高中自主招生数学模拟试题(附答案1)

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成都重点高中自主招生数学模拟试题(含答案)

重点中学自主招生数学模拟试题一一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）2 21、如果关于x的万程x ax a 3 0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、2 a 2B、73 a 2 C> 33 a 2 D、V3 a 22、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H ,若正方形ABCD的面积是240 ,则四边形BFHG的面积等于A、26B、28C、24D、303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：Vx3（y x）3 Vx3（z x）3 6, y x Vx z ,则代数式x3 y3 z3 3xyz 的值是................. （）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的。

BC 10,cos BCD 3, BCE 30 ,则线段5是............. （）A、V89B、7 <3C、4+3 V3D、3+45、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数 a 、b 、c 、d 同时满足下列两个等式：⑴ asin bcos c 0；⑵acos bsin d 0 （其中为任意锐角），则a 、b 、c 、d 之间的关系式是：8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210, 一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及9、已知：x有理系数三次多项式来表示为：2 =3 2 2 210、设p 、q 、r 为素数，则方程 p p q r 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组（p , q , r ）三、解答题（共6题，共90分）11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学.后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的7、函数yx 1 2x 2 3x 4x 4的最小值是 ________________________边界没有被单位圆滚过的部分的面积a, b, c,L L , z26个字母（不论大小写）依次用1,2,3,L ,26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：[x] 1（其中x是不超过26的正奇数）y 21 ；已知对于任意的实数x,记号[x]表示不超过x的最大[1] 13（其中x是不超过261 勺正偶数）.................. 8 1 ........ 11 、整数；将英文字母转化成密码，如8 [——]13 17,即h变成q，再如11 [―] 1 6,即k变成f。

【新】2019-2020江苏常州高级中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】

第一套：满分120分2020-2021年江苏常州高级中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，；（2）若，则A =C ；（3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线33y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：，其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为（直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形；（2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

高中自主招生数学模拟试题及答案(供参考)

唐山市唐山一中自主招生测试题一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 5.若非零的实数,,,a x y z满足等式=22x y xy yz zx+++的值是6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是 8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.12.（本题满分12分）已知关于x 的函数2y kx =-（1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点1(,0),(x x .试A DEA CBDFEl求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅.15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的2515号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.250.25试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是解：这四个实数的和为245763+++=，所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-，其积是-8. 2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是解：去分母得242a a -+，移项得2240a a -+=. t =，则方程变为2340t t +-=，∴1t =或4t =-（舍去）.1=得2210a a --=，所以1a a-=2. 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是解：∵(1)(1)2(1)BDEABE ABE ABC BD AES S x S x S x y AB AC∆∆∆∆==-=-=- 221192(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+，∴三角形BDE 面积的最大值是98. 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是解：显然0a ≥.若0a =，则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解，不合题意，所以0a >. 方程可化为|2|x b a -=±.当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解，不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意.当b a >时，|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解，符合题意.A BD E故0b a >>.从而||1111||||||a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b b a a b+-+-+++=+++=-++=+-+-2. 5.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则22x y xy yz zx+++的值是解：若320x y -=，则=430y z -=；若430y z -==320x y -=；若320x y -≠且430y z -≠，则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <；由430(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩≥得0a >，矛盾.故320x y -=且430y z -=.于是643x y z ==，可令2,3,4x t y t z t ===，所以 2222222496128x y t t xy yz zx t t t ++==++++12. 6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=解：连结CD ，则CD EF =，所以EF 的长最小时即为CD 的长最小，此时CD AB ⊥,于是FED FCD B ∠=∠=∠，所以cos cos BC FED B AB ∠===35. 7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是解：64341(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x -++=+-++-++，所以余式是+1x .8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =解：由20p ap b ++=，20p bp c ++=得，()0a b p b c -+-=，∴c bp a b-=-. 同理a c q b c -=-，b ar c a-=-. ∴1pqr =-.又,,p q r 互不相等，如p q =，则,p q ①③的公共根，于是p q r ==，从而1p q r ===-，代入①②③有1,1,1b a c b a c -=--=--=-，三式相加得03=-，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为,p r ；②的两根为,p q ；③的两根为,q r . 由根与系数关系，有,,a pr b pq c rq ===，故222abc p q r ==1.9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规A CBDFE则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是解：反推∴n 的所有可能值的个数是6.2014在表中出现的次数是解：观察知，表中第m 行第n 列的数是1mn +.由12014mn +=得201331161mn ==⨯⨯，m是2013的正约数，所以(,)m n 有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.解：以AB 为直径作圆，交l 于点,C D ,则点P 在线段CD 上（不含端点）.………4分设点00(,)C x y ，则00220015(1)335(2)y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩…………………………6分把（1）代入（2），整理得，220x x +-=，∴2,1x x =-=，……………………………8分 ∴(2,1),(1,2)C D -.故a 的取值范围是21a -<<.……………12分12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值. 解：（1）当0k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点.…………………2分当0k ≠时，图象与x 轴有交点的条件是解得1k ≤.…………………………………………………………………………分综上，k 的取值范围是1k ≤.……………………………………………………4分（2）12122(1)3,k k x x x x k k+++==.………………………………………………5分由2112(1)30kx k x k -+++=得，21132(1)kx k k x ++=+，16 81 2 32 464 108 1128 20316 25 l∴212122(1)34kx k x k x x ++++=可化为12122(1)()4k x x x x ++=………………………………………………………8分∴2(1)32(1)4k k k k k+++⋅=⋅解得，1k =或2k =-.…………………………………………………………………10分但1k =时，函数图象与x 轴仅有一个交点，舍去. 2k =-时，函数为22132212()22y x x x =-++=--+，画图可知当1x -≤≤1时，最大值为32，最小值为3-.…………………………………………………………………………12分13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.解：∵AE 是圆的切线，∴2AE EB ED =⋅.设EB x =，则(4)45x x +=，解得5x =.…………………3分 ∵AE 是圆的切线,∴EAB ACB ∠=∠. ∵AB AC =,∴ACB ABC ∠=∠,∴EAB ABC ∠=∠,∴AE ∥BC ,…………………………5分又BD ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形,………………7分∴5BC AE AC BE ====.又由AC ∥BD 得，BF BDFC AC=45=，解得FC =.…………12分 14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅. 证明：连接OP ，则点Q 在OP 上.…………………2分∵OB PB ⊥,OP BC ⊥,∴2PB PQ PO =⋅.…………4分设PA 交⊙O 于M ，则2PB PM PA =⋅.……………6分 ∴PQ PO PM PA ⋅=⋅, ∴POM ∆∽PAQ ∆， ∴OM AQOP AP=…………………………………………8分 ∴OB AQOP AP=…………………………………………10分又∵OQ ∥AC ， ∴BOP BAC ∠=∠，∴OBP ∆Rt ∽ACB ∆Rt ， ∴OB ACOP AB =，………………………………………12分 ∴AQ ACAP AB=，∴AB AQ AC AP ⋅=⋅.…………………………………16分 15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 解：12325325++++=.…………………………………………………………2分设乙原来手中有卡片x 张，平均数为y ，则原来甲手中有25x -张卡片，平均数为32525xyx--.…………………………………4分由题意得，150.25(1)13103250.25(2)2425xy y x xy xy xx +⎧=+⎪⎪+⎨--⎪=+⎪--⎩………………………………………6分由(1)得，59144y x =- (3)……………………………………………………………8分由(2)得，1(310)(25)(325)(24)(25)(24)4xy x xy x x x --=--+--，22131025253103252424325(25)(24)4xy x x y xy x x y x x ⨯--+=⨯--++--，即11550(25)(24)4xy x x x =----………………………………………………………11分将(3)代入(2)得，259111550(25)(24)444x x x x x -=----，解得16x =.………………………………………………………………………………15分故原来甲手中有9张卡片，乙手中有16张卡片.把16x =代入（3），得434y =. 于是甲原来9张卡片总和为325153xy -=，平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.…………………………………………………………18分。

2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试题(含详解)

