高斯定理
高斯定理
电场强度E 在任意面积上的面积分
高斯定理
称为电场强度对该面积的通量。根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即
高斯定理
, (1)
这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯定理
பைடு நூலகம்， (3)
在研究电介质中的静电场时，这两种形式的高斯定理特别重要。
高斯定理的微分形式为
高斯定理
。
即电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。在均匀线性介质区内，则为
高斯定理
。
静电场的高斯定理可以推广到非静态场中去，不论对于随时间变化的电场还是静态电场，高斯定理都是成立的，它是麦克斯韦方程组的组成部分。
高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。
高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。
矢量分析的重要定理之一。穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理
高斯定理公式
高斯定理公式
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
扩展资料：
高斯定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯定理数学
高斯定理数学高斯定理，又称为高斯-奥斯特罗格雷定理（Gauss-Ostrogradsky theorem），是描述向量场通过曲面的流量密度与该曲面边界上环绕该曲面沿法向量方向的一圈线积分之间的关系的定理，是矢量分析的重要内容之一，也是工程中常用的理论。
$$\oint_S \textbf{F} \cdot \textbf{n} dS = \iiint_V \nabla \cdot \textbf{F} dV$$$\textbf{F}$ 表示某个向量场，$S$ 表示一个逐片光顺的曲面，$V$ 为该曲面所包围的立体。
$\textbf{n}$ 表示曲面上某一点的法向量，$\nabla \cdot \textbf{F}$ 为向量场 $\textbf{F}$ 的散度。
该式中左边表示 $\textbf{F}$ 向外通过曲面 $S$ 的流量密度。
左侧积分的意思是，对于曲面 $S$ 的每一点，对由该点到曲面外侧的垂直方向的投影所围成的小面积$dS$ 进行积分，得到整个曲面通过的总流量密度。
右边表示 $\textbf{F}$ 在立体$V$ 中的散度。
右侧积分的意思是，对于立体 $V$ 中的每一点，计算该点的散度，然后对整个立体进行积分，得到散度在整个立体中的总量。
高斯定理适用于任意的向量场，包括电场、磁场等。
它可以用来推导一些物理方程，并在基础数学领域中起到重要作用。
对于电场，高斯定理可以用来计算电通量，即电场向外通过一个立体的总电量。
对于静电场和恒定电场来说，高斯定理可以推导出库仑定律。
对于磁场，高斯定理可以用来推导出安培环路定理。
高斯定理在物理学和工程学中有非常广泛的应用，是理解和解决问题的重要工具之一。
高斯定理的证明可以通过追踪微小体积元素上的向外流量来完成。
假设该体积元素为$\Delta V$，体积元素表面上带有一小片面积为 $\Delta S$，该片面积的法向量表示为$\textbf{n}$。
向量场 $\textbf{F}$ 在该面积上的流量为 $\textbf{F} \cdot\textbf{n} \Delta S$，如果对所有该体积元素上的面积进行累计，则构成了整个曲面的流量，并得到了高斯定理的左侧积分：$$\oint_S \textbf{F} \cdot \textbf{n} dS$$接下来，可以通过施加散度定理来将该定理转化为该向量场的散度在这个立方体中的积分：证明中还需要使用到一些高等数学的知识，如积分中值定理等，具体证明过程相对复杂。
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
物理高斯定理
物理高斯定理
物理高斯定理，也称为高斯通量定理，是一种描述电场，磁场和重力场行为的定理。
在电场中，高斯定理描述电通量穿过一个闭合曲面的总量，与该曲面包围的电荷量成正比。
这个定理是电场理论的基础之一，它可以帮助我们计算电荷分布和电势等量。
在磁场中，高斯定理告诉我们，磁通量穿过一个闭合曲面的总量为零。
这个定理被称为“安培环路定理”，因为这是基本的电路理论之一。
在重力场中，高斯定理可以用来计算曲面内部的万有引力势能。
当一个重力场的质量密度在一个闭合曲面内处处均匀时，曲面内的总重力无穷小。
