3.平方根与算术平方根的应用(用)
2022年初中数学同步 7年级下册 第07课 算数平方根与平方根(教师版含解析)-
第07课 算数平方根与平方根课程标准1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0)；的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：(1)当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. (2)负数没有算数平方根；(3)算数平方根等于本身的数有：0和1； (4)算数平方根平方等于原来的数； (5)注意a 运算结果的非负性； 2.平方根的定义如果，那么x 叫做a 的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.注意：(1)非负数才有平方根； (2)负数没有平方根；(3)平方根等于本身的数是：0；(4)一个正数有2个平方根，他们互为相反数； (5)平方根平方等于原来的数；x a 2x a =a a a a a a a 2x a =a a a (0)a a ±≥a a 目标导航知识精讲知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：(1)定义不同；(2)结果不同：和 2．联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3)0的平方根和算术平方根均为0． 注意：算术平方根平方根定义若正数x ，2x a =，正数x 叫做a 的算术平方根，x a =若数x ，2x a =，数x 叫做a 的平方根，x a =±a 的范围 0a ≥0a ≥表示aa ±正数有一个算术平方根，是正数正数有两个平方根，它们互为相反数0的算术平方根是0 0的平方根是0 负数没有算术平方根负数没有平方根知识点03 平方根的性质(1)2a =,0||0,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)2()a =,(0)a a ≥知识点04 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。
平方根的应用
平方根的应用平方根是数学中常见的一个概念，表示某个数的算术平方根。
它在实际生活中有着广泛的应用，本文将探讨平方根在几个具体领域的运用。
一、数学领域在数学领域，平方根是一个重要的基础概念。
我们知道，平方根是一种运算，它可以用来求解相应的数的平方根。
在方程求解中，平方根经常出现，例如在解二次方程时，通过求取方程的平方根可以得到方程的解。
此外，平方根还有其他一些有趣的性质。
比如，我们可以利用平方根来求解勾股定理中的未知边长。
对于一个直角三角形，已知两条边的长度，可以利用勾股定理得到第三条边的平方，再对其开平方，就可以求得该边的长度。
二、物理领域平方根在物理学中也有广泛的应用。
在运动学中，平方根可以用来求解物体的速度或加速度。
当已知物体的位移和时间时，可以通过求取位移的平方根除以时间的平方根，得到物体的平均速度。
在电学中，平方根的运用也十分常见。
例如，在交流电路的求解中，需要计算电流和电压的幅值，即电量随时间的变化情况。
这时就需要利用平方根来计算电压和电流的有效值。
三、工程领域在工程领域，平方根也有着重要的应用。
例如，在建筑设计中，需要计算房屋或建筑物的面积或体积。
在测量时，常常会遇到不规则形状的房间或构件，这时就需要利用平方根来求解面积或体积。
此外，平方根还可以用在统计学中。
在统计分析中，我们常常需要计算数据的标准差或方差，这就需要利用平方根来求解。
四、金融领域在金融领域，平方根是用来计算风险的重要工具。
例如，在股票投资中，我们常常需要计算股票的波动率来判断风险大小。
波动率可以通过平方根来计算，它表示了价格的波动情况，从而帮助投资者进行风险评估。
五、计算机科学领域在计算机科学领域，平方根也有着广泛的应用。
例如，在计算机图像处理中，我们经常需要对像素进行平滑处理。
这时，可以利用平方根来计算像素的平方和，从而实现平滑处理的效果。
此外，在密码学中，平方根也被用来生成加密算法中的随机数，从而增加密码的安全性。
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
For personal use only in study and research; not for commercial use6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项： a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a② b a b a =)0,0(>≥b a , b a ba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()b a b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：③ 333b a ab ∙= , 333ab b a =∙ 333b a b a = )0(≠b , 333b a b a = )0(≠b ④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（ 第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
平方根与算术平方根的应用
