矩阵分析在汉明码中的应用
汉明码编码实验报告
重庆工程学院
电子信息学院
实验报告
课程名称：_ 数据通信原理开课学期：__ 2015-2016/02_ 院（部）: 电子信息学院开课实验室：实训楼512
学生姓名: 舒清清梁小凤专业班级: 1491003
学号: ********* *********
重庆工程学院学生实验报告
输入1000，编码1000111 输入1001，编码1001100 输入1010，编码1010010
输入1011，编码1011001 输入1100，编码1100001 输入1101，编码1101010
输入1110，编码1110100 输入1111，编码1111111
六、实验结果及分析
输入和输出会有一个时延，当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错，利用了奇偶校验位概念。
七、实验心得、体会及意见
通过实验我对汉明码有了进一步的认识，对生成矩阵有了一定得了解，重要的是我能够用我所学到的理论知识来解决我现所遇到的问题。
汉明码编码实验报告详细解释
汉明码的实现详细实验报告一、实验目的1、掌握线性分组码的编码原理2、掌握汉明码编码方法3、了解编码对误码性能的改善二、实验内容1、自行设置汉明码的参数，生成矩阵，计算所设计出的汉明码；写出产生（3，1）汉明码的生成矩阵，给出生成码的源程序，并给出运行结果。
2、利用encode库函数实现汉明编码；3、搭建一个通信仿真模块，并给出运行结果，分析汉明码对通信性能的影响；4、整理好所有的程序清单或设计模块，并作注释。
三、实验原理（一）、汉明码的介绍汉明码是1951年由汉明（R.W.Hamming）提出的能纠正单个错误的线性分组码。
它性能良好，既具有较高的可靠性，又具有较高的传输效率，而且编译码电路较为简单，易于工程实现，因此汉明码在发现后不久，就得到了广泛的应用。
我们的目的是要寻找一个能纠正单个错误，且信息传输率（即码率r=k/n ）最大的线性分组码。
我们已经知道，具有纠正单个错误能力的线性分组码的最小距离应为 3,即要求其H 矩阵中至少任意两列 线性无关。
要做到这一点，只要H 矩阵满足“两无”一一无相同的列, 无全零列就可以了。
（n,k ）线性分组码的H 矩阵是一个⑴-"n 訂n 阶矩阵，这里 r =n —k 是校验元的数目。
显然，r 个校验元能组成2r 列互不相同的r 重 矢量，其中非全零矢量有2r -1个。
如果用这2r -1个非全零矢量作为H 矩阵的全部列，即令H 矩阵的列数n =2「一1，则此H 矩阵的各列均不 相同，且无全零列，由此可构造一个纠正单个错误的（n ，k ）线性分 组码同时，2r -1是n 所能取的最大值，因为如果n 2r -1，那么H 矩 阵的n 列中必会出现相同的两列，这样就不能满足对 H 矩阵的要求。
而由于n =2 -1是门所能取的最大值，也就意味着码率 R 取得了最大 值，即这样设计出来的码是符合我们的要求的，这样的码就是汉明码 定义 若H 矩阵的列是由非全零且互不相同的所有二进制r 重矢量组成，则由此得到的线性分组码，称为 GF （2）上的（2r -1, 2r -1-r ）汉 明码。
汉明码生成矩阵和校验矩阵
汉明码生成矩阵和校验矩阵生成矩阵是一个$ktimesn$矩阵，其中$k$表示数据位数，$n$表示生成的汉明码位数。
生成矩阵的每一行对应于一个汉明码位，每一列对应于一个数据位。
生成矩阵的构造方式如下：1. 矩阵的前$k$列是单位矩阵，表示每个数据位都对应一个汉明码位。
2. 矩阵的后$n-k$列是校验位，每个校验位对应着若干个数据位，用于检测这些数据位的奇偶性。
例如，对于一个$k=4$的汉明码，生成矩阵可以如下所示：$$G =begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 00 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 10 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1end{bmatrix}$$校验矩阵是一个$(n-k) times n$矩阵，用于检测汉明码中的错误位。
