数字积分法三、四象限顺圆插补
第三四象限数字积分法插补计算报告
第三四象限直线插补计算1. 引言随着微电子技术，计算机技术的发展，数控机床的性能不断完善，其应用范围也不断增大。
而数控技术作为数控机床的关键技术，越来越得到更多高校的重视。
2.数字积分法直线插补原理设将要加工的直线XOY 平面内第一象限直线OE ，如图.一所示，直线起点在坐标原点，终点为E （Xe ，Ye ）。
同样，假设坐标值均为以脉冲当量为单位的整数。
图.一若此时刀具在两坐标轴上的进给速度分量分别是Vx ，Vy ，则刀具在X 轴，Y 轴方向上位移增量分别是△X = Vx △t 式一a△ Y = Vy △t 式一b由图.一 所示的几何关系可得V/OE=Vx/Xe=Vy/Ye=K （常数） 式二将式二中的Vx ，Vy 分别代入式一 可得：△X = KXe △t 式三a△ Y = KYe △t 式三b可见刀具由原点O 走向E 的过程，可以看作式每经过一个单位时间间隔△t ，就分别以增量[KXe],[ KYe]同时在两个坐标轴累加的结果。
也可以这样认为，数字积分法插补实际上就是利用速度分量，进行数字积分来确定刀具在各坐标轴上位置的过程，即XO当取△ti=“1”（一个单位时间间隔）则X = nKXe 式五aY = nKYe 式五b设经过n 次累加后，刀具正好到达终点E(Xe,Ye)，则要求式五中常量满足 下式nK=1 式六n 是累加次数必须取整数，所有K 取小数。
为了保证每次分配给坐标轴的进给脉冲不超过一个单位，则△ X=KXe<1 式七a△ Y=KYe<1 式七b上式中Xe ，Ye 的最大允许值受系统中相应寄存器容量的限制。
现假设寄存器 为N 位则容量为2N ，对应存储的最大允许数字量为（2N - 1）将其带入式七得 K<=1/（2N - 1） 式八现不妨取 K =1/2N 式九显然它满足式七，式八的约束条件，再将K 值代入式六可得累加次数为 n =2N 式十如果将n ，K,值代入式五则动点坐标为X = nKXe =Xe 式十一aY = nKYe =Ye 式十一b根据以上分析，在进行直线插补时，先开辟两个被积函数寄存器Jvx ，Jvy 分别存放终点坐标值Xe ，Ye ，还有两个余数寄存器Jrx ，Jry 。
直线插补数字积分法第三、第四象限汇编
目录一、课程设计目的 (3)二、课程设计使用的主要仪器及软件设备 (3)三、课程设计题目描述和要求 (3)四、课程设计报告内容 (3)4.1数字积分法直线插补的基本原理 (4)4.1.1从几何角度来看积分运算 (4)4.1.2数字积分法在轮廓插补中的具体应用(数字积分法直线插补) (5)4.2插补终点判别的具体实现 (7)4.3插补器的组成 (7)4.4提高插补精度的措施 (7)4.5减少误差的方法 (7)4.6数字积分法直线插补框图 (7)4.7 数字积分法直线（第三四象限）插补程序 (9)五结论 (13)六实验总结 (13)七程序运行图 (15)一、课程设计目的1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。
2) 掌握数字积分法（DDA）插补的基本原理。
3）掌握数字积分法（DDA）插补的软件实现方法。
二、课程设计使用的主要仪器及软件设备Pc计算机一台Vb三、课程设计的任务题目描述和要求数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital Differential Analyzer)。
数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点，应用比较广泛。
其缺点是速度调节不便，插补精度需要采取一定措施才能满足要求。
由于计算机有较强的计算功能和灵活性，采用软件插补时，上述缺点易于克服。
本次课程设计具体要求如下：（1）掌握数字积分插补法基本原理（2）设计出数字积分（DDA）插补法插补软件流程图（3）编写出算法程序清单算法描述（数字积分法算法在VB中的具体实现）（4）要求软件能够实现第一第二象限直线插补计算（5）软件运行仿真效果插补结果要求能够以图形模式进行输出四、课程设计报告内容插补运算就是运用特定的算法对工件加工轨迹进行运算并根据运算结果向相应的坐标发出运动指令的过程。
插补运算可以采用数控系统硬件或数控系统软件来完成。
硬件插补器：速度快，但缺乏柔性，调整和修改都困难。
软件插补器：速度慢，但柔性高，调整和修改都很方便。
第四章 计算机数控(CNC)系统的插补原理 曼初宏
第六节 三坐标联动直线和螺旋线插补原理
一、三坐标联动直线插补原理 三坐标联动直线插补是在两坐标联动直线插补的基础上，再计算 一个坐标的插补进给量。首先根据三个坐标轴的增量值，区分出 最长轴、长轴和短轴,计算出最长轴的插补进给量，然后以最长轴 为基准，计算出长轴和短轴的插补进给量。
图4-23 三坐标联动直线插补原理
图4-6 圆弧插补
第二节 逐点比较法的直线和圆弧插补原理
① 沿+X方向走一步，有 ② 沿-X方向走一步，有 ③ 沿+Y方向走一步，有 ④ 沿-Y方向走一步，有
图4-7 圆弧插补四个象限的进给方向
第二节 逐点比较法的直线和圆弧插补原理
表4-3 圆弧插补象限判别和电动机转向
表4-4 圆弧插补运算过程
图4-30 直线与圆弧转接交点
第七节 刀具半径补偿的坐标计算
(1)直线与直线连接 直线与直线连接，如图、b和图4-29c、d所示。 (2)直线与圆弧连接 图4-30所示是G41方式直线与圆弧连接形式。
图4-31 圆弧与圆弧转接交点
第七节 刀具半径补偿的坐标计算
(3)圆弧与圆弧连接 图4-31所示是G41方式顺圆弧与顺圆弧连接时 的刀具中心转接点计算图。
第一节 插补的概念
图4-1 用离散型值点表述的双三次Bezier曲面
第二节 逐点比较法的直线和圆弧插补原理
一、逐点比较法直线插补
图4-2 直线插补
第二节 逐点比较法的直线和圆弧插补原理
