冀教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》同步测试(含答案)
冀教版数学九年级上册24.3一元二次方程根与系数的关系习题(配答案).docx
24.3 一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆Θ解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a Θ 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解：Θ 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0)0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解：Θ 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
新冀教版九年级上《24.3一元二次方程根与系数的关系》练习题含答案
24.3 一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0)0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x ∙等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
冀教版 九年级数学上册 一元二次方程根与系数的关系同步能力提升训练 (含答案)
24.3一元二次方程根与系数的关系同步能力提升训练一、选择题（共10小题）.1．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的一元二次方程（a﹣3）y2﹣2ay+a﹣6＝0始终有两个不相等的实数根，则所有的满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．9C．12D．142．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的方程（a﹣5）y2+6y﹣9＝0有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和为（）A．25B．13C．22D．173．已知关于x的方程2x2+x+a＝0有一个根为1，则另一个根是（）A．B．C．D．4．若m、n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为（）A．2021B．2019C．2017D．20155．已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．46．若a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2a2+3ab+8b﹣2a的值为（）A．39B．45C．﹣35D．﹣417．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+ab+2a+b的值是（）A．2020B．2021C．﹣1D．﹣28．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（）A．7B．C．3D．9．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（）A．1B．C．D．210．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定二、填空题11．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的两根，则+＝．12．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是．13．一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，+2x1x2+＝．14．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，则一元二次方程cx2+bx+a ＝0的两个实数根为x3＝，x4＝．三、解答题15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．16．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．17．先阅读，再解决问题：【阅读材料】通过解一元二次方程x2﹣3x+2＝0，可得根是x1＝1，x2＝2．由于一个根比另一个根大1，所以我们称一元二次方程x2﹣3x+2＝0为邻根方程．其实，不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程．方法如下：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，设这两个根是α和β（α＞β），则α+β＝﹣，αβ＝．∵α＞β，∴α﹣β＞0．∴α﹣β＝＝＝＝＝．显然，当α﹣β＝1时，原方程即为邻根方程．【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程．（1）x2+x＝0；（2）4x2+16x+15＝0．18．若关于x的一元二次方程（ax﹣b）（cx﹣d）＝0（ac≠0且a≠﹣1，c≠﹣1）的解x1＝＝a﹣b，x2＝＝c﹣d，则称该方程为二次“差解方程”．例如：（x﹣）（﹣3x+﹣）＝0的解x1＝，x2＝﹣，且＝1﹣，＝﹣3﹣（﹣），所以该方程（x ﹣）（﹣3x+）＝0是二次“差解方程”．根据上述材料，解决下列问题：（1）判断方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0是否是二次“差解方程”，并说明理由；（2）若关于x的方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn+n）＝0是二次“差解方程”，求关于y的一元二次方程m（y﹣1）+n（y﹣m）＝的解．参考答案1．解：不等式整理得，∵关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，∴﹣1≤＜0，解得2≤a＜6，∵关于y的一元二次方程（a﹣3）y2﹣2ay+a﹣6＝0始终有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣3）（a﹣6）＞0且a≠3，解得a＞2且a≠3，∴2＜a＜6且a≠3，∴整数a的值是4，5，∴所有满足条件的整数a的值之和是：4+5＝9，故选：B．2．解：，由①得x≤6，由②得x＞．∵方程组有且只有五个整数解，∴＜x≤6，即x可取6、5、4、3、2．∴1≤＜2，∴3≤a＜8．∵关于y的方程（a﹣5）y2+6y﹣9＝0有两个实数根，∴Δ＝62﹣4（a﹣5）×（﹣9）≥0且a﹣5≠0，解得a≥4且a≠5，∴4≤a＜8∴a的取值为4，6，7，∴所有整数a的和为4+6+7＝17．故选：D．3．解：设关于x的方程2x2+x+a＝0的另一个根为x＝t，∴1+t＝﹣，解得，t＝﹣；故选：D．4．解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0 的两个实数根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，∴2m+2n﹣mn＝2（m+n）﹣mn＝﹣4+2021＝2017，故选：C．5．解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，∴m2+3m﹣1＝0，∴m2＝﹣3m+1，∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，∴m+n＝﹣3，∴m2﹣m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．故选：A．6．解：∵a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，∴a2﹣5a﹣1＝0，a+b＝5，ab＝﹣1，∴a2＝5a+1，∴2a2+3ab+8b﹣2a＝2（5a+1）+3ab+8b﹣2a＝8（a+b）+3ab+2＝40﹣3+2＝39，故选：A．7．解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，∴a2+a＝2021，∴a2+ab+2a+b＝（a2+a）+ab+（a+b）＝2021﹣2021﹣1＝﹣1．故选：C．8．解：∵方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣1）2﹣2×1（﹣3）＝7．故选：A．9．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，∵x2＝2x1，∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，∴a+b•（﹣）+c＝0，∴﹣+c＝0，∴9ac＝2b2，∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，∵﹣2＜0，∴4b﹣9ac的最大值是2，故选：D．10．解：设方程的两个是a，b，∵关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，∴a+b＝﹣＝0，解得：k＝±2，当k＝2时，方程为x2+1＝0，Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴此方程无解（方法二、即x2＝﹣1，∵不论x为何值，x2不能为﹣1，∴此方程无解）即k＝2舍去；当k＝﹣2时，方程为x2﹣3＝0，解得：x＝，此时符合题意，即k＝﹣2符合题意，故选：C．11．解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝﹣2，所以＝＝＝＝﹣．故答案为﹣．12．解：∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．故答案为：x2﹣3x+2＝0．13．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+16＝20，∴+2x1x2+＝+2x1x2＝﹣16＝﹣，故答案为：﹣．14．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，∴﹣＝2+3＝5，＝2×3＝6，∴﹣＝，＝，而+＝＝﹣，＝＝，∴一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个实数根为x3＝，x4＝，故答案为，．15．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝12m+1≥0，解得：m≤．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，∵x12+x22＝8﹣3x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），∴实数m的值为﹣．16．（1）证明：∵m≠0，Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0，∴方程两根的和为﹣，∵方程两根互为相反数，∴﹣＝0，∴m﹣2＝0，∴m＝2．17．解：（1）x2+x＝0．这里a＝1，b＝1，c＝0，∵，∴x2+x＝0是邻根方程．（2）4x2+16x+15＝0．这里a＝4，b＝16，c＝15，∵，∴4x2+16x+15＝0是邻根方程．18．解：（1）方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0的解为x1＝，x2＝﹣，∵≠2﹣≠﹣4﹣（﹣），∴该方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0不是二次“差解方程”；（2）有题意得方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn+n）＝0的解为：，，∵该方程为二次“差解方程”，∴，，整理可得：mn+m＝，mn﹣n＝，m+n＝，又∵一元二次方程m（y﹣1）+n（y﹣m）＝，即（mn﹣n）2y2﹣4（m+n）y+4（mn+m）＝0，∴代入可得，解得：，．。
冀教版-数学-九年级上册-24.3 一元二次方程根与系数的关系 练习
一元二次方程根与系数的关系一、选择题1.若x1、x2是一元二次方程x2+2x ﹣3=0的二个根，则x1•x2的值是（ ）A ． 2B ．﹣2C ． 3D ．﹣32.已知一元二次方程x2﹣6x+C=0有一个根为2，则另一根为（ ）A ． 2B ． 3C ．4D ． 83.已知方程x2﹣2x ﹣1=0，则此方程（ ）A ． 无实数根B ． 两根之和为﹣2C ． 两根之积为﹣1D ． 有一根为﹣1+4.若关于x 的一元二次方程的两个根分别为1和2，则这个方程是（ ）A .0232=-+x x B.0232=++x x C. 0322=+-x x D. 022=+-x x5.已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（ ）A ． 4B ． 3C ．﹣4 D. ﹣3二填空题6、一元二次方程x2+x ﹣2=0的两根之积是 ．7、方程2360x x --=与方程2630x x -+=的所有根的乘积是.8、若关于x 的一元二次方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是 ．9、若x1=﹣1是关于x 的方程x2+mx ﹣5=0的一个根，则方程的另一个根x2= ．三、解答题10.关于x 的方程x2﹣（2m ﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，求m 的值.11.已知关于x 的一元二次方程x2﹣x ﹣3=0的两个实数根分别为α、β，求（α+3）（β+3）的值.参考答案一、选择题1.D2. B3.C4.D5.A二填空题6、﹣27、-188、﹣29、5三、解答题10解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2﹣1，∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=3，解得：m1=0，m2=2（不合题意，舍去）11解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3，∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9.。
2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系(含答案)
拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 基础闯关全练1．关于x 的方程2x ²+mx+n=0的两个根是-2和1，则n ᵐ的值为 ( )A ．-8B ．8C ．16D ．-162．一元二次方程2x ²-mx +2=0有一根是x=1，则另一根是 ( )A.x=1B.x= -1C.x=2D.x=4能力提升全练1．若α，β是一元二次方程3x ²+2x -9=0的两根，则的值是 ( )A ．B ．C ．D ．2．已知x ₁，x ₂是方程2x ²-3x-1=0的两根，则____．3．已知关于x 的一元二次方程x ²-3x+m=0有两个不相等的实数根x ₁、x ₂．(1)求m 的取值范围；(2)当x ₁=1时，求另一个根x ₂的值．三年模拟全练一、选择题1．（2019河北石家庄新世纪外国语学校月考，4，★☆☆）若关于x 的方程x ²+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为( )A ．-3B ．2C ．4D ．-42．（2019河北唐山乐亭期中，6，★☆☆）若矩形的长和宽是方程x ²-7x+12=0的两根，则矩形对角线的长度为 ( )A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题3．（2019河北衡水武邑中学月考，13，★☆☆）已知x ₁、x ₂是关于x 的方程x ²+ax -2b=0的两个实数根，且x ₁+x ₂=-2，x ₁·x ₂=1，则的值是_________．4．（2018河北保定定州期中，22，★☆☆）已知关于x 的方程 x ²+2x+a-2=0．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．五年中考全练一、选择题1．（2018广西贵港中考，6，★☆☆）已知α，β是一元二次方程x ²+x -2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是 ( )A ．3B ．1 C.-1 D ．-3二、填空题2．（2018江苏南京中考，12，★☆☆）设x ₁，x ₂是一元二次方程x ²-mx-6=0的两个根，且x ₁+x ₂=1，则x ₁=____，x ₂=____.三、解答题3．（2017湖北黄冈中考，17，★★☆）已知关于x 的一元二次方程x ²+( 2k+1)x+k ² =0①有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x ₁，x ₂，当k=1时，求2221x x 的值4．（2014四川南充中考，20，★★☆）已知关于x 的一元二次方程x ²-x+m=0有两个不相等的实数根．(1)求实数m 的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x₁，x₂，求代数式的值.核心素养全练1．已知a为正整数，a=b-2 005，若关于x的方程x²-ax+b=0有正整数解，则a的最小值是多少？（温馨提示：先设方程的两根为x₁，x₂，然后……）2．（2017湖北孝感模拟）已知x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．(1)求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．24.3 一元二次方程根与系数的关系基础闯关全练1.C由一元二次方程根与系数的关系得解得m=2，n=-4，故nᵐ=（-4）²=16，故选C．2．A设一元二次方程2x²-mx+2=0的一个根x₁=1，另一个根为x₂，则x₁x₂==1，解得x₂=1．故选A．能力提升全练1．C由一元二次方程根与系数的关系，得，∴.故选C．2．答案解析∵x₁，x₂是方程2x²-3x-1=0的两根，∴x₁+x₂=，x₁x₂=，∴，故答案为．3．解析(1) ∵原方程有两个不相等的实数根，∴（-3）²-4m＞0，解得m＜(2)由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=3，∵x₁=1，∴x₂=2．三年模拟全练一、选择题1．D设x²+3x+a=0的另一个根为x’，由一元二次方程根与系数的关系得1+x'= -3，解得x’=-4，故选D．2．A设矩形的长和宽分别为a、b，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=7，ab =12，所以矩形对角线的长度为．故选A．二、填空题3．答案解析∵x₁，x₂是关于x的方程x²+ax-2b=0的两个实数根，∴x₁+x₂= -a= -2，x₁·x₂=-2b=1,解得a=2，b=，∴.故答案为．三、解答题4.解析(1)依题意得原方程的根的判别式△=2²-4（a-2）＞0，解得a＜3.(2)依题意得1+2+a-2=0，解得a=-1．故原方程为x²+2x-3=0．设方程的另一个根为m，则m+1=-2．∴m=-3．∴a=-1,方程的另一根为-3．五年中考全练一、选择题1.B ∵α，β是方程x²+x-2=0的两个实数根，∴α+β= -1，αβ=-2，∴α+β-αβ= - 1+2=1，故选B．二、填空题2．答案-2;3解析∵x₁、x₂是一元二次方程x²-mx-6=0的两个根，且x₁+x₂=1，∴m=1．∴原方程为x²-x-6=0，即(x+2)（x-3）=0，解得x₁= -2，x₂=3．故答案为-2;3．三、解答题3．解析(1)∵方程①有两个不相等的实数根，∴△=(2k+1)²-4k²=4k+1＞0,解得k＞．∴k的取值范围是k＞．(2)当k=1时，方程①为x²+3x+1=0．由根与系数的关系可得，∴.4．解析(1)由题意，得b²-4ac＞0，即，解得m＜2，∴m的最大整数值为1．(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x²-x+m=0得x²-x+1=0．根据根与系数的关系得，∴.核心素养全练1．解析设方程的两根分别为x₁，x₂，则，∵x₁，x₂中有一个为正整数，则另一个也必为正整数，不妨设x₁≤x₂，则由上式，得x₁·x₂-(x₁+x₂)= b-a=2 005，∴（x₁-1）（x₂-1）=2 006= 2×17×59，∴x₁-1=2，x₂-1=17×59；x₁-1=2×17，x₂-1= 59；x₁-1= 17，x₂-1= 2×59，∴x₁+x₂的最小值是2×17+59+1+1= 95，即a的最小值是95．2．解析(1)∵一元二次方程（a-6）x²+2ax +a=0有两个实数根，∴( 2a) ²-4（a-6）a≥0且a-6≠0，解得a≥0且a≠6．故a的取值范围为a≥0且a≠6．(2)存在,∵x₁、x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．∴由根与系数的关系得，由-x₁+x₁x₂= 4+x₂，得x₁x₂ =4+x₁+x₂，∴，解得a=24．经检验，a= 24是原方程的解，且当a= 24时，原方程中△＞0.∴存在实数a，使-x₁+x₁x₂= 4+x₂成立，此时a= 24．。
冀教版九年级数学上册《24.1 一元二次方程》同步练习题(附答案)
冀教版九年级数学上册《24.1 一元二次方程》同步练习题(附答案）一、选择题1.下列方程是一元二次方程的是( )A.1x2－1x=0 B.xy＋x2=9 C.7x＋6=x2 D.(x－3)(x－5)=x2－4x2.已知关于的方程：(1)ax2+bx+c=0；(2)x2﹣4x=8+x2；(3)1+(x﹣1)(x+1)=0；(4)(k2+1)x2 + kx + 1= 0. 一元二次方程的个数为( )个A.1B.2C.3D.43.一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A.2，1，3B.2，1，﹣3C.2，﹣1，3D.2，﹣1，﹣34.将方程3x2﹣x＝﹣2(x＋1)2化成一般形式后，一次项系数为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.35.下列一元二次方程中，常数项为0的是( )A.x2＋x=1B.2x2－x－12=0C.2(x2－1)=3(x－1)D.2(x2＋1)=x＋26.已知0和﹣1都是某个方程的解，此方程是( )A.x2﹣1＝0B.x(x＋1)＝0C.x2﹣x＝0D.x2＝x＋17.已知x＝2是一元二次方程(m﹣2)x2＋4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为( )A.2B.0或2C.0或4D.08.若x2＋4x﹣4＝0，则3(x﹣2)2﹣6(x＋1)(x﹣1)的值为( )A.﹣6B.6C.18D.309.已知x＝﹣1是关于x的方程2x2＋ax﹣a2＝0的一个根，则a为( )A.1B.﹣2C.1或﹣2D.210.关于x的方程ax2＋bx＋c＝3的解与(x﹣1)(x﹣4)＝0的解相同，则a＋b＋c的值为( )A.2B.3C.1D.4二、填空题11.一元二次方程4x2＋3x﹣1＝0的二次项系数是.12.关于x的方程(m﹣1)x2＋(m＋1)x＋3m﹣1＝0，当m________ 时，是一元一次方程；当m ________时，是一元二次方程.13.若(m+1)x m(m+2)﹣1+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则x的值是________.14.把一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x化成二次项系数大于零的一般式为，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .15.若关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋3x＋m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为＝.16.若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m＋2021的值为.三、解答题17.若(m+1)x|m|+1+6x﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值.18.把方程(3x+2)(x﹣3)=2x﹣6化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.19.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式.(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了15场比赛，求参赛的篮球队支数x.20.根据下面的问题列出关于x的方程，并将方程化成一般形式：在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了870张，求九(四)班有多少名同学.21.已知x＝1是一元二次方程(m+1)x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根.求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式.22.若x2a＋b－2x a－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，试求整数a，b的值．答案1.C.2.B3.D4.D5.D6.B.7.C.8.B9.C.10.B.11.答案为：4.12.答案为：＝1，≠1.13.答案为：﹣3或114.答案为：x 2+2x ﹣1=0，1，2，﹣115.答案为：2.16.答案为：2024.17.解：因为是关于x 的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项 则(m+1)x |m|+1一定是此二次项. 所以得到，解得m=1.18.解：(3x+2)(x ﹣3)=2x ﹣6,3x 2﹣9x+2x ﹣6=2x ﹣6,3x 2﹣9x=0,所以它的二次项系数是3,一次项系数是﹣9,常数项是0.19.解：(1)6x 2=36.一般形式为6x 2－36=0.(2)12x(x －1)=15.一般形式为12x 2－12x －15=0或x 2－x －30=0. 20.解：设九(四)班有x 名同学，根据题意，得x(x －1)=870.将方程化成一般形式为x 2－x －870=0.21.解：∵x＝1是一元二次方程(m+1)x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根∴m+1﹣m2﹣2m﹣1＝0∴m2+m＝0，解得m＝0或﹣1∵m+1≠0∴m≠﹣1∴m＝0∴此时的一元二次方程的一般形式是：x2﹣1＝0.22.解：分五种情况讨论：不合题意，舍去．不合题意，舍去．不合题意，舍去．∴整数a，b的值为。
冀教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》同步测试(含答案)
24.3一元二次方程根与系数的关系班级： 姓名： 成绩：一、单选题1．一元二次方程两根之和为6，两根之差为8，那么这个方程为（ ）A ．2670x x --=B ．2670x x -+=C ．2670x x +-=D ．2670x x ++= 2．已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ） A ．﹣3 B ．1 C ．3 D ．﹣13．已知a,b 是一元二次方程2320x x -+=的两根，则a 2b +ab 2的值是（ ）A ．-1B ．-6C ．5D ．64．最新x 的一元二次方程ax 2﹣2x+1=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣25．最新x 的一元二次方程kx 2+4x ﹣2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥﹣2B ．k ＞﹣2且k≠0C ．k≥﹣2且k≠0D ．k≤﹣26．已知一元二次方程x 2+bx+c=0的两根分别为2和3，则b,c 的值分别为（ ）A ．5，6B ．-5，-6C ．5，-6D ．-5，67．下列k 的值中,使方程x 2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．两个根都是自然数D ．无实数根9．最新x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k 值是（ ）A ．﹣1B ．±2C ．2D ．﹣210．己知实数m ，n 满足23670m m +-=，23670n n +-=，且m n ≠，则=+nm 11（ ） A ．67 B ．-3C ．3D ．7 11．已知1x 、2x 是最新x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或112．若1x ，2x 是方程2220120x x --=的两个实根，则代数式2112122x x x x +⋅-的值为（ ）A ．0B ．-2021C ．2021D ．402413．已知一元二次方程x 2﹣2021x+10092=0的两个根为α，β，则求得α2β+αβ2=（ ）A ．10093B ．2×10093 C ．﹣2×10093 D ．3×10093 14．设20x px q -+=的两实根为α，β，而以2α，2β为根的一元二次方程仍是20x px q -+=，则数对(),p q 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．015．最新x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，最新y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22(1)(1)2m n -+-≥；③1221m n -≤-≤，其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题16．若方程230x x a --=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是________．17．最新x 的方程()2210mx m x m -++=有两个实根，则实数m 的取值范围是________． 18．设m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则23m m n ++=________． 19．已知α、β是最新x 的一元二次方程()22230x m x m +-+=的两个不相等的实数根，且满足1αββα+=-，则m 的值是________． 20．方程2310x x ++=的两个根为α、βαββα________． 21．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：*u v uv v =+．若最新x 的方程()1**4x a x =-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是________．22．若最新x 的一元二次方程2kx 4x 30--=有两个不相等的实数根，则非正整数k 的值是______．三、解答题23．设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2，由求根公式x 1，224b b c a -±-可推出x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=c a，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程x 2﹣5x+3=0的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：（1）α+β=，α•β=；（2）11αβ+；（3）2α2﹣3αβ+10β．24．已知最新x 的一元二次方程x 2﹣4x+2k ﹣1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1﹣x 2=2，求k 的值．25．已知最新x 的方程222(3)410.x k x k k --+--=（1）若这个方程有实数根，求实数k 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足2212127x x x x +=+,求实数k 的值.26．如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知最新x 的方程()200x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b +的值；（3）已知a 、b 、c 均为实数，且0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．27．已知：最新x 的方程()22245x m x m m ++++=0没有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若最新x 的一元二次方程()2230mx n x m +-+-=有实数根，求证：该方程两根的符号相同； （3）设（2）中方程的两根分别为α、β，若:1:2αβ=，且n 为整数，求m 的最小整数值．参考答案1-5.ADDAC6-10.DAADA11-15.ABBBD 16.94a >-17.m≥-14且m≠0 18.319.无实数值20.321.0a >或1a <-22.-123.（1）5；3；（2）53；（3）35． 24.（1）k<52;(2)2 25.（1）k≤5；（2）4.26.（1） ()2100nx mx n ++=≠； ()2 15；（3）正数c 的最小值为4． 27.解:（1）∵最新x 的方程()22245x m x m m ++++没有实数根， ∴()22(24)4150m m m =+-⨯⨯+<，∴4m >，∴m 的取值范围是4m >；（2）由于方程()2230mx n x m +-+-=有两个实数根可知0m ≠， 当4m >时，30m m->，即方程的两根之积为正， 故方程的两根符号相同．（3）由已知得：0m ≠，2n m αβ-+=-，3m m αβ-⋅=． ∵:1:2αβ=， ∴23n m α-=-，232m a m-=． 22(2)392n m m m--=，即()29(2)32n m m -=-． ∵4m >，且n 为整数， ∴m 为整数； 当6m =时，29(2)63812n -=⨯⨯=． ∴m 的最小值为6．。