2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷一、单选题1.下列判断正确的是（）B.若，则是同类二次根式2.下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是（）①；③；④.A.①B.②C.③D.④3.如图（1），在一个边长为m 的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个如图（2）所示的图案，若再将剪下的两个小长方形拼成一个如图（3）所示的新长方形，则新长方形的周长可表示为（）图（1）图（2）图（3）A. B. C. D.4.如图，在菱形中，，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，不与各端点重合，且，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H ，使，连接AM 、AH ，则以下四个结论：①；② ；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.45.如图，圆环中大圆的半径为r ，小圆的半径为长，AB 为大圆的直径，则阴影部分的面积为（）0.5<0ab =0a b ===01333-+=-=()32528a a =844a a a -÷=-23m n-24m n -410m n-48m n-ABCD AB BD =BE CF =DH BM =BDF DCE ≅△△120BMD ∠=︒AMH △2S ABCD AM =四边形2rA.B.C.D.6.如图，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的大致函数图象是（）A. B.C. D.7.在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，放回搅匀后，再摸出一个球.两次都摸到红球的概率是（）A.B.C.D.8.如图，，都经过A 、B 两点，且点O 在上，连接并延长，交于点C ，连接交于点D ，连接，，若，则的长为（）A.B.9.小强用一根长为的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A. B. C. D.10.在，0，－1，这四个数中，最小的数是（）2π4r 23π4r 2π8r 23π8r AOB △():02l x t t =≤≤13232949O e 1O e 1O e AO O e BC 1O e AD AD BO ⊥3AB =»BDπ22π316cm 216cm 232cm 264cm 28cm 1212-A.B.0C.D.－1二、填空题11.若，则______，______，______.12.若，则的值为______.13.如图，点C 在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______.14.若，则______.15.如图，一块含30°角的直角三角板ABC ，，将其绕点A 顺时针旋转得到，当B ，A ，在一条直线上时，顶点C 所走的路径长为______.16.如图，在中，G 是CD 上一点，连接BG 并延长，交AD 的延长线于点E ，点F 在AB 上，且，，，则______°.三、解答题17.解方程18.如图，已知：中，，，点D 是的中点，点P 是边上的一个动点.1212-()2242x mx n ax ++=+m =a =n =)11a a a +=>1a a-AB 2AC BC =AC BC AB ACDE BCFG EC EG tan CEG ∠=a -()240c +-=a b c -+=1BC =AB C ''C 'ABCD Y AF CG =30E ∠=︒50C ∠=︒BFD ∠=()()231=1x x --Rt ABC △90BAC ∠=︒AB AC =BC BC图1 图2 图3 图4（1）如图1，若点与点重合，连接，则与的位置关系是；（2）如图2，若点在线段上，过点作于点，过点作于点，则，和这三条线段之间的数量关系是______；（3）如图3，在（2）的条件下，若的延长线交直线于点，求证：；（4）如图4，已知，若点从点出发沿着向点运动，过点作于点，过点作于点，设线段的长度为，线段的长度为，试求出点在运动的过程中的最大值.19.在平面直角坐标系中，抛物线与直线l ：交于，B 两点，与y 轴交于，对称轴为直线.（1）请直接写出该抛物线的解析式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，在对称轴右侧的抛物线上有一点G，若，且，求点G 的坐标；（3）若在直线上有且只有一点P ，使，求k 的值.20.如图，已知同一平面内四个点A ，B ，C ，D ，请按要求完成下列问题：（1）画直线AB ，射线BD ，连接AC ；（2）在线段AC 上求作点P ，使得；（保留作图痕迹）（3）过点P 作直线l ，使得；（保留作图痕迹）（4）请在直线l上确定一点Q ，使点Q 到点C 与点D 的距离之和最短，并写出画图的依据.21.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为P D AP AP BC P BD B BE AP ⊥E C CF AP ⊥F CF BE EF BE AD M CP AM =4BC =P B BC C B BE AP ⊥E C CF AP ⊥F BE 1d CF 2d P 12d d +xOy 2y ax bx c =++()0y kx m k =+>()1,0A ()0,3C 2x =12AF FB =6BAG S =△12y =-90APB ∠=︒CP AC AB =-l AB ∥+，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的”去掉..解：，材料二：如图，点，点，以AB 为斜边作，则，于是，，所以反之，可将代数式到点的距离.的值看作点到点的距离.（1）利用材料一，解关于x，其中；（2的最小值，并求出此时y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围；②将①所得的y 与x 的函数关系式和x 的取值范围代入中解出x ，直接写出x 的值.22.如图，已知直线与抛物线相交于A ，B 两点，点在轴上，点在轴上，点在抛物线上.（1）求该抛物线的表达式.22a b =-=-2=()()251510x x ⨯+=---=2=5=()11,A x y ()22,B x y Rt ABC △()21,C x y 12AC x x =-12BC y y =-AB =()11,x y ()22,x y ===(),x y ()1,1-2=4x ≤y =22y x =+2y ax bx c =++A x B y ()3,0C（2）正方形的顶点为直角坐标系原点，顶点在线段上，顶点在轴正半轴上，若与全等，求点的坐标.（3）在条件（2）下，点是线段上的动点（点不与点重合），将沿所在的直线翻折得到，连接，求长度的取值范围.OPDE O P OC E y AOB △DPC △P Q CD Q D POD △PQ POD '△AD 'AD '2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷一、单选题1.【答案】D【分析】A 选项采取作差法，即可得到答案；B 选项考虑或；C 选项考虑a ，b 的取值范围；D 选项，先化简成最简二次根式，再判断是否为同类二次根式.【详解】解：A.，故此项错误；B.若，则或，故此项错误；C.，，选项未写条件，故此项错误；D.，是同类二次根式，故此项正确；故选D.【点睛】此题考查了二次根式的意义及运算法则，实数的乘法与比较，正确掌握运算法则是解答此题的关键.2.【答案】D【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简即可得出答案.【详解】①，故①错误；无法计算，故②错误；③，故③错误；④，正确，故选D.【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3.【答案】D【分析】通过观察图形，表示出新长方形的长与宽，再根据长方形周长公式即可确定其周长.【详解】解：∵观察图形可知，新长方形的长为：，宽为：，0a =0b =0.521==-2>0>0.50->0.5>0ab =0a =0b ==0a ≥0b >0113133-+=()32628aa =844a a a -÷=-m n -3m n -∴周长为，故D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查的是列代数式和整式加减在几何图形中的应用，能够通过观察图形用含m 、n 的式子表示出长方形的长与宽，是解题的关键.4.【答案】C【分析】由题意易得△ABD 是等边三角形，然后可证判定①，则有，根据三角形外角的性质可判定②，然后可得，则有，，然后可判定③，最后根据全等三角形的性质及等积法可进行判断④.【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，∴、都是等边三角形，∴，∵，∴，即，∴，故①正确；∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，故③正确；∵，∴的面积等于四边形的面积，∵是等边三角形，其面积为，∴，故④错误；综上所述：正确的个数有3个；()2348m n m n m n -+-=-BDF DCE ≅△△DBF EDC ∠=∠ABM ADH ≅△△AH AM =BAM DAH ∠=∠ABCD AB BD =AB BD AD BC CD ====ABD △BDC △60BDF C ∠=∠=︒BE CF =BC BE CD CF -=-DF CE =()SAS BDF DCE ≅△△DBF EDC ∠=∠60DMF DBF BDE EDC BDE BDC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒120BMD ∠=︒60DEB EDC C EDC ∠=∠+∠=∠+︒60ABM ABD DBF DBF ∠=∠+∠=∠+︒DEB ABM ∠=∠AD BC ∥ADH DEB ∠=∠ADH ABM ∠=∠DH BM =()SAS ABM ADH ≅△△AH AM =BAM DAH ∠=∠60MAH MAD ADH MAD BAM BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒AMH △ABM ADH ≅△△AMH △ABMD AMH△2AMH S AM =△2S ABMD AM =四边形故选C.【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.5.【答案】D【分析】根据圆的面积公式：，计算出半圆的面积，用大半圆的面积减小半圆的面积即可得出结果.【详解】解：大半圆的面积为：；小半圆的面积为：；阴影部分的面积为： .故选D.【点睛】本题考查计算阴影部分的面积，有理数的混合运算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键.6.【答案】C【分析】分和两种情况，利用三角形的面积公式，可以表示出S 与t 的函数关系式，即可做出选择.【详解】解：①当时，如图，∵轴，为等边三角形，∴，∴，，∴，即，故S 与t 之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向上的二次函数图像；②当时，如图，，，2πS r =211π2S r =2221ππ228r r S ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭22212ππ3π288r r r S S S =-=-=01t ≤≤12t <≤01t ≤≤l y ∥AOB △60COD ∠=︒OD t =tan 60CD OD =⋅︒=212OCD S OD CD =⋅⋅=△()201t S =≤≤01t ≤≤12t <≤60CBD ∠=︒2BD t =-∴，∴，即，∴故S 与t 之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向下的二次函数图像，故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积公式、二次函数图像特征、解直角三角形、60°角的正切值，正确列出函数关系式，掌握二次函数图像是解答的关键，注意实际问题的图像只是一部分.7.【答案】D【分析】首先根据题意列出表格，由列表法求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可得出答案，注意此题属于放回实验.【详解】解：根据题意列出表格：红1红2白红1（红1，红1）（红2，红1）（白，红1）红2（红1，红2）（红2，红2）（白，红2）白（红1，白）（红2，白）（白，白）根据列表法可知：所有等可能的结果共有9种，其中两次都摸到红球的有4种，所以两次都摸到红球的概率是，故选D.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.8.【答案】D【分析】过作，垂足为E ，连接，易证AC 、AD 分别是，的直径，根据垂径定理可得，进而易证是等边三角形，在中，利用正切求出AD ，进而即可求)tan 602CD BD t =⋅︒=-)2122BCD S BD CD t =⋅⋅=-△)))221222212S t t t =⨯-=+<-≤12t <≤491O 1O E AB ⊥1O B O e 1O e AB AO =ABO △Rt BAD △解.【详解】如图，过作，垂足为E ，连接，∵AC 是的直径，∴，∴AD 是的直径，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，在中，， ∴，故选：D.【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到弧长公式、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、正切，解题的关键是熟练掌握圆的性质及定理求出的直径AD .9.【答案】A【分析】设矩形长为，则宽为，面积，利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积.1O 1O E AB ⊥1O B O e 90ABC ∠=︒1O e AD BO ⊥AB AO =ABO AOB ∠=∠3AB =3AO =3BO =3AO AB BO ===ABO △60BAO ∠=︒BAD DAO ∠=∠30BAD ∠=︒160BO D ∠=︒Rt BAD△30cos AB AD ︒===»6012π3606BDr =⋅=⨯=1O e ()cm 08x x <<()8cm x -()8S x x =-【详解】解：设矩形长为，则宽为，面积.，，由于，S有最大值，当时，S最大是16.所以矩形的最大面积是. 故答案为16.【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题，解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式，再求二次函数最值.10.【答案】D【详解】试题分析：因为负数小于0，正数大于0，正数大于负数，所以在，0，－1，这四个数中，最小的数是－1，故选D.考点：正负数的大小比较.二、填空题11.【答案】±8，±2，4【分析】把右边的式子展开，和右边的式子对比，利用对应系数相等求得答案解决问题.【详解】，∴，；；.故答案为±8；±2；4.【点睛】考查完全平方公式的运用，在变形的过程中不要改变式子的值.12.【分析】根据，得到，然后根据完全平方公式，及算术平方根进行计算即可.【详解】∵∴∵∴.()cm08x x<<()8cmx-()8S x x=-28S x x=-+()2416x=--+10-<4x=216cm1 21 2 -()22ax+()22222444ax a x ax x mx n+=++=++ 24a=2a=±48m a==±4n=1 a>10 aa ->1a>1aa->1aa+=1aa-==【点睛】本题考查了完全平方公式，及算术平方根的使用，熟知此知识点是解题的关键.13.【答案】【分析】设，则，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、，进而说明为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.【详解】解：设，则∵正方形∴，同理：， ∴.故答案为.【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明是直角三角形是解答本题的关键.14.【答案】9【分析】根据非负数的性质即可解答.【详解】解：∵∴，，∴ ，，，∴.故答案为9.【点睛】本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，解题关键是正确求出a 、b 、c 的值.15.【分析】得出点C 经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，代入弧长公式计算即可.【详解】：在中，∵，∴，12BC a =2AC a =45GCDECD ∠==︒ECG △BC a =2AC a =ACDEEC ==1452ACD ECD ∠=∠=︒CG =1452BCD GCD ∠=∠=︒1tan 2CG CEG CE ∠===12ECG △()240a c -+-=20a -=30b +=40c -=2a =3b =-4c =()2349a b c -+=--+=AC =Rt ABC △1BC =30BAC ∠=︒AC =∵绕点C 顺时针方向旋转到的位置，∴，∴点C 经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，∴顶点C，【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，弧长公式等知识，确定点B 的运动路径是解题的关键.16.【答案】80【分析】根据平行四边形的对角相等可得，对边相等可得，利用三角形的内角和定理求出，然后求出四边形是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解.【详解】解：在中，，，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴.故答案为：80.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键.三、解答题17.【答案】，【分析】先移项，再利用因式分解法进行求解即可.【详解】解：移项得：，提取公因式得：，去括号得：，合并同类项得：，∴，，∴，.Rt ABC △AB C ''△150CAC '∠=︒AC ==A C ∠=∠AB CD =ABE ∠BGDF ABCD Y 50A C ∠=∠=︒AB CD =AB CD ∥30E ∠=︒1805030100ABE ∠=︒-︒-︒=︒AF CG =BF DG =BF BG ∥BGDF DF BG ∥180********BFD ABE ∠=︒-∠=︒-︒=︒11x =24x =()()2311=0x x ---()()131=0x x ---⎡⎤⎣⎦()()131=0x x --+()()14=0x x --10x -=40x -=11x =24x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.18.【答案】（1）（2）（3）见解析（4）4【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得答案；（2）利用证明，得，即可；（3）由（2）同理可证.再利用证明，得；（4）用两种方法表示的面积，可得，当时，最小，此时，可得答案.【详解】（1）解：∵点是的中点，点与点重合，∴，故答案为：；（2），∵，，∴，则，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：；（3），理由如下：证明：∵，.∴，，∵，，∴.又∵，∴.∴，.∵在等腰中，点是的中点，∴∵，∴在和中，AP BC⊥CF BE EF=+AAS ACF BAE ≅△△CF AE =AF BE =CF AE =ASA CFP AEM ≅△△CP AM =ABC △128d d AP+=AP BC ⊥AP 2AP =D BC P D AP BC ⊥AP BC ⊥CF BE EF =+BE AP ⊥CF AP ⊥90AEB AFC BAC ∠=∠=∠=︒90BAE EAC EAC ACF ∠+∠=∠+∠=︒BAE ACF ∠=∠AB AC =()AAS ACF BAE ≌△△CF AE =AF BE =CF BE EF =+CF BE EF =+CP AM =BE AP ⊥CF AP ⊥90AFC AEB ∠=∠=︒90CFP AEM ∠=∠=︒90BAE FAC ∠+∠=︒90ACF FAC ∠+∠=︒BAE ACF ∠=∠AB AC =()AAS ACF BAE ≅△△BAE ACF ∠=∠CF AE =Rt ABC △D BC 45BAD ACD ∠=∠=︒BAE ACF ∠=∠CFP △AEM △FCP EAM CF AECFP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴，∴；（4）∵，∴，，由图形可知，，∴.当时，即：点与点重合，最小，此时.∴的最大值为4.【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，利用面积法表示出是解决问题（4）的关键.19.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）抛物线与x 轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，即可求解；（2）分点G 在点B 下方、点G 在点B 上方两种情况，分别求解即可；（3）由，则，即可求解.【详解】解：（1）∵，两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：①；（2）过点作轴交对称轴于点，设对称轴与轴交于点.图1()ASA CFP AEM ≅△△CP AM =AD BC ⊥142ABC S BC AD =⋅=△122AD BC ==11422ABC APB APC S S S AP BE AP CF =+=⋅+⋅=△△△128d d AP+=AP BC ⊥P D AP 2AP =12d d +128d d AP +=243y x x =-+()5,8G k =()3,0()()()21343y a x x a x x =--=-+33a =PAS BPT :△△AS PT PS BT=()1,0A B 2x =x ()3,0()()()21343y a x x a x x =--=-+33a =1a =243y x x =-+B BM x ∥M x N∴，又，则，点的坐标为，设直线的解析式为，则，则，则，①若点在点下方，则过点作轴交于，则设点，，图2∴，即：，，无解；②若点在点上方，则过点作交轴于，则，即：，则，则，则可设直线的解析式为：，将代入得，.∴直线的解析式为②，联立①②并解得：或5（舍去0），∴；（3）分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，图312AF AN BF BM ==1AN =2BM =B ()4,3AB y kx b =+043k b k b +=⎧⎨+=⎩11k b =⎧⎨=-⎩1y x =-G B G GQ y ∥AB Q ()2,43G t t t -+(),1Q t t -()2136314322BAG AQG BGQ S S S OQ t t t ==+=⨯=--+-△△△258t t -+0∆<G B G GH AB ∥x H 6BAG ABH S S ==△△1362AH ⨯=4AH =()3,0H -GH y x t =+()3,0H -3t =-GH 3y x =-0x =()5,8G A B 12y =-S T则，则，直线的解析式为③，联立①③并解得：或，则点，设：，则有两个相等实数根，，解得：（舍去负值），故：【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.20.【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解（4）见详解【分析】（1）依据要求用直尺作图即可；（2）以A 为圆心、AB 为半径画弧交AC 于点P 即可；（3）以P 为圆心、AP 为半径画弧将AC 于点E ，再以E 点为圆心、AB 为半径画弧，两弧交于点F ，连接PF ，直线PF 即为所求的直线l ；（4）连接CD 交直线l 于点Q ，Q 点即为所求.【详解】（1）作图如下：直线AB 、射线BD 、线段AC 即为所求；（2）作图如下：PAS BPT :△△AS PT PS BT=l y kx k =-1x =3k +()23,2B k k k ++PS x =()2112222x k x k k ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭()2222410k k k ∆=+---=k =k =点P 即为所求；（3）作图如下：直线l 即为所求；证明：连接EF 、PB ，由作图可知，，，根据（2）的作图可知，即有：，，，即有，∴，∴，即直线l 即为所求；（4）作图如下：直线l 即为所求；∵，∴依据两点之间线段最短，有当且仅当C 、Q 、D 三点共线时，有，即作图依据为：两点之间线段最短.【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义以及全等三角形在尺规作图中的应用等知识，PE AP =EF PB =PF PE =AP AB =AP PE =AB PF =EF PB =PEF APB ≅△△EPF PAB ∠=∠l AB ∥QC QD CD +≥QC QD CD +=解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型.21.【答案】（1）；（2）①，；②【分析】（1）根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决.（2）①中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式②中也根据材料二的内容来解答求出x 的值.【详解】（1）根据材料一；∵，，，，，∴解得：，∴；（2）②解：由材料二知：，的值看作点到点的距离到点的距离，，即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间，，且，5x =-()2621y x x =+-≤≤1+()()20416x x ⨯=---=2=8=5=3=5x =-()2621y x x =+-≤≤===(),x y ()1,8(),x y ()2,2-+=+(),x y ()1,8()2,2-(),x y ()()1,82,2-+===21x -≤≤设过，，的直线解析式为：∴，解得：，∴；②∵中，∵，（i ），又∵（ii ）由（i ）（ii，解得：（舍），，∴x 的值为【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键.22.【答案】（1）该抛物线的表达式为；（2）点的坐标为或；（3或【分析】（1）先求得点，点，利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论：和，利用全等三角形的性质求解即可；（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P 、、三点共线时，线段长度取得最大值，当点与点重合时，线段长度取得最小值，据此求解即可.【详解】（1）解：令，则，令，则，(),x y ()1,8()2,2-y kx b=+822k b k b=+⎧⎨=-+⎩26k b =⎧⎨=⎩()2621y x x =+-≤≤y =26y x =+26x +=+()222512236x x x x +-=++-++26x =+1=+72x =+11x =>2x =1224233y x x =-++P ()1,0()2,03AD '≤≤5AD '≤≤()1,0A -()0,2B AOB DPC ≅△△AOB CPD ≅△△D 'C AD 'Q C AD '0x =222y x =+=0y =022x =+解得，点，点，把，，代入，得，解得，∴该抛物线的表达式为；（2）解：若和全等，且，分两种情况：①，则，，∵，∴，∴点的坐标为；②，则，∴正方形的边长为2，∴点P 的坐标为；综上，点P 的坐标为或；（3）解：①点P 的坐标为时，∵与关于对称，∴，1x =-()1,0A -()0,2B ()1,0A -()0,2B ()3,0C 2y ax bx c =++09302a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩23432a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩224233y x x =-++AOB △DPC △90AOB DPC ∠=∠=︒AOB DPC ≅△△1AO PD ==2OB PC ==3OC =321OP =-=P ()1,0AOB CPD ≅△△2OB PD ==OPDE ()2,0()1,0()2,0()1,0D PQ '△PQD △PQ P P D D '=∴点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，当Q 点与C 点重合时取得最小值，，此时，当P ，，C 三点共线时，取得最大值，最大值为②点P 的坐标为时，∵与关于对称，∴，∴点在以点P 为圆心，2为半径的圆上运动，当P 、C 、三点共线时，线段长度取得最大值，最大值为；当Q 点与C 点重合时，点的坐标为，此时∴或.【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论.D 'P AD'()1,1D '-AD '===D 'AD '213AP PD '+=+=3AD '≤≤()2,0D PQ '△PQD △PQ P P D D '=D 'D 'AD '325AP PD '+=+=D '()2,2-AD '==5AD '≤≤3AD '≤≤5AD '≤≤。

