粘弹塑性模型的基本概念
2023年高等土力学试题考博专用
参考书目《高等土力学》李广信第1章土工实验及测试一、简述土工实验的目的和意义。
1）揭示土的一般或特有的物理力学性质。
2）针对具体土样的实验，揭示区域性土、特殊土、人工复合土的物理力学性质。
3）拟定理论计算和工程设计的参数。
4）验证理论计算的对的性及实用性。
5）原位测试、原型监测直接为土木工程服务，也是分析和实现信息化施工的手段。
第2章土的本构关系★二、广义讲，什么是土的本构关系？与其他金属材料比，它有什么变形特性（应力应变特性）？（2.3节）P51土的本构关系广义上讲是指反映土的力学性状的数学表达式，表达形似一般为应力-应变-强度-时间的关系。
与金属材料相比，土的变形特性包含：①土应力应变的非线性。
由于土由碎散的固体颗粒组成，土的宏观变形重要不是由土颗粒自身变形，而是由于颗粒间位置的变化。
这样在不同的应力水平下由相同应力增量引起的应变增量就不会相同，即表现出非线性。
②土的剪胀性。
由于土石由碎散颗粒组成的，在各向等压或等比压缩时，孔隙总是减少的，从而可发生较大的体积压缩，这种体积压缩大部分死不可恢复的，剪应力会引起土塑性体积变形，这叫剪胀性，另一方面，球应力又会产生剪应变，这种交叉的，或者耦合的效应，在其他材料中很少见。
③土体变形的弹塑性。
在加载后再卸载到本来的应力状态时，土一般不会完全恢复到本来的应变状态，其中有一部分变形是可以恢复的，部分应变式不可恢复的塑性应变，并且后者往往占很大的比例。
④土应力应变的各向异性和土的结构性。
不仅存在原生的由于土结的各向构异性带来的变形各向异性，并且对于各向受力不同时，也会产生心的变形和各向异性。
⑤土的流变性。
土的变形有时会表现出随时间变化的特性，即流变性。
与土的流变特性有关的现象只要是土的蠕变和应力松弛。
影响土的应力应变关系的应力条件重要有应力水平，应力途径和应力历史。
★三、何为土的剪胀性，产生剪胀的因素？P52(2.3.2)土体由于剪应力引起的体积变化称为剪胀性，广义的剪胀性指剪切引起的体积变化，既涉及体胀，也涉及体缩，但后者常被称为“剪缩”。
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
7 粘弹性
t
18
第7章 聚合物的黏弹性
2、应力松弛 Stress Relaxation
• 在恒定温度和形变下，维持此形变所需的应力随时间增加而逐渐衰减
0e
0
t
松弛时间 交联高分子 应力衰减至某一平衡值
Crosslinked polymer
Linear polymer
0
t
未交联高分子 应力最终衰减至零
4
第7章 聚合物的黏弹性
5. 力学松弛 聚合物的力学性质随时间变化的现象，叫力学松弛。 包括蠕变及其回复，应力松弛和动态力学实验等。 蠕变 静态的黏弹性 力学松弛 动态黏弹性 力学损耗(内耗)
5
应力松弛 滞后现象
第7章 聚合物的黏弹性
二、静态黏弹性 应力或应变恒定，不同时间时，聚合物材料所表现出来 的黏弹现象。
恒值 (t>t2)
＝
t1
t2
t
3-----本体粘度
分子间滑移，不可恢复
11
图3 理想粘性流动蠕变
第7章 聚合物的黏弹性
当聚合物受力时，以上三种形变同时发生，聚合物的总形变 方程:
2+3 1
1 2 3
t
( t ) 1 2 3 -t
(1 e ) t E1 E2 3
32
tanδ由小到大的顺序：
第7章 聚合物的黏弹性
内耗受温度影响较大
Tg以下，高聚物受外力作用后形变很小， 仅键长、键角变化，速度快，几乎跟得上 应力变化，内耗小
Tg Tf
T Tan
温度升高，高分子向高弹态过渡。链段开始运动，而体系粘度还很大， 链段运动时受到摩擦阻力比较大，高弹形变显著落后于应力的变化，内 耗也大 温度进一步升高，链段运动比较自由，内耗变小 因此，在玻璃化转变区域出现内耗峰 温度继续升高，高分子向粘流态过渡。由于分之间互相滑移，内耗急剧 增加
金属材料的力学行为模型
金属材料的力学行为模型引言:金属材料在人类社会中扮演着重要的角色，广泛应用于建筑、交通、电子等领域。
研究金属材料的力学行为模型对于优化设计、材料选择和结构安全具有重要意义。
本文将探讨金属材料的力学行为模型，并介绍常用的弹性、塑性和粘弹性模型。
第一部分：弹性模型弹性模型用于描述金属材料在受力后恢复原状的能力。
最简单的弹性模型是胡克定律，它表明应力与应变成正比。
然而，金属材料的力学行为往往不符合线性弹性假设。
因此，工程领域常采用线性弹性模型、非线性弹性模型和弹塑性模型等。
线性弹性模型假设应力与应变呈线性关系，其中应力是单位面积上的力，应变是单位长度上的形变。
最常用的线性弹性模型是胡克-杨模型，它描述了金属材料的正弹性行为。
然而，在高应力下，金属材料的力学行为不再符合线性弹性假设。
第二部分：塑性模型塑性模型用于描述金属材料在超过弹性极限后的可塑性变形。
金属材料在受力时会出现塑性变形，即无法完全恢复原状。
晶体塑性理论是研究金属材料塑性变形的重要方法。
它基于晶体的滑移理论和晶体微弱滑移的条件。
其中，最常用的塑性模型是von Mises模型，它假设金属材料在达到屈服点后会开始塑性变形。
该模型描述了材料的屈服条件，并引入了流动准则来确定塑性变形发生的条件。
第三部分：粘弹性模型粘弹性是介于弹性和塑性之间的力学特性，用于描述金属材料在应力施加后的时间依赖性。
与弹性相比，粘弹性模型考虑了材料的时间依赖性。
常见的粘弹性模型包括粘弹性弹簧模型和粘弹性体模型。
粘弹性模型的研究包括应力松弛实验和应变迟滞实验。