校验矩阵的每一行对应于一个校验位，每一列对应于一个汉明码位。
校验矩阵的构造方式如下：1. 矩阵的前$n-k$行是所有可能的奇偶校验位的二进制表示，例如对于一个$k=4$的汉明码，校验矩阵的前三行可以表示为：$$H =begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 00 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 01 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix}$$2. 矩阵的后$k$行是生成矩阵的转置矩阵，即生成矩阵的行变成了列，例如对于上面的生成矩阵，转置矩阵可以表示为：$$G^T =begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 00 & 1 & 0 & 00 & 0 & 1 & 00 & 0 & 0 & 11 & 1 & 0 & 01 & 0 & 1 & 00 & 1 & 1 & 0end{bmatrix}$$使用校验矩阵可以检测汉明码中的单个错误位，如果检测到错误，则可以使用校验矩阵进行纠错。
矩阵论在密码学中的应用 高等代数解决方案
矩阵论在密码学中的应用高等代数解决方案密码学作为信息安全领域中的重要学科，致力于通过各种方法和技术保护和保障信息的机密性、完整性和可用性。
矩阵论作为高等代数的一个分支，在密码学中发挥着重要的作用。
本文将探讨矩阵论在密码学中的应用，并介绍高等代数提供的解决方案。
1. 矩阵论在对称密码中的应用对称密码是一种常见的加密算法，其加解密过程使用相同的密钥。
在对称密码中，矩阵论被广泛应用于代换和置换的操作中。
代换操作是指将明文中的字符替换为密文中的特定字符。
矩阵论中的置换群理论提供了一种有效的方法来实现代换操作。
通过构建置换矩阵，可以对明文中的字符进行排列，从而实现替换操作。
这种方法不仅简单高效，而且具有较强的密码学安全性。
置换操作是指对明文中的字符进行位置调整，从而形成密文。
矩阵论中的置换矩阵和行变换提供了一种有效的实现方式。
通过对明文矩阵进行置换和行变换操作，可以实现对明文的混淆和位置调整，增强了密码算法的安全性。
2. 矩阵论在公钥密码中的应用公钥密码是一种使用两个密钥（公钥和私钥）进行加密和解密的密码算法。
在公钥密码中，矩阵论被应用于实现非对称加密和数字签名等重要操作。
非对称加密是指使用一对互相关联的密钥进行加密和解密的过程。
矩阵论中的模运算和群论为非对称加密提供了数学基础。
例如，RSA算法中使用了大素数的模幂运算，其中矩阵论中的模运算提供了实现加密和解密的数学运算方法。
数字签名是一种用于验证信息来源和完整性的重要技术。
实现数字签名的一种方法是使用矩阵论中的离散对数算法，例如椭圆曲线密码学中的离散对数问题。
通过基于矩阵论的离散对数算法，可以在不泄露私钥的情况下生成数字签名，从而保证信息的完整性和真实性。
3. 高等代数提供的解决方案除了矩阵论在密码学中的具体应用外，高等代数还提供了一些解决方案来解决密码学中的相关问题。
线性代数在密码学中的应用非常广泛。
矩阵论作为线性代数的核心内容，为密码学提供了一种简洁高效的数学工具。
汉明码纠错编码原理及应用
汉明码纠错编码原理及应用汉明码纠错编码是一种常用的纠错码技术，用于在传输或存储数据时检测和纠正错误。
它由理查德·汉明于1950年提出，被广泛应用于计算机通信和数据存储领域。
汉明码通过增加冗余信息的方式来提高数据传输的可靠性。
其核心思想是在数据位之间插入一些冗余位，以便能够检测和纠正出现的错误。
汉明码的生成原理是通过对原数据进行编码，生成冗余位，并将原数据和冗余位一起传输。
在接收端，利用汉明码的纠错算法检测和修复错误。
汉明码的编码过程如下：首先，将数据位根据位置编号从1开始，每个位置对应一个冗余位。
接着，为每个冗余位计算校验值，即该位置上二进制位的奇偶性。
对于编号为2n的冗余位，计算规则是将其前面的2n-1个数据位中值为1的位相加，并取奇偶性作为校验值。