2023年上海高中自主招生考试数学全真模拟试卷含详细参考答案

2023年上海自主招生数学全真模拟试卷(一)一．填空题1.关于x 的一元二次方程2(31)80x a x a +-++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121,1x x <>，则实数a 的取值范围为_________2.设x =48(1)x +=________3.若1x x -=，则1064108211x x x x x x ++++++的值为___________4.，x,y 的值分别是_____5.已知平行四边形ABCD 的周长为52，自顶点D 作DE ⟂AB ，DF ⟂BC ，点E 、F 为垂足，若DE=5，DF=8，则BE+BF=__________.6.请将112、16、14、13、512、12、712、23、34填入以下方格，使得每行、每列、每条对角线上的数之和都相等.7.已知梯形的一条底边比另一条底边长100个单位，梯形两腰中点的连线把梯形分成面积比为2：3的两部分.设x 是连接梯形的两腰，平行于梯形底边，并分梯形为面积相等的两部分的线段长度，则x 2=________.8.在△ABC 中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC 的内切圆圆心I ，作DE||BC ，分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，则DE 的长为________.9.实系数二次多项式()p x 满足对所有的实数，都有2222()243x x p x x x -+≤≤-+，已知(11)181p =，则(16)_____p =10.如图，△ABC 的三边长BC=a ,CA=b ,AB=c ，a 、b 、c 都是整数，且a 、b 的最大公约数为2.点G 、I 分别为△ABC 的重心和内心，∠GIC=90°，则△ABC 的周长为________二．解答题.11.若两个不相等的实数a 、b ，使得2a b +与2a b +都是有理数，则称数对(a,b )是和谐的.(1)找出一对无理数，使得(a,b )是和谐的；(2)证明:若(a,b )是和谐的，且a+b 是不等于1的有理数，则a 、b 都是有理数；(3)证明:若(a,b )是和谐的，且a b是有理数，则a 、b 都是有理数.12.试求实数a 、b 使得抛物线21y x ax b =++与22y x bx a =++与x 轴有4个交点，且相邻两个点之间的距离相等.13.如图，C 是线段AB 的中点，△DCE 和△BDF 都是等腰直角三角形，连接AE 、AF ，请猜想∠EAF 的度数并证明.14.已知a+b+c 是a 、b 、c 的倍数，且每个数都不大于2021，则满足条件的(a,b,c )有几组？(3个数顺序不同，视为不同组数)参考答案1.解：题目已知等价于函数2()(31)8f x x a x a =+-++与x 轴的两交点横坐标121,1x x <>即有(1)480,2f a a =+<<-；下图方便同学们理解:2.设1y =≠，则有842842481644(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4(1),1,(1)125(1)y x y y y y y y y y y y y x x y -==++++++++--===+=-3.由已知得22242211(,717x x x x x x-=+=⇒+=,代入得原式=6424244242828842422242444(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)](1)(7)742(1)249247x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-++-++==++++++-+-===+--4.原代数式理解为坐标系中点A(-3,-2)B(x ,0)C(0,y )D(1,2),AB+BC+CD 的最小值，AB+BC+CD AD ≥，当点A 、B 、C 、D 共线时取最小值，AD ：y=x +1,此时易得x =-1,y=15.①DE 、DF 在外面时，易知AB:BC=8:5,而AB+BC=26，故AB=16，BC=10，而AE=5，CF=8BE+BF=26+13②DE 、DF 在外面时，易知AB:BC=8:5,而AB+BC=26，故AB=16，BC=10，而，CF=86.通分易知分母为12的分数，由三阶幻方的方法得到结果：7.设梯形较短的底长为a ，则其较长的底的长度为a +100,中位线长为a +50,由梯形面积计算公式得(2a +100):(2a +150)=2：3得a =75,设平分梯形面积的线段长为x ，延长两腰交于一点，以75、x 、175为底的三形都相似，相似比为752：x 2:1752,2222275175,18125x x x -=-=8.设ABC 的三边长为a 、b 、c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为h ，则由等面积法可得11()22ah a b c r =++，r a h a b c =++而ADE~ABC 得h r DE h BC -=，DE=()()16(1)3h r a r a b c a h h a b c -+=-==++9.配方得22(1)1()2(1)1x p x x -+≤≤-+，左右两边表示的抛物线顶点都是(1,1),故p(x)的顶点也是(1,1)，设2()(1)1p x a x =-+，9(11)181,,(16)4065p a p ===10.如图延长GI ，与边BC 、CA 分别交于点P 、Q ，连接GC ，作GEBC ，GFAC ，设内切圆的半径为r ，BC 、CA 边上的高分别为,a b h h ，易知CP=CQ ，由PQC GPC GQC S S S ,∆∆∆=+，12E GF ()3a b r G h h =+=+，2S 2S 2S 162(),,3ABC ABC ABC ab a b c a b c a b a b∆∆∆=+++=+++而G 、I 不重合，ABC 不是正三角形；不妨设a>b ,(a,b )=2,设a =2m ,b=2n ,(m,n )=1，故612,()|12,|24,14,10,11,ab mn m n a b a b c a b m n=++===++此时周长为35.11.(1)(a,b 112,222-是和谐的.(答案不唯一)(2)由已知22()()()(1)t a b a b a b a b =+-+=-+-是有理数，a+b=s 是有理数，1t a b a b -=+-，解得1()21t a s s =+-是有理数，b=s-a 是有理数.(3)若20a b +=则a b b =-是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数；若20a b +≠，2221()(1()()1a a b b b x a a b b b ++==++是有理数，a y b =也是有理数，因此2211,1y x xy b b xy y x--==--是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数；12.设y 1与x 轴交于x 1,x 2,(x 1>x 2)设y2与x 轴相交于x3,x4,①当y 1与y 2在x 轴的交点不交错时，x 1>x 2>x 3>x 4,(y 1的两个交点都在y 2两交点的右侧),或x 3>x 4>x 1>x 2或x 1>x 3>x 4>x 2，由距离公式可得a=b ，矛盾;②当y 1与y 2在x 轴的交点交错时，即x 1>x 3>x 2>x 4或x 3>x 1>x 4>x 2，此时有x 1-x 3=x 3-x 2=x 2-x 4,x 3为x 1和x 2的中点，即点(,0)2a -，代入得2042a ab a -+=同理2b 042ab b -+=得4,0a b =-=或0,4a b ==-13.分析：题目中出现两个等腰直角三角形和中点，与中点有关的辅助线较多，给同学们很多思考方向，例如倍长中线；而等腰直角三角形性质特殊，也可以由此作为突破点进行思考.而两个等腰直角三角形可构造手拉手模型，亦可构造相似.方法一：构造正方形构造正方形CDGE ，易知△GDF ≌△CDB ，△AEC ≌△FEG,得△EAF 为等腰直角三角形，故∠EAF=45°方法二：手拉手全等延长DC 至G ，使CG=CD ，连接AG 、EG ，易证△CDB ≌△CGA ，而∠CDB=∠CGA ，∠AGE=∠CGA-45°，而∠EDF=45°+∠CDB-90°=∠CDB-45°，故∠AGE=∠EDF ；而AG=DF ，EG=ED ，得△AGE ≌△FDE ，得△AEF 为等腰直角三角形，故EAF=45°方法三：相似三角形取BF的中点G，连接EG、CF、EF，DG：DF=1：√2，CD：DE=1：√2，而∠EDF=∠CDG，故△DEF~△DCG，故CG：EF=1：√2，而CG：AF=1：√2，故EF：AF=1：√2，而∠AFE=45°，故△AEF为等腰直角三角形，故∠EAF=45°14.符合条件的类型为(k,k,k)有2021组，(k,k,2k)有1010X3=3030组，(k,2k,3k)有673X6=4038组，共9089组.。

自主招生数学试题及答案

自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数$ f(x) = x^2 - 4x + 4 $，求$ f(x) $的最小值。

A. 0B. 1C. 2D. 42. 若$ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) $，求$ \theta $的值。

A. $ \frac{\pi}{4} $B. $ \frac{\pi}{2} $C. $ \frac{3\pi}{4} $D. $ \pi $3. 已知等差数列$ \{a_n\} $的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共20分）5. 若$ a $和$ b $是方程$ x^2 + 4x + 4 = 0 $的两个根，则$ a + b $的值为______。

6. 已知$ \cos(\alpha) = \frac{3}{5} $，$ \alpha $在第一象限，求$ \sin(\alpha) $的值。

7. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是$ a $、$ b $、$ c $，求长方体的体积。

三、解答题（每题30分，共60分）9. 已知函数$ g(x) = \ln(x) + 2x - 6 $，求$ g(x) $的导数。

10. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为$ C(x) = 50 + 20x $，销售价格为$ P(x) = 120 - 0.5x $，其中$ x $表示生产数量。

求工厂的盈亏平衡点。

答案：一、选择题1. B. 1（因为$ f(x) = (x-2)^2 $，当$ x = 2 $时，$ f(x) $取得最小值1）2. A. $ \frac{\pi}{4} $（根据二倍角公式）3. A. 23（第10项为$ a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 23 $）4. B. 50π（圆的面积公式为$ A = \pi r^2 $）二、填空题5. -4（根据韦达定理）6. $ \frac{4}{5} $（根据勾股定理）7. 162（第5项为$ a_5 = 2 \times 3^4 = 162 $）8. $ abc $（长方体体积公式）三、解答题9. $ g'(x) = \frac{1}{x} + 2 $（对$ g(x) $求导）10. 盈亏平衡点为$ x = 40 $。

高中自主招生数学试题及答案

高中自主招生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -9C. -3D. 13. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求第10项的值。

A. 26B. 27C. 28D. 295. 一个三角形的内角和为多少度？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是_________三角形。

7. 一个函数的导数f'(x) = 3x^2 - 2x，当x=1时，其导数的值为_________。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值是_________。

