数学解题的有意义学习

数学解题的有意义学习涂荣豹南京师范大学数学与计算机科学学院摘 要：解决数学问题的学习是寻求解决数学问题方法的一种心理活动，是一种高级形式的学习活动。

数学解题学习是有意义发现学习的数学解题认识观。

数学的解题认知结构由解题知识结构、思维结构和解题元认知结构组成，“理解题意和解题回顾”是数学解题有意义学习的最重要环节。

关键词：有意义学习；发现学习；解题认知结构；解题知识块；解题元认知结构解决数学问题的学习是寻求解决数学问题方法的一种心理活动，是一种高级形式的学习活动。

数学的解题活动主要是利用认知结构(知识结构和思维结构)对抽象的形式化思想材料进行加工的过程，是教学符号及数学命题在人大脑里的内部操作过程，也就是一种数学的思维活动。

数学问题的解决正是经过思维的中介作用而达到的。

数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会“数学地思维”。

学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义。

虽然有关数学解题学习的问题已有很多研究，但大多集中于具体的解题方法方面，本文则旨在对数学解题学习的心理学意义作深入探讨。

1．数学解题学习的基本认识观1．1 “尝试错误式”与“顿悟式”解决问题关于解决问题的心理学见解，行为主义心理学派倾向于用“尝试错误”来解释问题的解决，认知心理学派则倾向于用“顿悟”来解释问题的解决。

所谓“尝试错误武”解决问题，就是在遇到新的陌生问题时，学习者将自己经验中与新问题有关的材抖(有关的知识，有关的问题类型和有关的方法)集中起来做出尝试，或者按照新问题与熟悉问题的相同成分做出尝试，或者按照新问题的情境与过去遇到的情境的相似方面做出尝试，如果尝试失败，就进行新的尝试，从积累的全部经验中做出一个又一个尝试，直到问题解决。

“尝试错误式”解决问题是以“尝试一错误一再尝试……”的方式进行，直到“碰巧成功”，其中虽也有与过去经验联系的成分，但主要还是盲目的无定向过程。

所谓“顿悟式”解决问题，是指在遇到新的陌生问题时，学习者按照一定的“心向”致力于发现问题条件与目标之间在意义上的联系，并努力发现新问题与自己拥有的解题手段之间在意义上的联系，一旦发现这种意义上的联系，顿悟就产生了。

不过“顿悟”说的难圆其说在于，其所谓的“一旦发现”比较玄妙，尤如从天而降。

“顿悟式”的积极意义在于其比较注意重组情境的认知成分，这与现代认知心理学的“问题表征方式转变理论”强调对问题意义的理解和表征较为接近。

后一理论揭示，人在解决问题时，往往根据问题本身的提示来表征问题，并在相应的问题空间中进行搜索。

在这个问题空间中，潜在可能的新表征方式很多，一旦在搜索中发现“对等性”表征，顿悟就产生了。

显然这个“搜索”的过程不能排除“试误”的成分。

这两种解决问题的方式的本质差异在于：“尝试错误式”的解决问题，倾向于从问题的表面形式出发做出反应；“顿悟式”解决问题，是倾向于从问题的实质意义出发做出反应。

“尝试错误式”对解决问题的描述，其实并非不符合人的实际解题探索过程，关于这点认知学派也并不反对。

但“尝试错误式”解题的要害在于，学习者即使拥有解决新问题的各方面经验，也并不能保证能用这些经验去解决新问题，很可能是问题用某一种方式提出，学习者能够解决。

然而因为没有发现问题与解决问题的方法之间意义上的联系，于是当同一问题改用另一方式提出时，尽管所需要的旧经验是一样的，但学习者会因为找不到与旧经验意义上的联系而束手无策。

