2013年高考辽宁卷数学(理)试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（理）

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的1

1

Z i =

-模为

A.

12 B.2

2 2．已知集合A={x|0

A ．()01，

B ．(]02，

C ．()1,2

D ．(]12， 3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -

则与向量同方向的单位向量为

A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-

B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-

C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，

D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭

， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：

{}1:n p a 数列是递增数列；

{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

数列是递增数列；

{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为

A.12,p p

B.34,p p

C.23,p p

D.14,p p

5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，

[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

A.45

B.50

C.55

D.60

6．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1

sin cos sin cos ,2

a B C c B A

b +=

且a b >，则B ∠=

A ．

6π B ．3

π C ．23π D ．56π

7．使得()3n

x n N n

+⎛

∈ ⎝

的展开式中含有常数项的最小的为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．

511 B ．1011 C ．3655 D ．7255

9．已知点()()(

)

3

0,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有

A ．3

b a = B ．3

1b a a

=+

C ．(

)3

3

10b a b a a ⎛⎫---

= ⎪⎝

⎭ D ．33

10b a b a a

-+--= 10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，

112AA =，则球O 的半径为

A B ． C ．132 D ．11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设

()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=

A.2

216a a -- B.2

216a a +- C.16- D.16

12．设函数()()()()()2

2

2,2,0,8

x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .

14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2

540x x -+=的两个

根，则6S = .

15．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接

,AF BF ，若4

10,6,cos ABF 5

AB AF ==∠=

，则C 的离心率e = . 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组

的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设向量)

()3,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤

=

=∈⎢⎥⎣⎦

（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值

18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。 （I ）求证：PAC PBC ⊥平面平面； （II ）2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值

19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。

（I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是3

5

，答对每道乙类题的概率都是4

5

，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.

20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2

2

12:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线

2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）01x =，切