冀教版数学九年级上《解一元二次方程》同步测试(含答案)
冀教版数学九年级上《解一元二次方程》同步测试（含答案）时间：100分钟总分:1001.一元二次方程3x2−4x+1=0的根的状况为()A. 没有实数根B. 只要一个实数根C. 两个相等的实数根D. 两个不相等的实数根2.假设关于x的方程(m+1)x2+2x−1=0有实数根，那么m的取值范围是()A. m≤−2B. m≥−2且m≠−1C. m≤−2且m≠−1D. m≥−23.给出一种运算：关于函数y=x n，规则y′=nx n−1.例如：假定函数y=x4，那么有y′=4x3.函数y=x3，那么方程y′=12的解是()A. x1=4，x2=−4B. x1=2，x2=−2C. x1=x2=0D. x1=2√3，x2=−2√34.把一元二次方程x2−4x+1=0，配成(x+p)2=q的方式，那么p、q的值是()A. p=−2，q=5B. p=−2，q=3C. p=2，q=5D. p=2，q=35.以下方程中，没有实数根的是()A. x2−2x=0B. x2−2x−1=0C. x2−2x+1=0D. x2−2x+2=06.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A. k>−1B. k>1C. k≠0D. k>−1且k≠07.假定关于x的方程x2+bx+1=0有两个不相等的实数根，那么b的值可以是()A. 0B. 1C. 2D. 38.关于x的一元二次方程x2+ax−1=0的根的状况是()A. 没有实数根B. 只要一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9.a、b、c为常数，点P(a,c)在第二象限，那么关于x的方程ax2+bx+c=0根的状况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判别10.假定m、n(m<n)是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a<b，那么a、b、m、n的大小关系是()A. m<a<b<nB. a<m<n<bC. a<m<b<nD. m<a<n<b二、填空题〔本大题共10小题，共30.0分〕11.假定关于x的一元二次方程(k−1)x2−4x−5=0没有实数根，那么k的取值范围是______．12.关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是______．13.x2+6x=−1可以配成(x+p)2=q的方式，那么q=______．14.假定a为方程(x−√17)2=100的一根，b为方程(y−4)2=17的一根，且a、b都是正数，那么a−b=______ ．15.关于x的一元二次方程(m−5)x2+2x+2=0有实根，那么m的最大整数解是______．16.某三角形的边长都满足方程x2−5x+6=0，那么此三角形的周长是______ ．17.在△ABC中BC=2，AB=2√3，AC=b，且关于x的方程x2−4x+b=0有两个相等的实数根，那么AC边上的中线长为______．18.假设关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为______ ．19.假定关于x的一元二次方程kx2−4x−3=0有两个不相等的实数根，那么非正整数k的值是______．20.关于x的一元二次方程x2+4x−k=0有实数根，那么k的取值范围是______．三、计算题〔本大题共4小题，共24.0分〕21.关于x的一元二次方程：(m−1)x2+2mx+m+3=0有实数根，求m的取值范围．22.假定a2+2a+b2−6b+10=0，求a2−b2的值．23.关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)假设方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．24.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围；写出一个满足条件的m的值，并求此方程的根．四、解答题〔本大题共2小题，共16.0分〕25.：关于x的一元二次方程kx2−(k−1)x−1=0(1)求证：方程有两个实数根；(2)当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；(3)我们定义：假定一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根x1、x2(x1>x2)，<3，那么称这个一元二次方程有两个〝梦想根〞.假设关于x的一元二满足2<x1x2次方程kx2−(k−1)x−1=0有两个〝梦想根〞，求k的范围．26.关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2+2=0．(1)假定方程有实数根，务实数m的取值范围；(2)假定方程的两个根区分为x1、x2，且满足x12+x22=31+x1x2，务实数m的值．答案和解析【答案】 1. D 2. D 3. B4. B5. D6. D7. D8. D 9. B10. A11. k <1512. k ≤5且k ≠1 13. 8 14. 615. m =416. 6或7或8或9 17. 218. −1或2 19. −1 20. k ≥−421. 解：依据题意得m −1≠0且△=4m 2−4(m −1)⋅(m +3)≥0，解得m ≤32且m ≠1．22. 解：∵a 2+2a +b 2−6b +10=0，∴(a 2+2a +1)+(b 2−6b +9)=0， 即(a +1)2+(b −3)2=0， ∴a =−1，b =3．∴a 2−b 2=(−1)2−32=−8．23. 解：(1)由题意可知：△=(2m −2)2−4(m 2−2m) =4>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x 1+x 2=2m −2，x 1x 2=m 2−2m ， ∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=10， ∴(2m −2)2−2(m 2−2m)=10， ∴m 2−2m −3=0， ∴m =−1或m =324. 解：△=(2m +1)2−4(m 2−1)>0， 解得m >−54，事先m =1，方程为x2+3x =0， 解得x 1=0，x 2=−3．25. 解：(1)关于x 的一元二次方程kx 2−(k −1)x −1=0， a =k ，b =−(k −1)，c =−1，△=b 2−4ac =[−(k −1)]2−4k(−1)=k 2+2k +1=(k +1)2≥0， 关于x 的一元二次方程kx 2−(k −1)x −1=0有两个实数根； (2)关于x 的一元二次方程kx 2−(k −1)x −1=0， x 1=k−1+|k+1|2k，x 2=k−1−|k+1|2k，方程的两个实数根互为相反数，得 x 1+x 2=k−1+|k+1|2k+k−1−|k+1|2k=0，即2(k−1)2k=0，解得k=1，事先k=1，此方程的两个实数根互为相反数；(3)事先k>0，x1=1，x2=−1k<0，不契合题意；事先−1≤k<0，x1=−1k ，x2=1，2<x1x2<3，得{−1k>2−1k<3，解得−12<k<−13；事先k<−1，x1=−1k ，x2=1，由2<x1x2<3，得2<−k<3，解得−3<k<−2不契合题意舍去，综上所述：于x的一元二次方程kx2−(k−1)x−1=0有两个〝梦想根〞，k的范围是：−12<k<−13或−3<k<−2．26. 解：(1)∵方程x2−(2m+3)x+m2+2=0有实数根，∴△=[−(2m+3)]2−4(m2+2)=12m+1≥0，解得：m≥−112．(2)∵方程x2−(2m+3)x+m2+2=0的两个根区分为x1、x2，∴x1+x2=2m+3，x1⋅x2=m2+2，∵x12+x22=31+x1x2，∴(x1+x2)2−2x1⋅x2=31+x1x2，即m2+12m−28=0，解得：m1=2，m2=−14(舍去)，∴实数m的值为2．【解析】1. 解：∵△=(−4)2−4×3×1=4>0∴方程有两个不相等的实数根．应选：D．先计算判别式的意义，然后依据判别式的意义判别根的状况．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的实数根；事先△=0，方程有两个相等的实数根；事先△<0，方程无实数根．2. 解：当m+1=0，即m=−1时，2x−1=0，解得：x=12，∴m=−1契合题意；当m+1≠0，即m≠−1，∵关于x的方程(m+1)x2+2x−1=0有实数根，∴△=22−4×(m+1)×(−1)=4m+8≥0，解得：m≥−2且m≠−1．综上所述：m的取值范围是m≥−2．应选D．分m+1=0和m+1≠0两种状况思索，事先m+1=0，可求出x的值；事先m+1≠0，由方程有解结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围.综上即可得出结论．此题考察了根的判别式，分方程为一元一次方程及一元二次方程思索是解题的关键．3. 解：由函数y=x3得n=3，那么y′=3x2，∴3x2=12，x2=4，x=±2，x1=2，x2=−2，应选B．首先依据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程组得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．此题考察了应用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的方式考察了先生的阅读了解才干；留意：①二次项系数要化为1，②依据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．4. 解：∵x2−4x=−1，∴x2−4x+4=−1+4，即(x−2)2=3，那么p=−2，q=3，应选：B．移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．此题主要考察解一元二次方程的才干，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择适宜、简便的方法是解题的关键．5. 解：A、△=(−2)2−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、△=(−2)2−4×1×(−1)=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、△=(−2)2−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、△=(−2)2−4×1×2=−4<0，方程没有实数根，所以D选项正确．应选：D．区分计算各方程的根的判别式的值，然后依据判别式的意义判定方程根的状况即可．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的实数根；事先△=0，方程有两个相等的实数根；事先△<0，方程无实数根．6. 解：由题意知k≠0，△=4+4k>0解得k>−1且k≠0．应选D．方程有两个不相等的实数根，那么△>0，由此树立关于k的不等式，然后可以求出k的取值范围．总结：1、一元二次方程根的状况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．7. 【剖析】此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的两个实数根；事先△=0，方程有两个相等的两个实数根；事先△<0，方程无实数根.依据判别式的意义失掉b2>4，然后对各选项停止判别．【解答】解：依据题意得b 2−4×1>0，那么b 2>4， 所以b 可以取3，不能取0、1、2． 应选D ．8. 解：∵△=a 2+4>0，∴，方程有两个不相等的两个实数根． 应选：D ．先计算判别式的值，然后非正数的性质和判别式的意义判别方程根的状况．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的两个实数根；事先△=0，方程有两个相等的两个实数根；事先△<0，方程无实数根． 9. 解：∵点P(a,c)在第二象限， ∴a <0，c >0， ∴ac <0，∴△=b 2−4ac >0，∴方程有两个不相等的实数根． 应选：B ．先应用第二象限点的坐标特征失掉ac <0，那么判别△>0，然后依据判别式的意义判别方程根的状况．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的实数根；事先△=0，方程有两个相等的实数根；事先△<0，方程无实数根．10. 解：方程可以化简为x 2−(a +b)x +ab −1=0， 依据求根公式失掉：x =(a+b)±√(a−b)2+42，又因m =(a+b)−√(a−b)2+42<a ，n =(a+b)+√(a−b)2+42>b ，∵a =(a+b)−√(a−b)22，b =(a+b)+√(a−b)22∵a <b ， ∴a <a+b 2<b ，又∵(a+b)−√(a−b)2+42<(a+b)−√(a−b)22<a+b 2<(a+b)+√(a−b)22<(a+b)+√(a−b)2+42，∴m <a <b <n ． 故此题选A ．11. 解：∵关于x 的一元二次方程(k −1)x 2−4x −5=0没有实数根， ∴{△=(−4)2−4×(−5)(k −1)<0k−1≠0， 解得：k <15． 故答案为：k <15．依据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．此题考察了一元二次方程的定义以及根的判别式，依据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．12. 解：由题意知，k≠1，△=b2−4ac=16−4(k−1)=20−4k≥0，解得：k≤5，那么k的取值范围是k≤5且k≠1；故答案为：k≤5且k≠1．依据方程有两个实数根，得出△≥0且k−1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．此题考察了根的判别式，(1)一元二次方程根的状况与判别式△的关系：①△>0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△<0⇔方程没有实数根.(2)一元二次方程的二次项系数不为0．13. 解：x2+6x+9=8，(x+3)2=8．所以q=8．故答案为8．把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方的方式，从而失掉q的值．此题考察了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的方式，再应用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．14. 解：∵a为方程(x−√17)2=100的一根，b为方程(y−4)2=17的一根，∴(a−√17)2=100，(b−4)2=17，∴a=±10+√17，b=±√17+4，∵a>0，b>0，∴a=10+√17，b=√17+4，∴a−b=10+√17−√17−4=6，故答案为6．先依据题意，应用直接开平方法和a、b都是正数，求出a，b的值，代入计算即可．此题考察了一元二次方程的解法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2= a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0)．15. 解：∵关于x的一元二次方程(m−5)x2+2x+2=0有实根，∴△=4−8(m−5)>0，且m−5≠0，解得m<5.5，且m≠5，那么m的最大整数解是m=4．故答案为：m=4．假定一元二次方程有实根，那么根的判别式△=b2−4ac≥0，树立关于m的不等式，求出m的取值范围.还要留意二次项系数不为0．考察了根的判别式，总结：一元二次方程根的状况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．16. 解：∵x2−5x+6=0，∴x1=2，x2=3，∵三角形的边长都满足方程x2−5x+6=0，∴三角形的三边长可以为①2、2、3，∴周长为2+2+3=7；②2、3、3，∴周长为2+3+3=8；③2、2、2，∴周长为2+2+2=6；④3、3、3，∴周长为3+3+3=9．此三角形的周长是6或7或8或9．首先解方程x2−5x+6=0求出方程的解，然后结合三角形三边的关系就可以求出三角形的周长．此题首先解一元二次方程，然后依据求出的方程的解结合三角形的三边关系求出三角形的周长．17. 