这也正是当前中学生所普遍存在的，在大量训练以后仍然不能有效解决问题的本质原因之所在。

实际上，没有绝对的“尝试错误”，也没有绝对的“顿悟”。

“尝试错误式”解决问题中，在经过了多次尝试以后，往往由于忽然发现了新问题与旧经验之间意义上的联系，而得到了问题的解决。

尽管这种意义上的联系是被动的发现，不是主动追求的结果，但这其中不能排除“顿悟”的成分。

另一方面，“顿悟式”解决问题，表面上看去解答是突然出现的，事实上却是经历了一定的、甚至相当曲折的过程，很难否认其中也有“尝试错误”的成分。

所以，表面上看不出是“尝试错误”的过程，也未必就是纯粹“顿悟式”的解决。

1．2 数学解题学习是有意义学习上述分析表明，在解题学习中，无论“尝试错误式”解题，还是“顿悟式”解题，都必然要与学习者已有的解题经验相联系，只是在“联系”的水平上存在差异(表面形式上的、意义上的)。

换句话说，学习者在解决问题的学习中，必须要以已有的解题经验为基础，同时要在新问题与旧经验之间建构起意义上的联系。

因此根据有意义学习的理论[1]，有理由认为数学解题学习是有意义学习，其实质应该是：学习者在数学新问题与自己解题认知结构中的适当知识之间，建构起非人为和实质性的联系。

学习者的解题认知结构中除了包括已有的解题经验以外，还包含有影响数学解题学习的其他因素。

数学解题作为有意义学习的过程，包含着新旧知识的同化与顺应，新旧问题意义的同化与顺应，新旧解题方法的同化与顺应，新旧解题策略的同化与顺应等。

所谓数学有意义的解题学习，也就是在所有这些新旧两方面之间，建构起非人为和实质性的联系的过程。

要实现数学解题的有意义学习，首先是新问题对学习者是否具有潜在的意义，也就是新问题所涉及的知识、方法、策略和思想应是学习者已经获得意义的，已经储存在学习者解题认知结构中的。

其次，学习者要运用达到一定水平的一般思维动作和数学特殊思维动作，将数学新问题与自己认知结构中的有关方面的“切合性”做出识别。

再次，学习者在新问题涉及的知识、类型、方法、策略、思想与原认知结构中的有关方面建构起非人为和实质性的联系，那么在问题得到解决的同时，原有的解题认知结构也得到了改组和重构。

目前的数学教学中，比较普遍的情况是教师提供的问题对学生常常不具有潜在意义，他们往往在新知识初次教学以后，就把升学要求的问题甚至是竞赛水平的问题拿给学生去做，这时学生不仅对新知识的同化过程还没完成，新知识的意义还没真正获得，而且就新问题涉及的策略、思想、方法等而言，学生的解题认知结构中可与之建立非人为和实质性联系的已有策略、思想、方法极少或者没有，因而学生在这样的解题中根本无法实现有意义学习。

强行而为之，只能是机械学习。

1.3 数学解题学习主要是有意义的发现学习如果数学知识可以通过有意义的接受学习来获得意义的话，那么数学解题则不可能通过接受学习来获得意义，即数学解题的各种方法、技巧、模型、策略和思想，不可能靠教师讲解几个例题。

把问题的现成解法呈现给学生，然后学生进行积极的“同化”就可以获得意义，就可以依葫芦画瓢地解决所有的问题。

这种解题学习只能是机械模仿，只能应付一些定式的常规问题。

数学解题学习最有效的方法是“在解题中学习解题”，即在尽可能不提供现成结论的前提下，亲自独立地进行数学解题活动，从中学习解题，学会“数学地思维”，哪怕解题最终没有到底，也会有所发现，有所体验。

