弯曲内力剪力图

② 弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为 负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
例：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 2
qL
q
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体，
1
1 a
2
图（a）
b
如图（b）示。
qL A M1 x1 Fs1
F
x
y
0 : qL Fs1 0 Fs1 qL
超静定梁：仅由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部 支反力。
例. 贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10 mm，
钢的密度为：7800kg/m³ ，液体的密度为：1000kg/m³,液面高
0.8m，外伸端长 1m，试画贮液罐的计算简图。
h 80 cm
106.3 1.855rad
FRA
1m
FRB
4m
F s图
–
20 kN

1.5m
–
25 kN
( x2 1) 2 40 q 2
2 25 x2 5 x2
31.25 kN.m 20 kN.m M图

20 kN.m
–
§4-4 载荷集度 、剪力和弯矩间的关系及应用
一、载荷集度、剪力和弯矩间的关系
dx Fs(x)+dFs(x) M(x)
1 2
Fs Fs ( x) —剪力方程
M M ( x) —弯矩方程
即内力与截面位置坐标 x 之 间的函数关系式。
B 2m
FRA
FRB
2m
D
x
4m
2. 剪力图和弯矩图
剪力图—— Fs Fs ( x) 的图线表示。
Fs
M
x
弯矩图—— M M ( x)的图线表示。
x
例1. 已知 q, l，求图示梁的内力方程，并画出内力图。
对称轴
FAy
FBy
对称弯曲时，由于梁变形后的轴线所在平面与外力所在
平面相重合，因此也称为平面弯曲。
起重机大梁
工 程 实 例
火车轮轴
工 程 实 例
§4-2 受弯杆件的简化
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分
析计算，应进行必要的简化，抽象出梁的计算简图。
1. 构件本身的简化: 通常以梁的轴线代替梁。 2. 载荷简化: 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化：
–
a F l
x
M

x
a CB段：Fs ( x) RA F F l Fb Fa M ( x) x F ( x a) (l x) l l
③ 根据方程画内力图
讨论：集中力作用的截面
x F x
A
RA
Fs
C b
B
Fs 图：发生突变，突变值
b a F F F l l 突变方向：从左向右
y
M
A
0 : qLx1 M 1 0
图（b）
M 1 qLx1
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
1
2
q
F
y
0 : qL Fs 2 q( x2 a) 0
y
1 a
x
2
图（a）
b
Fs 2 q( x2 a L)
M
B
0:
qL
q
B M2
1 qLx2 M 2 q ( x2 a ) 2 0 2
几何解释：弯矩图上某点处的切线斜率等于梁上对应位置处剪
力的大小。
dx
弯矩与荷载集度的关系是：
M(x)
Fs(x)+dFs(x) C
dM 2( x) q( x) 2 dx
例7. 求图示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：① 求支反力：
F=20 kN
x1
M e=40 kN.m
q=10 kN/m
B
FRA 35kN ; FRB 25kN
C
FRA
1m 15 kN
A
D
x2
② 剪力方程：分段
FRB
4m
CA段： Fs ( x1 ) 20
AB段：
Fs ( x2 ) 20 FRA 10 ( x2 1) 25 10x2
a
b F l
来自百度文库
作图时，对 –
x
，向下

ab F l
突变，与力的方向一
致。 M 图：尖角
x
a F l
M

例3. 已知 l= a+ b，求图示梁的内力方程，并画出内力图。
x Me
解：① 求支反力 B b
RB
A
RA
Fs
a
x
C
Me l
RA
Me M ; RB e l l
② 内力方程：分段
Me AC段： l M M ( x) e x l Me CB段： Fs ( x) l M M ( x) e x M e l Fs ( x )
2
1 0.52 (1.855 sin106.3 )] 1000 9.8 2 9617.5 kN m
§4-3 剪力和弯矩
一、弯曲内力 如图，F，a，l。求：距 A l F a F B
A端 x 处截面上内力。
解：① 求约束力
F
x
0:
0:
FAx 0
Fa FBy l

x
M
a Me l
–
b Me l
x
③ 根据方程画内力图
x
Me
讨论：集中力偶作用的截面
B b
RB
A
RA
Fs
Fs 图：不受影响
M 图：发生突变，突变值
a b Me Me Me l l
a
x
C
Me l

x
M
突变方向：从左向右
作图时，对
突变。
向下
a Me l
–
b Me l
x
例4. 求图示梁的内力方程，并画出内力图。 MO L P 解：① 求支反力 M(x)
( 一侧）
M 2 FRA 4 q 4 2 10 6 kN m
对外力产生的力矩，外力 ，取正；反之取负。 对力偶，左侧： ，取正号；反之取负。
§4-4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程
q=2 kN/m A M e=10 kN.m 1 2 F=2 kN C
M Mc
( 一侧）
对外力产生的力矩，向上外力 对力偶，左侧：
，取正；反之取负。
，取正；反之取负。
例：求图示梁1--1、2--2截面处的内力。
M e=10 kN.m q=2 kN/m A
1
2
解：① 求支反力
F=2 kN
FRA 3kN ; FRB 7kN
D
C
1
2
B
FRA
4m
FRB
2m 2m
x
RA Fs
q0 L 6
L
RB