加工如图4⁃2所示的平面直线AB，以直线起点A的坐标为(X0，Y0)， 直线AB的终点坐标为(Xe，Ye)，则直线方程为 ① 点M在AB直线的上方，判别函数 F＞0。 ② 点M在AB直线上，F= 0。 ③ 点M在AB直线的下方，判别函数 F＜0。
2--插补象限、圆弧走向处理以及逐点比较法合成进给速度
① F=F-2*|X|+1 ② |X|=|X|-1 SR2、NR3 N -X
① F=F+2*|Y|+1 ② |Y|=|Y|+ 1 Y SR2、NR1 N +Y -Y
① F=F+2*|X|+1 ② |X|=|X|+1 Y SR1、NR4 N +X -X
∑= ∑-1 ∑= 0 Y 结束 N
（三）圆弧过象限 直线只可能处于一个象限中，因此不存在过象限问题。但是圆弧有可能 跨越几个象限，这时需要在两象限的交接处做相应的处理，此即圆弧过象限 问题。 当圆弧过象限时，具有如下特点： ① 在过象限前后，动点坐标的符号会发生改变； ② 在过象限后，圆弧的走向不变。 逆圆弧过象限的顺序为：NR1 → NR2 → NR3 → NR4 → NR1 →• • • 顺圆弧过象限的顺序为：SR1 → SR4 → SR3 → SR2 → SR1 →• • • ③ 过象限圆弧与坐标轴必有交点，当动点处在坐标轴上时必有一个坐 标值为零。此点可以作为过象限的标志。 ④ 终点判别不能简单地直接使用前述的三种方法，否则将丢失一部分 圆弧轮廓。
Y (0,4) (1,3) Y
X
X
为减少误差，对于 F = 0 的情况，应该根据直线的具体情况，分别进行 处理。 ① 对于 |Ye|＞|Xe| 的直线，约定在Y轴方向走一步； ② 对于 |Xe|＞|Ye| 的直线，则约定在X轴方向走一步。 根据改进后的算法设计的直线插补流程图如下。
开始 ① F=0 ② ∑=|Xe|+ |Ye| F=0？ N N F < 0 ？ Y Y +X Xe > 0？ N -X Y +Y Ye > 0？ N -Y Y |Ye|≥|Xe|？ Y Ye > 0？ N -Y N
数字积分圆弧第一二三四象限顺逆插补计算
数控技术课程设计说明书设计题目：数字积分法圆弧插补计软件设计指导老师：专业：机械设计制造及其自动化班级：机姓名：学号：目录一、课程设计题目 (1)二、课程设计的目的 (1)三、课程设计使用的主要仪器设备 (1)四、课程设计的任务题目描述和要求 (1)五、数字积分法插补原理 (2)5.1从几何角度来看积分运算 (2)5.2数字积分圆弧插补 (3)5.3数字积分法圆弧插补程序流程图 (5)5.4插补实例 (6)六、程序清单 (7)七、软件运行效果仿真 (18)八、课程小节 (21)九、参考文献 (22)一、课程设计题目数字积分法第一、二、三、四象限顺、逆圆插补计算二、课程设计的目的《数控原理与系统》是自动化（数控）专业的一门主要专业课程，安排课程设计的目的是通过课程设计方式使学生进一步掌握和消化数控原理基本内容，了解数控系统的组成，掌握系统控制原理和方法，通过设计与调试，掌握各种功能实的现方法，为今后从事数控领域的工作打下扎实的基础。
1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。
2) 掌握数字积分法（DDA）插补的基本原理。
3）掌握数字积分法（DDA）插补的软件实现方法。
三、课程设计使用的主要仪器设备1、PC计算机一台2、数控机床实验装置一台3、支持软件若干（选用VB环境）四、课程设计的任务题目描述和要求数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital Differential Analyzer)。
数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点，应用比较广泛。
其缺点是速度调节不便，插补精度需要采取一定措施才能满足要求。
由于计算机有较强的计算功能和灵活性，采用软件插补时，上述缺点易于克服。
本次课程设计具体要求如下：（1）掌握数字积分插补法基本原理（2）设计出数字积分（DDA）插补法插补软件流程图（3）编写出算法程序清单算法描述（数字积分法算法在VB中的具体实现）（4）要求软件能够实现第一、二、三、四象限顺、逆圆插补计算（5）软件运行仿真效果插补结果要求能够以图形模式进行输出五、数字积分法插补原理数字积分法又称数字积分分析法DDA(Digital differential Analyzer)，简称积分器，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。
数控机床插补原理
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
二、数字积分法插补
例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X A( 5 , 3 )
∆X,∆Y同时溢出 JE=0，插补结束
110 000
加工轨迹如下：
Y 6 5 4 3 2 1 O 1 2
A( 2 , 6 )
X
(三)数字积分圆弧插补 如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB， 坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye) 为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。 Y B(Xe,Ye) Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo) O X
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