因此数学的解题学习主要是有意义的发现学习。

数学解题学习是一个解题经验积累的过程，其中包括了各类“解题策略经验”、“问题策略经验”以及各种“方法和技巧性经验”。

解题策略经验包括有意向性策略、合情推理策略和数学思想策略。

问题策略经验是关于一些典型问题的类型及其解决的基本方法。

这也是今后解题联想的基础。

但是这些方面经验不是依赖于记忆教师或者别人的传授，“经验、经验”，不“经”何能有“验”?没有亲身经历就不可能获得经验。

数学问题的解决往往在“一念之间”，这“一念”一旦点破，问题迎刃而解，这是数学解题学习的一个极为特殊之处。

根本的问题是，这“一念”是由别人点破，还是自己攻破?别人点破则毫无价值，自己攻破对解题学习才有积极意义。

数学解题的学习就是要练就这种“点石成金”之功，然而数学解题的“点石成金”之功，基本不是被教会的，而是独立感悟出来的，是在长期的亲身实践中积极探索、努力发现、不断概括、逐步积累才能获得的。

这无疑是一种典型的有意义发现学习的过程。

大凡解题能力较强的人，遇到稍难一点的问题绝不急于看解答，而是必先自己独立地作一番研究直至解决，正是说明了这个道理。

这样形成的经验才可能有较强的和广泛的迁移性。

所以解题经验的获得和积累必须通过有意义的发现学习才能实现，而对问题条件和结论的理解才可能与有意义的接受学习有关。

2. 数学题解学习的认知结构由于数学解题学习是有意义的发现学习，所以按照有意义学习理论，必然是，解题者已有的解题认知结构对整个解决问题的过程起着决定性的作用。

那么解题认知结构是怎样构成的呢?2.1 数学解题学习的认知结构数学的解题认知结构由解题知识结构、思维结构和解题元认知结构组成。

它是人的认知结构的一部分，也可看作是人的认知结构的子结构。

2.1.1 解题的知识结构任何数学的解题活动都与一定的知识背景相联系。

解决数学问题就要辨别问题、分析条件，这必然涉及数学有关的概念、定理、法则、公式等。

这些知识是任何探索技能所不能代替的。

因此，解题的一个必要前提就是解题者要拥有一个组织良好的数学知识结构。

波利亚指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。

良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至比知识的广泛更为重要……，把你记忆里的知识安放得有条不紊只会对你有更多的帮助。

”[2]可见组织良好的数学知识结构对数学解题学习十分重要。

组织良好的数学知识结构，应该丰富而广博，并按一定的网络结构组织得高度分化和综合贯通，这有利于在数学问题的内容与适当的数学知识之间建立非人为和实质性的联系。

所谓解题知识块[3]，就是将已解过的问题类型及其解决方法以形成整体、构成一定的“知识块”来掌握和储存。

象棋大师与常人相比，重要的区别在于，在象棋的布局和行棋方面，他们的头脑里贮存着大量的行棋“知识块”一一关于棋子各种布局的整体知识。

于是对弈时一旦出现一种布局可以纳入他的某一知识块时，对以后的每一步行棋，他就了如指掌了。

在数学解题学习中，也有一个“数学知识块”和“解题知识块”贮存的问题。

数学知识和解题知识“整块”地贮存，有利于知识的运用，有利于解题能力的提高，这种“知识块”越大、越多，解决数学问题的能力就越强。

例如，关于“三角函数大小与角的取值范围”的知识块，关于“函数及其图像、方程及其曲线的初等变换”的知识块，关于“直线的平行、垂直与直线抽象表达形式”的知识块等。

每个解题知识块都包括：问题的类型、基本数学模式、基本问题、一般的方法和特殊的技巧等。

2.1.2 解题知识块的形成形成数学的解题知识块有两种基本方式。

第一种方式是按照“归类”的方式形成解题知识块。

人们在过去的实践中所获得的知识，在头脑里往往是“归类”贮存的。

在面对一个问题时，总是遵循一个基本模式：先确定“类别”，即把当前的问题归结为先前已经认识的某一“类型”，进而借助这种“归类”，把贮在人脑里的关于这一类型问题的知识调动起来，从而为解决当前的问题提供必要的基础[3]。