这些实验揭示了金属材料在受力后的时间依赖性行为，为粘弹性模型的建立提供了实验基础和理论依据。
结论:金属材料的力学行为模型对于优化设计和结构安全具有重要意义。
本文介绍了金属材料的弹性、塑性和粘弹性模型，并讨论了它们的适用范围和应用。
在工程实践中，根据材料的具体情况选择适当的模型进行分析和设计是至关重要的。
希望本文的探讨能够为金属材料力学行为模型的应用提供一定的指导和启示。
膏体料浆流变模型简述
膏体料浆流变模型简述一、引言膏体料浆是一种具有流变特性的复杂物质，其流变模型研究对于许多领域都具有重要意义。
本文将从膏体料浆的基本概念入手，介绍其流变特性及流变模型，并对不同类型的流变模型进行分类和分析。
二、膏体料浆的基本概念1. 膏体料浆的定义：指由固体颗粒或聚合物分散在液体中形成的半固态物质。
2. 膏体料浆的组成：主要由固相、液相和界面剂三部分组成。
3. 膏体料浆的特点：表现出类似于液态和固态之间过渡状态的特性，即具有粘度、弹性等不同于普通液体和固体的性质。
三、膏体料浆的流变特性1. 剪切应力-剪切速率关系曲线：通常呈现为非线性曲线，且存在阈值剪切速率。
2. 流动规律：在低剪切速率下表现为黏滞度控制；在高剪切速率下表现为惯性控制。
3. 变形回复特性：膏体料浆具有一定的形变能力，但在剪切力消失后会出现一定程度的回弹。
四、膏体料浆的流变模型分类1. 粘弹性模型：将膏体料浆看作是由黏性和弹性两部分组成的复合材料，常用的粘弹性模型有Maxwell模型、Kelvin模型等。
2. 塑性流变模型：用塑性本构方程描述膏体料浆的流变特性，常见的塑性流变模型有Bingham模型、Herschel-Bulkley模型等。
3. 损耗流变模型：考虑到固相颗粒间摩擦和碰撞所产生的能量损耗，常用的损耗流变模型有Krieger-Dougherty模型、Carreau-Yasuda 模型等。
五、不同类型流变模型分析1. Maxwell模型：假设膏体料浆由一个弹簧和一个阻尼器串联而成，可描述低频下的粘弹性行为。
2. Herschel-Bulkley模型：将膏体料浆看作是具有一定屈服应力和塑性黏度的物质，可描述高剪切速率下的非牛顿流体行为。
3. Krieger-Dougherty模型：考虑到颗粒间的相互作用力，可描述固体颗粒浓度对膏体料浆黏度的影响。
4. Carreau-Yasuda模型：考虑到流体分子在高剪切速率下的分子结构变化，可描述高剪切速率下的剪切稀释现象。
微观铝合金的力学性能与本构模型研究
微观铝合金的力学性能与本构模型研究铝合金是一种广泛应用的材料，具有优秀的力学性能和成形性。
微观结构是影响材料力学性能的重要因素，因此研究其微观结构和性能的关系对于铝合金的应用具有重要意义。
本文将探讨微观铝合金的力学性能及其本构模型。
一、铝合金的微观结构铝合金是由铝与其他元素（如铜、锌、镁等）共同组成的合金。
铝合金的微观结构主要由晶粒、晶界和析出物组成。
晶粒是由同一种晶体结构组成的晶体颗粒，其尺寸通常在10~100微米之间。
晶界是相邻的晶粒之间的交界面，其厚度通常在几纳米到几十纳米之间。
析出物是在铝合金中由于元素溶解度限制而形成的细小颗粒，其尺寸通常在纳米级别。
铝合金的微观结构对其力学性能有重要影响。
晶粒尺寸影响材料的塑性和韧性，尺寸较小的晶体在受力时具有更好的变形能力和抗拉伸性能。
晶界是材料的弱点之一，易受到力学应力的影响，容易引起断裂和疲劳失效。
析出物可以增加材料的硬度和强度，但也会使材料的韧性降低。
二、铝合金的力学性能铝合金的力学性能包括弹性模量、屈服强度、延展性和韧性等。
其中，弹性模量反映了材料在受力时的弹性变形能力，屈服强度是材料受力到发生塑性变形时所受到的最大应力，延展性反映了材料在受力时的塑性变形能力，韧性反映了材料的抗断裂性能。
铝合金具有优异的力学性能，其弹性模量和屈服强度比铜和钢低，但比钛和镁高。
铝合金的延展性和韧性较好，塑性变形能力强，这使得其成为一种广泛使用的结构材料。
三、铝合金的本构模型研究铝合金的本构模型是研究铝合金力学性能的重要方法。
常见的本构模型包括弹塑性本构模型和粘弹塑性本构模型。
弹塑性本构模型是指材料在受力过程中表现出弹性和塑性的特性，通常采用von Mises屈服准则来描述其塑性变形。
von Mises准则假设材料在塑性变形时表现出各向同性的应变，且材料的屈服体积和应力体积之比为常数，该比值称为材料的动态学屈服参数。
粘弹塑性本构模型则将材料的力学性能描述为弹性、粘滞和塑性三种力学特性的结合。
材料力学中的非线性本构模型
材料力学中的非线性本构模型材料力学是许多工程领域的基础，它研究材料受力后的力学行为，包括力的大小、方向、分布和变形等问题。
不同材料的力学行为需要采用不同的本构模型来描述，常见的材料本构模型有线性弹性模型、非线性本构模型等。
本文将重点介绍材料力学中的非线性本构模型。
一、非线性本构模型的概念在材料力学中，当受力材料的变形与施加的力之间呈非线性关系时，就需要采用非线性本构模型来描述其力学行为。
非线性本构模型可以分为弹塑性模型、粘弹塑性模型、本质非线性模型等不同类型，其中弹塑性模型在实际应用中被广泛采用。
二、弹塑性模型弹塑性模型又称弹塑性本构模型，它是一种介于线性弹性模型和塑性本构模型之间的模型。
弹塑性模型假设材料的力学行为在一定范围内是线性弹性的，但在超出一定应力范围后就会出现不可逆变形，这种不可逆变形称为塑性变形。
弹塑性模型可分为单轴应力状态下的本构模型和多轴应力状态下的本构模型。
其中单轴应力状态下的本构模型包括拉伸本构模型、压缩本构模型等，多轴应力状态下的本构模型包括Mises本构模型、Drucker-Prager本构模型等。
