最短路径问题归纳总结

八年级数学最短路径问题

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）

中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】

【问题1】 作法 图形 原理

在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．

连AB ，与l 交点即为P ．

两点之间线段最短． P A +PB 最小值为AB ． 【问题2】“将军饮马” 作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．

作B 关于l 的对称点B ＇

连A B ＇，与l 交点即为

P ．

两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇

． 【问题3】 作法

图形

原理

在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．

分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇

P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．

两点之间线段最短．

PM +MN +PN 的最小值为

线段P ＇P ＇＇的长．

【问题4】 作法

图形

原理

在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．

分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．

两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．

【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理

l

A l

l A l

l 2

l 2

l

2

l 2

直线m ∥n ，在m 、n ，上分别求点M 、N ，使MN

⊥

m

，且

AM +MN +BN 的值最小．

将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ．

两点之间线段最短．

AM +MN +BN 的最小值为 A ＇B +MN ．

【问题6】 作法

图形

原理

在直线l 上求两点M 、N （M 在左），使a MN =，并使AM +MN +NB 的值最小．

将点A 向右平移a 个长

度单位得A ＇，作A ＇关于l 的对称点A ＇＇， 连A ＇＇B ，交直线l 于点N ，将

N 点向左平移a 个单位

得M ．

两点之间线段最短． AM +MN +BN 的最小值为 A ＇＇B +MN ．

【问题7】 作法

图形

原理

在1l 上求点A ，在2l 上求点B ，使P A +AB 值最小．

作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交2l 于A ．

点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段

P ＇B 的长．

【问题8】 作法

图形

原理

A 为1l 上一定点，

B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．

作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．

两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值

为线段A ＇B ＇的长．

【问题9】 作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ，使

PB PA -的值最小．

连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．

垂直平分上的点到线段

两端点的距离相等．

PB PA -＝0．

m n

l

a m

n

A

l

l

2l

2

l 2

l 2

l

A

l

【问题10】 作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．

作直线AB ，与直线l 的

交点即为P ．

三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤

AB ．

PB PA -的最大值＝

AB ．

【问题11】 作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．

作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点

即为P ．

三角形任意两边之差小

于第三边．PB PA -≤

AB ＇．

PB PA -最大值＝AB ＇．

【问题12】“费马点” 作法

图形 原理

△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．

所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△

ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为

所求．

两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝

CD ．

【精品练习】

1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角

线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）

A ．23

B ．6

C ．3

D 6

2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2

B ．32

C ．32+

D ．4

l

A

l

A

B

l A

l

P

A

B'

B

P

D

A

A

D

E

P

B C