数学解题的有意义学习

数学解题的有意义学习

涂荣豹

南京师范大学数学与计算机科学学院

摘 要：解决数学问题的学习是寻求解决数学问题方法的一种心理活动，是一种高级形式的学习活动。数学解题学习是有意义发现学习的数学解题认识观。数学的解题认知结构由解题知识结构、思维结构和解题元认知结构组成，“理解题意和解题回顾”是数学解题有意义学习的最重要环节。

关键词：有意义学习；发现学习；解题认知结构；解题知识块；解题元认知结构

解决数学问题的学习是寻求解决数学问题方法的一种心理活动，是一种高级形式的学习活动。数学的解题活动主要是利用认知结构(知识结构和思维结构)对抽象的形式化思想材料进行加工的过程，是教学符号及数学命题在人大脑里的内部操作过程，也就是一种数学的思维活动。数学问题的解决正是经过思维的中介作用而达到的。数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会“数学地思维”。学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义。虽然有关数学解题学习的问题已有很多研究，但大多集中于具体的解题方法方面，本文则旨在对数学解题学习的心理学意义作深入探讨。

1．数学解题学习的基本认识观

1．1 “尝试错误式”与“顿悟式”解决问题

关于解决问题的心理学见解，行为主义心理学派倾向于用“尝试错误”来解释问题的解决，认知心理学派则倾向于用“顿悟”来解释问题的解决。

所谓“尝试错误武”解决问题，就是在遇到新的陌生问题时，学习者将自己经验中与新问题有关的材抖(有关的知识，有关的问题类型和有关的方法)集中起来做出尝试，或者按照新问题与熟悉问题的相同成分做出尝试，或者按照新问题的情境与过去遇到的情境的相似方面做出尝试，如果尝试失败，就进行新的尝试，从积累的全部经验中做出一个又一个尝试，直到问题解决。“尝试错误式”解决问题是以“尝试一错误一再尝试……”的方式进行，直到“碰巧成功”，其中虽也有与过去经验联系的成分，但主要还是盲目的无定向过程。

所谓“顿悟式”解决问题，是指在遇到新的陌生问题时，学习者按照一定的“心向”致

力于发现问题条件与目标之间在意义上的联系，并努力发现新问题与自己拥有的解题手段之间在意义上的联系，一旦发现这种意义上的联系，顿悟就产生了。不过“顿悟”说的难圆其说在于，其所谓的“一旦发现”比较玄妙，尤如从天而降。“顿悟式”的积极意义在于其比较注意重组情境的认知成分，这与现代认知心理学的“问题表征方式转变理论”强调对问题意义的理解和表征较为接近。后一理论揭示，人在解决问题时，往往根据问题本身的提示来表征问题，并在相应的问题空间中进行搜索。在这个问题空间中，潜在可能的新表征方式很多，一旦在搜索中发现“对等性”表征，顿悟就产生了。显然这个“搜索”的过程不能排除“试误”的成分。

这两种解决问题的方式的本质差异在于：“尝试错误式”的解决问题，倾向于从问题的表面形式出发做出反应；“顿悟式”解决问题，是倾向于从问题的实质意义出发做出反应。 “尝试错误式”对解决问题的描述，其实并非不符合人的实际解题探索过程，关于这点认知学派也并不反对。但“尝试错误式”解题的要害在于，学习者即使拥有解决新问题的各方面经验，也并不能保证能用这些经验去解决新问题，很可能是问题用某一种方式提出，学习者能够解决。然而因为没有发现问题与解决问题的方法之间意义上的联系，于是当同一问题改用另一方式提出时，尽管所需要的旧经验是一样的，但学习者会因为找不到与旧经验意义上的联系而束手无策。这也正是当前中学生所普遍存在的，在大量训练以后仍然不能有效解决问题的本质原因之所在。