而对于编号为2n+1的冗余位，计算规则是将其前面的2n个数据位中值为1的位相加，并取奇偶性作为校验值。
具体的编码过程可以用一个矩阵来表示，其中每一行代表一个冗余位的计算规则。
对于错误的检测和纠正，汉明码使用了海明距离的概念。
海明距离是指两个等长字符串之间相异的位置的总数。
通过计算接收到的数据与汉明码的差异，可以判断出出现错误的位置。
如果差异位于冗余位上，则可以确定出错的冗余位，进而修复。
如果差异位于数据位上，则可以通过纠错算法推算出错位置，并进行修复。
汉明码的应用广泛。
在计算机通信中，常用的以太网、无线局域网等通信协议中均使用了汉明码作为纠错编码方案。
此外，在数据存储领域，也使用了汉明码来纠正读取磁盘或内存中出现的错误。
总结来说，汉明码纠错编码采用了向原数据中插入冗余位的方式，通过校验位的计算来检测和修复错误。
它具有简单、高效、容错性好等特点，被广泛应用于计算机通信和数据存储领域，提高了数据传输和存储的可靠性。
matlab编程实现汉明码 -回复
matlab编程实现汉明码-回复Matlab编程实现汉明码汉明码（Hamming code）是一种用于纠正错误的编码方法，可用于检测和纠正单个比特的错误。
在信息传输过程中，数据可能会因为电磁干扰或噪声而产生错误。
通过使用汉明码，我们可以在接收到带有错误的数据时进行错误检测和纠正，从而提高数据传输的可靠性。
本文将介绍如何使用Matlab编程实现汉明码。
我们将以步骤的形式逐渐实现编码和解码过程。
第一步：理解汉明码的原理汉明码是一种线性块码，通过在发送数据之前添加冗余信息（校验位），可以使得接收方检测和纠正单个比特的错误。
汉明码的冗余信息包含了数据的位置信息，从而能够检测并纠正错误。
第二步：生成汉明码的矩阵表示生成汉明码的第一步是确定矩阵H，该矩阵表示汉明码的校验位分布。
矩阵H是一个n×k的矩阵，其中n是码字的总长度，k是数据位的长度。
根据汉明码的性质，矩阵H应满足两个条件：1. 任意两行之间的汉明距离至少为3，以确保可以检测到至少一个错误比特。
2. 列向量之间的汉明距离应大于等于2，以确保可以纠正单个比特的错误。
矩阵H的构建可以采用循环移位操作来实现。
第三步：编码在编码过程中，我们将使用生成矩阵G来将输入数据转换为汉明码。
生成矩阵G是矩阵H的转置，并且是一个k×n的矩阵。
编码的过程中，我们将输入的k位数据向量乘以生成矩阵G得到n位汉明码。
第四步：引入错误为了模拟实际情况下可能发生的错误，我们可以在汉明码中引入一定数量的错误比特。
这可以通过随机地翻转一些比特来实现。
第五步：解码解码汉明码的过程就是检测并纠正错误比特的过程。
为了检测错误，我们将接收到的n位汉明码与矩阵H进行乘法运算得到校验位向量。
如果校验位向量非零，则表示有错误发生。
为了纠正错误，我们可以通过汉明码的特性来确定错误比特的位置，并将其翻转。
这是一个基本的汉明码编码和解码的过程的简要描述。
现在我们将使用Matlab进行实现。
基于FPGA汉明码编译码器设计
基于FPGA汉明码编译码器设计汉明码是一种能够检测和纠正错误的编码方式。
在FPGA（Field Programmable Gate Array）中，我们可以使用FPGA来设计并实现一个基于(7,4)汉明码的编码器和解码器。
1.编码器设计：编码器将4位数据编码为7位汉明码。
下面是一个基于FPGA的(7,4)汉明码编码器的设计步骤：-设置一个4位输入端口和一个7位输出端口。
-创建一个4×7的矩阵，用于存储所有可能输入与对应汉明码的关系。
每行代表一个输入，每列代表一个汉明码位。
-在FPGA中，使用逻辑门（如XOR门和AND门）来实现矩阵的功能。
根据矩阵，依次设计逻辑门电路来计算每个汉明码位。
例如，对于第一个汉明码位，使用四个输入位的异或门计算出结果。
-将每个汉明码位的结果输出到对应的输出端口。
2.解码器设计：解码器将7位汉明码解码为4位数据。
下面是一个基于FPGA的(7,4)汉明码解码器的设计步骤：-设置一个7位输入端口和一个4位输出端口。
-创建一个7×4的矩阵，用于存储所有可能的汉明码与对应的输出数据的关系。
每行代表一个汉明码，每列代表一个输出数据位。
-同样，使用逻辑门来实现矩阵的功能。
根据矩阵，依次设计逻辑门电路来计算每个输出数据位。
