牛头刨床运动分析实例

例： 如图所示为一牛头刨床的机构运动简图。设已知各构件尺寸为：1125mm l =，3600mm l =，4150mm l =，原动件1的方位角1=0~360θ︒︒和等角速度1=1rad/s w 。试用矩阵法求该机构中各从动件的方位角、角速度和角加速度以及E 点的位移、速度和家速度的运动线图。

解：先建立一直角坐标系，并标出各杆矢量及方位角。其中共有四个未知量3θ、4θ、3s 及E s 。为求解需建立两个封闭矢量方程，为此需利用两个封闭图形ABCA 及CDEGC ，由此可得，

613346,'E l l s l l l s +=+=+

(1-1)

写成投影方程为： 3311

33611

334433446cos cos sin sin cos cos 0

sin sin 'E s l s l l l l s l l l θθθθθθθθ==++-=+= (1-2)

解上面方程组，即可求得3θ、4θ、3s 及E s 四个位置参数，其中23θθ=。

将上列各式对时间取一次、二次导数，并写成矩阵形式，即可得以下速度和加速度方程式。

速度方程式：3331133331131334443344cos sin 00sin sin cos 00cos 0sin sin 1000cos cos 0E s l s s l w w l l w l l v θθθθθθθθθθ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (1-3)

机构从动件的位置参数矩阵：33333333443344cos sin 00sin cos 000sin sin 10cos cos 0s s l l l l θθθθθθθθ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦

机构从动件的的速度列阵：334E s w w v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

机构原动件的位置参数矩阵：1111sin cos 00l l θθ-⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

1w ：机构原动件的角速度

加速度方程式：

333333333344433443333333

333333333344433344cos sin 00sin cos 000sin sin 10cos cos 0sin sin cos 00cos cos sin 000cos cos 00sin sin E s s s l l l l w s s w w s s w l w l w l w l w θθθθαθθαθθαθθθθθθθθθθ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

----=-----11131113144cos sin 000E l w s l w w w w v θθ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(1-4)

机构从动件的位置参数矩阵求导：3333333

3333333333444333444sin sin cos 00cos cos sin 000cos cos 00sin sin 0w s s w w s s w l w l w l w l w θθθθθθθθθθ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

机构从动件的的加速度列阵：334E s ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

机构原动件的位置参数矩阵求导：

111

111

cos

sin

l w

l w

θ

θ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

主程序（matlab）：

%牛头刨床运动分析主程序

s;

%x(1)——代表

3

θ；

%x(2)——代表构件3的转角

3

θ；

%x(3）——代表构件4的转角

4

s;

%x(4)——代表E点的线位移

E

l；

%x(5)——代表

1

l;

%x(6)——代表

3

l;

%x(7)——代表

4

l;

%x(8)——代表

6

l;

%x(9）——代表'

6

w。

%x(10)——代表构件1的转角

1

x=[ 0.302 65*pi/180 169*pi/180 0.1 0.125 0.6 0.15 0.275 0.575 0];%赋初值

dr=pi/180;%度转化为弧度

dth=10*dr;w1=1;%每10度计算一个点

for i=1:37

y=ntpc(x); %调用从动件位置方程求解函数ntpc(自编)

s3=y(1);theta3=y(2);theta4=y(3);se=y(4); %得到位置参数。

%将各位置参数用向量储存，便于后面绘图，角度用度表示

ss3(i)=y(1);th1(i)=x(10)/dr;th3(i)=y(2)/dr;th4(i)=y(3)/dr;sse(i)=y(4);

%进行速度分析

A=[cos(theta3) -s3*sin(theta3) 0 0;

sin(theta3) s3*cos(theta3) 0 0;

0 -x(6)*sin(theta3) -x(7)*sin(theta4) -1;

0 x(6)*cos(theta3) x(7)*cos(theta4) 0];%A机构从动件的位置参数矩阵

B=[-x(5)*sin(x(10));x(5)*cos(x(10));0;0];%B机构原动件的位置参数列阵

yy=w1*inv(A)*B;%公式1-3求解，yy表示机构从动件速度列阵，inv(A)是A的逆阵vs3=yy(1);w3=yy(2);w4=yy(3);vse=yy(4);

%将各速度参数以向量的方式表示，以便后面绘图

dvs3(i)=yy(1);dw3(i)=yy(2);dw4(i)=yy(3);dvse(i)=yy(4);