9. 一个正方体的体积为27，它的边长是_________。

10. 圆的周长公式为C = 2πr，若半径r=4，则周长为_________。

三、解答题（共75分）11. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

（10分）12. 证明：若a，b，c是实数，且a + b + c = 0，则(1/a) + (1/b) + (1/c) ≥ 9。

（15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数并讨论其在x=1处的单调性。

（20分）14. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。

（15分）15. 已知一个圆的圆心在原点，半径为1，求圆上任意一点到直线y = x的距离。

（15分）四、结束语本试题旨在考察学生对高中数学基础知识的掌握情况和解题能力。

希望同学们在解答过程中能够认真思考，仔细作答，展现出自己的数学素养。

2024年高中自主招生素质检测数学试题及参考答案

学校姓名考场座位号2024年自主招生素质检测数学试题注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟㊂2.全卷包括试题卷 (4页)和答题卡 (2页)两部分㊂3.答题一律要求用0.5m m 黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B 铅笔作答,考试不使用计算器㊂4.考试结束后,请将试题卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题:共10小题,每小题5分,共50分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,现拿走一个小立方体,得到几何体的主视图与左视图均没有变化,则拿走的小立方体是A .①B .②C .③D .④2.黄山景色绝美,景观奇特. 五一假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季190元/人,以此计算, 五一假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为A .0.247ˑ107B .2.47ˑ107C .2.47ˑ108D .247ˑ1053.下列因式分解正确的是A .2x 2+y 2+4x y =(2x +y )2B .x 3-2x y +x y 2=x (x -y )2C .x 2-(3y -1)2=(x -1+3y )(x +1-3y )D .a x 2-a y 2+1=a (x +y )(x -y )+14.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =a x 2-3x +3上两点,当a -x 1-x 2=2时,y 1=y 2,则该抛物线与坐标轴的交点个数为A .3个或0个B .3个或1个C .2个或0个D .2个5.若关于x 的不等式组x +2a <03x +a <15的解集中的任意x 的值,都能使不等式x -4<0成立,则实数a 的取值范围为A .a <-3B .a <-2C .a ȡ-2D .a ȡ36.如图,已知әA B C 中,A D 为øB A C 的平分线,A B =8,B C =6,A C =10,则D C 的值为A .10B .2C .5D .17.如图,B (-2,0),C (4,0),且B E 所在的直线与A C 垂直,øA C B -øB A O =45ʎ,连接O D ,若射线O D 上有一点M ,横坐标为6,则әB O M 的面积为A .3B .6C .23D .728.定义:用M a ,b ,c 表示这三个数的中位数,用M i n {a ,b ,c }表示这三个数的最小数.例如:M {-1,12,0}=0,M i n {-1,12,0}=-1.如果M {4,x 2,2x -1}=M i n {4,x 2,2x -1},则x 的值为A .2或-2B .1或12C .2或12D .1或529.如图,әA B C 中,A B =B C ,øB =120ʎ,E 为平面内一点,若A E =3,C E =2,则B E 的值可能为A .2.5B .3C .0.3D .0.510.如图,直线A B :y =13x +b 与反比例函数y =kx相交于点A (3,5),与y 轴交于点B ,将射线A B 绕点A 逆时针旋转45ʎ,交反比例函数图象于点C ,则点A ㊁B ㊁C 构成的三角形面积为A .12B .1110C .232D .554二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分㊂11.某市为改善市容,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为.12.若x 9+x 8+ +x 2+x +1=0,则x 的值为.13.定义:对于函数y =l g x (x >0),y 随x 的增大而增大,且l g 10=1,l g xy=l g x -l g y ,l g x y =l g x +l g y .若1a +5b =5,则l g a +l g b 的最大值为.14.已知二次函数y =2x 2+b x +c 图象的对称轴为直线x =34,且过点(3,10),若其与直线y =3交于A ㊁B 两点,与直线y =x +5交于P ㊁Q 两点,则P Q 2A B值为.三㊁解答题:共5题,共80分㊂解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤㊂15.(12分)(1)若13a +25b =1,23a +35b =3,求a 2-b 2+8b -172025;(2)先化简再求值:m +2m -m -1m -2ːm -4m 2-4m +4,其中m =2s i n 30ʎ㊃t a n 45ʎ-32t a n 30ʎ.16.(12分)请按以下要求完成尺规作图.(1)如图1,菱形A B C D 中,点P 在对角线B D 上,请作出一对以B D 所在直线为对称轴的全等三角形,使交B A 于点M ,交B C 于点N ,әP B M ɸәP B N .你有几种解法?请在下图中完成;(保留必要作图痕迹,不写作法)(2)如图2,点P 是菱形A B C D 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线B A ㊁射线B C 于点M ㊁N ,且B M =B N ,聪明的你肯定有多种不同作法?请在下图中完成两种作法,并选择其中一种证明:B M =B N .(保留必要作图痕迹,不写作法)17.(15分)如图,直角三角形A B C中,以直角边A B为直径作圆交A C于点D,过点D作D MʅA B于点M,E为D M的中点,连接A E并延长交B C于点F,B F=E F.(1)求证:C F=B F;(2)求t a nøD E F;(3)若D F=2,求圆的面积.18.(19分)已知四边形A B C D,A B=4,点P在射线B C上运动,连接A P.(1)若四边形A B C D为正方形,点M在A P上,且øA D M=øA P D.请判断A M㊁A P㊁A C之间数量关系,并说明理由;(2)若四边形A B C D为菱形呢?øB=60ʎ,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗?并说明理由;(3)若四边形A B C D为正方形,将线段A P绕点P顺时针旋转90ʎ于P Q,此时D Q的最小值为多少?A Q+D Q的最小值呢?并说明理由.19.(22分)已知抛物线y=a x2+b x+c的顶点坐标为A(1,4),与x轴交点分别为点B㊁C(点B在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=k x+4(k>0)与x轴所形成的夹角的正切值为4,方程k x+4=a x2+b x+c有两个相等的实数根.(1)求该抛物线的解析式;(2)点M是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A㊁B㊁M㊁N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点N坐标及该平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D关于x轴的对称点为D',若过点D'的直线与y'交于P㊁Q两点(点P在点Q左侧),点Q关于y轴的对称点为Q',若әP Q O与әP Q Q'面积相等,求直线P Q的解析式.2024年自主招生素质检测数学参考答案选择题:共10小题,每小题5分,满分50分㊂题号12345678910答案CBCBCABDAD填空题:共4小题,每小题5分,满分20分㊂11.20% 12.-1 13.1 14.2654.ʌ解析ɔ x 1+x 2=a -2,抛物线的对称轴x =--32a,ʑ32a =a -22⇒a 2-2a -3=0⇒(a +1)(a -3)=0⇒a 1=-1,a 2=3,ʑ①当a 1=-1时,y =-x 2-3x +3,Δ=9+12>0,与坐标轴的交点个数为3个;②当a 2=3时,y =3x 2-3x +3,Δ=9-4ˑ3ˑ3<0,与坐标轴的交点个数为1个.5.ʌ解析ɔ x <-2a ,x <15-a 3,①-2a >15-a 3,解得a <-3,ʑx <15-a 3,ȵx <4,ʑ15-a 3ɤ4,解得a ȡ3(舍去);②-2a ɤ15-a 3,解得a ȡ-3,ʑx <-2a ,ȵx <4,ʑ-2a ɤ4,解得a ȡ-2.6.ʌ解析ɔ 由角平分线定理S әA B D S әA C D =A B ㊃h A C ㊃h =45=B D D C ,ʑ45=6-D C D C ,解得D C =103.7.ʌ解析ɔ øB E O =øB A E +øA B E ,øA C B =øB A O +45ʎ,R t әB O E ʐR t әB D C ,ʑøB E O =øA C B ,ʑøA B D =45ʎ,则әA B D 为等腰直角三角形,A D =B D ,ʑR t әA E D ɸR t әB C D ,ʑA E =B C ,S әA E D =S әB C D ,ʑh 1=h 2,ʑ点D 在øA O C 的角平分线上,M (6,6),S әB O M =2ˑ62=6.8.ʌ解析ɔ 由图像知x 2=2x -1,解得x =1;或2x -1=4,解得x =52.9.ʌ解析ɔ 设B E =x ,将әA B E 绕B 点顺时针旋转120ʎ到әC B E ',C E '=A E =3,øE B E '=120ʎ,B E =B E '=x ,易得E E '=3x ,在әC E E '中,C E '-C E <E E '<C E '+C E ,即3-2<3x <2+3,解得33<x <533.10.ʌ解析ɔ 由题知,直线y =13x +b 与反比例函数y =k x相交于点A(3,5),则13ˑ3+b =5,解得b =4,k =15,法一:直线A C 与y 轴交于点M ,从M 点作直线A B 的垂线,垂足为N ,A M =(m -5)2+32,MN =(4-m )s i n θ=(4-m )310,A M =2MN ,ʑ(m -5)2+9=95(m -4)2⇒5(m -5)2+45=9(m -4)2,2m 2-11m -13=0⇒(2m -13)(m +1)=0,ʑm =132(舍)或m =-1,直线A C 的方程为y =2x -1.2x -1=15x ⇒2x 2-x -15=0⇒(2x +5)(x -3)=0,解得x 1=-52,x 2=3,ʑ点C (-52,-6),S әA B C =5ˑ(3+52)2=554.法二:易知l A B :y =13x +4,设l A C :y =k 2x +b ,由倒角公式得t a n 45ʎ=k 2-k 11+k 1k 2=k 2-131+13k 2=1,k 2-13=13k 2+1,两边平方得k 2=2或k 2=-12(舍),又l A C 过点A ,ʑl A C :y =2x -1(与y 轴交点为M ),与y =15x 联立得x C =-52,ʑS әA B C =12BM |x A -x C |=554.12.ʌ答案ɔ -1ʌ解析ɔ 若x =0,等式不成立,则x ʂ0,等式两边同乘x ,ʑx 10+x 9+x 8+ +x 2+x =0⇒x 10-1=0⇒x 10=1,解得x =ʃ1.当x =1时,等式不成立;当x =-1时,等式成立.13.ʌ解析ɔ l g a +l g b =l ga b ,即求a b 的最大值,12a +54b ȡ212a ㊃54b =258a b ,258a b ɤ5⇒a b ɤ10.14.ʌ解析ɔ 由题知,-b 4=34,解得b =-3,抛物线过点(3,10),代入数据解得c =1,抛物线y =2x 2-3x +1,当y =3时,2x 2-3x +1=3,解得x 1=-12,x 2=2,A B =52,当y =x +5时,2x 2-3x +1=x +5⇒x 2-2x -2=0⇒x 3+x 4=2,x 3x 4=-2,(x 3-x 4)2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4=12,P Q =(1+k 2)(x 3-x 4)2=26,P Q 2A B =265.15.(12分)ʌ解析ɔ (1)13a +25b =1, ①23a +35b =3, ②①+②得a +b =4,(2分) a 2-b 2+8b -17=(a +b )(a -b )+8b -17=4a -4b +8b -17=4a +4b -17=-1,(4分)a 2-b 2+8b -17 2025=-1.(6分)(2)原式=m +2m -m -1m -2㊃(m -2)2m -4=m 2-4-(m 2-m )m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -4m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -2m,(8分)m =2ˑ12-32ˑ33=12,(10分) ʑ原式=12-212=-3.(12分) 16.(12分)ʌ解析ɔ (1)提示:作P M ㊁P N 分别垂直于A B ㊁A C ,如图1;(2分)过P 点作MN 垂直于B D ,如图2;(4分)P 作E F ʊB C A B 于点E C D 于点F E M =E P M P 交B C 于点N作法二:先作B M '=B N ',交A B 于点M ',交B C 于点N ',连接M 'N ',将直线M 'N '平移过点P ,交A B 于点M ,交B C 于点N ,即MN 为所求直线,如图4;(8分)选择作法一证明:ȵE M =E P ,ʑøE M P =øE P M ,ȵE F ʊB C ,ʑøE P M =øB NM ,ʑøE M P =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)选择作法二证明:ȵB M '=B N ',ʑøB M 'N '=øB N 'M ',M 'N 'ʊMN ,ʑøB MN =øB M 'N ',øB NM =øB N 'M ',ʑøB MN =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)(作法不限,合理即可)17.ʌ解析ɔ (1)ȵD M ʊB C ,ʑәA D E ʐәA C F ,әA E M ʐәA F B ,ʑA E A F =D E C F ,A E A F =E M B F,(2分) ȵD E =E M ,ʑC F =B F ;(4分)(2)取A B 的中点O ,即为圆心,连接O F ,设圆O 的半径为r ,延长A B 交D F 延长线于G ,由(1)知,F 为R t әB C D 中斜边B C 的中点,ʑD F =B F =E F ,ʑøF D E =øD E F =øA E M ,ȵøG +øG D M =øE A M +øA E M =90ʎ,则øG =øE A M ,ʑA F =F G ,在әA F G 中,F B ʅA G ,则A B =B G =2r ,A O =r ,O G =3r ,(6分)ȵO F ʊA C ,ʑO G A O =F G D F=3,即F G =3D F ,(8分) ȵD F =B F ,ʑF G =3B F ,ʑc o s øB F G =B F F G =13,ʑt a n øD E F =t a n øE D F =t a n øB F G =B G B F=22;(10分)(3)ȵD F =B F ,ʑB F =2,由(2)知,t a n øB F G =B G B F=22,ʑB G =42,(12分)ȵB G =2r ,ʑr =22.(13分)S 圆O =πr 2=8π.(15分)18.ʌ解析ɔ (1)A C 2=2A M ㊃A P .(2分)理由如下:如图1,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D ,ʑA D 2=A M ㊃A P ,在正方形A B C D 中,A D =22A C,ʑ(22A C )2=A M ㊃A P ,ʑA C 2=2A M ㊃A P .(6分)(2)(1)中的结论不成立.(7分) 理由如下:如图2,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D,ʑA D 2=A M ㊃A P ,ȵ在菱形A B C D 中,øB =60ʎ,则B C =A B =A C =A D ,ʑA C 2=A M ㊃A P .(11分)(3)如图3,过点Q 分别作Q E ʅB C 的延长线于点E ,Q F ʅC D 于点F ,ʑQ F =C E ,设B P =m ,A P =Q P ʑR t әA B P ɸR t әP E Q ,则B P =Q E =m ,A B =P E =4,ȵC E +P C =B P +P C =4,ʑC E =B P =m ,在R t әD F Q 中,Q F =C E =m ,D F =C D -C F =4-m ,(15分) D Q 2=D F 2+Q F 2=(4-m )2+m 2=2m 2-8m +16=2(m -2)2+8,当m =2时,D Q 取得最小值,D Q m i n =22,(17分) 分析易知Q 在C D '上运动,作D 关于C D '的对称点C ',连接Q C ',则(A Q +D Q )m i n =(A Q +Q C ')m i n =A C '=42+82=45.(19分) 19.ʌ解析ɔ (1)由题可知k =4,ʑy =4x +4(2分) 2的顶点坐标为A y =a x -12即4x +4=a (x -1)2+4⇒a x 2-(2a +4)x +a =0有两个相等的实数根,ʑΔ=(2a +4)2-4a 2=0,解得a =-1,ʑ抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3;(5分)(2)设M 点坐标为(m ,-m 2+2m +3),N 点坐标为(1,n ),A (1,4),令-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B (-1,0),C (3,0),(7分)若A B 为对角线,1-12=m +12,解得m =-1(舍去);若A M 为对角线,m +12=1-12,解得m =-1(舍去);若A N 为对角线,1+12=m -12,解得m =3;(9分) 4+n 2=0-m 2+2m +32,解得n =-4,此时M (3,0),N (1,-4),(10分)S ▱A B M N =4ˑ82=16;(12分) (3)由题可知,抛物线y '=-x 2,点D (0,3)关于x 轴的对称点D '(0,-3),直线P Q 过点D ',设直线P Q 的解析式为y P Q =k x -3,若k >0,如图1,S әP Q O =S әP Q Q ',则Q 'O ʊP Q ,则әQ 'H O ɸәQ H D ',所以O H =12O D '=32,H (0,-32),所以Q (62,-32),Q '(-62,-32),直线P Q 的解析式为y P Q =62x -3;(16分)若k <0,如图2,过点Q '作直线l ʊP Q ,取l 与y 轴交点M ,作O L ʅP Q 于点L ,MH ʅP Q 于点H ,所以O L ʊHM ,S әP Q O =S әP Q O ',所以O L =HM ,所以四边形O L MH 为平行四边形,则对角线互相平分,所以M (0,-6),同理,әD 'K Q ɸәM K Q ',所以D 'K =K M =12D 'M =32,所以K (0,-92),(20分) 因为点Q 的纵坐标为-92,所以Q (322,-92),直线P Q 的解析式为y P Q =-22x -3.(21分)综上,直线P Q 的解析式为y P Q =6x -3或y P Q =-2x -3.分)。