三、拉伸本构模型拉伸本构模型是弹塑性模型中最简单的模型之一，它假设材料的力学行为在拉伸状态下是线性弹性的，且材料的强度随着应力增大而增大。
在达到材料的屈服点后，材料的强度就不再随应力增大而增大了，这时材料开始出现塑性变形。
拉伸本构模型将材料的应力-应变曲线分为弹性阶段和塑性阶段来描述材料的力学行为。
四、Mises本构模型Mises本构模型也称为圆锥形模型，它是多轴应力状态下最常用的弹塑性模型之一。
该模型假设材料的塑性行为是由等效应力和应力状态判据决定的，等效应力可以通过应力张量得到，应力状态判据则基于材料力学的实验性质，通过外部应力来得到。
Mises本构模型能够较为准确地描述材料在多轴应力状态下的力学行为，并在应用中获得广泛的应用。
五、Drucker-Prager本构模型Drucker-Prager本构模型是一种常用的粘塑性模型，它假设材料有两种塑性机制：一种是塑性流动，另一种是摩擦滑移。
黏塑性力学绪论
为耗散不等式，它表示材料损伤、塑性、粘性与耗 散之间的耗散关系。亦称内禀耗散功率。
第三节 路用材料性能
1、路用材料的种类 1.1 土体 1.2 路基材料及其改良材料 1.3 路面材料 2、沥青混合料的力学性能 2.1 温度相关性 2.2 粘弹塑性特征 请同学们总结其在相应条件下的粘弹塑性特征
第一章 绪 论
粘弹性物质
粘弹性物质与弹性物质不同，它的现时应力不只依赖 于现时应变，而与整个变形历史有关，变形过程是不可逆 的；它与塑性物质也不相同，塑性物质中的变形和时间无 关(无时效)，在给定外力作用下，塑性体内的应力场和应 变场不因载荷持续作用而变化；而粘弹性体的变形则和时 间有关，在给定载荷作用下，变形将随时间而变化；载荷 卸去后，变形不立即消失，也不取一定值，而是随时间变 化的。
第一章 绪 论
线性弹性物质本构方程可表示为
第一章 绪 论
弹塑性物质
对于大多数物质，在小变形低应力情 况下，本构方程呈现为线性弹性的。当应 力超过一定值后，物质的本构关系不仅不 再是线性的，而且变形过程不可逆。
第一章 绪 论
第一章 绪 论
第一章 绪 论
物质产生塑性变形后，弹性常数不变，称为弹性和塑性不 耦合。
＝ ( ij , D , ,T )
第二节 弹粘塑材料损伤变形 与能量耗散
上式应满足能量守恒和Clausius-Duhem不等式，即 存在
ij － ( sT) Ts r qi ,j 0 ij
ij － ( sT) q iT ,i 0 ij T 1
参考文献
• • • • 弹塑性力学 李同林编 中国地质大学出版社 粘弹性力学 杨挺青著 华中理工大学出版社 弹塑性力学 殷绥域编 中国地质大学出版社 粘弹性理论与应用 杨挺青等著 科学出版社 2006 1994 1990 2004
【国家自然科学基金】_粘弹塑性模型_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
2011年 科研热词 推荐指数 数值模拟 2 挤压铸造 2 fdm/fem 2 龄期 1 线性drucker-prager蠕变模型 1 粘弹塑性变形 1 率相关 1 温度场 1 混凝土 1 流固耦合 1 沥青混合料 1 有限元分析 1 数值分析 1 收缩缺陷 1 弹性徐变 1 弹塑性徐变 1 工程力学 1 多孔介质力学 1 地面沉降模型 1 变形 1 修正麦钦特模型 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 饱和土 非线性分析 软岩 车辙 胶凝原油 粘弹塑性理论 粘弹塑性 硬化条件 沥青路面 殷建华模型 有限元法 巷道压力 层间摩阻力 塑性扩容 启动波 压缩性 剑桥模型 再启动 中间主应力 drucker-prager准则
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
科研热词 推荐指数 非线性黏弹塑性蠕变模型 1 隧道工程 1 蠕变特性 1 蠕变 1 粘弹性 1 粘塑性 1 稳定性 1 炭质板岩 1 深埋隧道 1 泥岩夹层 1 有限元分析 1 数值模拟 1 抗震性能 1 循环载荷 1 往复荷载 1 应力应变关系 1 层状盐岩 1 地下储库 1 合成纤维系缆 1 动刚度 1 加腋节点 1 冷弯薄壁方钢管 1 不同轴压比 1 burgers损伤蠕变 1
混凝土材料的弹粘塑性损伤本构模型研究
混凝土材料的弹粘塑性损伤本构模型研究
本文研究了混凝土材料的弹粘塑性损伤本构模型，以下是本文的主要内容：
一、损伤概念及损伤本构模型
1、什么是损伤？
损伤是指材料由于受力产生的本征变化，使材料的力学性能出现不可逆的变化从而造成的本性问题。
2、损伤本构模型是什么？
损伤本构模型是指通过根据材料受力的变形情况，以及数学方法，把材料的损伤进行建模，以及计算材料的力学性能随着损伤而变化的过程。
二、混凝土材料的弹粘塑性损伤本构模型
1、弹粘塑性损伤本构模型基本原理
弹粘塑性损伤本构模型是损伤本构模型的一种，它建立在指数型损伤守恒定律的基础上，指数型损伤守恒定律表明，材料受到的拉伸或压缩应力在非稳态加载或复杂荷载下是不断变化的，在一定的应力范围内材料的延性一定，超出这个应力范围材料的延性随着应力的增加而逐渐减少，当应力达到一定值时材料的损伤不可逆，且其开始脱粘，从而形成断裂。
2、混凝土材料的弹粘塑性损伤本构模型
混凝土材料是一种具有较高粘度的凝固体，其刚度和弹性属中等，也
是结构材料中应用最广泛的材料，其特有的弹粘塑性对它的损伤本构
模型来说非常重要。
