弯 曲 内 力
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材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
平面曲杆的弯曲内力
q
MA
B (a)
l
B
+
+
M0
+
M0
(b)
MA
(c)
(d)
MA
例题 1
F
q
A l
叠加法作弯矩图
F
BA
＋
B
A
l
F
F+qL
0.5qL2+FL
FL
q B
l
qL
0.5qL2
例题 2
叠加法作弯矩图
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
例题 3
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m
2m 2m 2m
4
-
例4 叠加法作图示简支梁的弯矩图。
2F
A C
l/2
l/2
F B
l/2
Fl / 2
Fl / 4 M
Fl / 4
Fl / 2
例5：叠加法作弯矩图 F=ql
F
=
=
+
ql2
++
ql2 / 2
叠加原理绘制弯矩图
A
1. 叠加原理：当梁在各项荷载 作用下某一横截面上的弯矩等 于各荷载单独作用下同一横截 面上的弯矩的代数和。
刘鸿文材料力学 I 第6版_4_弯取内力
43
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
平面弯曲1(内力及内力图)
1
ΙΙ. ΙΙ. 梁的计算简图
一、载荷和约束力的类 型
1.集中力 2.集中力偶 3.分布力
F
m
q
二、梁的支座类型
1.固定铰支座
2.活动铰支座
3.固定端
三、梁的类型
1.简支梁
2.外伸梁 3.悬臂梁
约束力不超过三个， 以上三种梁统称为 : 静定梁（约束力不超过三个， 可由平衡方程求解。） 可由平衡方程求解。） 2
11
由外力写内力
力引起正剪力； 1.相对于横截面来说，左 段向上、右段向下的外 力引起正剪力； 相对于横截面来说， 段向上、 反之则反。 反之则反。
2.相对于横截面来说，左 、右段向上的外力引起 正弯矩； 相对于横截面来说， 正弯矩； 反之则反。 反之则反。
3.相对于横截面来说，外 力矩或外力偶，左段顺 时针转， 相对于横截面来说， 力矩或外力偶， 时针转， 反之则反。 右段逆时针转引起正弯 矩；反之则反。
3 .根据方程作图
Pa (a<x<l) l Pa (a ≤ x ≤ l ) M = FB ( l − x ) = (l − x ) l
Pa l
x
0
+
M
Pab l
8
例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 解：
FA = FB = ql 2
18
例. 作图示梁的Fs、M图 作图示梁的F
y
解：
Fa Fa FA = (↓),FB = + F（↑） l l
x1
A
B
x2
C
FxBiblioteka axlAB段
Fa Fs = − l Fa M=− x l
ΙΙ. ΙΙ. 梁的计算简图
一、载荷和约束力的类 型
1.集中力 2.集中力偶 3.分布力
F
m
q
二、梁的支座类型
1.固定铰支座
2.活动铰支座
3.固定端
三、梁的类型
1.简支梁
2.外伸梁 3.悬臂梁
约束力不超过三个， 以上三种梁统称为 : 静定梁（约束力不超过三个， 可由平衡方程求解。） 可由平衡方程求解。） 2
11
由外力写内力
力引起正剪力； 1.相对于横截面来说，左 段向上、右段向下的外 力引起正剪力； 相对于横截面来说， 段向上、 反之则反。 反之则反。
2.相对于横截面来说，左 、右段向上的外力引起 正弯矩； 相对于横截面来说， 正弯矩； 反之则反。 反之则反。
3.相对于横截面来说，外 力矩或外力偶，左段顺 时针转， 相对于横截面来说， 力矩或外力偶， 时针转， 反之则反。 右段逆时针转引起正弯 矩；反之则反。
3 .根据方程作图
Pa (a<x<l) l Pa (a ≤ x ≤ l ) M = FB ( l − x ) = (l − x ) l
Pa l
x
0
+
M
Pab l
8
例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 解：
FA = FB = ql 2
18
例. 作图示梁的Fs、M图 作图示梁的F
y
解：
Fa Fa FA = (↓),FB = + F（↑） l l
x1
A
B
x2
C
FxBiblioteka axlAB段
Fa Fs = − l Fa M=− x l
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
材料力学第6章 弯曲内力
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
精品文档
6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
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6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
精品文档
6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算弯曲力学梁是结构工程中常见的构件，用于承受横向力和弯矩。
在设计和分析梁的弯曲变形和内力时，了解梁的性质和力学行为至关重要。
本文将介绍弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算的相关知识。
1. 梁的基本概念在讨论弯曲变形和内力计算之前，我们首先需要了解梁的基本概念。
梁是一种长条形结构，由材料制成，其主要作用是承受横向力和弯矩。
梁通常用于支撑和传递载荷，使得荷载能够安全地传递到地基或其他支撑结构。
2. 弯曲变形弯曲力学梁在受到横向力作用时会发生弯曲变形。
弯曲变形可分为弯曲线的形状变化和截面各点的位移变化两个方面。
2.1 弯曲线的形状变化当横向力作用于梁上时，梁会呈现出一条弯曲线。
这条弯曲线称为弯曲曲线，弯曲曲线的形状取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
常见的弯曲曲线形状包括凸曲线和悬臂曲线。
2.2 截面各点的位移变化在梁的弯曲过程中，截面上的各点将发生位移变化。
位移变化可分为纵向位移和横向位移两个方向。
纵向位移是指垂直于弯曲平面的位移，即梁的弯曲垂直方向的变形。
横向位移是指沿弯曲平面的位移，即梁的弯曲平面内的变形。
这些位移变化会导致梁的轴线发生曲率，截面上的各点相对于轴线发生旋转。
3. 内力计算在弯曲过程中，梁内部发生了一系列力的变化，包括弯矩、剪力和轴力。
这些内力是用来描述梁材料内部应力状态的。
内力计算是分析和设计梁结构的重要一步。
3.1 弯矩弯矩是梁内部发生的一对等大反向的力矩。
在弯曲力学中，弯矩是描述梁抵抗弯曲变形的重要参数。
弯矩的大小和分布取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
3.2 剪力剪力是梁内部横向力的一种表现形式。
在弯曲力学梁中，剪力是垂直于梁轴线的力，用来描述梁材料负责承受横向力的能力。
3.3 轴力轴力是梁内部沿轴线方向的力。
当梁受到纵向拉力或压力时，轴力将发生变化。
轴力的大小和分布取决于梁的受力情况。
4. 弯曲梁的弯曲变形和内力计算方法在实际工程中，我们可以通过解析法或数值计算法来计算弯曲梁的弯曲变形和内力。
工程力学第十一章
第十一章 弯曲内力
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向 下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截 面到极右侧截面发生向下 （上）的突变，剪力突变 的大小等于该集中力的大 小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量 例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向 下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截 面到极右侧截面发生向下 （上）的突变，剪力突变 的大小等于该集中力的大 小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量 例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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简支梁 悬臂梁 外伸梁