平方根与算术平方根的应用1. 什么是平方根与算术平方根在进行数学计算时，平方根和算术平方根是常常需要用到的。
平方根是指一个数的平方等于这个数的根，例如数值为4的平方根为2。
而算术平方根则是一组数的平均数，例如数值为1、2、3的算术平方根为2。
2. 平方根与算术平方根的应用场景2.1 使用平方根进行计算在数学中，平方根常用于计算各种数值。
例如，我们可以使用平方根来计算直角三角形的斜边长度。
在一个直角三角形中，如果我们知道两条直角边的长度，我们就可以使用勾股定理来计算斜边的长度。
勾股定理表达式为：a^2 + b^2 = c2，其中a、b为两条直角边的长度，c为斜边的长度。
在此公式中，我们可以使用平方根来计算c。
例如，如果a=3、b=4，则c的长度等于sqrt(32+4^2)=5。
另外，在几何形状的计算中，平方根也有着广泛的应用。
例如，在计算三角形的面积时，我们可以使用海龙公式 s(s-a)(s-b)(s-c) 的形式进行计算，其中s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边的长度。
在海龙公式中，我们可以使用平方根来计算根号部分的结果。
2.2 使用算术平方根进行估算算术平方根可以用于估算一组数的平均值。
例如，在统计一群人的平均身高时，我们可以使用算术平方根来计算这组身高数据的极差和标准差。
另外，在进行复杂计算时，算术平方根也可以用来估算结果。
例如如何计算 2的平方根+5的平方根？我们可以使用算术平方根进行估算，首先2的平方根约等于1.41，5的平方根约等于2.24，则2的平方根+5的平方根约等于3.65。
3. 小结以上就是平方根和算术平方根的几个应用场景。
虽然这些数学概念看起来比较抽象，但与现实生活中的复杂计算相比，它们还是非常基础的计算方法。
掌握它们可以让我们更好地理解和应用数学。
平方根与算术平方根的区别
平方根和算术平方根的区别(1)．定义不同．如果x2 =a,那么x叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根．一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．(2)表示方法不同．正数a的平方根，表示为 a．正数a的算术平方根为a．(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1．2．平方根和算术平方根的联系．(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根．(3)零的平方根和零的算术平方根都是零．平方根、算术平方根指导老师：锋行天下班级__________ 姓名___________1、64的平方根记作，等于，即 = ；64的算术平方根记作，等于，即 = ；2、25的平方根记作，等于，即 = ；25的算术平方根记作，等于，即 = ；3、36的平方根记作，等于，即 = ；36的算术平方根记作，等于，即 = ；4、16的平方根记作，等于，即 = ；16的算术平方根记作，等于，即 = ；5、15的平方根记作，等于，即 = ；15的算术平方根记作，等于，即 = ；6、9的平方根记作，等于，即 = ；9的算术平方根记作，等于，即 = ；7、4的平方根记作，等于，即 = ；4的算术平方根记作，等于，即 = ；8、2的平方根记作，等于，即 = ；2的算术平方根记作，等于，即 = ；9、1的平方根记作，等于，即 = ；1的算术平方根记作，等于，即 = ；10、0.81的平方根记作，等于，即 = ；0.81的算术平方根记作，等于，即 = ；11、0.64的平方根记作，等于，即 = ；0.64的算术平方根记作，等于，即 = ；12、0.49的平方根记作，等于，即 = ；0.49的算术平方根记作，等于，即 = ；13、0.36的平方根记作，等于，即 = ；0.36的算术平方根记作，等于，即 = ；14、0.25的平方根记作，等于，即 = ；0.25的算术平方根记作，等于，即 = ；15、0.16的平方根记作，等于，即= ；0.16的算术平方根记作，等于，即= ；16、0.09的平方根记作，等于，即= ；0.09的算术平方根记作，等于，即= ；17、0.04的平方根记作，等于，即= ；0.04的算术平方根记作，等于，即= ；18、0.01的平方根记作，等于，即= ；0.01的算术平方根记作，等于，即= ；19、0的平方根记作，等于，即= ；0的算术平方根记作，等于，即= ；20、-1的平方根存在吗？（填“存在”或“不存在”）；-4呢？-9？-16？-25？……这是为什么呢？答：原来，所有的数，它们的平方都是，反过来也就是说：比小的数没有平方根，所以我们说：“一个正数有个平方根；0只有个平方根，它是0本身；数没有平方根。
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系
解方程：
（1）（x-1）3 125 （4）2（7 x 2）3 125 0
（2）23x 12 8
3
（5） 4x2 25
（3）（x 2）2 3 (6)9x2 49 0
填空题
1.当x X〈时0，.52x-1没有平方根 2.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
0,1
0
0,1,-1
a
a2 a = 0
a
2 a a
a= 1 ,x=
4
3.若 x 2 2，则2x 5的平方根———±——3———
4.化简（a 1）（2 a 1）=——a——-1————
(3 )2
π-3
————————
已知 x y 4 x 2y 5 0，求x，y的值