通常混凝土损伤本构模型采用的是弹粘塑性模型，它把混凝土的损伤行为分成三个阶段：弹性阶段，粘性阶段和损伤阶段。
在弹性阶段，当受力大于某一阈值时，混凝土开始失去它的原始
弹性，进入粘性阶段。
在这个阶段，应力逐渐增长，但变形率保持不变，直到进入损伤阶段，受力过大，导致材料发生断裂。
三、结论
混凝土材料的弹粘塑性损伤本构模型是混凝土材料从数理模型的角度
去深入分析混凝土的损伤行为，计算得出材料的损伤模量，从而研究
材料的力学行为，为了让混凝土结构物更加安全可靠。
3 岩石粘弹塑性理论
图4-1-6 经历10天蠕变及瞬时压缩破坏的应力应变曲线
表4-1-1 蠕变后压缩破坏试验的抗压强度
蠕变不同时间后的单轴抗压强度（试验压 应力0.88倍抗压强度）
单轴抗压强度
R） （MPa
c
2天 99.6 95.3 101
4天 105 106
10天 98.1 98.8
高孔隙水压条件下岩石的蠕变特性
围压对于岩石流变的影响
影响岩石蠕变的因素
岩性（内部微结构、矿物） 应力水平和应力状态
含水量情况及孔隙水压力
温度
节理面蠕变试验
分为三个阶段：第Ⅰ阶段蠕变速率逐渐减缓； 第Ⅱ阶段蠕变速率保持为常数值不变；第Ⅲ阶 段蠕变速率急剧增大，直至试样节理面呈明显 滑移破坏。
灌浆节理面剪切蠕变曲线
1 岩石和结构面蠕变试验
试验设备
蠕变加载方式
(1)单级加载
蠕变加载方式
(2)分级加载
蠕变加载方式
(3) 循环加载
陈氏加载法 陈氏加载法
Boltzmann 叠加原理 过去某时刻加上的荷载到任一时
刻t引起的变形等于各个互不相干 的荷载到时刻t引起的变形总和。
岩石蠕变变化过程
式中， J (t ) 为蠕变柔量。
当 t 时
E1 E2 ( ) 0 E1 E2
回复：
首先产生
0
E
的瞬时变形，然后随时间回复，
1
其方程与Kelvin 体的回复过程一样。
(t ) e E
0
( t t1) E 2 /
e
tE 2 /
松弛方程：
t 0 时，施加常应变 0 ，本构方程为：
一般力学与力学基础的弹塑性分析方法
一般力学与力学基础的弹塑性分析方法弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域之一。
本文将介绍弹塑性分析方法的基本概念、应用领域以及常用的数学模型和计算方法。
一、弹塑性分析方法的基本概念弹塑性分析方法是一种综合运用弹性力学和塑性力学理论的方法，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。
在弹塑性分析中，材料会先发生弹性变形，当应力达到一定临界值时，开始发生塑性变形。
弹塑性分析方法可以更准确地预测材料的变形和破坏行为。
二、弹塑性分析方法的应用领域弹塑性分析方法广泛应用于工程结构、土力学、岩石力学等领域。
例如，在工程结构的设计中，使用弹塑性分析方法可以预测结构在外载荷作用下的变形和破坏行为，从而确定结构的合理尺寸和材料强度要求。
在土力学和岩石力学中，弹塑性分析方法可以用于预测土体和岩石的变形和破坏特性，为工程施工和地质灾害的预测提供依据。
三、弹塑性分析的数学模型弹塑性分析方法使用了多种数学模型来描述材料的力学行为。
其中常用的模型包括线性弹性模型、单一参数塑性模型和本构模型等。
1. 线性弹性模型：线性弹性模型假设材料的应力与应变之间呈线性关系，常用于描述小应变范围内的材料行为。
2. 单一参数塑性模型：单一参数塑性模型假设材料的塑性行为由一个参数来描述，常用于描述中等应变范围内的材料行为。
3. 本构模型：本构模型是更为复杂的数学模型，可用于描述广泛的材料行为。
常见的本构模型包括弹塑性本构模型、弹塑性本构模型、弹粘塑性本构模型等。
四、弹塑性分析的计算方法弹塑性分析方法使用了多种计算方法来求解材料的变形和应力分布。
其中常用的计算方法包括有限元法、边界元法和等。
这些方法可以将实际结构离散成有限个子区域，通过求解子区域的变形和应力，得到整个结构的变形和应力分布。
这些计算方法具有高精度和较强的通用性，广泛应用于工程和科学研究领域。
综上所述，弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。
《复合应力状态下聚酰胺的粘弹—塑性本构研究》范文
《复合应力状态下聚酰胺的粘弹—塑性本构研究》篇一一、引言随着现代材料科学的不断发展，聚酰胺作为一种高性能聚合物材料，其力学性能和应用领域日益受到广泛关注。
在各种复杂的应力状态下，聚酰胺的粘弹—塑性行为成为研究的热点问题。
本文旨在探讨复合应力状态下聚酰胺的粘弹—塑性本构关系，以期为相关领域的实际应用提供理论依据。
二、复合应力状态下的聚酰胺聚酰胺作为一种具有优异性能的高分子材料，在各种复杂的应力状态下表现出独特的粘弹—塑性行为。
在复合应力状态下，聚酰胺受到多种力的共同作用，其力学性能表现出明显的非线性、粘弹性和塑性变形等特点。
因此，研究复合应力状态下聚酰胺的粘弹—塑性本构关系具有重要的理论和实践意义。
三、粘弹—塑性本构关系粘弹—塑性本构关系是描述材料在受力过程中粘弹性与塑性变形之间的关系。
在复合应力状态下，聚酰胺的粘弹—塑性本构关系表现出复杂的特点。
本文采用经典的本构理论，结合实验数据和数值模拟方法，研究聚酰胺在各种应力状态下的粘弹—塑性行为。
通过建立合理的本构模型，揭示聚酰胺在复合应力状态下的力学响应规律。
四、实验方法与数据分析为了研究复合应力状态下聚酰胺的粘弹—塑性本构关系，我们采用了多种实验方法。
首先，通过单轴拉伸实验和蠕变实验，获取聚酰胺在不同应力状态下的力学性能数据。