高斯定理是现代物理学的重要概念，它帮助我们理解各种场的行为，并解决复杂的物理问题。
高斯定理
λ
∑q
r
∑ q = λh
φ = ∫∫S EdS cosθ =
φ左底 = φ右底 = 0
φ = φ左底 + φ侧 + φ右底
ε0
h
Q E⊥dS , cosθ = 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ = φ侧 = ∫∫侧 EdS cosθ
侧面上各点的场强 E 大小相等，方向 大小相等， 与法线相同。 与法线相同。
E = E+ − E− = 0
+σ
−σ
E+ E− E+
极板右侧
E = E+ − E− = 0
E+
E−
E−
两极板间
σ σ σ + = E = E+ + E− = 2ε 0 2ε 0 ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
E
n
r
λ
φ = E ∫∫侧 dS
= E 2πrh =
∑q
ε0
λh = ε0
λ E= 2πε 0r
h
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
例3：无限大带电平面，面电荷密度为 σ， ：无限大带电平面， 求平面附近某点的电场强度。 求平面附近某点的电场强度。 解：作底面积为 S ， 高为 h 的闭合圆柱面， 的闭合圆柱面， σ
S
r
ε0 σS 2ES = ε0 σ E= 2ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ=
∑q
例4：两无限大带电平面（平行板电容 ：两无限大带电平面（ 器），面电荷密度分别为 +σ 和 −σ ， ），面电荷密度分别为 电容器内、外的电场强度。 求：电容器内、外的电场强度。 解：极板左侧
高斯定理
2)作半径为 )
E(r)
S + +
r 的高斯球面 (R ≤ r < ∞)
q q
+ + +
依高斯定理: 依高斯定理:
r+ +
S
+
+
+ +
∫ E dS = ε ∑q
S 0 S内
1
i
∫ E cos0 dS = ε ∑q
0 S内
1
i
E4πr =
2
1
ε0
q
q
2
E∫ dS =
S
1
ε0
q
q
E(r) =
4πε0r
O+ + + S1 +σ E= + 1
X
ε0
S内
ε0
例3)求一无限长,单位长度带电λ的直圆柱带电 )求一无限长,单位长度带电λ 体的电场. 已知: 体的电场. 已知:λ,R 求:E(r) 结论:电场以 结论: + + 对称性分析: 解:对称性分析: 中心轴线为对 +++ + + + +++ + + 称. +++ + + + + +++ + + + + ++ E + + + + +++ + + + + +++ + + + +++ + + + +++ + + +++ + + + + + ++++ ++ ++ + ++++ + ++ +++ + ++ + +
高斯定理的内容
高斯定理，也称为高斯通量理论或散度定理，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。
它表明穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
具体来说，高斯定理指出电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
当所涉体积内电荷连续分布时，上式右端的求和应变为积分。
高斯定理在静电学中表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
高斯定理是电磁学中一个非常基础且重要的定理，对于理解电荷分布和电场之间的关系以及电磁场的性质有着重要的意义。
高斯定理
1
4π0
q r3
rdS
e
S de
q
q
dS
S 4π0r 2
4π0r 2
dS q
S
0
Φe 与r 无关q ，也就是说，无论高斯面多大，总 电通量都为 0 ，即通过各球面的电力线总条数相 等。 说明点电荷的电力线可以延伸到无限远处。 9
2. 点电荷在任意封闭曲面内
穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿 过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲
e ES cos 或 e E S
S cos
(3) 非均匀电场强度电通量
de E dS
通过任一曲面S 的电通量：
e de EdS
S
S
5
思考题：电场线与电通量的区别
(4) 任意闭合曲面的电通量：
e d e E dS
S
S
一个闭合曲面把整个空间分割成两部分： 内部空间和外部空间
外法线矢量：指向曲面外部空间的法线矢量 内法线矢量：指向曲面内部空间的法线矢量
S2