实际上，没有绝对的“尝试错误”，也没有绝对的“顿悟”。“尝试错误式”解决问题中，在经过了多次尝试以后，往往由于忽然发现了新问题与旧经验之间意义上的联系，而得到了问题的解决。尽管这种意义上的联系是被动的发现，不是主动追求的结果，但这其中不能排除“顿悟”的成分。另一方面，“顿悟式”解决问题，表面上看去解答是突然出现的，事实上却是经历了一定的、甚至相当曲折的过程，很难否认其中也有“尝试错误”的成分。所以，表面上看不出是“尝试错误”的过程，也未必就是纯粹“顿悟式”的解决。

1．2 数学解题学习是有意义学习

上述分析表明，在解题学习中，无论“尝试错误式”解题，还是“顿悟式”解题，都必然要与学习者已有的解题经验相联系，只是在“联系”的水平上存在差异(表面形式上的、意义上的)。换句话说，学习者在解决问题的学习中，必须要以已有的解题经验为基础，同时要在新问题与旧经验之间建构起意义上的联系。

因此根据有意义学习的理论[1]，有理由认为数学解题学习是有意义学习，其实质应该是：学习者在数学新问题与自己解题认知结构中的适当知识之间，建构起非人为和实质性的联

系。

学习者的解题认知结构中除了包括已有的解题经验以外，还包含有影响数学解题学习的其他因素。数学解题作为有意义学习的过程，包含着新旧知识的同化与顺应，新旧问题意义的同化与顺应，新旧解题方法的同化与顺应，新旧解题策略的同化与顺应等。所谓数学有意义的解题学习，也就是在所有这些新旧两方面之间，建构起非人为和实质性的联系的过程。 要实现数学解题的有意义学习，首先是新问题对学习者是否具有潜在的意义，也就是新问题所涉及的知识、方法、策略和思想应是学习者已经获得意义的，已经储存在学习者解题认知结构中的。其次，学习者要运用达到一定水平的一般思维动作和数学特殊思维动作，将数学新问题与自己认知结构中的有关方面的“切合性”做出识别。再次，学习者在新问题涉及的知识、类型、方法、策略、思想与原认知结构中的有关方面建构起非人为和实质性的联系，那么在问题得到解决的同时，原有的解题认知结构也得到了改组和重构。

目前的数学教学中，比较普遍的情况是教师提供的问题对学生常常不具有潜在意义，他们往往在新知识初次教学以后，就把升学要求的问题甚至是竞赛水平的问题拿给学生去做，这时学生不仅对新知识的同化过程还没完成，新知识的意义还没真正获得，而且就新问题涉及的策略、思想、方法等而言，学生的解题认知结构中可与之建立非人为和实质性联系的已有策略、思想、方法极少或者没有，因而学生在这样的解题中根本无法实现有意义学习。强行而为之，只能是机械学习。

1.3 数学解题学习主要是有意义的发现学习

如果数学知识可以通过有意义的接受学习来获得意义的话，那么数学解题则不可能通过接受学习来获得意义，即数学解题的各种方法、技巧、模型、策略和思想，不可能靠教师讲解几个例题。把问题的现成解法呈现给学生，然后学生进行积极的“同化”就可以获得意义，就可以依葫芦画瓢地解决所有的问题。这种解题学习只能是机械模仿，只能应付一些定式的常规问题。

数学解题学习最有效的方法是“在解题中学习解题”，即在尽可能不提供现成结论的前提下，亲自独立地进行数学解题活动，从中学习解题，学会“数学地思维”，哪怕解题最终没有到底，也会有所发现，有所体验。因此数学的解题学习主要是有意义的发现学习。

数学解题学习是一个解题经验积累的过程，其中包括了各类“解题策略经验”、“问题策略经验”以及各种“方法和技巧性经验”。解题策略经验包括有意向性策略、合情推理策略和数学思想策略。问题策略经验是关于一些典型问题的类型及其解决的基本方法。这也是今后解题联想的基础。