例如，对于第一个数据位，使用七个输入位的与门计算出结果。
-将每个输出数据位的结果输出到对应的输出端口。
3.性能分析和优化：可以通过FPGA的资源利用率和时钟频率等指标对设计进行性能评估。
通过仔细设计逻辑电路，合理分配资源和优化电路，可以提高编码器和解码器的性能。
可以考虑使用并行计算、流水线等技术来提高时钟频率和减少时延。
另外，还可以在FPGA中使用多个编码器和解码器来实现更高级的错误检测和纠正功能。
可以考虑使用更高级的汉明码，如(15,11)汉明码或(31,26)汉明码，来提高错误检测和纠正能力。
可以结合其他编码技术，如校验和，奇偶校验等，来增加冗余度和提高系统的可靠性。
汉明码编译码
汉明码编译码一设计思想汉明码是一种常用的纠错码，具有纠一位错误的能力。
本实验使用Matlab平台，分别用程序语言和simulink来实现汉明码的编译码。
用程序语言实现就是从原理层面，通过产生生成矩阵，错误图样，伴随式等一步步进行编译码。
用simulink实现是用封装好的汉明码编译码模块进行实例仿真，从而验证程序语言中的编译码和误码性能分析结果。
此外，在结合之前信源编码的基础上，还可实现完整通信系统的搭建。
二实现流程1.汉明码编译码图 1 汉明码编译码框图1)根据生成多项式，产生指定的生成矩阵G2)产生随机的信息序列M得到码字3)由C MG4)进入信道传输S RH得到伴随式5)计算=T6)得到解码码流7)得到解码信息序列2.汉明码误码性能分析误码率（SER）是指传输前后错误比特数占全部比特数的比值。
误帧率（FER）是指传输前后错误码字数占全部码字数的比值。
通过按位比较、按帧比较可以实现误码率和误帧率的统计。
3. 构建完整通信系统图 2 完整通信系统框图三 结论分析1. 汉明码编译码编写了GUI 界面方便呈现过程和结果。
图 3 汉明码编译码演示GUI 界面以产生（7，4）汉明码为例说明过程的具体实现。
1) 根据生成多项式，产生指定的生成矩阵G用[H,G,n,k] = hammgen(3,'D^3+D+1')函数得到系统码形式的校验矩阵H 、G 以及码字长度n 和信息位数k100101101011100010111H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1101000011010011100101010001G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2) 产生随机的信息序列M输入信息序列Huffman 编码Hamming 编码信道Hamming 译码Huffman 译码输出信息序列噪声0010=01000111M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3) 由C MG =得到码字010001101101000010111C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦4) 进入信道传输假设是BSC 信道，错误转移概率设定为0.1 传输后接收端得到的码流为000011110100000111101R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦红色表示错误比特。
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矩阵分析在汉明码中的应用摘要：数字信号在传输过程中，由于受到干扰的影响，码元波形将变坏。
接收端收到后可能发生错误判决。
由于乘性干扰引起的码间串扰，可以采用均衡的办法来纠正。
而加性干扰的影响则需要用其他办法解决。
在设计数字通信系统时，应该首先从合理选择调制制度，解调方法以及发送功率等方面考虑，使加性干扰不足以影响到误码率要求。
在仍不能满足要求时，就要考虑采用差错控制措施了，本文在基于矩阵分析的基础上对汉明编码进行介绍，效率高，提高抗突发干扰的能力。
关键词：矩阵分析汉明码引言矩阵如今在各个领域都有广泛的应用，例如在生活中，在经济中，在通信领域，数字图像领域中等各个方面应用很广泛。