S
E
面 S的电通量必然为q/ 0 ，即
q S1
Φe
s
Ev dSv
q
0
• 点电荷为-q时，通过任意闭合曲面的电通量
Φe
S
Ev
dSv
q
0
电场线是穿入闭合曲面的。
10
3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1、q2、…、qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通
量可以表示为
Φe
E
S
dS
(E1
其实高斯定理不仅适用于静电场，还可用于变化的电 场，比库仑定律更广泛，是Maxwell方程组之一
16
电磁学高斯定理
电磁学高斯定理
高斯定理（也称高斯定律）是电磁学中的一个重要定理，它描述了电场和电荷密度之间的关系。
高斯定理可以表示为：
\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}
其中，\vec{E} 是电场强度，d\vec{S} 是闭合曲面S 上的微小面积元素，Q 是在闭合曲面S 内任意一点的总电荷量，\epsilon_0 是真空中的电常数。
式子的意义是：在闭合曲面S 上对电场进行积分，得到的结果等于该曲面内的总电荷量除以\epsilon_0。
高斯定理的图解意义是：假设球形曲面S 包围着一些电荷，电场线在球面上的密度与电荷的大小成正比。
将球面分为无数小面元，每个面元上的电场线密度相同，电场线穿过球面的一小段面元可以看作是平行放置的棒状体。
这些面元的单位面积处的电场强度是相同的，因此此处电场线条数与电荷量成正比。
当电荷密度不均匀时，可以将球面分为更小的部分，每个小部分使用相同的方法即可，最终可以通过积分得到整个曲面内的电场强度。
高斯定理在电场分析中非常有用，常用于计算具有对称性的电荷分布所产生的电场，如点电荷、电偶极子等。
高斯定理
e E dS (E1 E2 E3 ) dS
S
S
S E1 dS S E2 dS S En dS 2 q2 qqi 1
e
E
S
dS
e1
e2
en
1
0
qi
inside ,i
• 注意！
• 电场强度Ｅ是所有电荷产生的，无论是闭曲面内 还是外，公式中Ｅ取曲面上的值；
dS
S
0
２．包围一个点电荷的任意曲面
de E dS '
q
4 0r2
rˆ
dS'
nˆ
d dS r2
q d
4 0
q
d 4
S
e
S
d e
q
0
３．一个点电荷在任意闭曲面外，电通量 为零
de E dS '
q
4 0r2
rˆ
dS'
nˆ
E
dS ''
dS '
q
４．由叠加原理，任意电荷系高斯定理成立
E S
dS
1
0
qi
inside ,i
立体角
d
dS r2
d
dS ' r2
rˆ
dS '
cos
r2
nˆ
E
dS '
闭曲面对内任一点
d 4
S
dS
d rˆ
证明高斯定理
１．一个点电荷，闭曲面为以点电荷为心的球面
d e
E dS
EdS
1
4 0
q r2
dS
r
q
E
q
q
q
5-3 高斯定理
q
高斯面
r
4 3 pR 3
可见，球体内场强随 线性增加 线性增加。 可见，球体内场强随r线性增加。 均匀带电球体电场强度曲线如 上图。 上图。
+ q + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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例2
均匀带电无限大平面的电场. 均匀带电无限大平面的电场. 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。 底面积为 ，两底面到带电平面距离相同。
r E=
lr v e 2 r 2pe0R
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（2）当r>R 时，
λ E= 2 0r πε
r E=
E λ 2πε0R
∑q = λl
矢量式为： 矢量式为：
r l er 2pe0r
Er 关系曲线
r
均匀带电圆柱面的电场分布
l
−1
∝r
R
0
r
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均匀带电球体空腔部分的电场， 例4 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为r（ 在球内挖去一个半径为 （r<R）的球体。 ）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 证明： 用补缺法证明。 证明： 用补缺法证明。 在空腔内任取一点p, 在空腔内任取一点 , 设该点场强为 E E r1 设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相 设想用一个半径为 且体电荷密度与大球相 c 同的小球将空腔补上后， 同的小球将空腔补上后，p点场强变为 E 1 u r v o pE r uu