高中自主招生数学模拟试卷(解析版)

【解答】解：∵ 0＜ x＜ 1， ∴取 x＝，
∴ ＝ 2， x2＝，
∴ x2＜ x＜，
故选： C．【点评】本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较整式的大小是解此题的关键．
4．（ 4 分）初三体育素质测试，某小组
编号
1
2
5 名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：
A ．4 米
B．3.8 米
C． 3.6 米
D． 3.4 米
10．（ 4 分）如图，三角形 ABC 和 DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠
B＝∠ DEF
＝ 90°，点 B，C，E，F 在同一直线上，现从点 C，E 重合的位置出发，让三角形 ABC 在直线 EF
上向右作匀速运动，而 DEF 的位置不动，设两个三角形重合部分的面积为 y，运动的距离为 x，下
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
那么被遮盖的两个数据依次是（
）
A ．35， 2
B．36， 4
C． 35，3
D． 36，3
5．（ 4 分）若代数式
y2+y﹣ 2＝ 0，则代数式
32
y +4 y +y+2014
的值为（
）
A ．2020
B．2025
C． 2014
D． 2015
6．（ 4 分）下列命题正确的是（
27．（ 14 分）在平面直角坐标系中，抛物线与 y 轴交于点 C．
y＝ax2﹣ 5ax+4 a 与 x 轴交于 A、B（ A 点在 B 点的左侧）

高中数学试卷高考数学试卷数学模拟卷五校联考自主招生模拟试卷二十套(含答案)

一、高中数学国重五校联考自主招生模拟试卷模拟试卷（一）1、设,15,n N n +∈≥集合A ，B 都是{1,2,...,}I n =的真子集，A ,A B A B I =∅=I U ，证明：集合A 或B 中，必有两个不同的数，它们的和为完全平主数。

2、设2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两个根是1x 和2x ，且12210,x x x a>->.又若10t x <<，试比较()f t 与1x 的大小。

3、求函数2()max{|1|,|5|}f x x x =+-的最小值，并求出相应的x 值。

4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的,a b ∈R ，有()()().f ab af b bf a =+（1）求(0)f ，(1)f 的值。

（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论。

（3）(2)(2)2,()n n f f u n N n-+==∈，求数列{}n u 的前n 项和.n S5、已知关于x 的方程222(1)(1),1ax a x a +=->，证明方程的正根比1小，负根比1-大。

6、设,a b 是两个正数，且a b <，当[,]x a b ∈时246y x x =-+的最小值为a ，最大值为b ，求,a b 的值。

7、求函数y =8、某生产队想筑一面积为144 m2的长方形围栏，围栏一边靠墙，现有铁丝网50 m，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？9、在正方形ABCD中，过一顶点D作对角线CA的平行线DE，若|CE|=|CA|，且CE交边DA于点F，求证：|AE|=|AF|.10、设△ABC的重心为H，外心为O，外接圆半径为R，|OH|=d，|BC|=a，|CA|=b，|AB|=c，求证：22222++=-9.a b c R d11、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长之比为3：1，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线:20-=的距离最小的圆的方程。

2023年安徽省中学自主招生考试数学模拟试卷一及详细答案

安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一参照答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组旳解集是x＞3，则m旳取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先解不等式组，然后根据不等式旳解集，得出m旳取值范围即可．解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整顿得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组旳解集是x＞3，∴m≤3．故选C．点评：重要考察了一元一次不等式组解集旳求法，将不等式组解集旳口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m旳范围．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．考点：特殊角旳三角函数值．分析：本题中直角三角形旳角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC旳度数，再由特殊角旳三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．点评：本题考察旳是特殊角旳三角函数值，解答此题旳关键是构造特殊角，用特殊角旳三角函数促使边角转化．注：（1）求（已知）非特角三角函数值旳关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求（已知）锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等旳比来转换．3．（3分）（•南漳县模拟）如图，AB为⊙O旳一固定直径，它把⊙O提成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD旳平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD旳距离保持不变B．位置不变D．随C点移动而移动C．等分考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦旳关系．专题：探究型．分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，因此有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆旳中点．故选B．点评：本题考察了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对旳圆周角相等，一条弧所对旳圆周角是它所对旳圆心角旳二分之一．也考察了垂径定理旳推论．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y旳最大值与最小值旳差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2考点：函数最值问题．分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后运用函数旳单调性求出函数旳最大值和最小值，最终求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y旳最大值为2，当x=1或5时，y旳最小值为2，故当x=1或5时，y获得最小值2，当x取1与5中间值3时，y获得最大值，故y旳最大值与最小值旳差为2﹣2，故选D．点评：本题重要考察函数最值问题旳知识点，解答本题旳关键是把函数两边平方，此题难度不大．5．（3分）（•泸州）已知O为圆锥旳顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过旳最短路线旳痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段旳性质：两点之间线段最短；几何体旳展开图．专题：压轴题；动点型．分析：此题运用圆锥旳性质，同步此题为数学知识旳应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过旳最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行旳最短路线应当是一条线段，因此选项A和B错误，又由于蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么假如将选项C、D旳圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上旳点P应当可以与母线OM′上旳点（P′）重叠，而选项C还原后两个点不可以重叠．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生旳空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形旳边长是和它相切旳圆旳周长旳两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形旳三边做无滑动旳旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈考点：直线与圆旳位置关系．分析：根据直线与圆相切旳性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形旳顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解答：解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形旳三边做无滑动旳旋转，∵等边三角形旳边长是和它相切旳圆旳周长旳两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形旳一种顶点旋转了三角形旳一种外角旳度数，圆心要绕其三角形旳顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考察了直线与圆旳位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考察了旋转旳性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c旳图象如下图，则如下结论对旳旳有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数旳关系．专题：图表型．分析：由抛物线旳开口方向判断a旳符号，由抛物线与y轴旳交点判断c旳符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点状况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值不小于0，即y=4a+2b+c＞0，对旳；④当x=3时函数值不不小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，对旳；⑤当x=1时，y旳值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，因此a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），对旳．③④⑤对旳．故选B．点评：考察二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴旳交点、抛物线与x轴交点旳个数确定．8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，假如，那么△ABC旳内切圆半径为（）A．1B．C．2D．考点：三角形旳内切圆与内心；等边三角形旳性质．分析：过P点作正△ABC旳三边旳平行线，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分旳面积=白色部分旳面积，于是求出三角形ABC旳面积，进而求出等边三角形旳边长和高，再根据等边三角形旳内切圆旳半径等于高旳三分之一即可求出半径旳长度．解答：解：如图，过P点作正△ABC旳三边旳平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分旳面积=白色部分旳面积，又知S△AFP+S△PCD+S△BPE=，故知S△ABC=3，S△ABC=AB2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC旳高h=3，△ABC旳内切圆半径r=h=1．故选A．点评：本题重要考察等边三角形旳性质，面积及等积变换，解答本题旳关键是过P点作三角形三边旳平行线，证明黑色部分旳面积与白色部分旳面积相等，此题有一定难度．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．考点：二次根式故意义旳条件；非负数旳性质：绝对值．专题：计算题．分析：根据互为相反数旳和等于0列式，再根据非负数旳性质列式求出a+旳值，再配方开平方即可得解．解答：解：∵与|3﹣a﹣|互为相反数，∴+|3﹣a﹣|=0，∴3﹣a﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a＞0，∴（+）2=5，∴+=．故答案为：．点评：本题考察了二次根式故意义旳条件，非负数旳性质，求出a+=3后根据乘积二倍项不含字母，配方是解题旳关键．10．（3分）若[x]表达不超过x旳最大整数，，则[A]=﹣2．考点：取整计算．专题：计算题．分析：先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x]表达不超过x旳最大整数得到，[A]=﹣2．解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考察了取整计算：[x]表达不超过x旳最大整数．也考察了分母有理化和零指数幂．11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，AN与BM交于点O，则=．考点：相似三角形旳鉴定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题；证明题．分析：连接MN，设△MON旳面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，易知MN是△ABC旳中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON旳面积是2s，进而可知△BMN旳面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM旳面积等于6s，同理可求△ABC旳面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON旳面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，∴MN是△ABC旳中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON旳面积=2s，∴△BMN旳面积=3s，∵N是BC旳中点，∴△BCM旳面积=6s，同理可知△ABC旳面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考察了相似三角形旳鉴定和性质、三角形中位线定理，解题旳关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O旳面积为3π，AB为直径，弧AC旳度数为80°，弧BD旳度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD旳最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦旳关系．专题：探究型．分析：先设圆O旳半径为r，由圆O旳面积为3π求出R旳值，再作点C有关AB旳对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′旳长即为PC+PD旳最小值，由圆心角、弧、弦旳关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′旳度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O旳半径为r，∵⊙O旳面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C有关AB旳对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′旳长即为PC+PD旳最小值，∵旳度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD旳最小值为3．故答案为：3．点评：本题考察旳是轴对称﹣最短路线问题及垂径定理，圆心角、弧、弦旳关系，根据题意作出点C有关直线AB 旳对称点是解答此题旳关键．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不一样旳和数中，是2旳倍数旳个数为a，是3旳倍数旳个数为b，则样本6、a、b、9旳中位数是 5.5．考点：中位数．分析：首先列举出所有数据旳和，进而运用已知求出a，b旳值，再运用中位数是一组数据重新排序后之间旳一种数或之间两个数旳平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有也许：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不一样数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2旳倍数旳个数为a=5，是3旳倍数旳个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据旳中位数是：=5.5，故答案为：5.5．点评：此题考察了列举法求所有也许以及中位数旳定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间旳那个数（最中间两个数旳平均数），叫做这组数据旳中位数，假如中位数旳概念掌握得不好，不把数据按规定重新排列，就会出错．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成旳图形面积为S，则S 旳最小值是．考点：两条直线相交或平行问题．分析：首先用k表达出两条直线与坐标轴旳交点坐标，然后表达出围成旳面积S，根据得到旳函数旳取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴旳交点是A（，0），与y轴旳交点是B（0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴旳交点是C（，0），与y轴旳交点是D（0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC旳面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考察了两条指向相交或平行问题，解题旳关键是用k表达出直线与坐标轴旳交点坐标并用k表达出围成旳三角形旳面积，从而得到函数关系式，运用函数旳知识其最值问题．15．（3分）（•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重叠，折痕与PF交于Q点，则PQ旳长是cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形旳性质，用含x旳式子表达Rt△EGQ 旳三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形旳性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．点评：本题考察图形旳翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称旳性质，折叠前后图形旳形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．16．（3分）（•随州）将半径为4cm旳半圆围成一种圆锥，在圆锥内接一种圆柱（如图示），当圆柱旳侧面旳面积最大时，圆柱旳底面半径是1cm．考点：圆柱旳计算；二次函数旳最值；圆锥旳计算．专题：压轴题．分析：易得扇形旳弧长，除以2π也就得到了圆锥旳底面半径，再加上母线长，运用勾股定理即可求得圆锥旳高，运用相似可求得圆柱旳高与母线旳关系，表达出侧面积，根据二次函数求出对应旳最值时自变量旳取值即可．解答：解：扇形旳弧长=4πcm，∴圆锥旳底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥旳高为=2cm，设圆柱旳底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱旳侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱旳侧面积有最大值．点评：用到旳知识点为：圆锥旳弧长等于底面周长；圆锥旳高，母线长，底面半径构成直角三角形；相似三角形旳相似比相等及二次函数最值对应旳自变量旳求法等知识．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一种交点．（1）求抛物线旳解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线旳对称轴上与否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，阐明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为有关x 旳二元一次方程，令△=0求b旳值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形旳腰或底，分别求Q点旳坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一种交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意旳点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意旳Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．点评：本题考察了二次函数旳综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，根据等腰三角形旳性质，分类求Q 点旳坐标．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，既有一工程车需从距B点50m旳A处前方取土，然后通过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m旳地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所通过旳途径长．考点：解直角三角形旳应用-坡度坡角问题．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心旳位置G，与CD相切时圆心旳位置P，与CD相切时圆心旳位置I，分别求得各段旳途径旳长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G旳位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G旳路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P旳位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心旳位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心旳位置），移动旳途径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动旳距离是：6﹣1=5m，则圆心移动旳距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．点评：本题考察了弧长旳计算公式，对旳确定圆心移动旳路线是关键．19．（14分）如图，过正方形ABCD旳顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜测：CE与DF旳大小关系？并证明你旳猜测．（2）猜测：H是△AEF旳什么心？并证明你旳猜测．考点：相似形综合题．分析：（1）运用正方形旳性质得到AD∥BC，DC∥AB，运用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再运用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF旳垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF旳垂心．点评：本题考察了相似形旳综合知识，本题是一道开放性问题，对旳旳猜测是深入解题旳方向和基础，非常重要．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1旳圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2旳圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形旳面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2旳值．考点：圆旳综合题．专题：综合题．分析：（1）由于菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，根据菱形旳性质得到ADC和△DBC都是等边三角形，运用等边三角形旳面积等于边长平方旳倍即可得到菱形旳面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）由于PM与PE都是⊙O1旳切线，PN与PF都是⊙O2旳切线，根据切线长定理得到PM=PN，PN=PE，则PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）由于BE与BG都是⊙O1旳切线，根据切线旳性质和切线长定理得到BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，于是有∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，根据含30°旳直角三角形三边旳关系得到BE=O2E=r2，则BG=r2，DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，则MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），而EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），运用EF=MN可得到有关（r1+r2）旳方程，解方程即可．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形旳面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2旳切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1旳切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2旳切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．点评：本题考察了圆旳综合题：圆旳切线垂直于过切点旳半径；从圆外一点引圆旳两条切线，切线长相等，并且这个点与圆心旳连线平分两切线旳夹角；掌握菱形旳性质，记住等边三角形旳面积等于边长平方旳倍以及含30°旳直角三角形三边旳关系．21．（15分）（•黄冈）如图，已知抛物线旳方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B在点C旳左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m旳值；（2）在（1）旳条件下，求△BCE旳面积；（3）在（1）条件下，在抛物线旳对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H旳坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上与否存在点F，使得以点B、C、F为顶点旳三角形与△BCE相似？若存在，求m 旳值；若不存在，请阐明理由．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）将点（2，2）旳坐标代入抛物线解析式，即可求得m旳值；（2）求出B、C、E点旳坐标，进而求得△BCE旳面积；（3）根据轴对称以及两点之间线段最短旳性质，可知点B、C有关对称轴x=1对称，连接EC与对称轴旳交点即为所求旳H点，如答图1所示；（4）本问需分两种状况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．此时可求得m=+2；②当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．此时可以得到矛盾旳等式，故此种情形不存在．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C有关x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE旳长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整顿得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点旳三角形与△BCE相似，m=+2．点评：本题波及二次函数旳图象与性质、相似三角形旳鉴定与性质、轴对称﹣最小途径问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种状况进行讨论，防止漏解；并且在计算时注意运用题中条件化简计算，防止运算出错．。

