弯 曲 内 力

简支梁 悬臂梁 外伸梁
第二节 梁的内力计算
一、剪力和弯矩
已知如图所示，F、a、l。
求距A端x处截面上内力。 （1）求外力
a A
l
X 0 , FX A 0
mA 0 ,
FB
Fa l
F(l a)
Y 0 , FYA l
FXA A FYA
F B
F B
FB
（2）求内力，应用截面法
Y
0,
A RA
M
1 2
x
C
12
a
a
4q 3
D
B
3
B
4
RB
a
解 （1）计算支座反力。
由 MB 0 得
FA
• 2a
M
1 2
qa2
0
FA
M 2a
1 4
qa
由 Y 0 得
FA FB qa 0
FB
M 2a
5qa 4
由 MA 0
校核
M
5qa2 2
FB • 2a 0
可据此判断支座反力计算正确。
（2）计算剪力。 如图所示，设1-1截面上的剪力为Q1（按规定其图示
Q FA qx
Q
M
M A
qx2 2
FA
•
x
(0 x l)
FA （+）
M
l
2
x
x (3)根据方程画内力图。
Q ql max
ql 2 2
RA
ql 2 8
RA
M ql2 max 2
例11-3 已知图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。 作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
5 3
P
x3 2a, 3a
（3）绘制Q图和M图。 显然在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线 段，如图所示； 弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为 三条直线段，如图所示。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
5
Qmax
P 3
5
M max
Pa 3
当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁 的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样， 就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪 力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷 共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法。
M3 FA • 2a M
M 4 FA • 2a M
由以上例题可以得出结论：
❖ （1）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号， 与坐标系相一致。
❖ （2）计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以 计算简便为原则。
❖ （3）集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩相同。 ❖ （4）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析 计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 杆件的简化 通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。 折杆或曲杆可用中心线代替。
2. 载荷的分类 作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类型：
集中载荷、均布载荷和集中力偶。
q
M
F
3.支座的分类 m
内力的正负规定:
（1）剪力Q。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
（2）弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯 矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的 作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
弯曲变形——杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时, 其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。
梁——以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
常见梁的截面形状
平面弯曲——当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁 变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称 为平面弯曲。
F1
q
F2
M
纵向对称面
二、梁的计算简图
Q FYA
F(l a) l
mC 0 , M FYA x
m FXA A
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
为正向），可得
Y 0 FA Q1 0
y
1 M1
C
x
Q1 FA
A
a
Q1
同理可得 Q2 FA
FA
1
Q3 FA
Q4 FA FB
(3)计算弯矩。 如图所示，设1-1截面上的弯矩为M1（按规定其图示为 正向），可得
MC 0
FA • a M1 0
同理可得
M1 FAa
M 2 FA • a M
工
程
力 学
弯曲内力
弯曲内力
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图 第二节 梁的内力计算 第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
教学目的和要求
❖ 梁的弯曲变形是工程实际中非常重要的一种构件变形形式，本章主要 介绍梁在弯曲变形时的内力计算，包括剪力和弯矩的计算。学习时要 重点掌握采用截面法确定剪力和弯矩的计算，能够做出正确的剪力图 和弯矩图，熟悉作剪力图和弯矩图的具体方法。同时要掌握载荷集度、 剪力和弯矩之间的微分关系。
❖ 剪力、弯矩方程法
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
剪力图 弯矩图
例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为 l。求作此梁的剪力图和弯矩图。
A
q
B
x LL
解（1）求支座反力。
Y 0
MA 0
FA ql 0
ql 2 MA 2 0
FA ql
M
A
ql 2 2
(2)写出内力方程。
教学重点
❖ 截面法求剪力和弯矩； ❖ 剪力方程和弯矩方程； ❖ 剪力图和弯矩图； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
教学难点
❖ 剪力和弯矩的方向判定； ❖ 剪力方程和弯矩方程的列法； ❖ 三种作剪力图和弯矩图的方法； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念 工程实例
解 （1）求支座约束反力。
Y 0 FA FB P 2P 0
M B 0 FA 3a P 2a 2P a 0
得 FA=4P/3，FB=5P/3
（2）列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1
FA
4 3
P
Q2
x2
FA
P
1 3
P
x1 0, a x2 a, 2a
Q3
x3
FA
P
2P
弯矩不同。
二、剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程
内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M (x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
剪力图
Q Q(x) 的图线表示；
弯矩图
M M (x) 的图线表示。
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不
同而变化
剪力图、弯矩图