问题：90的整数部分是什么？小 数部分是什么？
算术平方根平方根立方根表示方法负数正数一个没有互为相反数两个没有正数一个负数一个求一个数的平方根的运算叫开平方求一个数的立方根的运算叫开立方是本身011在求立方根时被开方数越大开立方的结果也越大2开立方前被开方数中小数点每向右或左移动三位开方后立方根中小数点向右或左移动一位
算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
2.2平方根-平方根、算术平方根(教案)
3.增强学生的数学建模和数学应用意识：将平方根和算术平方根与现实生活中的问题相结合，让学生在实际情境中运用所学知识解决问题，提高数学建模和数学应用能力。
这些核心素养目标将有助于学生更好地理解和掌握平方根与算术平方根的概念，为后续数学学习打下坚实基础。
-算术平方根的单一性：学生可能会混淆算术平方根和平方根的概念，认为每个正数有两个算术平方根。
-负数没有平方根：学生需要理解为什么负数没有平方根，这涉及到实数范围的拓展。
-实际问题的应用：将平方根和算术平方根应用于实际问题，如何从问题中抽象出数学模型，是学生可能遇到的难点。
举例：针对平方根的双重性，可以让学生通过具体的例子（如4的平方根是2和-2）进行操作和讨论，以加深理解。对于算术平方根的单一性，可以通过强调“非负”一词来帮助学生区分。至于负数没有平方根，可以通过图像（如抛物线y=x²）来展示，说明在实数范围内没有平方后得到负数的点。在实际问题应用方面，可以设计一些与生活相关的题目，如计算正方形边长，让学生学会将实际问题转化为数学模型。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-平方根的定义：平方根是解决乘法问题的逆运算，是本节课的核心内容。学生需要理解平方根表示的意义，掌握求一个数的平方根的方法。
-算术平方根的定义：算术平方根是平方根的特殊情况，学生需要明确算术平方根的概念，学会计算一个正数的算术平方根。
-平方根和算术平方根的性质：包括正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；正数的算术平方根只有一个，为非负数等。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方根-平方根、算术平方根》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一个数的平方根的情况？”（如求解一个正方形场地的面积）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方根的奥秘。
算术平方根课件
直接开平法
对于形如a^(1/2)的算术平方根， 可以直接开平方得到结果。
迭代法
通过不断逼近的方式求得算术平方 根的值。
算术平方根的运算性质
非负性
有序性
算术平方根的结果总是非负的，即对 于任意实数a，其算术平方根√a≥0。
对于任意两个实数a和b（a≥0，b≥0 ），如果a≥b，那么√a≥√b。
唯一性
进行因式分解或化简。
几何学
在几何学中，算术平方根用于计 算图形的边长、面积和体积等， 例如，求圆的半径、矩形的宽或
长等。
数学分析
在数学分析中，算术平方根用于 研究函数的单调性、极值和积分
等。
算术平方根在物理中的应用
力学
在力学中，算术平方根用于计算速度、加速度和力的关系，例如 ，根据牛顿第二定律计算物体的加速度。
在此添加您的文本16字
题目：计算 $sqrt{25}$。
在此添加您的文本16字
答案：5
在此添加您的文本16字
解析：同样根据算术平方根的定义，$sqrt{25}$ 的解为 5 。
进阶练习题
题目：计算 $sqrt{16}$。
解析：进阶题目需要理解平方根的性质，$sqrt{16}$ 的 解为 4。 答案：9
电磁学
在电磁学中，算术平方根用于计算与电场、磁场相关的物理量，例 如，计算带电粒子的洛伦兹力。
热学
在热学中，算术平方根用于计算热量、温度和压力等物理量的关系 ，例如，计算热容和热传导系数。
算术平方根在日常生活中的应用
1 2 3
建筑学
在建筑学中，算术平方根用于计算建筑物的横梁 、立柱和地基等结构的尺寸和强度。
03
答案
约等于 1.73205（四舍五入到小数点后五位 ）
算术平方根和平方根的区别例题
算术平方根和平方根的区别例题算术平方根和平方根的区别例题一、引言在数学中，我们经常会碰到算术平方根和平方根这两个概念。
但是很多人可能会混淆它们之间的区别。
今天，我们就来深入探讨一下算术平方根和平方根的区别，并通过例题来加深理解。
二、算术平方根和平方根的定义1. 算术平方根的定义算术平方根是指对于一个非负数a，其算术平方根记作√a，即一个非负数b，使得b²=a。
√16=4，因为4²=16。
2. 平方根的定义平方根是指对于一个数x，若存在一个数y，使得y²=x，则y称为x 的平方根。
与算术平方根不同的是，平方根可以是负数。
-3的平方是9，所以-3是9的平方根。
从上面的定义可以看出，算术平方根强调的是非负数的平方根，而平方根包括了正负数的情况。
这也是它们最本质的区别所在。
三、例题分析为了更好地理解算术平方根和平方根的区别，我们来看几个例题：1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) 9b) 16c) -252. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4和-4b) 25和-25c) 36和-36四、解题过程及讨论1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) √9=3，因为3²=9；9的平方根为±3，因为3²=9，(-3)²=9，所以9的平方根为±3。
