7.22初中数学旋转专题

旋转证明

一． 利用旋转添加辅助线

例1. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终045=∠EAF .过点A 做

AP ⊥EF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD.

（3）若△EFC 周长为a ，求正方形的面积.

变式1：如图，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，已知AB=a ，△MCN 的周长为2a ， 求证：∠MAN=45°

1.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90到ED ，连结AE 、CE,则△ADE 的面积是 。

2.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终满足AF 平分BAE ∠， 探究：BF 、DE 与AE 的关系.

5.如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD 成立。 （1）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠

BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立。请写出它们之间的数量关系，并证明。

A B C D E

F

A

B

D C

E

F A D

M B C

N A B C E

D

例2.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO 且AO=2,BO=1,CO=3,求∠AOB ，∠BOC 的度数分别是多少？

2.如图，点D 为等边△ABC 外一点，030=∠ADC ,AD=4,CD=3，求BD 的长。

3.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，有∠AOB ＝0

150，∠BOC=0

120.问：AO 、BO 、CO 三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。

25（09朝阳一模）. （本小题8分）

图① 图② （1） 已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且

∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，

使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； （3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE 的值．

25（09西城一模）

．已知：PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线

AB 的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； （2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB 的大小.

A

B C

D

二． 旋转型相似

例1.图1是边长分别为a 和b （a ＞b ）的两个等边三角形纸片ABC 和C ′DE 叠放在一起（C 与C ′重合）的图形．

（1）操作：固定△ABC ，将△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连结AD ，BE ，如图2；在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．

（2）操作：若将图1中的△C ′DE 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD ，BE ，如图3；

在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． （3）根据上面的操作过程，请你猜想当

为多少度时，线段AD 的长度最大？是多少？当

为多少

度时，线段AD 的长度最小？是多少？（不要求证明）

图1 图2 图3

例2. 如图为等边△ABC 和菱形BDEF,∠DBF=60°

（1）观察图形○1,猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.

（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转,使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部,在图○2中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;

（3）在上述旋转过程中,AF 与CD 之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.

练习

1．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ?和BCF ?，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．

（1）若ABE ?和FBC ?是等腰直角三角形，且0

90=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN ? 是

三角形．

（2）在ABE ?和BCF ?中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，（如图2），则MBN ?是

三角形，且=∠MBN .

A

C

B

D

F E

○

1 A

C

B ○

2

（如图2）

C （如图3）

C （如图1)

（3）若将（2）中的ABE 绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

3.填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F 。

(1)如图①，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_________；如图②，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_________； (2)如图③，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_________(用含α的式子表示)；

(3)将图③中的△ABC 绕点C 旋转(点F 不与点A 、B 重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。

4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：

（2）如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，垂足为O 。求证：AD 2+BC 2=AB 2+DC 2

。即四边形ABCD 是等平方和四边形。

（3）如果将图①中的△AOD 绕点O 按逆时针方向旋转a 度（0

三．正方形中的旋转

例1.如图1已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D 放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。

(1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。

①证明DM＝DN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面

积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，

请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出

结论，不用证明。

练习：1.已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA

垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两

种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．

2.（08平谷一模25）．在图中，把一副直角三角板ABC和EFG（其短直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕点O顺时针旋转（旋转角α满足条件：o

090

0<

α

<），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

（2）联结HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2

ABC面积的

1

？若存在，求出此时x

A 图1

3.（08延庆一模23）．（1）已知：有两块完全相同的含45°角的三角板，如图10－1，将Rt △DEF 的直角的=顶点D 放在Rt △ABC 斜边AB 的中点处，这时两块三角板重叠部分△DBC 的面积 是△ABC 的面积的 ；

（2）如图10－2，点D 不动，将Rt △DEF 绕着顶点D 旋转α（0°＜∠α＜90°），这时两块三角板

重叠部分为任意四边形DNCM ，这时四边形DNCM 的面积是△ABC 的面积的 ； （3）若Rt △DEF 的顶点D 在AB 上移动（不与点A 、B 重合），且两条直角边与Rt △ABC 的两条直角

边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是Rt △ABC 的面积的4

9 ，如果存在，

请在图10－3中画出此时的图形，并说明点D 在AB 上的位置。如果不存在，说明理由。

4.（08东城一模25）．已知△ABC 中，AB=AC=3,∠BAC=900

,点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D 处.

（1）如图1，若BD=CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F,求出重叠部分AEDF 的面积（直接写出结果）；

（2）如图2，若BD=CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F,设AE ＝x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出 y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；

（3）若2BD CD =,将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F 、另一条直角边交射线AB 于点E ，设CF=(1)x x >，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出 y 与x 的函数关系，并写出自变量x 的取值范围 ．

图10－1 图10－2 图10－3

24（09延庆一模）.如图24－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ， M 是正方形

ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ． （1）猜想：ME 与MF 的数量关系

（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B ，

其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．

（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且

其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系， （4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，

且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。

（直

接写出答案）

四.倍长中线解决四边形旋转

例1.（08北京）请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=

，探究PG 与PC 的位置关系及

PG

PC

的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及

PG

PC

的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边

AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）

．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？D

A B

E F

C P G 图1

D C G P A

B F 图2 D

写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<

，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原

问题中的其他条件不变，请你直接写出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PG

PC

= ．

练习

1.如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。

探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明。 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

① DM 的延长线交CE 于点N ，且AD ＝NE ；

② 将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下且CF ＝2AD 。 附加题：将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明。

2．如图24-1，已知点D 在AC 上，ABC ?和ADE ?都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.

（1）求证：BMD ?为等腰直角三角形.

（2）将ADE ?绕点A 逆时针旋转?45，如图24-2，（1）中的“BMD ?为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.

（3）将ADE ?绕点A 逆时针旋转?135，如图24-3，

（1）中的“BMD ?为等腰直角三角形”成立吗？ （不用说明理由）.

（4） 我们是否可以猜想，将ADE ?绕点A 任意旋转 一定的角度，如图24-4，（1）中的“BMD ?为等腰直角三 角形”均成立？（不用说明理由）.

图

2

E G

G

图

3

图

1