磁场的高斯定理数学表达式
磁场的高斯定理数学表达式
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
静电场与磁场：
两者有着本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场。
而在磁场中，由于自然界中没有磁单极子存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
高斯定理
同 学 们 好§8-3 高斯定理德国数学家和物理学家。
长期从事于数学并将数学应用 于物理学、天文学和大地测量 学等领域的研究.著述丰富，成 就甚多。
他一生中共发表323篇 （种）著作，提出404项科学创 见。
在CGS电磁系单位制中磁感应强 高斯（德 ） 度的单位定为高斯，便是为了 （ 1777-1855） 纪念高斯在电磁学上的卓越贡 献。
一.电场强度通量 通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通 过该面的电通量。
1.匀强电场，规则面积下的电通量Sθ ESΨe = ES⊥SSΨe = ES⊥ = ES cosθ2.非匀强电场或不规则面积下的通量 r v 面积元矢量： dS = dS e n r 面积元范围内 E 视为均匀 微元分析法：以平代曲； 以不变代变。
dSr dSθr ES（1）通过面元的电通量：r r dΨe = EdS⊥ = E (dS cosθ ) = E ⋅ dS（1） 通过面元的电通量：πr r dΨe = EdS⊥ = E(dS cosθ ) = E ⋅ dSθ < θ > θ = π π2 2 2 dΨe > 0 dΨe < 0 dΨe = 0r dSθdSr ESr r （2）通过曲面 S 的电通量 Ψe = ∫s d Ψe = ∫s E ⋅ d S(3) 通过封闭曲面的电通 量r r Ψe = ∫ E ⋅ dSs通过封闭曲面的电通量r r Ψe = ∫ E ⋅ dSsr n规定：封闭曲面外法向为正 穿入的电场线 穿出的电场线r n rEΨe < 0 Ψe > 0r nS二、 高斯定理 高斯定理的导出 库仑定律 高斯 定理电场强度叠加原理 1.点电荷电场中电通量与电荷的关系 （1）曲面为以电荷为中心的球面E=Sq 4 π ε 0rS2r2v dSv v Ψe = ∫ E ⋅ dS = ∫qΨe =q4 πε 0 rdS+ε0(2)曲面为包围电荷的任意封闭曲面dΨe =q 4 πε 0 r2dS cos θq dS＇ = 2 4π ε0 r其中立体角dS＇ = dΩ 2 r q q Ψe = ∫ dΨ = ε 0 4 πε 0v v dS＇ dS+rθv dS＇v dS（3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面r v d Ψ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0v v dΨ2 = E 2 ⋅ dS 2 < 0v E2qv dS 2v dS 1 vE1d Ψ1 + d Ψ 2 = 0 v v ∫ E ⋅ dS = 0S2.点电荷系电场中通量 与电荷的关系v v Ψe = ∫ E ⋅ dS = ∫Sv v v E = E1 + E2 + LS iq1q2v EvdSv v ∑ Ei ⋅ dSsSqi=i (内）∑∫eSv v Ei ⋅ dS +i （外）∑ ∫v Eiv v Ei ⋅ dSQ∴ Ψ =i （外）∑∫Sv ⋅ d S = 01i （内）∑ ∫Sv v E i ⋅dS =ε0i ( 内）∑qi曲面上各点处电场强度：nE E E E r L r r r +++=21(包括S 内、S 外，所有电荷的贡献)只有S 内的电荷对穿过S 的电通量有贡献。
[数学]高斯定理
![[数学]高斯定理](https://img.taocdn.com/s3/m/5574c5f584254b35eefd349b.png)
r
R
1 2 r
o
r
21
讨论： 1. 求均匀带电球面（ R , q）的电场分布，并画出
E ~ r 曲线.
高斯面：半径 r 的同心球面
E
qr 40 r 3
0
(r R) (r R )
E
1 r2
o R r
22
2. 如何理解带电球面 r R 处 E 值突变？ 计算带电球层（ R1 , R2 , ）
s
（球对称、轴对称、面对称三种类型，后两种情 况通常具有无限长，无限大的特征）
1 3.由高斯定理 E dS
s
0
q
内
求出电场的大小，
34
并说明其方向.