b) √16=4，因为4²=16；16的平方根为±4。
c) -25的算术平方根不存在，因为算术平方根要求被开方数为非负数；-25的平方根为±5，因为5²=25，(-5)²=25，所以-25的平方根为±5。
2. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4的算术平方根为2，平方根为±2，-4的算术平方根不存在，平方根为±2。
可见，当涉及到正负数的情况时，平方根会比算术平方根多出来一个负数解。
平方根与算术平方根
平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3.2.算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.2、区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。
练 习1．9的平方根是（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．下列说法中正确的是（ ）A ．任何数都有平方根B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身C ．只有正数才有算术平方根D ．不是正数没有平方根3．下列各式正确的是（ ）A ．1691=45B ．414=221 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5．下列各式无意义的是（ ）A ．－5B ．25-C ．51- D ．2)5(- 6．3－2的算术平方根是（ ） A ．61 B ．31C ．3D ．6 7．（－23）2的平方根是（ ） A ．±8 B ．8 C ．－8D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．非正数9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（ ）A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：（1）∵42=16，∴16的算术平方根是 ，用符号表示出来为 ； （2）∵94)32(2=，∴94的算术平方根是 ；用符号表示出来为 ； （3）∵( )2=6，∴6的算术平方根是 .11．若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.12．8116的平方根是____________，（21-）2的算术平方根是____________． 13．y =x x -+-33+2，则x =__________，y =__________．14．一个数的算术平方根是它本身，这个数是______________．15．252－242的平方根是__________，0.04的负的平方根是____________．16．若2-a +|b －3|=0，则a +b －5=____________．17．若4x 2=9，则x =____________．18．81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19． (－π)2的算术平方根为_____.20．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.1)2； (2)(－3.5)2； (4)241.21、求各式的值－01.0 2)5(- 610-22、计算32÷（－3）2+|－61|×（－6）+49．23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2－36=0； (2) (x +1)2－81=0；24、12-x +（y +2）2=0，求x －3+y 3的值．25、 |2a －5|与2+b 互为相反数，求ab 的值．26、已知x ，y 满足x x y 211121-+-=+3，求x y27、请你在数轴上画出表示5的点，并简要说出你的画法．。
平方根和算术平方根
平方根和算术平方根1、什么叫做平方根如果一个数的平方等于9，这个数是几 ±3是9的平方根；9的平方根是±3。
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。
数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
4的平方根是 ；149的平方根是 。
的平方根是。
如果225x =，那么x = 。
2的平方根是 2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
：这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表示 ，= 。
2的平方根是 ；如果22x =，那么x = 。
3、平方根的性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
4、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2；》2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。