其次，利用扫描电子显微镜和透射电子显微镜等手段，观察聚酰胺的微观结构变化。
最后，结合数值模拟方法，对实验数据进行处理和分析，建立聚酰胺的粘弹—塑性本构模型。
通过对实验数据的分析，我们发现聚酰胺在复合应力状态下表现出明显的非线性、粘弹性和塑性变形等特点。
在本构模型的建立过程中，我们考虑了材料的粘弹性、塑性变形以及应力状态对材料性能的影响。
通过对比实验数据和数值模拟结果，我们发现本构模型能够较好地描述聚酰胺在复合应力状态下的力学响应规律。
五、本构模型的建立与验证基于实验数据和数值模拟结果，我们建立了聚酰胺的粘弹—塑性本构模型。
该模型考虑了材料的粘弹性、塑性变形以及应力状态对材料性能的影响，能够较好地描述聚酰胺在各种应力状态下的力学响应规律。
粘弹塑性模型的基本概念
第七章 粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为：E σε= （7.1.1）G τγ= （7.1.2）式中E —— 弹性模量、G ——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：m K νσε= （7.1.4）式中 K ——体积弹性模量。
（a ） （b ）图7-1 理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为：σϕε= （7.1.7）τηγ= （7.1.8）式中 ϕ、η ——粘滞系数。
由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：()*21ϕην=+ （7.1.9）式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。
（a ） （b ）图7-2 理想粘性模型理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。
变形固体的三种假设
变形固体的三种假设变形固体的三种假设变形固体是指在受到外力作用下，形状或大小会发生改变，但其物质量不会改变的物质。
对于变形固体的研究，有三种基本假设：弹性假设、塑性假设和粘弹塑性假设。
一、弹性假设弹性是指物体在受到外力作用时，能够恢复原来的形状和大小。
基于这种特性，我们可以得出弹性固体的基本假设：在小应变范围内，物体的应力与应变成正比例关系。
这个假设被称为胡克定律，它通常用来描述材料在小应力下的力学行为。
根据胡克定律，我们可以得出材料的弹性模量（Young's modulus），即材料单位面积内所承受的拉伸或压缩应力与相应应变之比。
但是，在大应变范围内，材料会失去弹性并进入塑性区域。
因此，在实际工程中需要考虑材料的塑性行为。
二、塑性假设当物体受到外力作用时，如果其形状或大小发生了改变，并且不能恢复到原来的状态，那么我们就称这种物质为塑性固体。
塑性假设是指在大应变范围内，物体的应力与应变不再成正比例关系。
在塑性区域内，材料会发生永久性形变。
这种形变可以通过加热或机械处理来消除，但不能通过简单的拉伸或压缩来恢复原来的状态。
三、粘弹塑性假设粘弹塑性假设是将弹性和塑性结合起来考虑的一种假设。
它认为，在大应变范围内，物体既具有弹性又具有塑性，并且在某些情况下还具有粘滞特性。
粘滞特性是指材料在受到外力作用时，会出现延迟响应或持续形变的现象。
这种现象通常发生在高温或高压条件下，例如地震中地壳岩石的形变。
总结三种基本假设分别描述了材料在小应力、大应力和高温高压等极端情况下的行为。
在实际工程中，我们需要根据不同材料和不同条件选择合适的假设，并建立相应的数学模型来描述材料的力学行为。
高聚物的力学松弛——粘弾性
（2）交变应力的频率大时： （相当于玻璃态） 链段完全跟不上外力的变化，不损耗能量，E’大， E”和tgδ≈0
（3）频率在一定范围内时： 链段可运动，但又跟不上外力的变化，表现出明显的 能量损耗，因此E”和tgδ在某一频率下有一极大值
e 1
2
3
E E 1
2
3
2、应力松弛
所谓应力松弛，就是在恒定温度和形变保持不变的情况下，高 聚物内部的应力随时间增加而逐渐衰减的现象。
一个问题的两个方面， 都反映高分子内部分子的三种运动情况 不平衡构象到平衡构象
0
消除内部应力
0
玻璃态
交联高聚物
线性高聚物
o
t
高聚物的应力松弛曲线
高弹态
粘流态
2 3 wt
对弹性材料：（ t） 0 sin wt形变与时间t无关，与应力同相位
对牛顿粘性材料：（ t）
0
sin(wt
2
)应变落后于应力
2
粘弹材料的力学响应介于弹性与粘性之间，应变落后于应
力一个相位角。 0
2
(t) 0 sin(wt )
δ—力学损耗角（形变落后于应力变化的相位角）
δ越大，说明滞后现象越严重。
键长和键角
立即发生变化
小
1
外力除去， 立即完全回复
大
2.高弹形变
（1 t / ） 2
e 2
E2
松弛时间=2/E2
t1
t2
t
链段运动
外力除去， 逐渐回复
t1 t2
t
3.粘性流动
弹塑性力学 第六章 塑性力学基本概念
理想刚塑形模型？？？
2、线性硬化模型：硬化阶段曲线为线性
将硬化阶段的曲线简化为一条直线，即连续的应力-应 变关系曲线OAA’C简化为两条直线组成的折线OAC。 第一条直线OA代表线 弹性变形性质，其斜 率为E ；第二条直线 AC代表强化性质 ，其 斜率为Et。
b B
s
C
s,
s,