010 000 010 010 010 100 010 110 010 000 1 010 010 010 100 010 110 010 000 1
插补计算过程如下
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
101 000 101 101 101 010 101 111 101 100 101 001 101 110 101 011
1 1 1 1
O ∆t
t T
若∆t取最小基本单位“1”，则上式可简化为： n-1 S=∑ Yi
数控机床DDA数字积分法插补第一象限直线,逐点比较法插补二三象限顺圆弧
3.2 执行计算
在右侧面板中有参数输入区，方式选择区以及执行按钮等操作。
若输入参数和符合要求则出现错误对话框;“参数有误”
若不选择插补对象为‘直线’或‘圆弧’直接按下‘复位’按钮会出现警示对话框提示“请选择插补对象”
注：在直线插补中，对起始点坐标和终点坐标不作要求，但步长必须不能为0；在圆弧插补中，起始点坐标必须为二三象限的点，且终止点必须在起始点下侧，这事保证圆弧为劣弧的条件之一。步长在任何情况下不能为0 。
4.2 主要算法的实现
4.2.1参数声明
起点坐标（sx,sy）;终点坐标（ex,ey）；
圆心坐标（cx,cy）；步长bc；
4.2.2复位操作程序：
functionfw_Callback(hObject, eventdata, handles)
globalsx sy ex ey cx cy bc m vx1 vy1 rx1 ry1
3.2 执行计算……………………………………………………………5
3.3DDA法直线插补实例………………………………………………6
3.4逐点比较法插补第二三象限逆时针圆弧…………………………7
四、主要算法及源程序
4.1 程序设计概述………………………………………………………8
set(gca,'YTick',[-10:1:10]);
axis([-10 10 -10 10]);
axismanual;
ifs_1==0&&s_2==0
warndlg('请选择插补对象');
else
ifget(handles.zx,'value')
m=str2double(get(handles.m,'String'));
数字积分法插补
数字积分法插补前面提到过数字积分法插补是脉冲增量插补的一种，它是用数字积分的方法计算刀具沿各坐标轴的移动量，从而使刀具沿着设定的曲线运动。
实现数字积分插补计算的装置称为数字积分器，或数字微分器(Digital Differential Analyzer, DDA)，数字积分器可以用软件来实现。
数字积分器具有运算速度快，脉冲分配均匀，可以实现一次、二次曲线的插补和各种函数运算，而且易于实现多坐标联动，但传统的DDA 插补法也有速度调节不方便，插补精度需要采取一定措施才能满足要求的缺点，不过目前CNC 数控系统中多采用软件实现DDA 插补时，可以很容易克服以上缺点，所以DDA 插补是目前使用范围很广的一种插补方法。
它的基本原理可以用图4.1所示的函数积分表示，从微分几何概念来看，从时刻0到时刻t 求函数y=f(t)曲线所包围的面积时，可用积分公式： (4.1)如果将0~t 的时间划分成时间间隔为Δt 的有限区间，当Δt 足够小时，可得近似公式：(4.2)式中y i-1为t=t i-1时f(t)的值，此公式说明：积分可以用数的累加来近似代替，其几何意义就是用一系列小矩形面积之和来近似表示函数f(t)下面的面积，t y d t f S ni i t t ∆==∑⎰=-110)(⎰=t t d t f S 0)(如果在数字运算时，用取Δt 为基本单位“1”，则4.2式可以简化为：∑=-=n i i y S 11(4.3)如果系统的基本单位Δt 设置得足够小，那么就可以满足我们所需要的精度。
一般地，每个坐标方向需要一个被积函数寄存器和一个累加器，它的工作过程可用图4.2表示：图 4.2 一个坐标方向上的积分器示意图Fig 4.2 Sketch of DDA in one coordinate direction图4.1 数字积分原理Fig 4.1 Principle of DDA被积函数寄存器用以存放坐标值f(t)，累加器也称余数寄存器用于存放坐标的累加值。
逐点比较法的性能和数字积分法
的速度分量为Vx，Vy，
则有
Y
V Vx Vy k OE X e Ye
Vy V E(Xe,Ye)
(k为常数) (3-16)
各坐标轴的位移量为
Vx
X Vxdt kXedt
O
X
Y Vydt kYedt (3-17)
图3-19 DDA直线插补
数字积分法是求式（3-17）从 O到E区间的定积分。此积分值等 于由O到E的坐标增量，因积分是 从原点开始的，所以坐标增量即是 终点坐标。
1. 数字积分法直线插补 例子：
若要产生直线OE，其起点为坐标原点O， 终点坐标为E(7，4)。设寄存器和累加 器容量为1，将Xe＝7，Ye＝4分别分成8
段，每一段分别为7/8，4/8，将其存入
X和Y函数寄存器中。
第一个时钟脉冲来到时，累加器里 的值分别为7/8，4/8，因不大于累加器 容量，没有溢出脉冲。
停止插补。
例题
设欲加工第一象限直线OE，起点在原点，终点坐标Xe=5， Ye=4，试写出插补计算过程并绘制插补轨迹。
步数 偏差判别 坐标进给
偏差计算
终点判别
1 F0=0 2 F1＜0 3 F2＞0 4 F3＜0 5 F4＞0 6 F5＜0 7 F6＞0 8 F7＜0 9 F8＞0
F0=0
+X
F1.= F0 - Ye =0-4=-4
Ⅱ Ⅲ
-X -X
+Y -Y
Fm1 Fm Ye Fபைடு நூலகம்1 Fm Xe
Ⅳ
+X
-Y
不同象限直线的逐点比较插补
二、圆弧插补 1.偏差计算公式
因为
Rm2
X
2 m
Ym2
取
数控技术第3章(2)
动点从原点出发走向终点的过程，可以看作是各坐 标轴每经过一个单位时间间隔t，分别以增量kXe及kYe 同时累加的结果。