解：∵关于x的方程x2−4x+b=0有两个相等的实数根，∴△=16−4b=0，∴AC=b=4，∵BC=2，AB=2√3，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，AC=2；∴AC边上的中线长=12故答案为：2．由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．此题考察了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC 是直角三角形是处置效果的关键．18. 解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2−4(a+2)=0，解得a=−1或2．故答案为：−1或2．依据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．此题考察的是根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式之间的关系是解答此题的关键．19. 解：依据题意知△=(−4)2−4×k×(−3)>0，且k≠0，且k≠0，解得：k>−43那么非正整数k的值是−1，故答案为：−1．依据判别式的意义及一元二次方程的定义失掉△=(−4)2−4×k×(−3)>0，且k≠0，然后解不等式即可求得k的范围，从而得出答案．此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．20. 解：∵关于x的一元二次方程x2+4x−k=0有实数根，∴△=42−4×1×(−k)=16+4k≥0，解得：k≥−4．故答案为：k≥−4．依据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．此题考察了根的判别式，牢记〝事先△≥0，方程有实数根〞是解题的关键．21. 此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根.也考察了一元二次方程的定义.依据一元二次方程的定义和判别式的意义失掉m−1≠0且△=4m2−4(m−1)⋅(m+3)≥0，然后求出两个不等式的公共局部即可．22. 应用完全平方公式和非正数的性质求得a、b的值，然后代入求值．考察了完全平方公式的运用和非正数的性质．23. 依据根与系数的关系即可求出答案．此题考察根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，此题属于中等题型．24. 依据判别式的意义失掉(2m+1)2−4(m2−1)>0，然后解不等式失掉m的范围，然后取一个满足条件的m的值代入方程，再解方程即可．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的实数根；事先△=0，方程有两个相等的实数根；事先△<0，方程无实数根．25. (1)依据方程的判别式，可得答案；(2)依据互为相反数的和为零，可得关于k的方程，依据解方程，可得答案；(3)依据方程的梦想根，可得不等式组，依据解不等式组，可得答案．此题考察了根的判别式，应用了根的判别式，一元二次方程根的公式，解不等式组．26. (1)依据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；(2)应用根与系数的关系可得出x1+x2=2m+3、x1⋅x2=m2+2，结合x12+x22=31+ x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．此题考察了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式△≥0是解题的关键．。
冀教版九年级上册：24.3《一元二次方程根与系数的关系》同步练习(含答案)
24.3 一元二次方程根与系数的关系基础巩固JICHU GONGGU1．已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．27 2．(开放题)请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．3．已知方程x 2＋(m －1)x ＋m －10＝0的一个根是3，求m 的值及该方程的另一个根．4．设x 1，x 2是一元二次方程3x 2＋6x －92＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值． (1)x 21·x 2＋x 1·x 22；(2)|x 1－x 2|.5．关于x 的方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＋1＝0的两实数根为x 1与x 2，若x 21＋x 22＝11，求实数k 的值．能力提升NENGLI TISHENG6．已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋a b 的值是( )A ．7B ．－7C ．11D ．－11 7．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k ，使得3x 1·x 2－x 1＞x 2成立，请说明理由．8．已知a ，b ，c 是Rt△ABC 三边的长，a ＜b ＜c ，(1)求证：关于x 的方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0有两个不相等的实数根；(2)若c ＝3a ，x 1，x 2是这个方程的两根，求x 21＋x 22的值．参考答案1．D 点拨：∵α，β是方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，∴α＋β＝5，αβ＝－2.又∵α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ，∴α2＋αβ＋β2＝52＋2＝27.故选D.2．x 2＋3x －10＝0(答案不唯一) 点拨：设这个方程是x 2＋bx ＋c ＝0，根据一元二次方程根与系数的关系，可得b ＝－(2－5)＝3，c ＝－10；则这个方程是x 2＋3x －10＝0.3．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x ＝3代入原方程即可求得m 及另一根的值．解：∵方程x 2＋(m －1)x ＋m －10＝0的一个根是3，∴9＋3(m －1)＋m －10＝0，即4m －4＝0，解得m ＝1.由方程x 2－9＝0，解得x ＝±3，故所求方程的另一根为－3.4．解：x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－32， (1)x 21·x 2＋x 1·x 22＝x 1·x 2(x 1＋x 2)＝－32×(－2)＝3. (2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(－2)2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝4＋6＝10.故|x 1－x 2|＝10.5．分析：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键要掌握x 1，x 2是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根时，x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ，本题容易忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件而导致错误．解：∵方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＋1＝0的两实数根为x 1与x 2，∴Δ＝[－(k ＋2)]2－4(2k ＋1)≥0，解得k ≥4或k ≤0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k ＋2，x 1x 2＝2k ＋1，∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝11，∴(k ＋2)2－2(2k ＋1)＝11.∴k 2－9＝0，解得k ＝±3.∵k ≥4或k ≤0，∴k ＝3舍去．故k ＝－3.6．A 点拨：根据题意得a 与b 为方程x 2－6x ＋4＝0的两根，则a ＋b ＝6，ab ＝4.故原式＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝36－84＝7. 7．解：∵关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k ＋1)≥0.∴k ≤3.又3x 1·x 2－x 1＞x 2，∴3x 1·x 2－(x 1＋x 2)＞0.而x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，∴3×(k ＋1)－4＞0.∴k ＞13. ∴13＜k ≤3， ∴存在实数k ，使得3x 1·x 2－x 1＞x 2成立．8．(1)证明：把方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0化成一般形式为(c －a )x 2－22bx ＋a ＋c ＝0，其判别式Δ＝8b 2－4a 2＋4c 2，∵a ，b ，c 是Rt△ABC 三边的长，且a ＜b ＜c ，∴Δ＝8b 2－4a 2＋4c 2＞0.∴方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0有两个不相等的实数根．(2)解：∵x 1＋x 2＝22b c －a ，x 1·x 2＝a ＋c c －a， 又c ＝3a ，∴x 1＋x 2＝2b a ，x 1·x 2＝2， ∴x 21＋x 22＝2b 2a2－4.文档说明(Word文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档：小学试卷教案合同协议施工组织设计、期中、期末等测试中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间，提高读者的工作效率，读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多，审核有可能疏忽，如果有错误或侵权，请联系本店马上删除。
冀教版九年级数学上册 第24章 24.3 一元二次方程根与系数的关系 作业课时练习题(含答案)
24.3 一元二次方程根与系数的关系一、选择题1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣22．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．13．下列一元二次方程的两实数根的和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2-4x﹣5=04．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（）A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣3 D．2，35．如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等的实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣136．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．67．解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（）A．x2﹣10x+9=0 B．x2+10x+9=0C．x2﹣10x﹣9=0 D．x2+10x﹣9=0二、填空题8．已知x1，x2是方程x2﹣4x﹣5=0的两个实数根，则（x1﹣2）（x2﹣2）=______．9．孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为______．10．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是______．三、解答题11．已知α、β是一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，求下列代数式的值．（1）（α﹣β）2；（2）+；（3）（α﹣2）（β﹣2）.12．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．13．若一元二次方程x2﹣2x+m=0的两根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．14．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2.（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出y的最小值．15．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．答案1. B2.C3.C4.A5.B6.A7.A8. -99. 2 10. -3 11. 解：因为α，β是一元二次方程2x 2-3x -1=0的两个实数根，所以α+β=23，αβ=21-. (1) (α-β)2=(α+β)2-4αβ=49+2=417. (2) .2132)(2)(2222-=-+=-+=+=+αβαβαβαβαβαβαββααβ (3) (α-2)(β-2)=αβ-2(α+β)+4=.2112. 解：由题意知，x 1+x 2=-3，x 1x 2=m-1.（1）由题意知Δ=32-4（m-1）≥0，得m≤413. （2）2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0，即-6+m-1+10=0，解得m=-3. 13. 解：由题意知，x 1+x 2=2，x 1x 2=m.因为x 1+3x 2=（x 1+x 2）+2x 2=3，所以x 2=21，则x 1=2-21=23. 所以m=23×21=43. 14. 解：（1）x 2=2（1-m)x-m 2，即x 2-2（1-m)x+m 2=0. 由题意知Δ=4（1-m ）2-4m 2≥0，得m≤21. （3）由题意知x 1+x 2=2（1-m ），所以y=x 1+x 2=2（1-m ）=2-2m. 因为m≤21，所以当y 取得最小值时，m=21，y 的最小值是1. 15. 解：（1）由题意知x 1+x 2=62--a a ，x 1x 2=6-a a . -x 1+x 1x 2=4+x 2，即x 1x 2=4+x 1+x 2，即6-a a =4-62-a a ，解得a =24. 当a =24时，a -6≠0，故存在实数a =24，使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立. （2）（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+（x 1+x 2）+1=66--a . 因为（x 1+1）（x 2+1）为负整数，所以66--a 为负整数. 因为Δ=4a 2-4（a -6）a ≥0，得a ≥0，所以a =7，8，9，12.。
九年级上册数学解一元二次方程根与系数的关系同步练习及答案
九年级上册数学解一元二次方程根与系数的关系同步练习及答案1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( )A ．1B ．5C ．－5D ．62．设方程x 2－4x －1＝0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )A ．－4B ．－1C ．1D ．03．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( )A ．x 2＋2x －3＝0B ．2x 2－2x ＋3＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2－2x －3＝04．孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为______．5．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a ＋1b的值是________． 6．求下列方程两根的和与两根的积：(1)3x 2－x ＝3; (2)3x 2－2x ＝x ＋3.7．已知一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0.(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1＋3x 2＝3，求m 的值．8．点(α，β)在反比例函数y ＝k x的图象上，其中α，β是方程x 2－2x －8＝0的两根，则k ＝__________9．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________． 10．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．答案1．B 2.B 3.D 4.25．－65解析：∵a ，b 是一元二次方程的两根， ∴a ＋b ＝6，ab ＝－5.1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－65. 6．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．10 解析：x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3, x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝10. 10．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.。