2023年湖北省武汉中学自主招生数学模拟试卷及参考答案

2023年湖北省武汉中学自主招生数学模拟试卷一．选择题（共7小题，满分28分，每小题4分）1．（4分）某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利66元，则这种商品每件的进价为（）A．180元B．200元C．225元D．150元2．（4分）下列说法正确的是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的对角线互相垂直且互相平分D．顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定就是矩形3．（4分）如图，点B，C分别是反比例函数与的图象上的点，且BC ∥y轴，过点C作BC的垂线交y轴于点A，则△ABC的面积为（）A．6B．4C．3D．24．（4分）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有下列关系：s＝0.01x+0.01x2，在一个限速40km/h的弯道上的刹车距离不能超过（）A．15.8m B．16.4m C．14.8m D．17.4m5．（4分）如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（）个．A．0B．1C．2D．36．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A ．B ．C ．D ．7．（4分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为（）A．5•B．5•C．5•D．5•二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）8．（4分）今年五月上旬我市空气质量指数如下表，省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天，则他们在我市旅游3天时，空气质量都是优良（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）的概率是．日期123456789103042365880957011556101空气质量指数9．（4分）已知方程x2﹣8x﹣2＝0的两根分别是x1和x2，那么x1+x2的值为．10．（4分）在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点P在菱形内，若PB＝PD＝4，则∠PDC 的度数为．11．（4分）甲、乙两人从A地出发在直线道路上匀速步行前往相距12600米的B地，若甲出发30分钟后，乙再出发，甲出发120分钟后两人第一次相遇，乙到B地后立即返回，并保持原来的速度继续行走，途中与甲再次相遇．如图，甲、乙两人离A地的距离之和y（米）与甲出发的时间x （分钟）的函数关系如图所示，那么乙到B 地后再经过分钟与甲再次相遇．三．解答题（共5小题，满分56分）12．（10分）某校七（1）班学生为了解某小区家庭周平均用电情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题：级别 A B C D E F周平均用电量x （度） 0＜x ≤55＜x ≤1010＜x ≤1515＜x ≤2020＜x ≤2525＜x ≤30频数（户）612m1042（1）本次调查采用的方式是（填“全面调查”或“抽样调查”）；（2）若将周平均用电量的频数绘成扇形统计图，周平均用电量“15＜x ≤20”组对应的圆心角度数是72°，则本次调查的样本容量是，补全频数分布直方图；（3）该小区有1000户家庭，求该小区周平均用电量不超过15度的家庭大约有多少户？13．（10分）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．（1）请用a 表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a 的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．14．（10分）如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小；（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小．15．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，且AO＝4，AB＝8，∠ABO＝30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒1个单位的速度运动，设动点P运动时间为t秒．在x轴上取两点M、N，使△PMN为等边三角形．（1）直接写出A点的坐标；（2）如图1，当等边△PMN的顶点M与原点O重合时，求PM的长；（3）设等边△PMN的边长为a（如图2），当1≤t≤5时，求的最大值和最小值．16．（14分）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（3）如图2，点E（0，1）在y轴上，连接AE，抛物线上是否存在一点F，使∠FEO与∠EAO 互补？若存在，求点F的横坐标；若不存在，请说明理由．2023年湖北省武汉中学自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题，满分28分，每小题4分）1．（4分）某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利66元，则这种商品每件的进价为（）A．180元B．200元C．225元D．150元【答案】D【解答】解：设这种商品每件的进价为x元，由题意得270×0.8﹣x＝66，解得：x＝150．故这种商品每件的进价为150元．故选：D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的对角线互相垂直且互相平分D．顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定就是矩形【答案】A【解答】解：A、邻边相等的矩形是正方形，说法正确，符合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直且互相平分，故本选项说法错误，不符合题意；D、顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则这个四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．3．（4分）如图，点B，C分别是反比例函数与的图象上的点，且BC ∥y轴，过点C作BC的垂线交y轴于点A，则△ABC的面积为（）A．6B．4C．3D．2【答案】B【解答】解：过点B作BD⊥y轴于点D，记BC交x轴于点E，∵BC∥y轴，AC⊥BC，∴S矩形AOEC＝|﹣2|＝2，S矩形DOEB＝|6|＝6，∴S矩形ACBD＝S矩形AOEC+S矩形DOEB＝2+6＝8，∴S△ABC＝S矩形ACBD＝4．故选：B．4．（4分）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有下列关系：s＝0.01x+0.01x2，在一个限速40km/h的弯道上的刹车距离不能超过（）A．15.8m B．16.4m C．14.8m D．17.4m【答案】B【解答】解：将x＝40代入s＝0.01x+0.01x2得，s＝0.01×40+0.01×402＝16.4，即刹车距离不能超过16.4m．故选：B．5．（4分）如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（）个．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：解方程＝1得，x＝，∵方程有正整数解，∴整数a＝1，3，6，解不等式组得，∵关于y的不等式组至少有两个偶数解，∴a﹣1≤2，∴a≤3，∴满足条件的整数a有两个．故选：C．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：，连接AE，OE，设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC与半圆相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴，即：，由得：，由得：，∴，在Rt△ACE中，AC＝8，，由勾股定理得：，∵BE为半圆的切线，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴，∴DE•AB＝BE•AE，即：，∴．故选：B．7．（4分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为（）A．5•B．5•C．5•D．5•【答案】C【解答】解：∵正方形ABCD的点A坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，由勾股定理得AD＝，，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，∴∠ADO＝∠BAA1，又由题意可得∠DOA＝∠ABA1＝90°，则△DOA∽△ABA1，∴，∵AD＝AB＝，∴A1B＝，则第一个正方形的面积为S1＝＝（）2＝5；同理可得第二个正方形的面积为S2＝＝（）2＝5；依此类推，则第2019个正方形的面积为：S2019＝5，故选：C．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）8．（4分）今年五月上旬我市空气质量指数如下表，省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天，则他们在我市旅游3天时，空气质量都是优良（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）的概率是．日期 123456 78910空气质量指数 30 42 36 58 80 9570 115 56 101【答案】．【解答】解：由表格可得，所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），其中旅游3天，空气质量都是优良的有35种结果，所以空气质量都是优良的概率是，故答案为：．9．（4分）已知方程x 2﹣8x﹣2＝0的两根分别是x 1和x 2，那么x 1+x 2的值为 8 ．【答案】8．【解答】解：∵方程x 2﹣8x ﹣2＝0的两根分别是x 1和x 2， ∴x 1+x 2＝8，故答案为8．10．（4分）在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝4，点P 在菱形内，若PB ＝PD ＝4，则∠PDC的度数为 90°或30° ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AC 和BE 相交于点O ．当P 在OA 上时， ∵AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD ＝AB ＝4，OB ＝OD ＝BD ＝2，∠ADO ＝60°，∴cos ∠PDO ＝＝，∴∠PDO ＝30°，∴∠ADP＝60°﹣30°＝30°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∴∠PDC＝120°﹣30°＝90°，当P在OC上时，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCB＝∠DAB＝60°，DC＝BC，∴△DBC是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵∠PDO＝30°，∴∠PDC＝30°，故答案为：90°或30°．11．（4分）甲、乙两人从A地出发在直线道路上匀速步行前往相距12600米的B地，若甲出发30分钟后，乙再出发，甲出发120分钟后两人第一次相遇，乙到B地后立即返回，并保持原来的速度继续行走，途中与甲再次相遇．如图，甲、乙两人离A地的距离之和y（米）与甲出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示，那么乙到B地后再经过51分钟与甲再次相遇．【答案】51．【解答】解：由图可知，甲的速度为630÷30＝21（米/分），则乙的速度为630÷（120﹣30）+21＝28（米/分），则乙到B 地需要的时间为12600÷28＝450（分），从乙出发到与甲再次相遇的时间为（12600×2﹣630）÷（21+28）＝501（分），乙到B 地后与甲再次相遇再经过的时间为501﹣450＝51（分）．故乙到B 地后再经过51分钟与甲再次相遇．故答案为：51．三．解答题（共5小题，满分56分）12．（10分）某校七（1）班学生为了解某小区家庭周平均用电情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题：级别 A B C D E F周平均用电量x （度） 0＜x ≤55＜x ≤1010＜x ≤1515＜x ≤2020＜x ≤2525＜x ≤30频数（户）612m1042（1）本次调查采用的方式是抽样调查（填“全面调查”或“抽样调查”）；（2）若将周平均用电量的频数绘成扇形统计图，周平均用电量“15＜x ≤20”组对应的圆心角度数是72°，则本次调查的样本容量是 50 ，补全频数分布直方图；（3）该小区有1000户家庭，求该小区周平均用电量不超过15度的家庭大约有多少户？【答案】（1）抽样调查；（2）50，补图见解答；（3）680．【解答】解：（1）由于是随机调查了该小区部分家庭，所以本次调查采用的方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）本次调查的样本容量是：10÷＝50，m＝50﹣（6+12+10+4+2）＝16（户），补全频数分布直方图如下：故答案为：50；（3）该小区周平均用电量不超过15度的家庭大约有1000×＝680（户）．13．（10分）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．（1）请用a表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵第二条边长为2a+2，∴第三条边长为30﹣a﹣（2a+2）＝28﹣3a．（2）当a＝7时，三边长分别为7，16，7，由于7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米，根据题意得：，解得：＜a＜．则a的取值范围是：＜a＜．（3）在（2）的条件下，注意到a为整数，所以a只能取5或6．当a＝5时，三角形的三边长分别为5，12，13．由52+122＝132知，恰好能构成直角三角形．当a＝6时，三角形的三边长分别为6，14，10．由62+102≠142知，此时不能构成直角三角形．综上所述，能围成满足条件的小圈是直角三角形形状，它们的三边长分别为5米，12米，13米．14．（10分）如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小；（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AO⊥BD，∴＝，∴∠AOB＝2∠ACD，∵∠AOB＝80°，∴∠ACD＝40°；（2）①当点C1在上时，∠AC1D＝∠ACD＝40°；②当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD＝180°，∴∠AC2D＝140°综上所述，∠ACD＝140°或40°．15．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，且AO＝4，AB＝8，∠ABO＝30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒1个单位的速度运动，设动点P运动时间为t秒．在x轴上取两点M、N，使△PMN为等边三角形．（1）直接写出A点的坐标；（2）如图1，当等边△PMN的顶点M与原点O重合时，求PM的长；（3）设等边△PMN的边长为a（如图2），当1≤t≤5时，求的最大值和最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）A点的坐标是（0，4）．（2）在△AOB中，AB＝8，AO＝4，由勾股定理得：BO＝4，∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵等边三角形PMN，∴∠PMN＝60°，∴∠AOP＝90°﹣60°＝30°，∴∠APM＝180°﹣∠BAO﹣∠AOP＝90°＝∠AOB，∵∠OAB＝∠OAB，∴△APO∽△AOB，∴＝，＝，∴PM＝2，答：PM的长是2．（3）∵等边三角形PMN，∴PM＝MN＝PN，∠PNM＝∠PMN＝60°，∵∠ABO＝30°，∴∠NPB＝60°﹣30°＝30°＝∠ABO，∴PN＝BN＝MN＝a，∵∠PMN＝60°＝∠OAB，∠ABO＝∠ABO，∴△MPB∽△AOB，∴＝，即＝，解得：a＝﹣t，∴y＝a2﹣t2＝﹣t2＝﹣t+，∵k＝﹣＜0，∴y随t的增大而减小，∵1≤t≤5，∴当t＝1时，y的最大值是：y＝﹣×1+＝16；当t＝5时，y的最小值是：y＝﹣×5+＝﹣；答：当1≤t≤5时，求的最大值和最小值分别是16，﹣．16．（14分）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（3）如图2，点E（0，1）在y轴上，连接AE，抛物线上是否存在一点F，使∠FEO与∠EAO 互补？若存在，求点F的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣2x2+2x+4；（2）不存在点P，使四边形MNPD为菱形；理由见解析；（3）当点F的横坐标为或时，∠FEO与∠EAO互补．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，∴点A（2，0），点B（0，4），把A（2，0），B（0，4）分别代入y＝﹣2x2+bx+c中得，解之得，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+2x+4；（2）不存在．理由如下：y＝﹣2x2+2x+4＝（x﹣）2+，∴抛物线顶点M（，），∵对称轴交AB于点N，∴N（，3），当x＝时，y＝＝﹣3，∴MN＝﹣3＝，∵点P是线段AB上一动点，∴设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，∵PD∥MN，当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m＝，解得m1＝（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，1），∵PN＝＝，∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不为菱形，∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（3）存在．如图，过点F作FH⊥y轴于点H，则∠FEO+∠FEH＝180°，当∠FEO+∠EAO＝180°时，∠FEH＝∠EAO，又∵∠FHE＝∠AOE＝90°，∴△AOE∽△∠EFH，∴，设点F（t，﹣2t2+2t+4），则HE＝﹣2t2+2t+4﹣1＝﹣2t2+2t+3，当点F在y轴右侧时，BF＝t，∴，解之得：t＝，∵点F在y轴右侧，∴t＝；当点F在y轴左侧时，BF＝﹣t，∴，解之得：t＝，∵点F在y轴左侧，∴t＝．综上所述：当点F的横坐标为或时，∠FEO与∠EAO互补．。