•典型带电体 E 分布：
点电荷电场
E
qr 4 0 r 3
E 2 0 r 垂直于带电直线 qxi E 40 ( x 2 R 2 )3 2
1
0
q
内
只有 S 内的电荷对穿过 S 的电场强度通量有贡献13
三 .高斯定理 静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电电场 强度通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的1 0 倍：
1 E d S q 内
s
0
14
关于高斯定理的讨论：
1 E dS q内
dS
1）通过面元的电通量
E
de EdS E( dScos ) E dS
2
dS
S
2
2
2）通过曲面 S 的电通量 e sd e s E dS 3）通过封闭曲面的电通量 e E dS 8
高斯定理的理解及应用
高斯定理的理解及应用
高斯定理（Gauss theorem）是德国数学家约翰·卡尔·高斯在1813年提出来的一个定理，它原本是用来分析平面（二维）的几何，高斯定理的定义是这样的：若棋盘上所有的格点的乘积之和为N，则N等于任意一线条上格点的乘积之和。
应用：
1、高斯消元法：高斯消元法是将线性方程组化为行阶梯形矩阵的运算步骤，可以利用高斯定理来解决线性方程组的求解。
2、求和问题：可以利用高斯定理来求解一个序列的和，它可以帮助我们快
速求出数学序列的和，比如等差数列和等比数列的和。
高 斯 定 理
1.3 高斯定理
静电场是由电荷所激发的，通过电场空间某一给定闭合 曲面的电通量与激发电场的场源电荷必定有确定的关系。德 国科学家高斯通过缜密运算论证了这个关系，并提出了著名 的高斯定理。该定理给出了通过任何曲面S的电通量φe与闭 合曲面内部所包围的电荷之间的关系。下面就以点电荷为例 来讨论。
（3）利用高斯定理解出场强E。
【例7-4】求点电荷Q的电场强度的分布情况。
S
0
由此可见，通过此球面的电通量等于球面内的电荷量q除以 真空电容率ε0 ，与球面半径无关。
（2）一个正点电荷q，被任意闭合曲 面S′和球面S同时包围，如下图所示。根 据电力线的连续性可知，凡是通过球面S 的电力线都一定通过曲面S′。所以通过闭 合曲面S′的电通量等于通过球面S的电通 量，均为 q/ε0 。
物理学
高斯定理
1.1 电场线
电场线是空间中一系列假想的曲线，主要反映电场的特
征，描述电场中各点场强E的大小和方向。为此，对电场线作
如下规定：
（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强E的方向一
致。这样，电场线的方向就反映了场强方向的分布情况。
（2）在任一场点，使通过垂直于场强E的单位面积的电
场线数目（称为电场线密度），正比于该点处场强E的大小。
2．非均匀电场的电通量
在非均匀电场中，为了求出通过任意曲面S的电通量φe， 可以把曲面S分成无限多个面元dS，如下图所示。此时，面元 dS可以近似看成一个平面，并且在面元的范围内电场强度可 以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。
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平行板电容器外的电场强度为0，两板间的 电场为一匀场电场
高斯定理做题步骤
1：分析给定问题中电场强度的对称性，明确场强 的方向，并判断能否用高斯定理求场强 2：如果能用高斯定理，则给一个合适的高斯面通 过拟求场强的点，且是场强方向与该面个部分的 法线方向或平行或垂直。此外，还要求在场强沿 法线的那部分面上各点的场强数值相等 3：计算穿过整个高斯面的电通量 4：求出上述高斯面所包围的总电量，并除以 5：按照高斯定理指令3、4所述的两式相等，由 此求出场强
高斯面包围的电荷有关，而且还与未被包围 的电荷有关。即高斯面上的场强是空间全部 电荷产生的总电场。
（体会） 1穿过闭合面的电通量只与高斯面所包围的 电荷有关，与外部电荷无关。 2当高斯面所包围的电荷总量已知时，不必 知道高斯面上场的分布，即可知道穿过高斯 面的电通量。
高斯定理
我们必须将这些体电荷、面电荷和线电荷分 成很多的体元dT、面元ds或线元dl，把每一 个体元、面元或线元看作是一个点电荷，然 后用求系列点电荷的场强的方法来计算总的 场强，由于电荷是连续分布的，因此需要用 积分来代替求和
高斯定理表明，闭合面上的通量只与闭合 面内的电荷有关，闭合面外的电荷对闭合 面上的通量的贡献为0.并不等于说，闭合面 外的电荷对闭合面上的场强没有贡献
对于高斯定理，首先应明确以下三点：
1高斯定理指过穿过闭合面（这一闭合面常 称为高斯面）的电通量的规律，而不是穿过 非闭合面（或闭合面的某一部分）的电通量 的规律。 2穿过高斯面（即闭合面）的电通量只和高 斯面包围的体积内正负电荷的代数和有关， 与内部电荷怎样分布无关，与外部电荷也无 关。 3高斯面上的场强是指总场强，它不仅与被