冀教版初中数学九年级上册《24.3 一元二次方程根与系数的关系》同步练习卷
冀教新版九年级上学期《24.3 一元二次方程根与系数的关系》同步练习卷一．选择题（共22小题）1．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（）A．4B．2C．4D．32．已知xy≠1，且有3x2+2018x+9＝0及9y2+2018y+3＝0，则的值为（）A．B．2018C．3D．3．x1，x2是方程x2+x+k＝0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22＝2k2成立，k的值为（）A．﹣1B．或﹣1C．D．﹣或14．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或205．设x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则x13﹣5x22+10＝（）A．﹣29B．﹣19C．﹣15D．﹣96．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（）A．2＜α＜β＜3B．2＜α＜3＜βC．α＜2＜β＜3D．α＜2且β＞3 7．已知3m2﹣2m﹣5＝0，5n2+2n﹣3＝0，其中m，n为实数，则|m﹣|＝（）A．0B．C．D．0或8．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k+1＝0的两实数根为x1，x2，若，则实数k的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．无解9．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣200310．若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．2C．9D．1811．已知实数a、b分别满足和b4+b2﹣3＝0，则代数式的值等于（）A．175B．55C．13D．712．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）＝0的两根，则m的值是（）A．4B．﹣1C．4或﹣1D．﹣4或113．如果方程x2﹣4x+k＝0的两根与1可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值为（）A．3B．4C．5D．614．方程x2+4x+k＝0有两个实根x1和x2，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝25，则k的值是（）A．±5B．5C．﹣5D．不存在这样的k值15．若方程x2+x﹣1＝0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1B．4C．2D．0.516．已知关于x的一元二次方程x2+cx+a＝0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b＝0的两个根都大1，求a+b+c的值．（）A．29B．﹣3或29C．﹣3D．2617．已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．818．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）＝0的两个实根，则x12+x22的最大值是（）A．19B．18C．D．以上答案都不对19．方程x2﹣2x﹣5|x﹣1|+7＝0的所有根的和是（）A．2B．0C．﹣2D．420．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为﹣1和4，则的值为（）A．2B．3C．5D．﹣621．已知关于x的一元二次方程a2x2+b2x+c2＝O①的两根之和是一元二次方程ax2+bx+c＝0②的两根的平方和．则a、b、c的关系是（）A．a2＝bc B．b2＝ac C．c2＝ab D．abc＝122．已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个实数根x1，x2，且2x1﹣x2＝7，则a的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6二．填空题（共20小题）23．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝．24．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为．25．若实数m、n满足m2＝3m﹣1，n2＝3n﹣1，则+的值为．26．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．27．若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是．28．已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2．则的值为．29．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a＝2的两个实数根，则（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）的最大值为．30．已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则代数式α2+α（β2﹣2）的值为．31．已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1＝0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为．32．如果关于x的方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为．33．设x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝0的两个根，若，则m＝．34．已知实数x1、x2满足x12﹣6x1+2＝0和x22﹣6x2+2＝0，则的值等于．35．已知方程2x2﹣3x﹣4＝0，不解方程求下列各式的值．（1）＝；（2）x12+x22＝；（3）x13+x23＝；（4）＝；（5）（x1+x2）3﹣（x13+x23）＝；（6）x1﹣x2＝．36．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：（1）4x2+1＝7x，x1+x2＝，x1•x2＝．（2）3x2﹣1＝0，x1+x2＝，x1•x2＝．（3）x2﹣6x＝0，x1+x2＝，x1•x2＝．（4）2x2﹣（m+1）x﹣m＝0，x1+x2＝，x1•x2＝．37．设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝．38．以为根的一元二次方程为．39．已知α，β分别为方程x2+4x+2＝0的实数根，则α3+14β+5＝．40．（1）已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是；（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7＝0有两个负数根，那么实数m的取值范围是．41．已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）＝1，（b+c）（b+d）＝1，那么（a+c）（b+c）的值是．42．设a，b是方程x2+57x+1＝0的两根，c，d是方程x2﹣57x+1＝0的两根，则（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为．三．解答题（共5小题）43．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．44．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x15+x25）﹣（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5的值．45．设m2＝n+2，n2＝m+2，且m≠n，（1）求证：m+n＝﹣1；（2）求的值；（3）求m3+n3的值．46．已知实数a、b、c满足a≠b，且，求的值．47．已知二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为α、β，求①|α﹣β|；②α3+β3；③α3﹣β3；④冀教新版九年级上学期《24.3 一元二次方程根与系数的关系》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（）A．4B．2C．4D．3【分析】先根据方程求出两根之和与两根之积的值，然后再根据x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2），代入求值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1，x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．2．已知xy≠1，且有3x2+2018x+9＝0及9y2+2018y+3＝0，则的值为（）A．B．2018C．3D．【分析】把9y2+2018y+3＝0两边都除以y2，得3×（）2+2018•+9＝0，从而知x、是3x2+2018x+9＝0的两根，根据韦达定理可得答案．【解答】解：∵9y2+2018y+3＝0，∴3×（）2+2018•+9＝0，则x、是3x2+2018x+9＝0的两根，∴x•＝＝3，∵＝+＝3+＝，∴＝，故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系．根据已知条件得到x、是关于x的方程3x2+2018x+9＝0的两根是解题的难点．3．x1，x2是方程x2+x+k＝0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22＝2k2成立，k的值为（）A．﹣1B．或﹣1C．D．﹣或1【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2代入已知条件中，求得k的值．【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣1，x1x2＝k．又x12+x1x2+x22＝2k2，则（x1+x2）2﹣x1x2＝2k2，即1﹣k＝2k2，解得k＝﹣1或．当k＝时，△＝1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．∴取k＝﹣1．故选：A．【点评】注意：利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了分式的化简求值．5．设x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则x13﹣5x22+10＝（）A．﹣29B．﹣19C．﹣15D．﹣9【分析】x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，x12＝4﹣x1，x22＝4﹣x2，再根据根与系数的关系即可求解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，∴x12＝4﹣x1，x22＝4﹣x2，x1+x2＝﹣1，∴x13﹣5x22+10＝x1（4﹣x1）﹣5（4﹣x2）+10，＝4x1﹣（4﹣x1）﹣20+5x2+10，＝4x1﹣4+x1﹣20+5x2+10，＝5（x1+x2）﹣24+10，＝﹣5﹣14，＝﹣19．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是掌握把所求代数式进行合理变形，利用已知条件进行求解．6．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（）A．2＜α＜β＜3B．2＜α＜3＜βC．α＜2＜β＜3D．α＜2且β＞3【分析】令m＝0，根据已知条件得出函数出y＝（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），再根据m＞0，得出原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，从而得出答案．【解答】解：令m＝0，则函数出y＝（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），∵m＞0，∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，∴α＜2且β＞3；故选：D．【点评】此题主要考查了利用函数图象解决一元二次方程问题，判断出y＝（x﹣2）（x﹣3）的图象与方程之间的关系是解题的关键．7．已知3m2﹣2m﹣5＝0，5n2+2n﹣3＝0，其中m，n为实数，则|m﹣|＝（）A．0B．C．D．0或【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．【解答】解：由3m2﹣2m﹣5＝0得m1＝﹣1，m2＝；由5n2+2n﹣3＝0得n1＝，n2＝﹣1．＝，①当m＝﹣1，n＝时，原式＝；②当m＝﹣1，n＝﹣1时，原式＝0；③当m＝，n＝时，原式＝0；④当m＝，n＝﹣1时，原式＝．综上所述，＝0或．故选：D．【点评】此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况，考查学生严谨的思维能力，难度中等．8．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k+1＝0的两实数根为x1，x2，若，则实数k的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．无解【分析】关于x方程x2﹣（k+2）x+2k+1＝0的两实数根为x1与x2，则△≥0，由根与系数的关系得：x1+x2＝k+2，x1x2＝2k+1，再根据x12+x22＝11，列出关于k的等式即可求解．【解答】解：∵x方程x2﹣（k+2）x+2k+1＝0的两实数根为x1与x2，∴△＝（k+2）2﹣4（2k+1）≥0，解得：k≥4或k≤0，由根与系数的关系得：x1+x2＝k+2，x1x2＝2k+1，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝11，∴（k+2）2﹣2（2k+1）＝11，∴k2﹣9＝0，解得：k＝±3．∵k≥4或k≤0，∴k＝3舍去，故k＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度一般，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，但千万不要忽视了判别式△≥0这一隐含条件．9．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003）；将x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004代入即可得出结果．【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，故ax12005+bx22005＝（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003），＝2003×2004﹣2005×2003，＝﹣2003．故选：D．【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简，难度中等，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．10．若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．2C．9D．18【分析】设a+b＝m，则ab＝m+3，a2+b2变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．