X Y
X kX t
i e i 1 m i＝1 m i e i i 1 i 1
m
m
i
Y kY t
取 ti 1（一个单位时间间隔），则 m
0.100 1 0.100 1 0.100 1 0.100 1 0.100 1 0.100 1 0.100 1 0.100
100 0.100 100+100=1 000 0.100+0.100=1.000 100+000=100 0.100+0.000=0.100 100+ 100=1 000 0.100+0.100=1.000 100+ 000=100 0.100+0.000=0.100 100+ 100=1 000 0.100+0.100=1.000 100+ 000= 100 0.100+0.000=0.100 100+ 100=1 000 0.100+0.100=1.000
(二) 数字积分法
数 字 积 分 法 又 称 数 字 微 分 分 析 法 DDA(Digital differential Analyzer)，是在数字积分器的基础上建立起 来的一种插补算法。数字积分法的优点是，易于实现 多坐标联动，较容易地实现二次曲线、高次曲线的插 补，并具有运算速度快，应用广泛等特点。 如图3-15所示，设有一函数Y＝f(t)，求此函数在 t0~tn区间的积分，就是求出此函数曲线与横坐标t在区 间（t0，tn）所围成的面积。如果将横坐标区间段划分 为间隔为t的很多小区间，当t取足够小时，此面积 可近似地视为曲线下许多小矩形面积之和。
第三节 数字积分法插补
第三节 数字积分法插补一、数字积分法的基本原理数字积分法又称数字微分分析法（Digital Differential Analyzer ）。
这种插补方法可以实现一次、二次、甚至高次曲线的插补，也可以实现多坐标联动控制。
只要输入不多的几个数据，就能加工出圆弧等形状较为复杂的轮廓曲线。
作直线插补时，脉冲分配也较均匀。
从几何概念上来说，函数)(t f y =的积分运算就是求函数曲线所包围的面积S （图3-10所示）。
图3-10 函数)(t f y =的积分S=⎰tydt 0（3-9）此面积可以看作是许多长方形小面积之和，长方形的宽为自变量t ∆，高为纵坐标i y 。
则 S=⎰tydt 0=t y ni i ∆∑=0（3-10）这种近似积分法称为矩形积分法，该公式又称为矩形公式。
数学运算时，如果取t ∆=1，即一个脉冲当量，可以简化为：S=∑=ni iy（3-11）由此，函数的积分运算变成了变量求和运算。
如果所选取的脉冲当量足够小，则用求和运算来代替积分运算所引起的误差一般不会超过容许的数值。
二、DDA 直线插补 1．DDA 直线插补原理图3-11 直线插补设xy 平面内直线OA ，起点（0，0），终点为（e x ，e y ），如图3-11所示。
若以匀速V 沿OA 位移，则V 可分为动点在x 轴和y 轴方向的两个速度x V 、y V ，根据前述积分原理计算公式，在x 轴和y 轴方向上微小位移增量x ∆、y ∆应为⎩⎨⎧∆=∆∆=∆t V y tV x y x (3-12) 对于直线函数来说，x V 、y V ，V 和L 满足下式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==L y VV Lx V V e y e x 从而有⎩⎨⎧==e yex ky V kx V (3-13) 其中：LVk =因此坐标轴的位移增量为⎩⎨⎧∆=∆∆=∆tky y tkx x e e (3-14) 各坐标轴的位移量为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆==∆==⎰∑⎰∑==tn i e e t n i e e ty k dt ky y t x k dt kx x 0101(3-15) 所以，动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔t ∆，分别以增量e kx 、e ky 同时累加的过程。
逐点比较法数字积分法等插补原理
A3(xe , ye )
x F 0
F 0
A4 (xe , ye ) -y
由上图可以推导得出，四个象限直线插补的坐标进给方向和偏差计算公式。
所在象限
Fm≥0
进给方向
偏差计算
所在象限
Fm<0
进给方向
偏差计算
一、四 二、三
+x
一、二-xBiblioteka Fm+1=Fm-ye
三、四
+y
-y
Fm+1=Fm+xe
3.直线插补运算的程序实现
（3） 圆弧插补计算过程比直线插补计算过程多一个环节，即要计
算加工点瞬时坐标（动点坐标）值。
因此圆弧插补计算过程分为五个步骤即偏差判别、坐标进给、
2.四个象限的圆弧插补
（1）第一象限顺圆弧的插补计算
第一象限顺圆弧CD，圆弧的圆心在坐标原点，并已知起点C(x0,y0)，终 点D(xe,ye),如图所示。设加工点现处于m(xm,ym)点， 若Fm≥0,则沿-y方向进给一步，到(m+1)点，新加工点坐标将是(xm,ym-1)，
Nxy=9
+y
F2=F1+xe=2
Nxy=8
+x
F3=F2-ye=-2
Nxy=7
+y
F4=F3+xe=4
Nxy=6
+x
F5=F4-ye=0
Nxy=5
+x
F6=F5-ye=-4
Nxy=4
+y
F7=F6+xe=2
Nxy=3
+x
F8=F7-ye=-2
Nxy=2
+y
二数字积分法插补
ΔX=VxΔt
Y
ΔY=VyΔt
若动点沿OA匀速移动， V、
Vx、Vy均为常数，则有：
V
=
Vx
Vy =
=K
OA Xe Ye
成立。
O
A(Xe,Ye)
V Vy
Vx
X
因而可以得到坐标微小位移增量为：
ΔX=VxΔt=KXeΔt
ΔY=VyΔt =KYeΔt 所以，可以把动点从原点
走向终点的过程看作X、Y Y 坐标每经过一个单位时间
