高二上数学知识点总结

第一章 不等式不等式的概念和性质 基本知识：1．不等式的定义：用不等号“>,,≥<,≠≤,”将两个代数式连接而成的式子叫做不等式。

2．两个实数的大小：用作差运算定义： ;0b a b a >⇔>- ;0b a b a =⇔=-.0b a b a <⇔<-用作商运算定义：;1b a b a >⇔> ;1b a ba =⇔= ;1b a ba<⇔< 3．不等式的性质：不等号不改变方向的：① a b b a <⇔> （对称性） ② c a c b b a >⇒>>, （传递性）③ m b m a b a +>+⇔> （不等量加等量）④d b c a d c b a +>+⇒⎭⎬⎫>>（同向不等式相加）（注意：异向不等式不能相加！） ⑤d b c a d c b a ->-⇒⎭⎬⎫<>（异向不等式相减）（注意：同向不等式不能相减！） ⑥bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>>0 （不等量乘正量）； bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>>0 （不等量除正量） ⑦bd ac d c b a >⇒⎭⎬⎫>>>>00（同向不等式相乘）（注意：异向不等式不能相乘！） ⑧dbc ad c b a >⇒⎭⎬⎫<<>>00（异向不等式相除）（注意：同向不等式不能相除！） ⑨ nnb a b a >⇒>>0（不等式的乘方） ⑩ nn b a b a >⇒>>0（不等式的开方）不等号要改变方向的：⑾．bc ac c b a <⇒⎭⎬⎫<>0 （不等量乘负量）； bc ac c b a <⇒⎭⎬⎫<>0 （不等量除负量）⑿．ba ab b a 110<⇒⎭⎬⎫>>（不等量取倒数）均值不等式 基本知识：1．均值不等式1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 2．均值不等式2：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+23．变式：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （+∈R b a ,）（当且仅当b a =时取“=”） 4．均方——方均不等式：2)2(222b a b a +≤+ 5．推广：（不作要求）（1） 定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++ 指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证 （2）推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=” ）（3）若+∈R a a a n ,...,,21，则nn n a a a na a a ......2121≥+++（当且仅当n a a a ===..21时取“=”）6．不等式链：若+∈R y x ,，则yx 1+12≤xy ≤2y x +≤222y x +（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤加权平均数）7．柯西不等式（特例）：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+柯西不等式二维形式(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d) 扩展:（(a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2;)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn(当ai=0或bi=0时ai 和bi 都等于0，不考虑ai:bi ，i=1,2,3,…,n ） 三角形式 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a -c)^2+(b-d)^2] 注：“√”表示平方根， 向量形式 |α||β|≥|α·β|，α=(a1,a,…,an)，β=(b1,b,…,bn)（n ∈N ，n≥2） 等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R ）。

一般形式 (∑（ai^2;))(∑(bi^2;)) ≥ (∑ai·bi)^2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn ，或ai 、bi 均为零。

上述不等式等同于图片中的不等式。

推广形式 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 注：“Πx”表示x1，x2，…，xn 的乘积，其余同理。

此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均 不小于各列元素之和的几何平均之积。

（应为之积的几何平均之和）编辑本段柯西不等式的证明二维形式的证明(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d ∈R) =a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2 =a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2 =(ac+bd)^2+(ad －bc)^2 ≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad －bc=0即ad=bc 时成立。

三角形式的证明√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a -c)^2+(b-d)^2] 证明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。

*表示乘 ≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d ） =a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2 =(a-c)^2+(b-d)^2 两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a -c)^2+(b-d)^2]一般形式的证明求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 证明： 等式左边=(ai^2·bj^2+aj^2·bi^2)+.................... 共n^2 /2项 等式右边=（ai·bi ）·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n^2 /2项 用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证向量形式的证明令m =(a1,a2,…,an)，n =(b1,b2,…,bn)m ·n =a1b1+a2b2+…+anbn=|m ||n |cos<m,n >=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos<m , n > ∵cos<m , n >≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) 注：“√”表示平方根。

注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

8．绝对值不等式：定 理 ||||||||||b a b a b a +≤+≤-；三角不等式 ||||||||||b a b a b a +≤+≤-(a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”) 推论1：||21n a a a +++Λ≤||||||21n a a a +++Λ. 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-不等式的证明基本知识：证明不等式时，常用的基本方法是比较法、综合法、分析法。

1．比较法：（1）求差比较法：b a b a >⇒>-0（2）求商比较法：b a b b a >⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>012．综合法：由已证不等式和不等式性质推证结论。

3．分析法：从结论出发，分析使这个不等式成立的充分条件，若这些充分条件均具备，则可判定欲证的不等式成立。

4．反证法：（正难则反） ①反设结论； ②推出矛盾； ③肯定回答。

5．换元法：常见类型（最常见的①—⑤）①若⎩⎨⎧===+ααsin cos ,122y x y x 则设，若.tan sec ,122⎩⎨⎧===-ααy x y x 则设②若.1,sin cos ,122≤⎩⎨⎧==≤+r r y r x y x 且则设αα③若).(,sin ,1R x x ∈=≤αα则设④若.sin cos ,222⎩⎨⎧===+ααa y a x a y x 则设⑤若,1)()(22222=+⇒=+R y b R x a R by ax 则设.sin cos ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααRyb Rxa⑥若)22(,sin )20(,cos ,10παπαπαα≤≤-=≤≤=≤≤x x x 或则设.⑦若).20(,sec ,1παα<≤=≥x x 则设⑧若)22(,tan ,παπα<<-=∈x R x 则设.6．放缩法：适当放缩，适应结论7．判别式法：根据已知（或构造）的一元二次方程的根、一元二次不等式的解集、二次函数的最值等性质确定其判别式应满足的条件，从而得证。

8．最值法：max y x y x >⇔>恒成立； min y x y x <⇔<恒成立9．导数法、添项法、几何法、构造函数法（略）不等式的解法除已讲的一元一次不等式、一元二次不等式、简单高次不等式、分式不等式的解法外，掌握无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法。