5、算术平方根的性质：（双重非负性）⑴0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a二、【题型分类讲解】 题型一、求平方根1、36的平方根是 ；2、的算术平方根是 ；3、下列计算正确的是（ ）:A ．4=±2 B．2(9)81-==9 C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有 。
①只有正数才有平方根； ②-2是4的平方根； ③的平方根是； ④的算术平方根是；⑤的平方根是-6 ⑥5、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是 ； 616平方根是 ； 25 的平方根是___，4的算术平方根是_____，7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+x B 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x9、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） "A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a 10、若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型二、运用算术平方根进行运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯题型三、平方根性质的运用《1、一个正数x 的平方根分别是a+1和a-3，则a= ；x= 。
平方根的认识与运算
在统计学中，标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离 散程度。
求解二次方程
在解二次方程时，如一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解 为$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$，需要用到平方根 运算。
06
总结与展望
回顾本次课程重点内容
1 2
平方根的定义与性质
平方根指的是一个数的二次方根，包括正数、负 数和零的平方根；平方根具有非负性、唯一性等 性质。
正数a的平方根记作√a，读作“ 根号a”。
正负平方根区分
正平方根
一个正数有两个平方根，其中正的平 方根称为算术平方根。
负平方根
负的平方根是另一个负数，两者绝对 值相等。
平方根与实数关系
实数范围内，负数没有平方根，因为任何实数的平方都是非负的。 零的平方根是零本身。
常见误区及易错点
01
02
03
误区一
在学习过程中，发现了自己在 理解和运用上的不足之处，需 要进一步加以改进。
下一讲预告及预备知识
下一讲将介绍立方根的认识与运算，包括立方根的定义、性 质、运算方法以及应用场景等内容。
预备知识：建议学生提前复习实数的基本概念和性质，了解 乘法逆元、开方运算等基础知识，为学习立方根做好准备。 同时，可以阅读相关数学书籍或资料，加深对立方根的理解 和掌握。
认为负数有平方根。在实 数范围内，负数没有。在 求解实际问题时，应注意 算术平方根的非负性。
易错点
在运算过程中，要注意正 负平方根的区分，避免混 淆。
02
平方根性质探讨
非负性
平方根结果非负
对于任意非负实数，其平方根的结果都是非负的。
负数没有实数平方根
平方根与算术平方根的应
平方根与算术平方根的应用xx年xx月xx日•平方根与算术平方根的基础知识•平方根的应用•算术平方根的应用•平方根与算术平方根在科学计算中的应用目•平方根与算术平方根在生活中的应用•总结与展望录01平方根与算术平方根的基础知识平方根的定义与性质平方根的定义：对于任何一个非负数x，它的平方根记作√x，即若a²=x，则a为x的平方根。
•非负性：对于任何实数x，它的平方根有2个，记作±√x。
平方根的性质•对于正数a，它的算术平方根记作√a，即√a≥0。
算术平方根的定义与性质算术平方根的定义：对于任何一个正数x，它的算术平方根记作√x。
•正数a的算术平方根记作√a，即√a>0。
算术平方根的性质•对于非负数x，它的算术平方根记作√x，即若√x²=x，则√x≥0。
平方根与算术平方根的异同•相同点•都是用来求解x的方程的方法。
•对于正数a，它们的结果相同，即√a=a。
•不同点•定义范围不同：平方根定义在实数范围内，而算术平方根定义在正数范围内。
•结果的符号不同：平方根有正负两个值，而算术平方根只有一个正值。
•处理方式不同：求解方程ax²=b时通过平方根来求解，求解方程ax=b时通过算术平方根来求解。
02平方根的应用利用平方根的性质对一元二次方程进行求解，例如将方程$ax^2+bx+c=0$ 转化为 $x^2=(b^2-4ac)/4a$，再利用平方根求得方程的根。
代数方程的求解利用平方根进行等式的变换，例如将 $x^2-9=0$ 转化为$(x+3)(x-3)=0$，从而简化计算。
等式变换利用平方根进行等式变换计算面积和体积利用平方根可以计算矩形、正方形和圆形等形状的面积，以及圆柱体、圆锥和球体等形状的体积。
测量和计算利用平方根可以测量和计算一些实际生活中的问题，例如通过测量房间的面积来计算需要多少平方米的壁纸。
利用平方根解决实际问题统计学在统计学中，平方根常被用于计算标准差等指标。
算术平方根平方根知识点
算术平方根平方根知识点算数平方根和平方根是数学中的基本概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