二、数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算 速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输 入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲 线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系 统中得到广泛的应用。
如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB， 坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye) 为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。
011 ΔX,ΔY同时无溢出
6 010 100 110 100 1 010
ΔY溢出
7 010 110 110 010 1 001
ΔY溢出
ΔX,ΔY同时溢出
8 010 000 1 110 000 1 000 JE=0，插补结束
加工轨迹如下：
Y
6
A( 2 , 6 )
5 4
3
2
1
O 12
X
(三)数字积分圆弧插补
被积函数寄存器
存放Y值
Δt +
ΔY 累加器（余数寄存器）
被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：
3.5.2 直线和圆弧DDA法插补原理
JY-1 JY 5
5 5 5 5-1=4 4-1=3 3-1=2 2-1=1
终点判 别 NX NY
+Y +Y +Y -X,+Y 10-8=2 -X,+Y 10-8=2 -X -X 12-8=4 9-8=1
10-8=2 12-8=4 9-8=1 11-8=3 11-8=3
2012-5-30
数字积分法直线插补运算过程（前五步）
累加 次数 X积分器 Y积分器 终点计 数 器 JE 000
JRX+JVX
1 0+101=101
溢出 △X 0 1
0 1 1
JRY+JVY
0+010=010
溢 出 △Y 0 0
0 1 0
2
3 4 5
101+101=010
010+101=111 111+101=100 100+101=001
一 插补的基本概念； 二 插补方法的分类； 三 逐点比较法； 四 数字积分法； 五 数据采样法（时间分割法）； 六 插补算法中的速度处理。
2012-5-30
四 数字积分法插补
特点：
易于实现多坐标联动插补 Y 1 数字积分法的工作原理 如右图，函数在[t0 , tn ]的定 积分，即为函数在该区间 的面积： O t0 t1 t2 如果从t=0开始，取自变量 t的一系列等间隔值为△t， 当△t足够小时，可得
2 设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A (3,0),终点为B(0,3)，用DDA法加工圆弧 AB。
2012-5-30
数字积分法插补原理
本单元学习目标
掌握数字积分法插补基本原理 掌握数字积分直线插补运算过程、特点及其应用 掌握数字积分圆弧插补运算过程、特点及其应用 理解改进数字积分插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
一 基本原理
数字积分法又称数字积分分析法DDA(Digital differential Analyzer)， 简称积分器，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。具 有逻辑能力强的特点，可实现一次、两次甚至高次曲线插补，易于实 现多坐标联动。只需输入不多的几个数据，就能加工圆弧等形状较为 复杂的轮廓曲线。直线插补时脉冲较均匀。并具有运算速度快，应用 广泛等特点。
i 1
i 1
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
设在平面中有一直线OA，其起点坐标为坐标原点O，终点坐为 A(xe , ye ) ，则该 直线的方程为 y y e x ，将方程化为对时间t的参数方程，再求积分可得：
xe
x K xedt
y K yedt
上式积分用累加的形式近似表达为：
n
x Kxe ti
过程中，被积函数值必须由累加器的溢出来修改。圆弧插补x
轴累加器初值存入轴起点坐标 y 0 ，y轴累加器初值存入x轴起
点坐标 x 0 。
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
3单元 数字积分法插补原理 掌握数字积分圆弧插补运算过程、特点及其应用
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
表 2-7 DDA 直线插补运算过程
累加次数 m
x 被积函数 寄存器
数控机床DDA数字积分法插补第一象限直线,逐点比较法插补二三象限顺圆弧
数控机床DDA数字积分法插补第⼀象限直线,逐点⽐较法插补⼆三象限顺圆弧⽬录⼀、课程设计介绍1.1 任务说明 (3)1.2要求 (3)⼆、程序操作及算法流程图2.1 DDA法插补直线流程 (3)2.2逐点⽐较法插补逆时针圆弧流程 (4)三、⽤户使⽤说明3.1 程序开始运⾏时显⽰介⾯ (5)3.2 执⾏计算 (5)3.3 DDA法直线插补实例 (6)3.4 逐点⽐较法插补第⼆三象限逆时针圆弧 (7)四、主要算法及源程序4.1 程序设计概述 (8)4.2 主要算法的实现 (8)4.2.1 参数声明 (8)4.2.2复位操作 (9)4.2.3单步操作 (11)4.2.4 连续插补 (11)4.2.5 辅助操作 (13)五、本设计的特点 (13)六、课程设计的感想 (13)七、主要参考⽂献 (14)⼀、课程设计介绍1.1、任务说明：（1）直线插补：DL1, DDA 法第⼀象限直线插补。