• 影响材料性质的其它几个因素： 1. 温度。当温度上升，材料屈服应力降低、塑性变形 能力提高。高温下，会有蠕变、应力松弛现象。 2. 应变速率。如果在实验时加载速度提高几个数量级， 则屈服应力会相应地提高，塑性变形能力会降低。一 般加载速度不考虑这个因素。高速撞击载荷或爆炸载 荷需要考虑。
§6.3 单轴应力-应变关系的简化模型
屈服条件（加载条件）
s
p
A
*
将累积塑性变形量作为内变量
H O E
k ( dε ) 0
p
*
k函数称为硬化函数，初值：
k (0) s
B‘
• (2)随动硬化模型： • 对一些材料有包辛 格效应的材料，应 变硬化提高了材料 的拉伸屈服应力， 在反向加载（压缩） 时，压缩屈服应力 降低。 • 这种硬化特征称为 随动硬化。
6.2 材料实验结果
一、单轴拉伸实验 • 材料塑形变形性质通过试验研究获得。
• 最简单实验是室温单轴拉压实验： •材料：金属多晶体材料 •试件如图
•名义应力和名义应变定义为
P / A0
A0
l l0 / l0
l0
－－材料的单轴拉伸实验曲线有如图所示两种形态。
conditional yield limit 条件屈服极限
粘弹塑性统一本构模型理论
收稿日期:1999-12-27.作者简介:冯明珲(1964-),男,固体力学博士,辽宁省水利水电工程局副局长,吕和祥(1939-),男,教授,博士生导师.文章编号:1007-4708(2001)04-0424-11粘弹塑性统一本构模型理论冯明珲, 吕和祥, 郭宇峰(大连理工大学工程力学系,大连116024)摘 要:文章在已有的统一本构模型的基础上,将粘弹性变形引入到统一本构模型之中,成功地改善了材料过渡段的变形模拟情况。
通过Ha st elloy-X的变形模拟及与其它统一本构模型的变形模拟比较,证明了粘弹塑性统一本构模型的合理性。
关键词:粘弹塑性;统一本构模型;Hastelloy-X 变形中图分类号:O343.5;O343.9 文献标识码:A1 引 言50年代以来,现代高精尖技术的飞速发展,带动了相应的实验技术提高,材料在极端热力学条件下的一些特殊性质被高精度的实验逐步地揭示出来。
60年代后出现的M T S、Instro n、Schenk等厂商提供的电子计算机控制试验机,将经典力学实验技术带进了一个新的时代。
通过这些高精密度仪器设备,可以模拟在航天航空、核电站、热电站等领域内的某些部件在极端工作条件下的荷载历史,全过程实时模拟加载过程,对材料在单调荷载、循环荷载等不同加载情况下的弹性、塑性、粘性等性质所表现出的循环硬化、蠕变、松弛、热恢复、疲劳等现象有了新的认识,开始了对能够更准确地模拟材料的各种力学行为的本构关系的探讨。
上述的这些性质表明材料变形特性与加载历史和加载速率是相关的。
许多科学工作者的实验研究都揭示出:对动态荷载的反应,材料的屈服极限显然地提高了。
通过许多实验研究发现具有明显屈服极限的那些金属,对于应变率是十分敏感的,低碳钢的率效应是许多科学工作者的研究课题。
实验中发现的各种率相关现象用经典的弹性-理想塑性、经典粘弹性理论或是硬化模型都难以解释,更无法用经典理论来描述循环硬化和软化(热恢复)特性。
钢筋材料的本构模型
钢筋材料的本构模型钢筋作为建筑结构中非常重要的材料之一，它在工程中的应用广泛且至关重要。
在工程计算和结构分析中，需要使用钢筋材料的本构模型来描述其力学性能和行为。
钢筋的本构模型是一个关于应力（stress）和应变（strain）之间关系的数学描述，可以帮助我们更好地理解和预测钢筋在不同载荷下的变形和破坏行为。
1. 引言在建筑工程中，钢筋经常用于增强混凝土结构的强度和刚度。
钢筋与混凝土结构紧密结合，共同承担着各种外部荷载的作用。
了解钢筋材料的本构行为对于工程设计和分析至关重要。
2. 钢筋的基本力学性质钢筋具有很高的强度和刚性，其力学性质可以通过拉伸试验获得。
在拉伸试验中，将钢筋置于拉伸机中，并施加外部加载。
通过测量钢筋的应变和应力，可以得到钢筋的应力-应变曲线。
应力-应变曲线的形状和斜率可以反映钢筋的材料特性和性能。
3. 钢筋的本构模型钢筋的本构模型是一种数学模型，用于描述钢筋材料在外部荷载作用下的力学行为。
常见的钢筋本构模型包括线性弹性模型、双切模型和塑性本构模型等。
这些模型基于不同的假设和数学表达式，可以用来预测钢筋的力学性能和变形行为。
4. 线性弹性模型线性弹性模型是最简单也是最常用的钢筋本构模型。
该模型假设钢筋在小应变范围内具有线性的应力-应变关系，即应力与应变成正比。
这意味着在该范围内，钢筋具有弹性变形，应力消失后可以完全恢复到初始状态。
线性弹性模型的优点是简单易懂，计算方便，但它并不能准确描述钢筋在较大应变范围内的非线性行为。
5. 双切模型双切模型是一种更复杂的钢筋本构模型，它考虑了钢筋在双向剪切应力作用下的变形行为。
该模型可以较好地描述钢筋在较大应变范围内的非线性变形和断裂行为。
双切模型的应力-应变关系可以通过复杂的数学函数来描述，需要更高级的计算和分析方法。
6. 塑性本构模型塑性本构模型是一种用于描述钢筋在塑性变形阶段行为的模型。
它通过引入强度衰减函数和塑性硬化规律来描述钢筋的力学性能和变形行为。
八种典型岩石力学流变组合模型的教学研究_朱卓慧
［1 ］ 岩石是一种具有流变特性的地质体 ， 其流变特性是 指岩石矿物结构（ 骨架） 随时间增长而不断调整重组 ， 导致 ［2 ］ 其应力、 应变状态亦随时间而持续地增长变化 。 其主要 ［3 ］ 包括蠕变、 松弛和弹性后效 。 岩石的流变是一个十分复
通常表现出复杂的特性 ， 为此， 必须对三种元件进行组 的， 合， 才能准确地描述岩石的特性 。 三种元件的组合可形成 粘弹性、 粘弹塑性、 粘性和粘塑性 4 种与时间有关的模型， 称之为基本流变力学模型 ， 对应于岩石的 4 种基本流变力