本文将详细介绍算数平方根和平方根的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、算术平方根1.定义2.性质(1)非负数的算术平方根是唯一的。
例如，16的算术平方根是4，没有其他数字的平方等于16(2)正数的算术平方根一定是正数。
(3)零的算术平方根是0。
(4)负数没有实数的算术平方根。
3.求算术平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它的平方等于给定数。
例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它的平方与给定数值相近。
例如，√25≈54.算术平方根的应用(1)几何学：算术平方根被用于计算直角三角形的斜边长度。
(2)物理学：算术平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。
(3)经济学：算术平方根被用于计算方差和标准差，用于测量数据的离散程度。
二、平方根1.定义平方根是指一个数与自身相乘等于给定数的非负根。
例如，4的平方根为2，因为2×2=4、平方根也可以用符号√a来表示。
2.性质(1)非负数的平方根是唯一的。
例如，16的平方根是4，没有其他数字与自身相乘等于16(2)正数的平方根一定是正数。
(3)零的平方根是0。
(4)负数没有实数的平方根。
3.求平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它与自身相乘等于给定数。
例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它与自身相乘与给定数相近。
例如，√25≈54.平方根的应用平方根在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用：(1)数学：平方根被用于解方程和求解二次函数的根。
(2)物理学：平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。
(3)工程学：平方根被用于计算电阻、电容和感应电流等电路的参数。
综上所述，算术平方根和平方根是数学中的重要概念，它们具有丰富的性质和广泛的应用。
了解算数平方根和平方根的定义、性质以及求解方法，有助于加深对数学的理解，并在实际生活和学习中灵活运用。
平方根、算术平方根和立方根
唯一性
对于非负实数$a$，其算 术平方根是唯一的。
递增性
随着$a$的增大， $sqrt{a}$也增大。
算术平方根的运算规则
乘法运算
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。
加法运算
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(a + b)^2 - ab}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。
能够正确计算各种平 方根、算术平方根和 立方根的值。
02 平方根的概念和性质
平方根的定义
平方根
如果一个数的平方等于给定的数， 则这个数称为给定数的平方根。
算术平方根
非负数的平方根称为算术平方根， 表示为√。
立方根
如果一个数的立方等于给定的数， 则这个数称为给定数的立方根。
平方根的性质
01
02
03
平方根、算术平方根和立方根
目 录
• 引言 • 平方根的概念和性质 • 算术平方根的概念和性质 • 立方根的概念和性质 • 平方根、算术平方根和立方根的应用 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
平方根
平方根是数学中的一个概念，它表示一 个数的平方等于给定值。例如，4的平方 根是±2，因为2^2=4和-2^2=4。
例如
如果 $a^3 = b$，则 $a$ 是 $b$ 的立 方根。
立方根的性质
非负性
01
一个数的立方根总是非负的。
奇偶性
02
如果一个数是奇数，那么它的立方根也是奇数；如果一个数是
偶数，那么它的立方根也是偶数。
连续性
03
在实数范围内，任何两个不相等的实数都有唯一的介于它们之
人教版初中数学八年级下册第16章平方根算数和平方根性质的应用教案
知识回顾
算数平方根、平方根的定义分别是什么？
通过复习前面学 过的平方根算术 平方根的定义导 入新课
算数平方根和平方根的性质分别是什么？
探究点 1 平方根的定义
思考：如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？
x2
1
4
49
100
学生通过观察， 发现特征
9 16
x
【教学提示】引
定义：一般的，如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或者二次方 导学生总结发现
②
32 3
a2 | a |
(3)2 3
（1） ( 2)2 _________
(2) ( 2)2 _________
4/5
(3) 22 _________
(4)- 22 _________
=_______
(5) (2)2 =___________ (6) - (2)2
3.若 m 3 n n 3 3 ，求：|m-n|=________
练 5--1.（1）当 x______时， x 2 有意义； （2）已知 a、b 满足 a 2 + 2 a =b-3，那么 a+b=_______ （3）若 a 2 + 2b 5 =0， (a b)2 =______
课堂小结
平方根的定义 平方根的性质
性质 1 性质 2
算术平方根 的定义
