抽签摸奖有先后

抽签摸奖有先后，对各人公平么？
315700 浙江省象山中学
张宗余
在新教材第十章“概率”一节中，安排两篇材料，其中有一篇是“抽签有先后，对各人公平吗？”。

恰巧期间象山举行为期3天的2600万福利彩票大抽奖，笔者结合本节内容，以摸奖的问题为背景，设计了这节阅读课，促使学生对情景的感性认识，使之课堂之初就激起了学生对问题讨论，将研究性学习引进课堂。

问题： “何时去摸奖？抽奖有先后，对各人公平吗。

”
将这一问题先抛于学生。

“后抽人是否知道前抽人的结果，”当然的成为学生争议的关键点，让学生自行设计问题解决，“授之与鱼，不如授之与渔。

”，下面是两组学生设计的方案：
方案一：前提是后抽人不知道先抽人抽出的结果。

特例1：从5张彩票中仅有1张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗？
学生分析：对第1个抽票者来说，他从5张票中任抽1张，得到奖票的概率
5
1
1=
P 。

为了求得第2个抽票者抽到奖票的概
率，我们把前2人抽票的情况作一整体分析，从5张票中先后抽出2张，可以看成从5个
元素中抽出2个进行排列，它的种数是22A ，
而其中第2人抽到奖票的情况有1
411A C 种，
因此，第2人抽到奖票的概率：
5
1251
1142==A C A P 。

通过类似的分析，可知第3个抽票者
抽到奖票的概率5
1
3
52
4113==A A C P 。

如此下去，我们可求得第4个抽票者和第5个抽票者抽到奖票的概率也都是
5
1。

纵向推广1：
一般地，如果在n 张票中有1张奖票，n 个人依次从中各抽1张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，那么第i 个抽票者（i=1，2，…，n ）抽到奖票的概率：
n
A A C P n n n n i 11111==--。

即每个抽票者抽到奖
票的概率都是
n
1
，也就是说，抽到奖票的概率与抽票先后顺序无关。

特例2：如果在5张票中有2张奖票，5个人依次从中各抽1张，我们来研究一下各个抽票者抽到奖票的概率。

显然第1个抽票者抽到奖票的概率是
5
2
，下面来求第2个抽票者抽到奖票的概率，在前2个抽票者抽票的所有2
5A 种情况
中，第2个抽票者抽到奖票的情况有1
4
11A C 种，因此，第2个抽票者抽到奖票的概率是：
5
2
251
4122=
⋅=A A C P 。

同理，可求得以后各个抽票者抽到奖票的概率也都是5
2。

纵向推广2：
一般地,假定在n 张票中有2张奖票（n ≥2）,n 个人依次从中各抽一张,且后抽人不知道先抽人抽出的结果，那么第i 个抽票者（i=1,2,…,n ）抽到奖票的概率是：
n
A A C P i n i n i 211
12=⋅=--。

这就是说，每人抽到奖票的概率者是
n
2
，与抽票先后顺序无关。

推广到一般, 假定在n 张票中有k 张奖票(n ≥2),n 个人依次从中各抽一张,且后抽人不知道先抽人抽出的结果,那么第i 个抽票者(i=1,2,…,n)抽到奖票的概率是：
n k C A C P i
n
i n k i =⋅=--11
1。

显然学生提出的方案与例题的设想与课本的阅读材料雷同，但在设计过程中，从特殊到一般，从类比到模仿，从归纳到猜想，处处都体现学生探索与创新的精神。

而且学生的奇思妙想，往往教师所料不及的。

我们还可以从另外一个角度来考虑这一问题，我们将n 个彩票随机地放到编号为1~n 的盒子中，其中k 张中奖, 一盒一张（如图）。

事实
上，n 个张随机地放到编号为1~n 的盒子中，
一盒一签，共有n
n A 种可能放法，第i 盒内有中奖票的可能放法为111--n n k A C 种，故第i
内有中奖票的可能性为n
k A A C n
n n n i k =--1
1
，即每个盒子有中奖的可能性是一样的。