第二节 梁的内力计算
一、剪力和弯矩
已知如图所示，F、a、l。
求距A端x处截面上内力。 （1）求外力
a A
l
X 0 , FX A 0
mA 0 ,
FB
Fa l
F(l a)
Y 0 , FYA l
FXA A FYA
F B
F B
FB
（2）求内力，应用截面法
Y
0,
❖ 剪力、弯矩方程法
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
剪力图 弯矩图
例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为 l。求作此梁的剪力图和弯矩图。
A
q
B
x LL
解（1）求支座反力。
Y 0
MA 0
FA ql 0
ql 2 MA 2 0
FA ql
M
A
ql 2 2
(2)写出内力方程。
M3 FA • 2a M
M 4 FA • 2a M
由以上例题可以得出结论：
❖ （1）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号， 与坐标系相一致。
❖ （2）计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以 计算简便为原则。
❖ （3）集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩相同。 ❖ （4）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但
为正向），可得
Y 0 FA Q1 0
y
1 M1
C
x
Q1 FA
A
a
Q1
同理可得 Q2 FA
FA
1
Q3 FA
Q4 FA FB
(3)计算弯矩。 如图所示，设1-1截面上的弯矩为M1（按规定其图示为 正向），可得
MC 0
FA • a M1 0
同理可得
M1 FAa
M 2 FA • a M
Q FA qx
Q
M
M A
qx2 2
FA
•
x
(0 x l)
FA （+）
M
l
2
x
x (3)根据方程画内力图。
Q ql max
ql 2 2
RA
ql 2 8
RA
M ql2 max 2
例11-3 已知图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。 作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
内力的正负规定:
（1）剪力Q。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
（2）弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯 矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的 作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析 计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 杆件的简化 通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。 折杆或曲杆可用中心线代替。
2. 载荷的分类 作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类型：
集中载荷、均布载荷和集中力偶。
q
M
F
3.支座的分类 m
5 3
P
x3 2a, 3a
（3）绘制Q图和M图。 显然在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线 段，如图所示； 弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为 三条直线段，如图所示。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
5
Qmax
P 3
5
M max
Pa 3
当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁 的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样， 就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪 力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷 共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法。
教学重点
❖ 截面法求剪力和弯矩； ❖ 剪力方程和弯矩方程； ❖ 剪力图和弯矩图； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
教学难点
❖ 剪力和弯矩的方向判定； ❖ 剪力方程和弯矩方程的列法； ❖ 三种作剪力图和弯矩图的方法； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念 工程实例
Q FYA
F(l a) l
mC 0 , M FYA x
m FXA A
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
解 （1）求支座约束反力。
Y 0 FA FB P 2P 0
M B 0 FA 3a P 2a 2P a 0
得 FA=4P/3，FB=5P/3
（2）列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1
FA
4 3
P
Q2
x2
FA
P
1 3
P
x1 0, a x2 a, 2a
Q3
x3
FA
P
2P
工
程
力 学
弯曲内力
弯曲内力
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图 第二节 梁的内力计算 第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
教学目的和要求
❖ 梁的弯曲变形是工程实际中非常重要的一种构件变形形式，本章主要 介绍梁在弯曲变形时的内力计算，包括剪力和弯矩的计算。学习时要 重点掌握采用截面法确定剪力和弯矩的计算，能够做出正确的剪力图 和弯矩图，熟悉作剪力图和弯矩图的具体方法。同时要掌握载荷集度、 剪力和弯矩之间的微分关系。
A RA
a
a
4q 3
D
B
3
B
4
RB
a
解 （1）计算支座反力。
由 MB 0 得
FA
• 2a
M
1 2
qa2
0
FA
M 2a
1 4
qa
由 Y 0 得
FA FB qa 0
FB
M 2a
5qa 4
由 MA 0
校核
M
5qa2 2
FB • 2a 0
可据此判断支座反力计算正确。
（2）计算剪力。 如图所示，设1-1截面上的剪力为Q1（按规定其图示
弯曲变形——杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时, 其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。
梁——以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
常见梁的截面形状
平面弯曲——当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁 变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称 为平面弯曲。
F1
q
F2
M
纵向对称面
二、梁的计算简图
弯矩不同。
二、剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程
内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M (x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
剪力图
Q Q(x) 的图线表示；
弯矩图
M M (x) 的图线表示。
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不
同而变化
剪力图、弯矩图