算数平方根 的性质
【教学提示】利 用算术平方根的 双重非负性解决 问题。
【教学提示】通 过小结回顾本节 课的知识点
基础过关
1．（1）估计 17 的值在整数_____和整数_____之间
（2） 5 的整数部分是 a，则 a+1=________
数学中的根与指数应用技巧
数学中的根与指数应用技巧在数学中，根与指数是一种重要的应用技巧。
它们在求解方程、计算复利问题以及描述增长和衰减等现象方面起着关键作用。
本文将介绍根与指数的基本概念、常见应用技巧以及解决问题时的注意事项。
一、根的应用技巧根是一个数的算术平方根、立方根或n次方根，它可以用来解决各种方程和求解问题。
根的计算需要关注以下几个方面：1. 算术平方根：计算一个数的算术平方根时，我们需要找到一个平方等于该数的数。
例如，√16=4，因为4的平方等于16。
平方根常用于计算面积、长度和体积等。
2. 算术立方根：计算一个数的算术立方根时，我们需要找到一个数，使其立方等于该数。
例如，³√27=3，因为3的立方等于27。
立方根常用于计算物体的体积和边长等。
3. n次方根：当我们需要计算一个数的n次方根时，我们需要找到一个数，使其n次方等于该数。
例如，⁴√16=2，因为2的4次方等于16。
n次方根常用于计算物理和工程问题中的变量等。
在实际应用中，我们可以使用计算器或数学软件来求解较复杂的根。
对于简单的情况，我们可以通过列举平方数、立方数或使用二分法等方法来计算根。
二、指数的应用技巧指数是根的逆运算，它经常用于描述增长和衰减的速度。
指数的应用技巧包括以下几个方面：1. 指数函数：指数函数是以常数e为底数的函数，其中e是一个无理数，约等于2.71828。
指数函数在自然科学和社会科学中有广泛的应用，如物质衰变、人口增长和金融利息等。
指数函数的性质使得它能够描述快速增长和指数衰减的现象。
2. 复利计算：复利是指投资或存款本金加上利息再次投资或存款所得到的收益。
复利的计算涉及指数的概念，可以通过以下公式求解复利问题：A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A是最终金额，P是本金，r是年利率，n是复利次数，t是时间。
3. 指数法则：指数法则是解决指数运算问题的基本规则。
其中，a^m * a^n = a^(m+n)表示相同底数的指数相乘时，底数保持不变，指数相加；a^m / a^n = a^(m-n)表示相同底数的指数相除时，底数保持不变，指数相减；(a^m)^n = a^(m*n)表示指数的指数等于两者相乘。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学中，平方根和算术平方根是常见的概念，它们经常用于解决各种问题。
尽管二者都与根数相关，但它们的定义和用法有着明显的区别。
本文将探讨平方根和算术平方根的区别，并分别介绍它们的定义、性质以及应用。
一、平方根平方根是一个数学术语，用来表示数的平方的根。
简单来说，对于任意非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，那么b 就是a的平方根。
平方根可以是正数或零。
表示平方根的常用符号是√。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
平方根在实际应用中经常被用来求解长度、面积、体积等问题。
例如，当我们想要计算一个正方形的边长时，可以使用平方根来获取边长的值。
同样地，当我们需要求解一个圆的半径或直径时，也可以借助平方根来完成计算。
二、算术平方根算术平方根是一个数学术语，用来表示一个正数的非负平方根。
简单来说，对于任意正数a，算术平方根是一个非负数b，使得b的平方等于a。
通常情况下，我们使用符号√来表示算术平方根。
例如，√16 = 4，因为4的平方等于16。
算术平方根的概念在数学和物理领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种实际问题，如速度、加速度、电压等。
在几何学中，算术平方根也经常用于求解图形的边长、面积以及体积等参数。
三、平方根与算术平方根的区别1. 定义不同：平方根是用来表示任意实数的平方的根；而算术平方根仅仅是一个正数的平方根。
2. 取值范围不同：平方根可以是正数、负数和零，而算术平方根仅仅是非负实数。
3. 应用领域不同：平方根通常用于求解长度、面积等几何问题，而算术平方根则更广泛地应用于各个学科领域，如物理、经济、工程等。
结论平方根和算术平方根是两个相似但又有着明显区别的概念。
平方根用来表示任意实数的平方的根，可以是正数、负数和零；而算术平方根仅仅是一个正数的平方根，只能是非负实数。
平方根通常用于求解几何问题，而算术平方根则在各个学科领域都有广泛的应用。
了解平方根和算术平方根的区别，可以帮助我们在数学和实际问题中更加准确地运用这两个概念。
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(3) (2x-1)2=81
(4) 2x2-
9 8
=0
例3、若x、y为实数，且y x 1 1 x 1 , 2
化简 1 y . y 1 解：由平方根的定义知：
x 1≥ 0
x≥ 1
x 1
1 x≥ 0， x≤ 1，
y 11 11 1 即y 1
2
2
1 y 0
回答下列各题； 1.什么叫数a的平方根？什么叫数a的算术平方根？
2.如果一个数有平方根，那么这个数是什么数 ？
3.正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？ 负数有平方根吗？
复习练习一：
1.