2025年重点高中自主招生考试数学模拟试卷试题(含答案)

2025重点高中自主招生数学针对性模拟试卷（本试卷满分150分，时间2小时）一、选择题（每小题6分，共60分）1.若“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ，则（）A.P=0B.0<P<1C.P=1P>12.下列命题中，真命题的个数是（）①一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.方程()1112=--x x 的根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.设{}d c b a ,,,max 表示d c b a ,,,中最大的数，则⎭⎫⎩⎨⎧-210,2,260tan 2,45cos 2max 0π=（）A.045cos 2 B.260tan 20- C.2π D.2105.若关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x 的两根分别为1x 、2x ，且321=+x x ，则m =（）A.-1或21 B.-1或1C.21-或21 D.21-或16.如图，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 延长线上，BF=5CF,且四边形CDEF 是平行四边形，△BDE 与△ADE 的面积之和为7，则△ABC 面积为（）A.28 B.29 C.30 D.327.用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位数共有（）A.64个 B.72个 C.96个 D.不同于以上答案8.已知y x ,是整数，则满足方程03432=---y x xy 的数对),(y x 共有（）A.4对B.6对C.8对D.12对9.如图，在△ABC 中，AC=BC=4，D 是BC 的中点，过A,C,D 三点的圆O 与AB 边相切于点A,则圆O 的半径为（）A.2B.5C.214D.714410.若关于x 的方程x k x =-23有三个不同解321,,x x x ，设,321x x x m ++=则m 的取值范围为（）A.2<m B.23->m C.20<<m D.223<<-m 二、填空题（每小题6分共36分）11.已知△ABC 中，BC=1，AC=2，AB=3,则△ABC 的内切圆半径为.12.若y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2454545yx xy y x xy ，则=+y x .13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22--=x x y 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左边），点E 在对称轴MN 上，点F 在以点C（-1,-4）为圆心，21为半径的圆上，则AE+EF 的最小值为.14.已知直线)0(1>+=k kx y 与双曲线xy 2=交于A、B 两点，设A、B 两点的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则=-+-)1()1(1221y x y x .15.若21≤---a x x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是.16.已知互不相等的正整数20321,,,,a a a a 满足202420321=+++a a a a ，设d 是20321,,,,a a a a 的最大公约数，则d 的最大值为.三、解答题（共54分）17.(12分）已知实数215-=a .（1）求a a +2的值；（2）求3223111aa a a a a +++++的值.18.(12分）已知一次函数)0(1)2(<+-=k x k y 的图象与y x 、轴分别交于点A、B.（1）若2-=k ，试在第一象限内直接写出点),(y x M 的坐标，使得A、B、M 三点构成一个等腰直角三角形；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值.19.(14分）如图，已知0120=∠AOB ,PT 切圆O 于T,A、B、P 三点共线，∠APT 的平分线依次交AT、BT 于C、D，连接BC、AD.(1)求证：△CDT 为等边三角形；(2)若AC=8，BD=2，求PC 的长.20.(16分）已知函数a x a x y -+-+=3)4(2.(1)若此函数的图象与x 轴交于点)0,()0,(21x B x A 、，且2021≤<≤x x ，求a 的取值范围；(2)若20≤≤x ，求y 的最大值；(3)记a x a x x f -+-+=3)4()(2，若对于任意的40<<a ，都能找到200≤≤x ，使t x f ≥)(0，求t 的取值范围参考答案：一、选择题：1-5CBBDC6-10ACBDD 二、填空题：11、2321-+12、913、2914、-415、31≤≤-a 16、817.（1）∵215-=a ，512=+∴a ，5)12(2=+∴a .4442=+∴a a ，12=+∴a a .(3)a a -=12，12)1()1(23-=--=-=-=∴a a a a a a a a .∴原式==++++-3321112aa a a a 122222112333-+=+=++a a a a a a a .当215-=a 时，原式=353)25(2152521511522152+=++-=-+-=--+-⨯.18.(1)当2-=k 时，52+-=x y ，满足题意的M 点有3个，分别为415,415(),215,5(),25,215(321M M M .(2)易求得)21,0(),0,12(k B kA --.k kk k OB OA S OAB 2212)2112(2121--=--=⋅=∴∆，0<k ，021>-∴k ，02>-k .有均值不等式得4)2(2122=-⋅-+≥∆k kS OAB ，当且仅当k k 221-=-，即21-=k 时，等号成立.∴△ABC 的面积的最小值为4.19.(1)证明：0120=∠AOB ，06021=∠=∠∴AOB ATB .∵PT 切⊙O 于T，∴∠BTP=∠TAP.∵PC 平分∠APT，∴∠APC=∠CPT.∵∠TCD=∠TAP+∠APC，∠CDT=∠BTP+∠CPT.∴∠TCD=∠CDT=00060260180=-.∴△CDT 为等边三角形.(3)解：设CT=DT=x ，∵∠TCD=∠CDT=∠BDP，∠BPD=∠CPT，∴△PCT∽△PDB.∴BDCTPD PC =①,∵∠DTP=∠PAC，∠APC=DPT,∴△ACP∽△TDP.∴PD PC TD AC =，∴TD AC BD CT =.∴xx 82=.∴4=x （负值舍去）.∴CD=DT=CT=4.由①得244=-PC PC ,解得PC=8.20.解：（1）∵0)2()3(4)4(22>-=---=∆a a a ，2≠∴a .①当a x x -==3,121时，则231≤-<a ，∴21<≤a ；②当1,321=-=x a x 时，则130<-≤a .32≤<∴a .综上所述，a 的取值范围为31≤≤a 且2≠a .(2)对称轴为直线24a x -=.分三种情况讨论：①当024<-a，即4>a 时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.②当2240≤-≤a，即40≤≤a 时，此时y 最大值在0=x 或2=x 处取得.（ⅰ）当242024a a --≥--时，则20≤≤a .此时，当0=x 时，a y -=3为最大值；（ⅱ）当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.③当224>-a，即0<a 时，当0=x 时，a y -=3为最大值.综上所述，当2<a 时，y 的最大值为a -3；当2>a 时，y 的最大值为1-a .(3)对称轴为直线24a x -=.∵40<<a ,∴2240<-<a.∴函数a x a x x f -+-+=3)4()(21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,0a 上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,24a 上是增函数.∴对任意的)4,0(∈a ，存在]2,0[0∈x 使得t x f ≥|)(|0可化为对任意的)4,0(∈a ，t f ≥|)0(|或t f ≥|)2(|或t af ≥-)24(有一个成立即可.即t a f f f ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-max 24(||,)2(||,)0(|即可.①当242024a a --≥--时，则20≤≤a ，|)2(||)0(|f f ≥.∴a a a a f f t -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤3|2)2(||,3||24(||,)0(|max2max ，∴1)3(min =-≤a t .②当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，|)0(||)2(|f f >.1|4)2(||,1||24(),2(|max2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∴a a a a f f t .∴1)1(min =-≤a t .综上所述，t 的取值范围为1≤t .。

2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案

—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。

【考试必备】江苏南京市中华中学(高中)中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析

A.该调查的方式是普查 B.本地区只有40个成年人不吸烟
C.样本容量是50 D.本城市一定有100万人吸烟
6杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
A． B． C． D.
3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（）
5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（）
A.x＜0 B. 0＜x＜１
C.x＜１ D.x＞１
10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（）
A.12120元 B.12140元 C.12160元 D.12200元
11.若，且 ≥2 ，则（）
18.如图,已知△OP1A1△、A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形,直角顶点P1、P2、P3……在函数（x＞0）图象上,点A1、A2、A3……在x轴的正半轴上,则点P2011的横坐标为.
三.解答题（本大题共10小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
24.(本题满分12分）有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人）,分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km的博物馆参观,10分钟后到达距离学校12km处有一辆汽车出现故障,接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生,同时第二批学生步行12km后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇,当第二批学生到达博物馆时,恰好已到原计划时间.设汽车载人和空载时的速度分别保持不变,学生步行速度不变,汽车离开学校的路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数关系如图,假设学生上下车时间忽略不计.

高中自招试题数学答案及解析

高中自招试题数学答案及解析试题一：已知函数$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，求其导数$ f'(x) $。

答案：首先，根据导数的定义，我们对函数$ f(x) $进行求导。

对于$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，其导数$ f'(x) $为：\[ f'(x) = 6x - 2 \]解析：求导的过程涉及到幂函数的导数规则，即$ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $。

对于常数项1，其导数为0。

将各项的导数相加，得到最终的导数表达式。

试题二：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和集合B 的交集A∩B。

答案：集合A和集合B的交集A∩B为{2, 3}。

解析：交集是指两个集合中共有的元素。

在这个例子中，我们可以看到元素2和3同时出现在集合A和集合B中，因此它们构成了这两个集合的交集。

试题三：若$ \sin(2x) = 2\sin(x) $，求$ x $的值。

答案：根据二倍角公式，我们知道$ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $。

将题目中的等式代入，得到：\[ 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin(x) \]由于$ \sin(x) \neq 0 $，我们可以除以$ 2\sin(x) $得到：\[ \cos(x) = 1 \]这意味着$ x $的值是$ 2k\pi $，其中$ k $是整数。

解析：这个问题的关键在于识别并应用二倍角公式。

通过将等式转换为已知的三角恒等式，我们可以简化问题并找到$ x $的解。

试题四：解不等式$ |x - 3| < 2 $。

答案：不等式$ |x - 3| < 2 $可以分解为两个不等式：\[ -2 < x - 3 < 2 \]解得：\[ 1 < x < 5 \]解析：绝对值不等式可以通过将其分解为两个不等式来解决。

高三自主招生试卷数学模拟

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则下列说法正确的是（）A. 函数$f(x)$在区间（0，2）内存在零点B. 函数$f(x)$在区间（0，2）内单调递增C. 函数$f(x)$在区间（0，2）内单调递减D. 函数$f(x)$在区间（0，2）内没有极值点2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=10$，$S_6=60$，则$a_3$的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 123. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（）A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 直线4. 已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，若$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则下列说法正确的是（）A. $a+b=0$B. $a-b=0$C. $a^2+b^2=0$D. $a^2+b^2\neq0$5. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=16$，则$\frac{a_6}{a_2}$的值为（）A. 4B. 8C. 16D. 326. 已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，则下列说法正确的是（）A. 函数$f(x)$在区间（0，3）内存在两个零点B. 函数$f(x)$在区间（0，3）内单调递增C. 函数$f(x)$在区间（0，3）内单调递减D. 函数$f(x)$在区间（0，3）内没有极值点7. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=10$，$S_6=60$，则$a_3$的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 128. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（）A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 直线9. 已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，若$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则下列说法正确的是（）A. $a+b=0$B. $a-b=0$C. $a^2+b^2=0$D. $a^2+b^2\neq0$10. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=16$，则$\frac{a_6}{a_2}$的值为（）A. 4B. 8C. 16D. 32二、填空题（每空5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(1)= $2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=10$，$S_6=60$，则$a_3= $3. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（填字母）4. 已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，若$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则$a^2+b^2= $5. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=16$，则$\frac{a_6}{a_2}= $6. 已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)= $7. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=10$，$S_6=60$，则$a_3= $8. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（填字母）9. 已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，若$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则$a^2+b^2= $10. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=16$，则$\frac{a_6}{a_2}= $三、解答题（共100分）1. （30分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求：（1）函数$f(x)$的单调区间；（2）函数$f(x)$的极值点及极值。

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第 1 页共 4 页22018年高中自主招生考试数学模拟试题（满分：120 分时间：120 分钟）一、选择题。