【解答】解：设a+b＝m，则ab＝m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3＝0的两根，a、b为实数，则△＝（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b＝m＞0，只有m≥6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2（m+3）＝（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m＝6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．【点评】本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．11．已知实数a、b分别满足和b4+b2﹣3＝0，则代数式的值等于（）A．175B．55C．13D．7【分析】把实数a、b满足的关系式变形后，得到﹣与b2为一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把所求的式子先利用同分母分式的加法法则逆运算变形后，再利用完全平方公式变形，将得出的两根之和与两根之积代入，可得出所求式子的值．【解答】解：实数a、b分别满足和b4+b2﹣3＝0，∵﹣﹣3＝0可化为：（﹣）2+（﹣）﹣3＝0，b4+b2﹣3＝0可化为：（b2）2+b2﹣3＝0，∴﹣与b2为一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，∴﹣+b2＝﹣1，﹣•b2＝﹣3，则＝b4+＝（b2﹣）2+2•b2•＝（﹣1）2+6＝7．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设方程的两个解分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1x2＝．其中将已知的两等式适当变形后，得到﹣与b2为一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根是解本题的关键．12．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）＝0的两根，则m的值是（）A．4B．﹣1C．4或﹣1D．﹣4或1【分析】先利用勾股定理表示出方程两根之间的数量关系，即两根的平方和是25，再根据根与系数的关系把有关字母的系数代入其中得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．【解答】解：如图．设BC＝a，AC＝b．根据题意得a+b＝2m﹣1，ab＝4（m﹣1）．由勾股定理可知a2+b2＝25，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）＝4m2﹣12m+9＝25，∴4m2﹣12m﹣16＝0，即m2﹣3m﹣4＝0，解之得m1＝﹣1，m2＝4．∵a+b＝2m﹣1＞0，即m＞，∴m＝4．故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，一元二次方程的解法及根与系数的关系，难度中等．一元二次方程根与系数的关系为：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝．本题要注意的是三角形的边长都是正数，所以最后要把解得的根代入到实际问题的条件中检验，将不合题意的解舍去．13．如果方程x2﹣4x+k＝0的两根与1可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】通过根与系数的关系建立k与两根之和的关系，再利用三角形的两边之和大于第三边建立不等式，求出k的取值范围，进而求出k的值．【解答】解：①当x＝1为腰且为方程x2﹣4x+k＝0一根时，有1﹣4+k＝0，k＝3．此时方程为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3．则1+1＜3，不能构成三角形，故k＝3舍去．②当x＝1为底时，根据根与系数的关系x1+x2＝4，由于是等腰三角形，故x1＝x2＝2，k＝x1•x2＝4．故选：B．【点评】此题考查了根与系数的关系、三角形三边关系和等腰三角形的性质，要进行分类讨论，方可求出符合题意的k的值．14．方程x2+4x+k＝0有两个实根x1和x2，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝25，则k的值是（）A．±5B．5C．﹣5D．不存在这样的k值【分析】先由根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出k的范围，又x12+4x1＝﹣k，x22+4x2＝﹣k，可得k2＝25，由此即可解决问题；【解答】解：∵方程x2+4x+k＝0有两个实根x1和x2，∴△＝b2﹣4ac＝14﹣4k≥0，即k≤3.5，又x12+4x1＝﹣k，x22+4x2＝﹣k∴k2＝25，解得：k＝5（舍去），或k＝﹣5，则k＝﹣5．故选：C．【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式的运用，若一元二次方程有解，即根的判别式大于等于0时，设方程的两个根分别为x1和x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝，熟练掌握此关系是解本题的关键，此外得出k的值后，要根据根的判别式大于等于0对k 的值作出取舍．15．若方程x2+x﹣1＝0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1B．4C．2D．0.5【分析】根据根与系数的关系得到：α+β＝﹣1，α•β＝﹣1，再根据方程解的定义得到α2+α﹣1＝0，β2+β﹣1＝0，即α2＝﹣α+1，β2＝﹣β+1，然后代入α2+2β2+β，即可得到α2+2β2+β＝﹣（α+β）+3＝1+3＝4．【解答】解：根据根与系数的关系得到：α+β＝﹣1，α•β＝﹣1，∵α、β是方程x2+x﹣1＝0的二根，∴α2+α﹣1＝0，β2+β﹣1＝0，∴α2＝﹣α+1，β2＝﹣β+1，∴α2+2β2+β＝﹣（α+β）+3＝1+3＝4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了方程解的定义．16．已知关于x的一元二次方程x2+cx+a＝0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b＝0的两个根都大1，求a+b+c的值．（）A．29B．﹣3或29C．﹣3D．26【分析】设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根，利用根与系数的关系均得到与a的关系，进而消去a，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到a，b，c的值，相加即可．【解答】解：设方程x2+ax+b＝0的两个根为α，β，∵方程有整数根，设其中α，β为整数，且α≤β，则方程x2+cx+a＝0的两根为α+1，β+1，∴α+β＝﹣a，（α+1）（β+1）＝a，两式相加，得αβ+2α+2β+1＝0，即（α+2）（β+2）＝3，∴或，解得或，又∵a＝﹣（α+β）＝﹣[（﹣1）+1]＝0，b＝αβ＝﹣1×1＝﹣1，c＝﹣[（α+1）+（β+1）]＝﹣[（﹣1+1）+（1+1）]＝﹣2，或a＝﹣（α+β）＝﹣[（﹣5）+（﹣3）]＝8，b＝αβ＝（﹣5）×（﹣3）＝15，c＝﹣[（α+1）+（β+1）]＝﹣[（﹣5+1）+（﹣3+1）]＝6，∴a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2或者a＝8，b＝15，c＝6，∴a+b+c＝0+（﹣1）+（﹣2）＝﹣3或a+b+c＝8+15+6＝29，故a+b+c＝﹣3或29，故选：B．【点评】主要考查一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；消去a后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点．17．已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．8【分析】根据已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，分两种情况讨论，根据根与系数的关系即可解答．【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0，∴x+3＝0，x﹣5＝0，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0，x+5＝0，解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，③当x＝0时，方程不成立．∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），解得x＝5或﹣5，∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系及绝对值，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．18．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）＝0的两个实根，则x12+x22的最大值是（）A．19B．18C．D．以上答案都不对【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）＝0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0⇒3k2+16k+16≤0⇒（3k+4）（k+4）≤0⇒﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2＝k﹣2，x1•x2＝k2+3k+5，得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）＝﹣k2﹣10k﹣6＝19﹣（k+5）2，当k＝﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．19．方程x2﹣2x﹣5|x﹣1|+7＝0的所有根的和是（）A．2B．0C．﹣2D．4【分析】把方程x2﹣2x﹣5|x﹣1|+7＝0化为|x﹣1|2﹣5|x﹣1|+6＝0，解出x的值即可得出答案．【解答】解：原方程化为：（x2﹣2x+1）﹣5|x﹣1|+6＝0．即|x﹣1|2﹣5|x﹣1|+6＝0，∴|x﹣1|＝2或|x﹣1|＝3．∴x1＝﹣1，x2＝3，x3＝﹣2，x4＝4．则x1+x2+x3+x4＝4．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是先把原方程变形后解出所有x 的值．20．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为﹣1和4，则的值为（）A．2B．3C．5D．﹣6【分析】先利用两根分别表示出错误的方程为：甲，设k（x﹣2）（x﹣4）＝0得kx2﹣6kx+8k ＝0；乙，设p（x+1）（x﹣4）＝0得px2﹣3px﹣4p＝0，无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量相同，就是8k＝﹣4p，即p＝﹣2k，把第一个方程中的一次项和常数项，第二个方程中的二次项代入所求代数式中化简后可解．【解答】解：对于甲：设k（x﹣2）（x﹣4）＝0，得kx2﹣6kx+8k＝0，对于乙：设p（x+1）（x﹣4）＝0，得px2﹣3px﹣4p＝0，从这两个方程可看出：无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量相等，所以8k＝﹣4p，即p＝﹣2k，则＝＝﹣6．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的特点，以及方程之间的关系，难度较大．需要利用方程的两根来表示出两个错误的方程，并通过比较后，得出初步判断为无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量相等这个关键的等量关系，然后通过等量代换求解，在代值时，二次项系数要以第二个方程为准，一次项系数要以第一个方程为准．21．已知关于x的一元二次方程a2x2+b2x+c2＝O①的两根之和是一元二次方程ax2+bx+c＝0②的两根的平方和．则a、b、c的关系是（）A．a2＝bc B．b2＝ac C．c2＝ab D．abc＝1【分析】设①的两根m，n，②的两根α，β，则m+n＝α2+β2，再根据根与系数的关系得出m+n，mn以及α+β，αβ，从而得出abc的关系式．【解答】解：设①的两根m，n，②的两根α，β，∴m+n＝﹣，mn＝，α+β＝﹣，αβ＝，∵m+n＝α2+β2，∴m+n＝（α+β）2﹣2αβ，即﹣＝（﹣）2﹣2×，∴b2＝ac．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22．已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个实数根x1，x2，且2x1﹣x2＝7，则a的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6【分析】由两根之和可得到x1+x2＝﹣4，结合2x1﹣x2＝7，则可求得方程的两根，再利用两根之积可求得a的值．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+4x+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣4，且2x1﹣x2＝7，解得x1＝1，x2＝﹣5，∴a＝x1x2＝﹣5，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．二．填空题（共20小题）23．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝1．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，再利用x1是方程x2+2x﹣3＝0的根得到x12+2x1﹣3＝0，即x12+2x1＝3，则x12+3x1+x2＝x12+2x1+x1+x2，然后利用整体代入得方法计算．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，∴x12+2x1﹣3＝0，即x12+2x1＝3，x1+x2＝﹣2，则x12+3x1+x2＝x12+2x1+x1+x2＝3﹣2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．24．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为﹣．【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝4，mn＝﹣3，∴+＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于﹣、两根之积等于是解题的关键．25．若实数m、n满足m2＝3m﹣1，n2＝3n﹣1，则+的值为2或7．【分析】由题意，可知：m＝n或m、n为方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根．当m＝n时，将m＝n代入原式即可求出结论；当m≠n时，根据根与系数的关系可得出m+n＝3、mn＝1，将其代入+＝中即可求出结论．【解答】解：∵实数m、n满足m2＝3m﹣1，n2＝3n﹣1，∴m＝n或m、n为方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根．当m＝n时，原式＝1+1＝2；当m≠n时，有m+n＝3，mn＝1，∴原式＝＝＝＝7．故答案为：2或7．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，分m＝n和m、n为方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根两种情况考虑是解题的关键．26．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．【分析】利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝k2+k+3，k≤﹣3，再将（x1﹣1）2+（x2﹣1）2化简为（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2），代入即可求解．【解答】解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，∴x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝k2+k+3，∵△＝4k2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2＝x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2＝（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2＝2k2+2k﹣4＝2（k+）2﹣，∵k≤﹣3，2×（﹣3+）2﹣＝8，∴2（k+）2﹣≥8，故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．