1 的平方是 4
1 16
，
1 4
的平方根是
±
1 2
。
2.数0.64的算术平方根是 0.8 ，平方根是±0.8 。
6.如果 x 的平方根是±5，那么x= 625 . 7.若 a =a，则a= 0或1；若 a = -a则a= 0 。 8.若一个正数的平方根是2a-1与-a+2，则a= -1 .
9.若7x+5的平方根是±1则x=
-
4 7
。
复习练习 二：填空：
（1） 7的算术平方根是___7___
（2） 16 的算术平方根是__2__,
（8）已知一个数的平方根是它本身，则这 个数是 0 。
（9） 4的平方根是_____2__ (5)2 的平方根是_____5__。
16的算术平方根的平方根是___2___。
(10) m n 2, (m n)2 __1_6___ .
（11）当a_≥__ 0时, a2 __a___; 当a _≤__0时, (a)2 _-__a__
9 的算术平方根是___3__.
（3）106的算术平方根是__1_0_3 _.
（4） 42的算术平方根是__4___.
（5） 162 的算术平方根的相反数是_-_4___.
（6）一个自然数的算术平方根是a，则下一个
自然数的算术平方根是__a_2___1.
（7）一个自然数的平方是b,那么比这个自然数 大1的数是__b___1__.
练习5. 已知：x2=64, |x|=-x, 求: 9-5x 的值。
x+1
练习6.已知x+y=-
3 2
,
求(x+y)2-2x-2y+1的平方根。
备用题：
1.已知：x、y、z 满足
4x-4y+1
+
1 5
2y+z
1
+(z- 2 )2=0
求:x-y+z 的平方根。
2.已知：a、b为实数，且
2a+6 + b- 2 =0，解关于x的方程
解：由题意得xx
y40 2y 5 0
解方程
组得yx
3 1
练习3.已知（ｘ１）2 y 2 z 3 0 我们已学习了3种非负数，即绝对值、 求x偶数y 次z的方算 、算术术平平方方根根。。几个非负数
的和为零，它们就同时为零，然后转 化练为习方4程.已（知或x方、程y都组是）实来数解，。且 (3x-1)2=- 3x-y-5 ，求13x2-y的平方根。
(a+2)x+b2=a-1。
2
(12) ( 2) ___2___.
判断：
一个非负数的平方根一定是非负数. (×)
例1、求下列各式的值
1）3 1 81
2) 82
3) 3 2 4
5)
2
3
4) 25 16
6) 72
例2.求下列各式中的x.
(1) (x-1)2=36
(2)3x2-27=0
3.如果3b-6没有平方根,则b_＜__2__;如果3b-6的
平方根是0,则b_=_2___ ;如果3b-6的一个平方根
是-3，那么b=__5_____.
4.如果式子 5x-3有意义，则x的取值范围是
_x_≥___35__.
5. -11是121的算术平方根的相反数；- 11 是 11 的一个平方根。
所以， 原式 1 y ( y 1) 1。
y 1 y 1
练习1.已知x
2a 4a
求x的个位数字 。
2010
a 3 3 a ，
3a
练习2.已知：y= 3x-2 + 求: ± 2y-3x 的值。
2-3x +
1 x
例4.已知 x y 4 x 2y 5 0，求x、y的值。