（2）圆弧插补：PA23，逐点⽐较法⼆三象限顺圆弧插补。
1.2、要求：（1）具有数据输⼊界⾯，如：起点，终点，圆⼼，半径及插补步长。
（2）具有插补过程的动态显⽰功能，如：但单步插补，连续插补，插补步长可调。
本课程设计的题⽬要求是ＤＤＡ数字积分法插补第⼀象限直线,逐点⽐较法插补⼆三象限顺圆弧。
由于本课设要求只为⼆三象限，故默认为劣弧插补。
此外，对于两种插补对象均可根据需要改变插补步长，以表现不同的插补效果。
在插补显⽰过程中，有两种插补显⽰⽅式，即⼿动单步插补和⾃动连续插补动态显⽰。
⼆、程序操作及算法流程图 2.1 DDA 法插补直线流程初始化sx sy ex ey 步长bc 寄存器vx1 vy1 累加器 rx1 ry1rx1=rx1+vx1 ry1=ry1+vy1ry1是否溢出rx1是否溢出是否到达终点结束 +x ⾛⼀个步长 +y ⾛⼀个步长NY NYNY开始DDA 插补第⼀象限的直线流程图2.2逐点⽐较法插补逆时针圆弧流程逐点⽐较法插补⼆三象限逆圆弧参数说明：sx 、sy 为起点坐标ex 、ey 为终点坐标开始初始化sx ex sy sy bc 弧半径平⽅rY21>=0r>=0r>=0向—y ⾛⼀步向x ⾛⼀步向—y ⾛⼀步向—x ⾛⼀步是否到达终点结束yyynnnn yn为进给总次数cx、cy为圆⼼坐标bc为步长m为寄存器位数s_1表⽰按下直线选项，s_2表⽰按下圆弧按钮三、⽤户使⽤说明——软件运⾏说明及结果显⽰3.1 程序开始运⾏时显⽰介⾯3.2 执⾏计算在右侧⾯板中有参数输⼊区，⽅式选择区以及执⾏按钮等操作。
数字积分法插补原理
数字积分法又称数字积分分析法DDA(Digital differential Analyzer)， 简称积分器，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。具 有逻辑能力强的特点，可实现一次、两次甚至高次曲线插补，易于实 现多坐标联动。只需输入不多的几个数据，就能加工圆弧等形状较为 复杂的轮廓曲线。直线插补时脉冲较均匀。并具有运算速度快，应用 广泛等特点。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
例：设有一直线OA，起点为原点O，终点A坐标为(4,6)，试用数字 积分法进行插补计算并画出走步轨迹。
解：选取累加器和寄存器的位数为3位，即n=3，则累加次数
m 23 8
插补前，余数寄存器=0。x被 积函数寄存器=4，y被积函数寄 存器=6。其插补过程如表（下 页）所示。插补轨迹如右图所 示。
3单元 数字积分法插补原理
一 基本原理
如图所示，从时刻到t求函数曲线所包围的面积时，可用积分公式表示，如 果将0～t的时间划分成时间间隔为的有限区间，当足够小时，可得近似公式 ：
S
t
0
f
(t )dt
t
0
y(t )dt
n
yi t
i 1
n
若△t 取“1”，上式简化为：S yi
i 1
S
t
0
y(t )dt
三 圆弧插补
DDA逆圆插补框图
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
圆弧插补与直线插补比较
（1）直线插补时为常数累加，而圆弧插补时为变量累加。
（2）圆弧插补时，x轴动点坐标值累加的溢出脉冲作为y轴的 进给脉冲，y轴动点坐标值累加溢出脉冲作为x轴的进给脉冲。
机电一体化-插补原理
图
8
当偏差值F＜0时 CNC向Y正方向发出一进给脉冲指令 刀具从所在点（Xi,Yi）走向新加工点（Xi+1,Yi+1） 则新加工点偏差值为 Fi+1,i+1= Fi,i+1=XeYi+1-XiYe =Xe（Yi+1）-XiYe =XeYi+Xe-XiYe 即 Fi,i+1=F+Xe
F9=F8-2X0+1 =0-2×8+1= -15
X9=X8-1=7
Y9=Y8=6
Y10=Y9+1=7 Y11=Y10+1=8
J=3
J=2 J=1 J=0
F10=F9+2Y9+1 X10=X9=7 =-19+2×6+1= -2 F11=F10+2Y10+1 =-2+2×7+1=13 F12=F11-2X11+1 =13-2×7+1=0 X11=X10=7
P(Xi,Yi) O X
2. 若P在直线OA上方时（在OA与Y 轴所夹角区域内），则下式成立
2016/12/28
Yi Ye X Y X Y 0 => e i i e Xi Xe
Interpolation
F> F<
6
3. 若P在直线OA下方时（在OA与X轴所夹角区域 内）， 则下式成立
Yi Ye Xi Xe
X12=X11-1=6 Y12=Y11=8
逆圆弧插补过程步骤
Y 8 6 4 2 2
2016/12/28
⑿ B（6，8） ⑾ ⑩ ⑨ ⑧ ⑦ ⑥ ⑤ ④ ③ ②
4
6
A（10，0） X 8 ①10
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XX 学院课程设计说明书设计题目：数字积分法三、四象限顺圆插补计算系(部)：xxx专业：xxx班级：xxx姓名：xxx学号：xxx指导老师（签名）：xxx起止时间：2012年12月24 日至2012年12月29 日共 1 周20 12 年12 月26 日目录一、课程设计题目 (1)二、课程设计的目的 (1)三、课程设计使用的主要仪器设备 (1)四、课程设计的任务题目描述和要求 (1)五、数字积分法插补原理 (2)5.1从几何角度来看积分运算 (2)5.2数字积分圆弧插补 (3)5.3数字积分法圆弧插补程序流程图 (5)5.4插补实例 (6)六、程序清单 (8)七、软件运行效果仿真 (14)八、课程小节 (20)九、参考文献 (20)一、课程设计题目数字积分法第三四象限顺圆插补计算二、课程设计的目的《数控原理与系统》是自动化（数控）专业的一门主要专业课程，安排课程设计的目的是通过课程设计方式使学生进一步掌握和消化数控原理基本内容，了解数控系统的组成，掌握系统控制原理和方法，通过设计与调试，掌握各种功能实的现方法，为今后从事数控领域的工作打下扎实的基础。