（每小题 4 分，共 24 分）1. 若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为（）A. B.2 C. 2 2D.1 2. 如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为（）A.2＋B.2C.3＋D.3 A MPONB第 2 题图第 3 题图第 5 题图3. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，EF ⊥AE ，交 BC 于点 F ，则∠1 与∠2 的大小关系为（）A.∠1＞∠2B.∠1＜∠2C.∠1=∠2D.无法确定4. 若点 M (－7，m )、N (－8，n )都是函数 y ＝－(k 2＋2k ＋4)x ＋1（k 为常数）的图象上，则 m 和n 的大小关系是（）A.m ＞nB.m ＜nC.m ＝nD.不能确定5. 如图，点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA ，OB 相交于 M 、N 两点，则以下结论：（1）PM ＝PN 恒成立，（2）OM ＋ON 的值不变，（3）四边形 PMON 的面积不变，（4）MN 的长不变，其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.16. 在平面直角坐标系内，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C （点 C 在原点的右侧），并分别与直线 y ＝23333第 2 页共 4 页2 3 2 x 和双曲线 y ＝ 1x相交于点 A 、B ，且 AC ＋BC ＝4，则△OAB 的面积为（）A.2 ＋3 或 2 －3B. ＋1 或－1C.2 －3D. －1二、填空题。

（每小题 4 分，共 24 分）7. 一个人把四根绳子紧握在手中，仅在两端露出它们的头和尾，然后随机地把一端的四个头中的某两个相接，另两个相接，把另一端的四个尾中的某两个相接，另两个相接，则放开手后四根绳子恰好连成一个圈的概率是．8. 有 4 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 2，3，4，6，小红随机抽取 1 张后，放回并混在一起，再随机抽取 1 张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为．9. 如图，在直角三角形 ABC 中，AB =3，BC =4，∠ABC =90°，过 B 作 BA 1⊥AC ，过 A 1 作 A 1B 1⊥BC ，得阴影直角三角形 A 1B 1B ；再过 B 1 作 B 1A 2⊥AC ，过 A 2 作 A 2B 2⊥BC ，得阴影直角三角形 A 2B 2B 1；…，如此无限下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为．AHDE GBFCQ第 9 题图第 10 题图第 11 题图10. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的两条直角边长分别为 a ，b ，则（a +b ）2 的值是．11. 如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 AB 边上的 E 处，EQ 与 BC相交于点 F ．若 AD ＝8，AB ＝6，AE ＝4，则△EBF 周长的大小为．12. 观察下列各式： 2 = 1 - 1 ， 2 = 1 - 1 2 = 1 - 1 ……请利用你所得结论，化简 1⨯ 3 1 3 2 ⨯ 4 2 4 ， 3 ⨯ 5 3 5 ，代数式 21⨯ 3＋ 2 2 ⨯ 4 ＋ 2 3 ⨯ 5 ＋…＋ 2 n (n + 2) （n ≥3 且为整数），其结果为．三、解答题。

（每小题 12 分，共 72 分）13. 某宾馆有客房 50 间，当每间客房每天的定价为 220 元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加 10 元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加 x 元时，客房入住数为 y 间．（1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；3 3 2（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40 元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？14.如图①，半圆O 的直径AB=6，AM 和BN 是它的两条切线，CP 与半圆O 相切于点P，并于AM，BN 分别相交于C，D 两点．（1）请直接写出∠COD 的度数；（2）求AC•BD的值；（3）如图②，连接OP 并延长交AM 于点Q，连接DQ，试判断△PQD 能否与△ACO 相似？若能相似，请求AC：BD 的值；若不能相似，请说明理由．15.如图，矩形OABC 的两边OA，OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（4 ，4），点D在CB上，且CD：DB=2：1，OB交AD于点E.平行于x轴的直线l从原点O出发，以每秒1 个单位长度的速度沿y 轴向上平移，到C 点时停止；l 与线段OB，AD 分别相交与M，N 两点，以MN为边作等边△MNP（点P在线段MN的下方）.设直线l的运动时间为t（秒），△MNP与△OAB重叠部分的面积为S（平方单位）．（1）直接写出点E 的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得S=S△ABD成立？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．第 3 页共 4 页3P16.如图，在□ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F；再分别以点B、F 为圆心，大于1BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP 并延长交BC 于点E，连接EF，2则所得四边形ABEF 是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF 是菱形；B EC （2）若菱形ABEF 的周长为16，AE＝4 ，求∠C 的大小．A F D17.如图，ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P，分别交AB、AD 于点F、E. （1）求证：DE=AF.（2）若⊙O 的半径为3，AB=21 ，求AE的值．ED18.如图，直线y＝kx＋b（k、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1 与y 轴交于点C．（1）求直线y＝kx＋b 的解析式；（2）若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1 上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标；（3）若点E 在抛物线y＝－x2＋2x＋1 的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE＋EF 的最小值．2第 4 页共 4 页高中自主招生考试数学训练试题参考答案一、选择题（每小题4分，共24分）1．A．2．A．解析：设AC＝a，则AC＝a÷sin30°＝2a，BC＝a÷tan30，∴BD＝AB＝2a．∴tan∠DAC＝23．C．4．B．解析：由于k2＋2k＋4可化为(k＋1)2＋3＞0，因此－(k2＋2k＋4)＜0，因此这个函数y随x的增加而减小，由于－7＞－8，因此m＜n．5．B．解析：①过点P分别作OA、OB的垂线段，由于∠PEO＝∠PFO＝90°，因此∠AOB与∠EPF互补，由已知“∠MPN与∠AOB互补”，可得∠MPN＝∠EPF，可得∠MPE＝∠NPF．②③根据“角平分线上一点到角两边距离相等”，可证PE＝PF．即可证得Rt△PME≌Rt△PNF；因此对于结论（1），“PM＝PN”由全等即可证得是成立的；结论（2），也可以有全等得到ME＝NF，即可证得OM＋ON＝OE＋OF，由于OE＋OF保持不变，因此OM＋ON的值也保持不变；结论（3），由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等，因此结论（3）是正确的；结论（4），对于△PMN与△PEF，这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边MN与EF不可能相等．所以MN的长是变化的．6．A．解析：设点C的坐标为(m，0)，则A(m，m)，B(m，1m)，所以AB＝m，BC＝1m．根据“AC＋PAONBMEF第 5 页共 4 页第 6 页共 4 页BC ＝4”，可列方程m ＋1m＝4，解得m ＝2A (22，B (22或A (22，B (22，∴AB ＝OAB 的面积＝12×(2＝3．二、填空题（每小题4分，共24分） 7．23．8．．9．4196． 10．25．解析：由题意知（a －b ）2=1，∴a 2－2ab + b 2=1，又∵a 2+ b 2=13，∴2ab =12，∴（a +b ）2=a +2ab + b 2=13+12=25．11．8．解析：设DH ＝x ，则AH ＝8－x ，由折叠的对称性，可知EH ＝DH ＝x ，在Rt △AEH 中，应用勾股定理，得AE 2＋AH 2＝EH 2，即42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5．由∠GEF ＝90°，可证明△AHE ∽△BEF ，因此AE AH EH BF BE EF ==，即4352BF EF ==，可以求得BF ＝83，EF ＝103．所以△EBF 周长为83＋103＋2＝8． 12．2352(1)(2)n n n x +++．解析：由这些式子可得规律：2(2)n n +＝112n n -+．因此，原式＝1111111111...132435112n n n n -+-+-++-+--++ ＝1111111111 (123134512)n n n n +++++-------++ ＝11111212n n +--++＝2352(1)(2)n n n x +++．三、解答题（每小题12分，共72分）13．解：（1）由题意可得，y=50﹣=；.............................................................3分（2）当每间客房每天的定价增加x 元时，设宾馆的利润为w 元，则w=（﹣x +50）（220+x ﹣40）=﹣，................................................4分当x=﹣=160时，w有最大值， ................................................3分故这一天宾馆每间客房的定价为：220+160=380（元），即当宾馆每间客房的定价为380元时，宾馆利润最大． ................................................2分14．解：（1）∠COD=90°．理由如下：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．.......................4分（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽RT△BDO，∴=，即AC•BD=AO•BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．........................4分（3）△PQD能与△ACQ相似．∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3． ................2分②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，=•CD•PQ=•CQ•AB，∴PQ=AB=6，∵S△CDQ∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2． ........................2分15．解（1）如图1，过E作GH⊥OA，交BC于G，交OA于H，则GH⊥BC，∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，BC=OA，∵B（4，4），∴OA=4，AB=GH=4，由勾股定理得：OB==8，∴∠EOA=30°，∵BC∥OA，∴△BDE∽△OAE，∴，∵CD：DB=2：1，∴=，∴EH=3，∴OE=2EH=6，∴OH==3，∴E（3，3）；........................4分第7 页共 4 页（2）如图1，在矩形OABC中，∵点B的坐标为（4，4），且CD：DB=2：1，∴A（4，0），D（，4），可得直线OB的解析式为：y1=x，直线AD的解析式为：y2=﹣x+12，当y1=y2=t时，可得点M、N的横坐标分别为：x M=t，x N=4﹣t，则MN=|x M﹣x N|=|4﹣t|，当点P运动到x轴时，如图2，∵△MNP是等边三角形，∴MN•sin60°=t，解得t=2；当t=3时，M、N、P三点重合，S=0；讨论：①当0≤t＜2时，如图3，设PM、PN分别交x轴于点F、G，则△PFG的高为MN•sin60°﹣t=6﹣3t，∴△PFG的边长为=4﹣2t，∵MN=x N﹣x M=4﹣t，∴S=S梯形FGNM=t（4﹣2t+4﹣t）=﹣t2+4t，②当2≤t≤3时，如图4，此时等边△MNP整体落在△OAB内，则△PMN的高为MN•sin60°=6﹣2t，∵MN=x N﹣x M=4﹣t，∴S=S△MNP=（6﹣2t）（4﹣t）=﹣8t+12，③当3＜t≤4时，如图5，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，∴∠NME=30°，∴等边△NMP关于直线OB对称，∵MN=|x N﹣x M|=t﹣4，∴S=S△MNP=×（6﹣2t）（﹣4+t）=﹣+4t﹣6，综上所述：①当0≤t＜2时，S=﹣t2+4t，②当2≤t≤3时，S=﹣8t+12，③当3＜t≤4时，S=﹣+4t﹣6，④当t=3时，S=0； ........................4分（3）存在t的值，使S=S△ABD 成立，∵S△ABD=，若S=S△ABD成立，则：第8 页共 4 页第 9 页共 4 页①当0≤t ＜2时，由﹣+4t=，解得：t 1=2（舍去），t 2=，②当2≤t ≤3时，由﹣8t +12=，解得：t 1=2，t 2=4（舍去）， ③当3＜t ≤4时，由﹣+4t ﹣6=，△＜0，无实数解，∴符合条件的t 有：2或． ........................4分16．解：（1）由作图过程可知，AB ＝AF ，AE 平分∠BA D ．∴∠BAE ＝∠EAF ．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ∥A D ．∴∠AEB ＝∠EAF ．∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ．∴BE ＝AF ．∴四边形ABEF 为平行四边形．∴四边形ABEF 为菱形． ........................6分（2）连接BF ，∵四边形ABEF 为菱形，∴BF 与AE 互相垂直平分，∠BAE ＝∠FAE ．∴OA ＝12AE ＝23．∵菱形ABEF 的周长为16，∴AF ＝4．∴cos ∠OAF ＝OA AF ＝3．∴∠OAF ＝30°，∴∠BAF ＝60°．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠C ＝∠BAD ＝60°．.................6分17．解：（1）连接EP ，FP ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD=90°，∠BPA=90°，∴∠FPE=90°，∴∠BPF=∠APE ，又∵∠FBP=∠PAE=45°，∴△BPF ≌△APE ，∴BF=AE ，而AB=AD ，∴DE=AF ；.................6分（2）连EF ，∵∠BAD=90°，∴EF 为⊙O 的直径，而⊙O 的半径为23，∴EF=3， ∴AF 2+AE 2=EF 2=（3）2=3，而DE=AF ，故DE 2+AE 2=3 ①；又∵AD=AE+ED=AB ，∴AE+ED= 12+ ②，由①②联立起来组成方程组，解得AE=1，ED=2或AE= 2，ED=1，所以ED AE= 222或．.................6分 18．解：（1）∵y ＝kx ＋b 经过A (－4，0)、B (0，3),∴403k b b -+=⎧⎨=⎩，解得k ＝34，b ＝3．∴y ＝34x ＋3． (4)分（2）过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作x 轴的平行线MN ，分别过点A 、P 作MN 的垂线段，垂足分别为M 、N ．AB C O y=kx+by ＝－ x 2 +2 x +1·P ( x ， y ) H MN第 10 页共 4 页设H (m ，34m ＋3)，则M (－4，34m ＋3)，N (x ，34m ＋3)，P (x ，－x 2＋2x ＋1)．∵PH ⊥AB ，∴∠CHN ＋∠AHM ＝90°，∵AM ⊥MN ，∴∠MAH ＋∠AHM ＝90°．∴∠MAH ＝∠CHN ，∵∠AMH ＝∠CNH ＝90°，∴△AMH ∽△HNP ． ∵MA ∥y 轴，∴△MAH ∽△OBA ．∴△OBA ∽△NHP ．∴345NH CN CH==．∴23(3)(21)4345m x x x m d +--++-==．整理得：24855d x x =-+，所以当x ＝58，即P (58，11964)．....4分（3）作点C 关于直线x ＝1的对称点C ′，过点C ′作C ′F ⊥AB 于F ．过点F 作JK ∥x 轴，，分别过点A 、C ′作AJ ⊥JK 于点JC ′K ⊥JK 于点K ，则C ′(2，1)．设F (m ，34m ＋3)∵C ′F ⊥AB ，∴∠AFJ ＋∠C ′FK ＝90°，∵CK ⊥JK ，∴∠C ′＋∠C ′FK ＝90°．∴∠C ′＝∠AFJ ，∵∠J ＝∠K ＝90°，∴△AFJ ∽△FC ′K ．∴'AJ JF FK C K =，∴33443224m m m m ++=-+，解得m ＝825或－4（不符合题意）． ∴F (825，8125)，∵C ′(2，1)，∴FC ′＝145．∴CE ＋EF 的最小值＝C′E ＝145．...1。