3 L 3
–
3q0 L2 27
x
q0 L 3
M

x
小结：由梁的内力方程画内力图的步骤：
① 求支反力（悬臂梁可 不求）：
A q Me F B 1m
M M
B
0 求 FRA 0 求 FRB
C 4m 1m
D 2m
E
FRA
FRB
A
② 分段，并写出各段的内力方程： 分界点：集中力、集中力偶的作用点；分布载荷的起点 和终点；支座；自由端。 ③ 画剪力图和弯矩图：标出分界点截面剪力、弯矩的数值； Fs = 0 截面上弯矩的数值。
第四章 弯曲内力
§4–1 弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩
§4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4–6 平面刚架的内力图 §4–7 按叠加原理作弯矩图
§4-1 弯曲的概念和实例
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时 ,轴
② 求内力（简便方法）
Fs1 FRA q 4 3 2 4 5 kN Fs 2 FRA q 4 5 kN
Fs Fy
(一 侧 ）
左侧：向上外力 ，取正；反之取负。
M1 FRA 4 q 4 2 4 kN m
M Mc
q(x)
C
Fs(x)
q(x)
M(x)+dM(x)
x
dx
0 对dx 段进行平衡分析， Fy：
y
Fs ( x) q( x)dx Fs ( x) dFs ( x) 0
dFs x qx dx
几何解释：剪力图上某点处的切线斜率等于梁上对应位置处
载荷集度的大小。
1 2 M 0 : F ( x )d x q ( x )d x M ( x) [ M ( x) dM ( x)] 0 C s 2 dM ( x) Fs ( x) dx
FOy P ; MO PL
FOy
Fs
x
P
Fs(x)
② 写出内力方程
M
Fs ( x) FOy P
M ( x) FOy x M O
x
P ( x L)
PL
–
x
③ 根据方程画内力图
例5. 求图示梁的内力方程，并画出内力图。 q q 解：① 写出内力方程 L Fs(x) M ( x)
F s图
–
20 kN

1.5m
–
-25 kN
Fs= 0截面位置的确定：
15 25 x 4 x x 1.5m
F=20 kN
x1
M e=40 kN.m
q=10 kN/m B
③ 弯矩方程：分段
C
A
D
x2
CA段： M ( x1 ) 20 x1
AB段：
M ( x2 ) 20 x2 FRA ( x2 1)
1 M 2 q( x2 a) 2 qLx 2 2
x2 Fs2
图（c）
二、求指定截面上剪力和弯矩的简便方法 某一指定截面上剪力等于该截面一侧所有外力在梁轴线的
垂线（y轴）上投影的代数和。即
Fs Fy
(一 侧 ）
左侧：向上外力 ， 取正；反之取负。 某一指定截面上弯矩等于该截面一侧所有外力（含力偶） 对截面形心之力矩的代数和。即
M

x
零。
例2. 已知 l= a+ b，求图示梁的内力方程，并画出内力图。
x
F a
x
解：① 求支反力 B b
RB
A
RA
Fs
C
b a RA F ; RB F l l
② 内力方程：分段 AC段： Fs ( x) RA
b F l b M ( x) RA x Fx l
b F l

ab F l
x
Fs
Fs ( x) qx
1 2 M ( x) qx 2
– M –
x qL
② 根据方程画内力图
x
qL2 2
例6. 求图示梁的内力方程，并画出内力图。 qx
q0 解：① 求支反力 q0L q0L RA ; RB 6 3 x qx q0 L ② 内力方程 q0 2 1 Fs ( x) RA q x x ( L 3x 2 ) 2 6L 1 1 M ( x) RA x q x x x 2 3 qx 0 ( L2 x 2 ) 6L ③ 根据方程画内力图
q A
RA
Fs
解：① 求支反力
x
B l
RB
RA
ql ql ; RB 2 2
② 内力方程
ql qx 2 x ql qx 2 M ( x ) R A x qx x 2 2 2 Fs ( x) RA qx
ql 2
–
ql 2 8
x
ql 2
③ 根据方程画内力图 讨论： Mmax截面上剪力为
剪力 ∴ 梁的内力 弯矩 FAy
A
Fs C Fs M M F
1. 弯矩 M ： 构件受弯时，位于纵向 对称平面内的内力偶矩。
C
FBy
2. 剪力Fs ：构件受弯时，与横截面相切的内力。
3. 内力的正负规定: ① 剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Fs (+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
FAy F (l a) l
FAx A
FAy
B FBy
M
A
Fy 0 :
② 求内力 — 截面法 FAx A
F (l a) Fy 0 : Fs FAy l F (l a) M C 0 : M FAy x l x
m
F
B
FAy
m
x
FBy
解：
q — 均布载荷
106.30 1.855 rad
g A2 L 2 g L
mg Vg A L q
1
1
L
L
A1 1 g A2 2 g
1 2 Dt 1 g [R R ( sin )] 2 g 2 3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52
FAx
A
A
FAy
固定铰支座 A
FAy
活动铰支座 MA FAy A
FAx
固定端（平面）： 3个约束力 4. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如下述三种基本 形
静定梁的三种基本形式：
M —集中力偶
① 简支梁 ② 悬臂梁 ③ 外伸梁 q — 均布载荷 P — 集中力 q(x) — 分布载荷
线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。 2. 对称弯曲： 具有纵向对称面 （几何特点）; 外力都作用在此面内，且垂直于轴线（受力特点）; 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线（变形特点）;
杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同 一平面内。
P1
q
P2
Me
轴线
纵向对称面