1) 了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。
2) 掌握数字积分法（DDA）插补的基本原理。
3）掌握数字积分法（DDA）插补的软件实现方法。
三、课程设计使用的主要仪器设备1、PC计算机一台2、数控机床实验装置一台3、支持软件若干（选用VB环境）四、课程设计的任务题目描述和要求数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital Differential Analyzer)。
数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点，应用比较广泛。
其缺点是速度调节不便，插补精度需要采取一定措施才能满足要求。
由于计算机有较强的计算功能和灵活性，采用软件插补时，上述缺点易于克服。
本次课程设计具体要求如下：（1）掌握数字积分插补法基本原理（2）设计出数字积分（DDA）插补法插补软件流程图（3）编写出算法程序清单算法描述（数字积分法算法在VB中的具体实现）（4）要求软件能够实现第三第四象限顺圆插补计算（5）软件运行仿真效果插补结果要求能够以图形模式进行输出五、数字积分法插补原理数字积分法又称数字积分分析法DDA(Digital differential Analyzer)，简称积分器，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。
具有逻辑能力强的特点，可实现一次、两次甚至高次曲线插补，易于实现多坐标联动。
只需输入不多的几个数据，就能加工圆弧等形状较为复杂的轮廓曲线。
直线插补时脉冲较均匀。
并具有运算速度快，应用广泛等特点。
5.1从几何角度来看积分运算如下图所示，从时刻到t 求函数曲线所包围的面积时，可用积分公式表示，如果将0～t 的时间划分成时间间隔为的有限区间，当足够小时，可得近似公式 ：若△t 取“1”，上式简化为：这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：被积函数寄存器用以存放Y 值，每当Δt 出现一次，被积函数寄存器中的Y 值就与累加器中的数值相加一次，并将累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累加器就有溢出。
当累加次数达到累加器的容量时，所产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。
∑⎰⎰=∆===n i i tt ty dt t y dt t f S 100)()(∑==ni i y S 1∑∑⎰===∆−−→−∆==n i in i t i ty t y dt t y S 1110)(被积函数寄存器与累加器相加的计算方法： 例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数为5，求累加过程。
101 101 101 101 +）000 +）101 +）010 +）111 101 010 111 100101 101 101 101 +） 100 +）001 +）110 +） 011 001 110 011 000经过2^3 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以积分值等于5。
5.2数字积分圆弧插补圆心为坐标原点的圆弧方程式为： 可得圆的参数方程为：对t 微分得、方向上的速度分量为：用累加器来近似积分为：如图所示，设加工半径为R 的第一象限逆时针圆弧AB ，坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye)为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。
如下图所示，可以得到：V ／R = Vx ／Yi = Vy ／Xi = K 即Vx=K Yi ，Vy=K Xi 因而可以得到坐标微小位移增量为：ΔX=Vx Δt = KYi Δt ΔY=Vy Δt = KXi Δt 设Δt=1，K=1/2 则有：222x y r +=t r x cos =sin y r t=y d co s d y v r t xt===x d sin d xv r t y t ==-=-i1n i x y t ==-∆∑i 1n i y x t ==∆∑可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是对加工动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出，则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示：5.3数字积分法圆弧插补程序流程图DDA法插补不同象限圆弧时，算法也有所不同。
当采用软件插补时，如果参与积分运算的寄存器均采用绝对值数据，则DDA法插补的积分累加过程完全相同，即JR＋JV→JR，只是进给脉冲分配方向和圆弧插补动点坐标的修正有所不同。
5.5插补实例设有第Ⅰ象限逆圆弧SE，起点为S（4，0），终点为E（0，4），且寄存器位数N=3。
试用DDA法对该圆弧进行插补，并画出插补轨迹。
解：插补开始时，被积函数寄存器初值分别为JVX＝YS＝0，JVY＝XS＝4，终点判别寄存器JSX＝|Xe－XS|＝4，JSY＝|Ye－YS|＝4。
该圆弧插补运算过程见下表，插补轨迹如下图所示的折线。