故答案为：8．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．同时考查了配方法的应用．27．若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是3＜m≤4．【分析】根据原方程可知x﹣2＝0，和x2﹣4x+m＝0，因为关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，所以x2﹣4x+m＝0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，∴①x﹣2＝0，解得x1＝2；②x2﹣4x+m＝0，∴△＝16﹣4m≥0，即m≤4，∴x2＝2+，x3＝2﹣，又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范围是3＜m≤4．故答案为：3＜m≤4．【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．28．已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2．则的值为﹣23．【分析】根据已知条件“（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2”求出a+1、b+1是关于x的方程x2+3x﹣3＝0的两个根，然后再根据根与系数的关系求得a+b＝﹣5，ab＝1；最后将其代入化简后的二次根式并求值即可．【解答】解：∵（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2．∴（a+1）2+3（a+1）﹣3＝0，（b+1）2+3（b+1）﹣3＝0，显然，a+1、b+1是关于x的方程x2+3x﹣3＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣3，即a+1+b+1＝﹣3，∴a+b＝﹣5；x1•x2＝﹣3，即（a+1）（b+1）＝ab+（a+b）+1＝﹣3，∴ab＝1，∴a＝，b＝；∴，＝b|b|+a|a|，＝﹣[（b+a）2﹣2ab]，＝﹣25+2，＝﹣23；故答案是：﹣23．【点评】本题考查了根与系数的关系、二次根式的化简求值．解答此题时，如果先根据已知条件求得a、b的值，然后将其代入所求的代数式求值，那计算过程是相当的繁琐．根据已知条件“（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2”可以知，“（a+1）2+3（a+1）﹣3＝0，（b+1）2+3（b+1）﹣3＝0”，仔细观察这两个等式可知：a+1、b+1是关于x的方程x2+3x﹣3＝0的两个根．然后再根据一元二次方程的根与系数的关系求得a与b的数量关系，并将其代入所求的代数式求值．这样，计算会变得简单多了．29．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a＝2的两个实数根，则（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）的最大值为﹣．【分析】x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a＝2的两个实数根，根据根与系数的关系，表示出a的二次函数的形式，然后求解．【解答】解：∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴对于任意实数a，原方程总有两个实数根．由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣a，x1x2＝a﹣2，∴（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）＝﹣2（x1+x2）2+9x1x2，＝﹣2a2+9a﹣18，＝﹣2（a﹣）2﹣，∴当a＝时，原式有最大值﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度不大，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2．30．已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则代数式α2+α（β2﹣2）的值为0．【分析】根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴α+β＝1，αβ＝﹣1，α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，∴α2＝α+1，β2＝β+1∴α2+α（β2﹣2）＝α+1+α（β+1﹣2）＝α+1﹣1﹣α＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．31．已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1＝0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为4．【分析】根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案．【解答】解：∵α、β是方程x2+（m﹣2）x+1＝0两根，∴α+β＝2﹣m，αβ＝1，α2+（m﹣2）α+1＝0，β2+（m﹣2）β+1＝0，∴α2+mα+1＝2α，β2+mβ+1＝2β，∴（1+mα+α2）（1+mβ+β2）＝2α•2β＝4αβ＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．32．如果关于x的方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为﹣．【分析】先根据方程有实数根，利用根的判别式可得k2﹣4（k2﹣3k+）≥0，整理得﹣2（k﹣3）2≥0，而（k﹣3）2≥0，可求k＝3，把k＝3代入方程，再解方程可得x1＝x2＝﹣，进而可求的值．【解答】解：根据题意可得∵方程有实数根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即k2﹣4（k2﹣3k+）≥0，∴﹣2（k﹣3）2≥0，∵（k﹣3）2≤0，∴k﹣3＝0，即k＝3，∴原方程为：x2+3x+＝0，∴x1＝x2＝﹣，∴＝（）2011•＝＝﹣．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解方程，解题的关键是根据根的判别式先求出k．33．设x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝0的两个根，若，则m＝3．【分析】首先根据根与系数的关系推出两根之和、两根之积的值，然后通过对分式方程的化简，再代入两根之和、两根之积的值，再解关于m的一元二次方程即可推出m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1×x2＝m2﹣2m+3，∵，∴x12+x22＝4x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4x1x2，∴4m2＝6m2﹣12m+18，解方程得：m＝3．故答案为3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解一元二次方程，关键在于推出关于m的一元二次方程，认真的进行计算．34．已知实数x1、x2满足x12﹣6x1+2＝0和x22﹣6x2+2＝0，则的值等于16．【分析】将通分，转化为两根之积和两根之和，将方程x2﹣6x+2＝0的两根之积和两根之和代入计算即可．【解答】解：∵方程x2﹣6x+2＝0的两根之积为2，两根之和为6，∴＝＝＝＝16．故答案为16．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将x1、x2看作方程x2﹣6x+2＝0的两根，利用根与系数的关系解答即可．35．已知方程2x2﹣3x﹣4＝0，不解方程求下列各式的值．（1）＝﹣；（2）x12+x22＝；（3）x13+x23＝；（4）＝﹣；（5）（x1+x2）3﹣（x13+x23）＝﹣9；（6）x1﹣x2＝．【分析】（1）根据根与系数的关系进行变形即可．（2）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．（3）根据根与系数的关系及立方和公式进行变形即可解答．（4）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．（5）根据根与系数的关系及立方和与立方差公式进行变形即可解答．（6）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣4＝0，∴，（1）；（2）；（3）x13+x23＝（x1+x2）（x12﹣x1x2+x22）＝；（4）；（5）（x1+x2）3﹣（x13﹣x23）＝（x1+x2）3（x1+x2）（x12﹣x1x2+x22）＝（x1+x2）（x12﹣2x1x2+x22﹣x12+x1x2﹣x22）＝3x1x2（x1+x2）＝；（6）∵（x12﹣x22）2＝x12﹣2x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝＝∴；【点评】本题考查了根与系数的关系及完全平方公式，属于基础题，关键是将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．36．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：（1）4x2+1＝7x，x1+x2＝，x1•x2＝．（2）3x2﹣1＝0，x1+x2＝0，x1•x2＝﹣．（3）x2﹣6x＝0，x1+x2＝6，x1•x2＝0．（4）2x2﹣（m+1）x﹣m＝0，x1+x2＝，x1•x2＝﹣．【分析】（1）先把方程化为4x2﹣7x+1＝0的形式，根据根与系数的关系即可解题．（2）根据根与系数的关系即可解题．（3）根据根与系数的关系即可解题．（4）根据根与系数的关系即可解题．【解答】解：（1）先把方程化为：4x2﹣7x+1＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝，（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝0，x1•x2＝﹣．（3）根据根与系数的关系得：x1+x2＝6，x1•x2＝0．（4）根据根与系数的关系得：x1+x2＝，x1•x2＝．故答案为：，；0，﹣；6，0；，﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．37．设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝．【分析】已知方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，根据根与系数的关系即可求解．【解答】解：方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，|x1﹣x2|＝，＝，＝，＝．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，主要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．38．以为根的一元二次方程为x2﹣x+＝0．．【分析】根据根与系数的关系即x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，即可求解．【解答】解：设所求方程为：x2+px+q＝0，两根为x1，x2，∴x1+x2＝+＝＝﹣p，x1x2＝＝q故所求方程为：x2﹣x+＝0．故本题答案为：x2﹣x+＝0．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，主要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．39．已知α，β分别为方程x2+4x+2＝0的实数根，则α3+14β+5＝﹣43．【分析】先根据α，β分别为方程x2+4x+2＝0的实数根可知，α+β＝﹣4，αβ＝2，α2＝﹣4α﹣2，再代入α3+14β+5进行计算即可．【解答】解：∵α，β分别为方程x2+4x+2＝0的实数根，∴α+β＝﹣4，αβ＝2，α2＝﹣4α﹣2，∴α3+14β+5＝α（﹣4α﹣2）+14β+5＝﹣4α2﹣2α+14β+5＝﹣4（﹣4α﹣2）﹣2α+14β+5＝16α+8﹣2α+14β+5＝14（α+β）+13＝14×（﹣4）+13＝﹣56+13＝﹣43．故答案为：﹣43．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．40．（1）已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是﹣＜m≤；（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7＝0有两个负数根，那么实数m的取值范围是m＞7．【分析】（1）根据一元二次方程有实数根的条件，得出△＝（﹣2）2﹣4×2（3m﹣1）≥0①；由根与系数的关系可得x1+x2＝1，x1•x2＝，代入，又得到一个关于m的不等式②，解由①②组成的不等式组，即可求出m的取值范围．（2）先根据一元二次方程有两个负数根，由一元二次方程根与系数的关系，得出两根之和小于0，两根之积大于0，解不等式组求出m的取值范围，再代入判别式△≥0进行检验，即可求出结果．【解答】解：（1）∵方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×2（3m﹣1）≥0，解得m≤．由根与系数的关系，得x1+x2＝1，x1•x2＝．∵，∴＜1，解得m＞﹣．∴﹣＜m≤；（2）∵关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7＝0有两个负数根，∴，解得m＞7．又∵△＝（m+1）2﹣4×8（m﹣7）＝m2﹣30m+225＝（m﹣15）2≥0，∴实数m的取值范围是m＞7．故答案为﹣＜m≤；m＞7．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，根与系数的关系及一元一次不等式组的解法．难度中等．注意利用根与系数的关系解题的前提条件是判别式△≥0．41．已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）＝1，（b+c）（b+d）＝1，那么（a+c）（b+c）的值是﹣1．【分析】由已知条件变形知，a、b是方程x2+（c+d）x+cd﹣1＝0的两个不相等的实数根，然后根据韦达定理求得ab＝cd﹣1，a+b＝﹣c﹣d；最后将所求的代数式展开，将ab＝cd ﹣1、a+b＝﹣c﹣d代入其中并求值即可．【解答】解：由（a+c）（a+d）＝1，得a2+（c+d）a+cd＝1，①由（b+c）（b+d）＝1，得b2+（c+d）b+cd＝1，②根据①②可知，a、b是方程x2+（c+d）x+cd﹣1＝0的两个不相等的实数根，∴由韦达定理，得ab＝cd﹣1，a+b＝﹣c﹣d，∴（a+c）（b+c）＝c2+（a+b）c+ab＝c2﹣c2﹣cd+cd﹣1＝﹣1；故答案是：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．42．设a，b是方程x2+57x+1＝0的两根，c，d是方程x2﹣57x+1＝0的两根，则（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为0．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣57，ab＝1，再把（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）变形得到原式＝[ab+c（a+b）+c2）][ab﹣d（a+b）+d2]，然后把a+b＝﹣57，ab＝1代入得到原式＝（c2﹣57c+1）（d2+57d+1），再根据c，d是方程x2﹣57x+1＝0的两根，所以c2﹣57c+1＝0，最后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a，b是方程x2+57x+1＝0的两根，∴a+b＝﹣57，ab＝1，∴原式＝[ab+c（a+b）+c2）][ab﹣d（a+b）+d2]＝（c2﹣57c+1）（d2+57d+1），∵c，d是方程x2﹣57x+1＝0的两根，∴c2﹣57c+1＝0，。
初三数学《一元二次方程根与系数之间的关系》练习题(含答案)
