史荣昌魏丰版矩阵分析第一章(1)

矩阵分析

主讲教师：张艳霞

矩阵理论的应用

微分方程、概率与统计、优化、信号处理、控制

工程、经济理论等等。

工程经济理论等等

如需更深入地学习和了解在自己专业的应用，可

如需更深入地学习和了解在自己专业的应用可

参考：

《矩阵分析与应用》，张贤达著，清华大学出版社；《Matrix Analysis for Scientists & Engineers》:

Alan J. Laub，SIAM.

第章

第一章线性空间和线性变换线性空间的基本概念及其性质

线性空间的基底，维数, 坐标变换

线性空间的基底维数

线性空间的子空间，交与和

线性映射及其值域、核

线性变换及其矩阵表示

矩阵（线性变换）的特征值与特征向量矩阵的可对角化条件

第一节第节线性空间

一：线性空间的定义与例子线性间的义

定义设是一个非空的集合，是一个数域，V F 在集合中定义两种代数运算,一种是加法运算,来表示另种是运算用来表示V 用来表示; 另一种是数乘运算, 用来表示, +i

并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律

αββα+=+（2）加法结合律()()

αβγαβγ++=++

（3）零元素: 在中存在一个元素，使得对于

V 0任意的都有V α∈0αα

+=（4）负元素: 对于中的任意元素都存在一

V α

个元素使得β0

αβ+=（5）i =1αα

（6）()()k l kl αα

=（7）()k l k l ααα

+=+（8）()k k k αβαβ

+=+为数域F 称这样的上的线性空间。V

例1

全体实函数集合构成实数域上的线性空间。R 例2

复数域上的全体型矩阵构成的集C m n ×合为上的线性空间。m n × C C 例3实数域上全体次数小于或等于的多项式

R n 集合构成实数域上的线性空间;

1[]n R x +R 实数域上全体次数等于的多项式集合不

构成实数域

上的线性空间;R n R

二：线性空间的基本概念及其性质

定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；

向量组的极大线性无关组；向量组的秩

向量组的极大线性无关组向量组的秩

R

例1实数域上的函数空间中，函数组

2

x x

1,cos,cos2

是线性相关的函数组。

是线性相关的函数组

上的函数空间中函数组

R 例2实数域上的函数空间中，函数组234x x x x

e e e e

是一组线性无关的函数.,,,上的函数空间中函数组

例3实数域上的函数空间中，函数组R 1cos cos2cos ⋅⋅⋅是线性无关的。

1,cos ,cos2,,cos x x nx

提示：连续求导2n 次，分别令x =0 代入得方程组。

线性空间的基底维数线性空间的基底，维数

定义上的个线性空间如果在设为数域上的一个线性空间。如果在中存在个线性无关的向量使得中的任意个向量V F 12,,,n ααα⋅⋅⋅V V n 的任意一个向量都可以由线性表出

α12,,,n ααα⋅⋅⋅则称的个1122n n

k k k αααα=++⋅⋅⋅+)为的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们为个维线性空间记为12,,,n ααα⋅⋅⋅V 12(,,,T

n k k k ⋅⋅⋅α12,,,n ααα⋅⋅⋅di 称为一个维线性空间，记为n V dim .

V n =

例1

实数域上的线性空间中向量组

R 3

R (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)

与向量组

(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)

(,,),(,,),(,,)都是的基。是3维线性空间。

3

R 3

R

例2实数域上的线性空间中的向量组

R 1[]n R x +21,,,,n

x x x

⋅⋅⋅与向量组

2

1,2,(2),,(2)

n

x x x −−⋅⋅⋅−都是的基底。

的维数为1[]n R x + 1.n +1[]n R x +

注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。例3在4维线性空间中，向量组

22

R

×1011⎡⎡⎤⎡⎤

0111,,,11110110⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

与向量组

011⎡⎤⎤⎤11111,,,0⎡⎡⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0001011⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

2⎡⎤

是其两组基，求向量在这两组基下

134A =⎢⎥

的坐标。⎣⎦

设向量

在第组基下的坐标为A 解：设向量在第一组基下的坐标为

T

1234(,,,),

x x x x 于是可得

基变换与坐标变换⋅⋅⋅⋅⋅⋅设

（旧的）与（新的）

是维线性空间的两组基底，它们之间的关系为

12,,,n ααα12,,,n βββn V a a a ααα=+++ 11221i i i ni n

i a β⎡⎤21,2,i

a i n

ααα⎢⎥⎢⎥== []12,,,,,,,n ⎢⎥⎢⎥ ni a ⎣⎦