（ 9）
广义开尔文体在恒定载荷 σ 的条件下， 其变形由弹性 元件和开尔文体两部分组成 ， 弹性元件的瞬时变形为 σ0 ， k1
开尔文体在恒定载荷 σ 的条件下， 应变随着时间逐渐 递减， 在 t 增长到一定值时剪应变就趋于零 。 在 t = t1 时卸 载， 此时 ε = ε1 ， 但随着时间增长， 应变 ε 逐渐减 σ = 0，
· ·
图 4 开尔文体力学模型 小， 当 ε → ∞ 时， 应变 ε = 0 。所以开尔文体的蠕变方程为 ε =
k σ0 （ 1 － e－ ηt） k
（ 8）
开尔文体的蠕变曲线和弹性后效曲线如图 5 所示。
1 · σ k
·
（ 3）
式中， ε1 为模型总应变对时间的导数 ； σ 为模型应力对时 间的导数． 对粘性元件 ε1 =
第3 卷 第6 期 2011 年 6 月
当代教育理论与实践 Theory and Practice of Contemporary Education
Vol． 3 No． 6 June． 2011
八种典型岩石力学流变组合模型的教学研究
1， 2 1 1 1 朱卓慧 ，赵延林 ，徐燕飞 ， 孙小康 （ 1． 湖南科技大学 能源与安全工程学院， 湖南 湘潭 411201 ； 2． 湖南科技大学 煤矿安全开采技术湖南省重点实验室， 湖南 湘潭 411201 ）
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第七章 粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为：E σε= （7.1.1）G τγ= （7.1.2）式中E —— 弹性模量、G ——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：m K νσε= （7.1.4）式中 K ——体积弹性模量。
（a ） （b ）图7-1 理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为：σϕε= （7.1.7）τηγ= （7.1.8）式中 ϕ、η ——粘滞系数。
由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：()*21ϕην=+ （7.1.9）式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。
（a ） （b ）图7-2 理想粘性模型理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。
因此，*ν应等于0.5 。
于是式7.1.9成为：3ϕη= （）这与弹性不可压缩时的E=3G 相对应。
在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为：2ij ij S e η= （）理想塑性模型又称Saint-Venant 塑性模型，或称刚塑性模型。
通常采用两块接触的粗糙面表示（图7-3 （a ））。
面上存在有一称晰脚擦阻力，与作用在面上的法向压力无关，是一常数。
若外作用力心婚此起始摩擦阻力，物体不发生变形。
一维条件如单轴压缩或此钾扮况，当轴向应力或剪应力小于某一数值时，物体不发生变形．当软祠应力或剪应力等于某数值时，物体产生流动，变形无限制增长．理想塑性模刮的体积应变等于零，即体积不发生改变。
在三维条件下理想塑性体的本构方程可表示为：（a ） （b ）图 7-3 理想塑性体模型当 ij ij S H <时，0ij e =当 ij ij S H =时，2ij ij S e λ= （）式中 ij H ——起始摩擦阻力，或称塑性条件；λ——比例常数。
式表明，理想塑性体的塑性应变偏量的变化率与应力偏量成正比。
由理想弹性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等简单模型可以组合成许多复杂模型。
由理想弹性模型和理想塑性模型可以组合成理想弹塑性模型。
由弹性模型和粘性模型可以组合成各种粘弹性模型。
由粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘塑性模型。
由弹性模型、粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘弹塑性模型。
理想弹塑性模型已在第六章作了介绍。
在以下几节将对几种由简单模型组成的粘弹性模型、粘塑性模型和粘弹塑胜模型作简单介绍。
利用简单模型可以组合成各种复杂模型，从而可以建立各种材料的本构方程。
但是进一步的研究发现，许多材料的实际性状并不能满意地用简单的组合模型来描述，而目采用复杂的组合模型又常遇到数学上的困难。
因此，常常在试验的基础上，通过假设一实验一理论的方法建立材料的本构力程。
在本章的最后一节将简要介绍描述材料蠕变现象的蠕变力程。
7 . 2 粘弹性模型既具有弹性又具有粘性的性质称为粘弹性。
蠕变和应力松弛现象是人们熟悉的也是特别受重视的粘弹性胜质粘弹性性质的特点是在本构方程中除了有应力和应变项外，还包括有它们对时间导数的项。
对线性粘弹胜材料，其本构方程的一般表达式为：()()0101m n m n a a a b b b σσσεεε+++=+++ （7.2.1） 式中 ,i i a b ——与材料性质有关的参数。
下面首先介绍几种简单的粘弹性模型，然后再介绍较复杂的情况。