一元二次方程根与系数之间的关系一 、选择题（本大题共2小题）1.已知方程260x kx ++=的两个实数根是1x 、2x ，同时方程260x kx -+=的两实数根是15x +，25x +，则k 的值等于（ ）A.5B.5-C.7D.7-2.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（）A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-二 、填空题（本大题共8小题）3.若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=4.以3-和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________5.已知m 、n 是一元二次方程2310x x -+=的两根，那么代数式222461999m n n +-+的值为6.若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于 ，p 等于7.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是 ，______b =8.方程2380x x m -+=的两个根之比为3:1，则_______m =9.已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=10.如果方程22430x x k ++=的两个根的平方和等于7，那么_______k =三 、解答题（本大题共12小题）11.不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积12.已知2240x x k -+=的一个根，求另一个根和k 的值13.设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -14.已知实数1x 和2x 满足211620x x -+=和222620x x -+=，求2112x x x x +的值15.已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x⑴求k 的取值范围。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》测试题含答案
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》测试题复习巩固1．下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是()A．x2＋2x－3＝0 B．x2－2x＋3＝0C．x2－2x－3＝0 D．x2＋2x＋3＝02．设一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是() A．x1＋x2＝2 B．x1＋x2＝－4C．x1x2＝－2 D．x1x2＝43．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b 的值分别是()A．a＝－3，b＝1 B．a＝3，b＝1C．3=2a-，b＝－1 D．3=2a-，b＝14．若一元二次方程x2＋kx－3＝0的一个根是x＝1，则该方程的另一个根是() A．3 B．－1C．－3 D．－25．已知方程x2－5x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为()A．－7 B．－3 C．7 D．36．(2013山东莱芜)已知m，n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，则代数式223m n mn++的值为()A．9 B．±3 C．3 D．57．已知方程x2－4x－7＝0的根是x1和x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.8．若方程x2－2x＋a＝0的一个根是3，则该方程的另一个根是__________，a＝__________.9．若x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x21＋3x1x2＋x22的值为__________．10．已知方程x2＋3x－1＝0的两实数根为α，β，不解方程求下列各式的值．(1)α2＋β2；(2)α3β＋αβ3；(3)βααβ+.能力提升11．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是()A．1 B．12 C．13 D．2512．若关于x 的一元二次方程x 2＋(m 2－9)x ＋m －1＝0的两个实数根互为相反数，则m 的值是__________．13．设a ，b 是方程x 2＋x －2 015＝0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为__________．14．在解方程x 2＋px ＋q ＝0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2.这个方程正确的根应该是什么？15．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．16．阅读材料：已知p 2－p －1＝0,1－q －q 2＝0，且pq ≠1，求1pq q +的值． 解：由p 2－p －1＝0,1－q －q 2＝0，可知p ≠0，q ≠0.又因为pq ≠1，所以p ≠1q .所以1－q －q 2＝0可变形为2111=0q q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以p 与1q 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根．故p ＋1q ＝1，即1pq q+＝1. 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知2m 2－5m －1＝0，2152=0n n +-，且m ≠n ，求11m n+的值．参考答案复习巩固1．C 选项B 中的方程无实数根．本题易误选为B.2．A3．D 由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝b .因此－2a ＝3，b ＝1，即32a =-，b ＝1.故选D. 4．C 设方程的另一个根为x 1，由x 1·1＝－3，得x 1＝－3.5．D 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝2.故x 1＋x 2－x 1x 2＝5－2＝3. 6．C 根据一元二次方程的根与系数的关系，得m ＋n ＝22-，mn ＝1.故222232213m n mn m n mn ++=(+)+=(-)+=.7．4 －78．－1 －3 设方程的另一个根是x 1，则113=23=x x a +⎧⎨⎩，，解得x 1＝－1，a ＝－3. 9．7 x 12＋3x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2＋x 1x 2＝32＋(－2)＝7. 10．解：因为α，β是方程x 2＋3x －1＝0的两个实数根，所以α＋β＝－3，αβ＝－1.(1)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－3)2－2×(－1)＝11.(2)α3β＋αβ3＝αβ(α2＋β2)＝(－1)×11＝－11.(3)2211111βααβαβαβ++===--. 能力提升11．C 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m －1，则(x 1－x 2)2＝2212x x +－2x 1x 2＝7－2(2m －1)＝9－4m ；又因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝m2－4(2m－1)，所以9－4m＝m2－8m＋4，解得m1＝5，m2＝－1.当m＝5时，Δ＜0，故m＝－1.此时(x1－x2)2＝9－4×(－1)＝13.12．－3由根与系数的关系，得－(m2－9)＝0，解得m＝±3.但当m＝3时，原方程无实根，故m＝－3.13．2 014因为a，b是方程x2＋x－2 015＝0的两个不相等的实数根，故由根与系数的关系可得a＋b＝－1①，由根的定义，得a2＋a－2 015＝0，即a2＋a＝2 015②.再由①＋②得a2＋2a＋b＝2 014.14．解：由题意，得1×(－3)＝q,4＋(－2)＝－p.从而可得p＝－2，q＝－3.因此原方程为x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.故这个方程正确的根为3与－1.15．解：(1)依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得12 k≤.(2)依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为12k≤，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.因为12k≤，所以k＝－3.综合①②可得k＝－3.16．解：由2m 2－5m －1＝0知m ≠0. 因为m ≠n ，所以11m n ≠. 所以21520m m +-=. 根据21520m m +-=与21520n n +-=的特征，可知1m 与1n 是方程x 2＋5x －2＝0的两个不相等的实数根． 所以根据根与系数的关系，得115m n+=-.。
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24.3 一元二次方程根与系数的关系
班级： 姓名： 成绩：
一、单选题
1．一元二次方程两根之和为6，两根之差为8，那么这个方程为（ ）
A ．2670x x --=
B ．2670x x -+=
C ．2670x x +-=
D ．2670x x ++=
2．已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ）
A ．﹣3
B ．1
C ．3
D ．﹣1
3．已知a,b 是一元二次方程2320x x -+=的两根，则a 2b +ab 2的值是（ ）
A ．-1
B ．-6
C ．5
D ．6
4．关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+1=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣2
5．关于x 的一元二次方程kx 2+4x ﹣2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k≥﹣2
B ．k ＞﹣2且k≠0
C ．k≥﹣2且k≠0
D ．k≤﹣2
6．已知一元二次方程x 2+bx+c=0的两根分别为2和3，则b,c 的值分别为（ ）
A ．5，6
B ．-5，-6
C ．5，-6
D ．-5，6
7．下列k 的值中,使方程x 2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．两个根都是自然数
D ．无实数根
9．关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k 值是（ ）
A ．﹣1
B ．±2
C ．2
D ．﹣2
10．己知实数m ，n 满足23670m m +-=，23670n n +-=，且m n ≠，则=+n
m 11（ ） A ．6
7 B ．-3
C ．3
D ．7 11．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足
12
111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或1
12．若1x ，2x 是方程2220120x x --=的两个实根，则代数式2112122x x x x +⋅-的值为（ ）
A ．0
B ．-2012
C ．2012
D ．4024
13．已知一元二次方程x 2﹣2018x+10092=0的两个根为α，β，则求得α2β+αβ2=（ ）
A ．10093
B ．2×
10093 C ．﹣2×10093 D ．3×10093 14．设20x px q -+=的两实根为α，β，而以2α，2β为根的一元二次方程仍是20x px q -+=，则数对(),p q 的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．0
15．关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22(1)(1)2m n -+-≥；③1221m n -≤-≤，其中正确结论的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
16．若方程230x x a --=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是________．
17．关于x 的方程()2210mx m x m -++=有两个实根，则实数m 的取值范围是________． 18．设m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则23m m n ++=________．
19．已知α、β是关于x 的一元二次方程()22
230x m x m +-+=的两个不相等的实数根，且满足1αββα
+=-，则m 的值是________． 20．方程2310x x ++=的两个根为α、β
________． 21．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：*u v uv v =+．若关于x 的方程()1**4x a x =-
有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是________．
22．若关于x 的一元二次方程2kx 4x 30--=有两个不相等的实数根，则非正整数k 的值是______．
三、解答题
23．设一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2，由求根公式x 1，2可推出x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=c a
，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程x 2﹣5x+3=0的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）α+β= ，α•β= ；
（2）1
1
αβ+；
（3）2α2﹣3αβ+10β．
24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+2k ﹣1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．
（1）求k 的取值范围；
（2）若x 1﹣x 2=2，求k 的值．
25．已知关于x 的方程222(3)410.x k x k k --+--=
（1）若这个方程有实数根，求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足2212127x x x x +=+,求实数k 的值.
26．如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x 的方程()2
00x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b +的值；
（3）已知a 、b 、c 均为实数，且0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．
27．已知：关于x 的方程()22
245x m x m m ++++=0没有实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）若关于x 的一元二次方程()2
230mx n x m +-+-=有实数根，求证：该方程两根的符号相同； （3）设（2）中方程的两根分别为α、β，若:1:2αβ=，且n 为整数，求m 的最小整数值．
参考答案
1-5.ADDAC
6-10.DAADA
11-15.ABBBD 16.9
4a >-
17.m≥-1
4且m≠0
18.3
19.无实数值
20.3
21.0a >或1a <-
22.-1
23.（1）5；3；（2）5
3；（3）35．
24.（1）k<5
2 ;(2)2
25.（1）k≤5；（2）4.
26.（1） ()2100nx mx n ++=≠； ()2 15；（3）正数c 的最小值为4．
27.解:（1）∵关于x 的方程()22245x m x m m ++++没有实数根， ∴()22(24)4150m m m =+-⨯⨯+<，
∴4m >，
∴m 的取值范围是4m >；
（2）由于方程()2230mx n x m +-+-=有两个实数根可知0m ≠， 当4m >时，3
0m m ->，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．
（3）由已知得：0m ≠，2n m αβ-+=-，3m m αβ-⋅=．
∵:1:2αβ=， ∴23n m α-=-，23
2m a m -=．
22(2)392n m m m --=，即()29
(2)32n m m -=-．
∵4m >，且n 为整数， ∴m 为整数；
当6m =时，29
(2)63812n -=⨯⨯=．
∴m 的最小值为6．。