在生活中的魔方也是根据矩阵分析，在excel表格中，我们可以根据矩阵很简单的计算出各行各列的和，在数字图像处理中，我们将图像用矩阵表示，像素来表示，一个像素代表一点，有很多像素组成一幅数字图像，再对矩阵进行各种变换从而实现数字图像处理，在通信领域中我们也经常用到矩阵，例如编码，我们下面将对矩阵分析在汉明编码中的应用进行具体分析1.汉明码编码Hamming码中文称作汉明码。
汉明码是由汉明于1950年提出的，具有纠正一位错误能力的线性分组码它的突出特点是：编译码电路简单，易于硬件实现；用软件实现编译码算法时，软件效率高；而且性能比较好.1.1 汉明码的定义：若一致监督矩阵H 的列是由不全为0且互不相同的所有二进制m(m≥2的正整数)重组成，则由此H矩阵得到的线性分组码称为[2m-1,2m-1-m，3]汉明码。
1.2 汉明码的构造特点：1)．绐定一个m，我们由二进制m 重组成线性分组码的监督矩阵H，由二进制m重来标定一个发生错误的位置。
由此可知，二进制m 重共有2 种位组合，去掉一个全为0的位组合，则余下共有2m-1种位组合。
故汉明码的最大码长n=2m-1。
2)．由上面分析，我们可以知道：m 即是汉明码监督位的位数。
故一个汉明码中，信息位的位数k=n—m=2m-1-m3)．汉明码的距离为3，因此可以纠正1位错误，检出2位错误。
1.3 汉明码编码的主要算法汉明码的编码就是如何根据信息位数k，求出纠正一个错误的监督矩阵H，然后根据H求出信息位所对应的码字。
构造汉明码监督矩阵H的方法很多，这里仅介绍一种。
1)根据已知的信息位数k，从汉明不等式中求出校验位数m=n-k；2)在每个码字C：(C1，C2，⋯，C2m -1)中，用c02，c12，c n-12作为监督位，剩下的位作为信息位；3)用二进制数字表示2m-1列，得到2m-1列和m行监督矩阵H；4)用3步的H形成HC T =0，从而得出m个监督方程；5)将已知的信息代入方程组，然后求出满足上述方程组的监督位c (i=0，1，⋯，m一1)。
例如，用以上方法，很容易求出[7，4，3]汉明码的监督矩阵：1 1 1 0 1 0 0H= 1 1 0 1 0 1 01 0 1 1 0 0 1及编码所对应的码字为C=011001。
对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n－k位的分组码，常记作（n，k）码，如果满足2r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。
下面我们通过（7，4）汉明码的例子来说明如何具体构造这种码。
设分组码（n，k）中，k = 4，为能纠正一位误码，要求r≥3。
现取r＝3，则n＝k＋r＝7。
我们用a0ala2a3a4a5a6表示这7个码元，用S1、S2、S3表示由三个监督方程式计算得到的校正子，并假设三位S1、S2、S3校正子码组与误码位置的对应关系如表1所示。
表1 校正子和错码位置关系由表可知，当误码位置在a 2、a 4、a 5、a 6时，校正子S 1＝1；否则S 1＝0。
因此有S 1＝a 6⊕a 5⊕a 4⊕a 2，同理有S 2＝a 6⊕a 5⊕a 3⊕a 1和S 3＝a 6⊕a 4⊕a 3⊕a 0。
在编码时a 6、a 5、a 4、a 3为信息码元，a 2、a 1、a 0为监督码元。
则监督码元可由以下监督方程唯一确定a 6⊕a 5⊕a 4⊕a 2 = 0a 6⊕a 5⊕a 3⊕a 1 = 0 (1.1.1)a 6⊕a 4⊕a 3⊕a 0 = 0 也即a 2＝a 6⊕a 5⊕a 4a 1＝a 6⊕a 5⊕a 3 （ 1.1.2）a 0 = a 6⊕a 4⊕a 3由上面方程可得到表2所示的16个许用码组。
在接收端收到每个码组后，计算出S 1、S 2、S 3，如果不全为0，则表示存在错误，可以由表1确定错误位置并予以纠正。
举个例子，假设收到码组为0000011，可算出S 1S 2S 3=011,由表1可知在a 3上有一误码。
通过观察可以看出，上述（7，4）码的最小码距为d min ＝3，纠正一个误码或检测两个误码。