教学过程中，引导学生根据自己的体验，并用自己的思维方式重新创造出有关的数学知识。

在特例1中，学生用“↙”表示“没有抽到中奖”，“↘”表示“抽到中奖”。

画出图2所示的树形图，由图可知，第一或第
二、三、四、五次抽到彩签的可能性均为51
，即不论先抽还是后抽，抽到可能性均为5
1
，
抽签次序不会影响抽签的结果。

图 2
用树形图，使抽象问题具体化、直观化， 其实质是表示事件A 在事件B 发生下的条件概率。

获得奖票的概率可用下面的概率乘法公式计算：
P （A 1·A 2·…·A n ）=P （A 1）·p （A 2/A 1）·…·P （A n /A 1·A 2·…·A n-1），其中P （A 1/A 2）
表示事件A 2在A 1发生下的条件概率，依此类推，作为例子，可算得第2个抽票者获得
奖票的概率是：
5
1
4154)/()()(12121=
⨯=-⋅A A P A P A A P 第3个抽票者获得奖票的概率是：
.5
1314354)/()/()()(213121321=⨯⨯=
⋅=⋅⋅A A A P A A P A P A A A P 横向推广1：
1．有5把钥匙，其中有1把可以打开房门，逐把试插，第三次打开房门的概率是多少？
分析：将问题转化为抽奖模型“5张彩票，其中仅1张中奖，第3次抽到奖的概率是多少？”故5
1
)(=
A P 。

2．有10个白球，1个黑球，逐个抽取，第5次抽到黑球的概率是多少？
分析：将问题转化为抽奖模型“11张彩票，其中仅1张中奖，第5次抽到奖的概率
是多少？故11
1)(=A P 。

横向推广2：
1．有5把钥匙，其中有2把可以打开房门，逐把试插，第三次打开房门的概率是多少？
分析:将问题转化为抽奖模型:“有5张彩票，其中仅2张中奖,第三次中奖的概率。

”故5
2
)(=
A P 。

2．一批产品有8个正品和2个次品，任意不放回地抽取两次，求第二次抽出次品的概率？
分析：记事件A 为“第二次抽出次品”。

将问题转化为抽奖模式，即有10把彩票，其中有2张是奖票，逐个抽取，求第二次抽到奖票的概率？故5
1102)(==A P 。

纵向推广3：
彩票模式的推广，有m+n 张彩票，其中n 张是奖票，逐个抽取，第k 次取到奖票的
概率为：n m n A A C A P n m n
m n m n m n +=⋅=++-+-+11
1
)(。

方案二：前提后抽人知道先抽人抽出的结果。

抽签分先后，真的公平吗？
特例3：有5张彩票（可当场对奖）
其中有2张是有奖的，由甲、乙、丙、丁戊5人依次各抽一张，求：（1）甲、乙都中奖的概率；
（2）只有乙中奖的概率；
（3）若甲、乙均中奖，则丙、丁、戊中奖的概率各为多少？
解：（1）因为先由甲抽，所以甲中奖的概率为
5
2
，当甲中奖后，剩下4张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为
4
1
，因此甲、乙都中奖的概率为10
14152=⨯。

（2）因为只有乙中奖，意味着甲先抽没有中奖，然后剩下4张彩票在有2张有奖的情况下去抽奖，甲没有中奖的概率为
5
3
，
然后乙中奖的概率为
4
2
，所以10
3
43532=⨯=P 。

（3）当甲、乙两人均把有奖的彩票抽去，剩下3张无论抽哪一张均无奖，因此，当甲、乙均中奖时，丙、丁、戊中奖的概率均为0。

从此例可看出，当后抽者知道了先抽者抽出的结果后，每个人中奖的概率就不尽相同。

因此，抽奖时当顺序有先有后，若后抽人知道了先抽人抽出的结果，那么抽奖者中奖的概率有所不同，也就是说，由于抽奖的顺序而影响到其公平性。

（发表于2003年9期《数学教学》）。