a 、b 、ab 1b a ++在定义域(-1, 1)内。通过此题，学生进一步认识到解决函数问题先求函数定义域

的重要性。

1.2借用课后习题铺垫，形成引燃新知的导火索

新知识既可以为了解决新问题而产生，也可以由与旧知识的联系而产生。借助以前章节的课后习题引入新课，可以使学生在熟悉的背景中感知学习新知识的必要性；而利用新课后的课后习题引入新课，之后再加以解决，可使教学前后呼应，从而激发学生的学习热情，提高教学的效率。

例3：在学习椭圆的参数方程这一知识时，可以先让学生做前一章的复习参考题中的一道习题：用描点法画出下列参数方程(θ为参数)表示的图形：θ=θ

=sin cos {3y 5x

学生作图后可以发现图形是一个椭圆，这时可以引导学生结合同角正、余弦的平方关系消参，得到椭圆的标准方程，学生从而知道，这种参数方程表示的是椭圆，之后给出课本中的例题(用同心圆画椭圆)，通过对例题的分析，可以得到动点P 的坐标满足参数方程θ=θ

=sin cos {b y a x ，由于前面习题的铺垫，学生立即发现P

点的轨迹是一个椭圆，这样，学生较为轻松地获得了有关椭圆参数方程的知识。

1.3探寻习题间的联系，整合学生的知识体系

单独一道数学习题的教育功能也许并不很大，但如果能够将多道习题串珠成线，形成题组，让学生探寻其中的联系，学生将体会其中蕴涵的特殊与一般、抽象与具体、相互转化等种种关系，那么数学习题的教育功能将成倍增长。

例4：在“直线与圆的方程”一节的复习课中，教师可将本章各节及复习题中的下列课后习题串联成题组供学生使用

⑴求经过两条曲线x 2+y 2+3x-y=0和 3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线的方程； ⑵两条曲线的方程是f 1(x,y)=0和f 2(x,y)=0，它们的交点是P(x 0,y 0)，求证：方程f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过点P(λ是任意实数)；

⑶经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程；

⑷经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程；

⑸经过两条直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点，且垂直于第一条直线的直线方程；

⑹直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x-y=10相交于一点，求a 的值

⑺求证：不论m 取任何实数，方程(3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0所表示的曲线必经过一个定点，并求出这一点的坐标；

⑻求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程；

⑼求两圆x 2+y 2-10x-10y=0，x 2+y 2+6x+2y-40=0的公共弦的长；

⑽判定两圆x 2+y 2-6x+4y+12=0，x 2+y 2-14x-2y+14=0是否相切；

在练习时，学生先用求交点及直线方程的两点式求得习题⑴的答案，随后教师要引导学生观察所得直线方程与两圆方程相减后所形成的方程是相同的，从而引发学生思考为什么会出现这样的情况，是偶然的，还是必然的？之后再给出习题⑵，两道习题相结合，在教师的引导下，学生自然而然地产生了过两条曲线的交点的曲线系的知识，并能意识到习题⑴是λ=-1的情形，从而总结出相交两圆的公共弦方程就是两圆方程相减消去二次项后所得的方程。之后，给出习题⑶—⑼，对学生刚形成的新知识进行应用，其中习题⑼可先由两圆的方程相减，求出公共弦方程，再利用点到直线的距离公式、垂径定理及勾股定理加以解决。习题⑽可先由两圆的方程相减，求出直线方程，再求出两圆圆心到直线的距离，由距离与半径的关系可以判断出两圆都与直线相切，又由于两圆的连心线与直线垂直，因此两圆相切，由习题⑽学生可以得出结论：当两圆相切时，两圆方程相减