如果超出纠错能力则反而会因“乱纠”出现新的误码.表2 （7,4）汉明码的许用码组2.监督矩阵上面有提到过，线性码是指信息位和监督位满足一组线性代数方程的码，式(1.1.1)就是这样的例子，现在将它改写成1*a6⊕1*a5⊕1*a4⊕0*a3⊕1*a2⊕0*a1⊕0*a=01*a6⊕1*a5⊕0*a4⊕1*a3⊕0*a2⊕1*a1⊕0*a=0 (1.1.3)1*a6⊕0*a5⊕1*a4⊕1*a3⊕0*a2⊕0*a1⊕1*a=0我们可以将式（1.1.3）表示成如下的矩阵形式a6a51 1 1 0 1 0 0 a41 1 0 1 0 1 0 a3= 0 （1.1.4）1 0 1 1 0 0 1 a2a1a式（1.1.4）还可以简记为 H*A T=0T或 A*H T=0 （1.1.5）其中1 1 1 0 1 0 0H= 1 1 0 1 0 1 0 A= a6a5a4a3a2a1a0= 0001 0 1 1 0 0 1上角“T”表示将矩阵转置。
例如H T是H的转置，即H T的第一行为H的第一列，第二行为第二列。
我们将H称为监督矩阵(parity—check matrix).只要监督矩阵H给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。
由（1.1.4）和(1.1.5)都可以看出，H的行数就是监督关系式的数目r，H的每一行中的“1”的位置表示相应码元之间存在的监督关系。
式（1.1.4）中的H矩阵可以分为两部分。
1 1 1 0 1 0 0H= 1 1 0 1 0 1 0 = PIr(1.1.6)1 0 1 1 0 0 1式中：P为r*k阶矩阵；Ir为r*r阶单位方阵。
3. 生成矩阵由代数理论可知，H矩阵的的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性无关的监督关系式，从而也得不到r个独立的监督位。
若一矩阵可以写成PIr的矩阵形式，则其各行一定是线性无关的。
因为容易验证Ir的各行是线性无关的，故PIr的各行也是线性无关的。
类似于（1.1.1）改成（1.1.4）那样，（1.1.2）可以改写成a6a2 1 1 1 0 a5a1 = 1 1 0 1 a4（1.1.7）a0 1 0 1 1 a3或者1 1 1a2a1a=a6a5a4a31 1 0 = a6a5a4a3Q (1.1.8)1 0 10 1 1其中，Q为一个k*r阶矩阵，它为P的转置，即Q=P T式（1.1.8）表示，在信息位给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵Q就产生出监督位。
我们将Q的左边加上一个k*k阶单位方阵，就构成一个矩阵G1 0 0 0 1 1 1G= IKQ = 0 1 0 0 1 1 0 (1.1.9)0 0 1 0 1 0 10 0 0 1 0 1 1G称为生成矩阵（generator matrix），因为由它可产生整个码组，即有a6a5a4a3a2a1a= a6a5a4a3G= A (2.2.0)4.(7,4)汉明码的编码思路(7,4)汉明码的编码就是将输入的四位信息码编成七位的汉明码，即加入三位监督位。
根据式(2.2.0）A = [a6 a5a4a3] ·G可知，信息码与生成矩阵G的乘积就是编好以后的(7,4)汉明码，而生成矩阵G又是已知的，由式(1.1.9)得1 0 0 0 1 1 1G = 0 1 0 0 1 1 00 0 1 0 1 0 10 0 0 1 0 1 1所以，可以得出如下方程组a6 = a6a5= a5a4= a4a3= a3(2.2.1)a2= a6+ a5+ a4a1= a6+ a5+ a3a= a6+ a4+ a3参考文献[1] 史荣昌，魏丰；矩阵分析；北京理工大学出版社；[2] 雷章富;汉明码的串行检测法[J];桂林电子工业学院学报;1983年02期；[3] 饶世麟;第九讲信道编码浅说[J];遥测遥控;1984年02期；[4] 王可;数字通信中的密码技术和差错控制技术(一)[J];中国空间科学技术;1985年01期；[5] 朱江;宋利民;陈俊;李奎;;CPLD／FPGA在数字通信系统的应用——一种(7,4)汉明码的硬件实现[A];中国航海学会通信导航专业委员会2006年学术年会论文集[C];2006年；[6] 陈丽萍;基于纠错码的水印技术研究[D];福建师范大学;2005年。