数列求通项公式的9种方法

变式训练 14 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 3an 2n 1，求{an} 的通项公式.
九、奇偶分项求通项公式
核心思想： n为奇数时，设n=2k-1 n为偶数时，设n=2k
课堂小结
本课结束
变式训练 14
已知数列{an} 满足 a1
2 ， an1

1 2 an
2n ，求{an} 的通项公式.
变式训练 15 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3 2n1 ，求{an} 的通项公式.
七、型如 an1 pan A0n B0 的数列
变式训练 10
已知数列{an} 满足 a1

17 2
， an

3 2
an1
5(n

2)
，求{an} 的通项公式.
五、倒数构造
型如 an1

ma n (mpq pan q
0) 的数列直接取倒数
例8
已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1

an 2an
1
，求
Leabharlann Baidu
{an
}
的通项公式.
四、加法构造
型如 an1 kan b ( k、b 为常数)的数列构造{an } 为等比数列
例 7 已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 2an 3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 3an 2 ，求{an} 的通项公式.
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·qn－1 am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
an＝SS1n，－Sn－1，
n＝1， n≥2.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋ n＋3.

2an an 2
，求 {an }
的通项公式.
六、除法构造
型如 an1 pan m q n 的数列
解法：将原递推公式两边同除以
q
n 1
得
a n 1 q n1

p an q qn

m q
，设
bn

an qn
，得 bn1

p q

bn

m q
例 12 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3n ，求{an} 的通项公式.
设 an1 A(n 1) B p(an An B) ，去括号整理对比 an1 pan A0n B0 解出 A 、B 的值， 构造出{an An B} 为等比数列．
例 13 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3n 1 ，求{an} 的通项公式.
例
9：已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1

an an
2
，求{an} 的通项公式.
例 10（拓展）.设由 a1
1, an

an1
2n 1an1
n
1

2,3,定义数列an ，试将 an 用 n 来表示
变式训练 11
已知数列 {an }
满足
a1

1 ， an1
例2
已知数列{an} 的前 n
项和 Sn

3 2
an
3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练 4 已知正项数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 2 Sn an 1，求{an} 的
通项公式.
变式训练
5(1)已知数列 {an }
满足
a1

1，
an1

an

ln(1
1) n
，求 {an }
的通项公式.
(2)已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 an 3 22n1 ，求{an} 的通项公式.
三、累乘法：型如 an1 an f (n) 的数列
例4
已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1

n2 n an
，求{an} 的通项公式.
变式训练 6 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求{an} 的通项公式. 变式训练 7 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求{an} 的通项公式.