7.2.1Maxwell 模型Maxwell 模型又称松弛模型。
它是由线性弹簧和牛顿枯壶串联组成，如图7 -4 (a ）所示。
在串联条件下，作用在两元件上的应力相同，而总的应变应为两个元件应变的和，即εεε'''=+ （7.2.2）或εεε'''=+ （7.2.3）式中 ,εε'''——分别为线性弹簧和粘壶的应变；,εε'''——分别为线性弹簧和粘壶的应变率。
考虑到线性弹簧有/E εσ'=和牛顿粘壶有/εσϕ''=，则式7.2.3可改写成： E σσεϕ=+（7.2.4） （a ） （b ） （c ）图7-4 Maxwoll 模型写成如式7.2.1的标准形式，上式可改写为：n σσϕε+=（7.2.5）式中 n ——松驰时间，n E ϕ=，量纲为时间。
式7.2.5称为Maxwell 方程。
若物体获得初始应变0ε以后总应变保持不变（图7-4b) ，即0ε=，式7.2.5成为：0n σσ+=（7.2.6） 积分上式，得/t n Ce σ-= （7.2.7)式中 C ——积分常数。
应用初始条件，0t =，0σσ=代人式7.2.7解出C ，再代人式7.2.7 , 得 /0t n e σσ-= (7.2.8 )式7.2.8表示，Maxwell 模型在保持总应变不变的条件下，发生应力随时间衰减的松弛现象，如图7-4c 所示。
若物体获得初始应力0σ以后，保持应力不变，即0σ=0σϕε= （7.2.9 )式7.2.9表示材料应变率为常数，即应变随时间成比例地增长，因此变形随时间无限地发展。
下面讨论松弛试验的情况。
在松弛试验中，首先对试件施加应变0ε，然后保持应变为定值，进而测量作为时间函数的应力值，确定松弛规律。
松弛试验中应变可记为：()0u t εε= ( 式中 ()u t ——单位阶梯函数。
单位阶梯函数定义为：()1110,1,t t u t t t t <⎧-=⎨>⎩ （） 在松弛试验中10t =()1u t t -可表示为()u t 。
将式代人式7.2.5，得()E t n σσεδ+= （）式中 ()t δ——脉冲δ函数，()()d t u t dt δ=⎡⎤⎣⎦。
脉冲δ函数定义为：()0,0,0t t t δ≠⎧=⎨+∞=⎩ （） ()1t t dt δ-∞=⎰（） 脉冲δ函数具有下述性质，对于任何连续函数()f t ，当1t t >时，有 ()()()()111t f t d f t u t t τδττ-∞-=-⎰（）利用式 ()()/0t n t E e u t σε-= （）式表示Maxwell 模型的应力松弛规律，简记为：()()0t t σε=Φ （）式中 ()t Φ——松弛函数，其表达式为()()/t n t Ee u t -Φ= （）7.2.2 Kelvln 模型Kelvln 模型又称非松弛模型。
这种模型曾由W . Voigt 和Kelvin 提出，故又称为Voigt —Kelvin 模型。
它是由线性弹簧和牛顿粘壶并联组成，如图7-5 (a ）所示。
在并联条件下，两个元件的应变相同，而总的应力应为两个元件的应力之和，即E σσσεϕε'''=+=+ （） 若在0t =时，瞬时地加上应力0σσ=，并保持不变，则由式可得0E ϕεεσ+=积分上式，得()01t e E λσε-=- （） 式中 λ——衰减系数，1E n λϕ==； n ——滞后时间。
（a ） （b ）图7-5 Kelvln 模型由式可知，当t →∞，应变趋于个稳定值0/E σ。
若物体获得初始弹性应变0ε之后保持应变不变，即0ε=。
由式得0E σε==常量 （）上式表明在这种情况下应力不衰减。
下面讨论蠕变试验的情况。
在蠕变试验中，首先对试件施加应力0σ，然后保持应力为定值来量取作为时间函数的应变值。
若取瞬时加载的时刻为0t =，则加载过程可表示为：()0u t σσ= （） 式中 ()u t ——单位阶梯函数。
将式()0u t σελεϕ+= （） 注意到单位阶梯函数有如下性质()()()()111ttt f u t d u t f d ττττττ-∞-=-⎰⎰ 此处τ为积分变量。
积分式，得()()()01tt e u t E λσε-=- （） 式中1E n λϕ== 式表示Kelvin 模型的蠕变规律，可简记为：()()t t εσ=ψ式中 ()t ψ——蠕变函数。
蠕变函数的表达式为()()()11t t e u t Eλ-ψ=- （） 7.2.3 三元件粘弹性模型 图7-6a 表示个三元件粘弹性模型。
它是由线性弹簧和Kelvin 模型串联组成，包括二个线性弹簧和一个牛顿粘壶，共三个元件，故称三元件粘弹性模型。
用ε''表Kelvin 模型的应变，ε'表示与Kelvin 模型串联的线性弹簧的应变，σ'表示Kelvin 模型中线性弹簧中的应力，σ''表示牛顿粘壶中的应力，σ和ε分别表示总应力和总应变。
分析各元件的应力或应变相互间关系，不难得到下列各式：εεε'''=+ （）σσσ'''=+ （）E σε''= （）E σε'''''= （）σϕε''''= （）式中 E '——与Kelvin 模型串联的线性弹簧的弹性模量；E ''——Kelvin 模型中线性弹簧的弹性模量；ϕ——牛顿粘壶的粘滞系数。
结合式()E E E E E σϕσεϕε'''''''++=+ （）式还可改写为：n nH E σσεε+=+ （）式中n E E ϕ='''+ （）图7-6 三元件粘弹性模型H E '= ()E E E E E '''='''+ () 若物体作用有初始应力σ，且保持不变，即0σ=，且在0t =时，/H εσ=。