六、程序清单Private Sub 建立坐标系_Click()Picture1.ForeColor = vbBlackPicture1.DrawWidth = 2Picture1.Line (500, 1000)-(8500, 1000) '画直线坐标轴Picture1.Line (4500, 1000)-(4500, 5000)Picture1.CurrentX = 230 '当前位置Picture1.CurrentY = 900Picture1.Print "-X" '坐标轴标注Picture1.CurrentX = 4300Picture1.CurrentY = 800Picture1.Print "(0,0)"Picture1.CurrentX = 8650Picture1.CurrentY = 900Picture1.Print "X"Picture1.CurrentX = 4400Picture1.CurrentY = 5100Picture1.Print "-Y"Picture1.Line (500, 1000)-(600, 950) '箭头Picture1.Line (500, 1000)-(600, 1050)Picture1.Line (8500, 1000)-(8400, 950)Picture1.Line (8500, 1000)-(8400, 1050)Picture1.Line (4500, 5000)-(4450, 4900)Picture1.Line (4500, 5000)-(4550, 4900)End SubPrivate Sub 画圆弧_Click()Dim a, b, c, d, n, m As IntegerDim r As Singlea = Val(Text1.Text)b = Val(Text2.Text)c = Val(Text3.Text)d = Val(Text4.Text)n = a * a + b * bm = c * c + d * dr = Sqr(n)Picture1.ForeColor = vbRedPicture1.DrawWidth = 4If Option1.Value = True ThenConst PI = 3.1415926535Picture1.Circle (4500, 1000), 300 * r, , PI, -3 * -PI / 2End IfIf Option2.Value = True ThenPicture1.Circle (4500, 1000), 300 * r, , -3 * -PI / 2, 0 * PIEnd IfEnd SubPrivate Sub 清除_Click()Text1.Text = ""Text2.Text = ""Text3.Text = ""Text4.Text = ""Text5.Text = ""Option1.Value = FalseOption2.Value = FalsePicture1.ClsForm1.ClsEnd SubPrivate Sub 插补计算_Click()If Not (Option1.Value = True Or Option2.Value = True) Thenans = MsgBox("出错了，请选择象限", 48, "提示信息")End IfDim a, b, c, d, ni, mi, ai, bi, ci, k, f, g, m, n, l, i, xs, yx, xe, ye, jvx, jvy, xi, yi As Integer Dim r As Singlea = Val(Text1.Text)b = Val(Text2.Text)c = Val(Text3.Text)d = Val(Text4.Text)ni = a * a + b * bmi = c * c + d * dr = Sqr(ni)Form1.Clsci = 2f = 1g = 1k = 0 '正X进给标志1 正向-1负向m = 0 '负Y进给标志1 正向-1负向n = 0 '累加次数i = CInt(Text5) '寄存器位数赋给il = 2 ^ ixs = CInt(Text1)ys = CInt(Text2)xe = CInt(Text3)ye = CInt(Text4)jvx = Abs(CInt(Text2))jvy = Abs(CInt(Text1))jrx = 0jry = 0xi = Abs(CInt(Text3) - CInt(Text1)) 'X方向总步yi = Abs(CInt(Text4) - CInt(Text2)) 'Y方向总步长ai = xsbi = ysPicture1.ForeColor = vbGreenPicture1.DrawWidth = 3Form1.CurrentX = 200Form1.CurrentY = 200Print " " & " X积分器" & " Y 积分器" Form1.CurrentX = 100Form1.CurrentY = 400Print "累加次数n" & " jvx " & "Jrx=Jrx+Jvx" & " △X " & "J∑x" & " Jvy" & " Jry=Jry+Jvy" & " △Y " & " J∑y "Form1.CurrentX = 100Form1.CurrentY = 600Print " 开始" & " " & jvx & " " & jrx & " " & k & " " & xi & " " & jvy & " " & jry & " " & m & " " & yiwz: k = 0 'X方向进给标志1 X正向进给-1负向进给m = 0 'Y方向进给标志1 Y正向进给-1负向进给If xi > 0 Then 'X方向判断jrx = jrx + jvxIf jrx >= l Then '判断寄存器是否溢出jrx = jrx - l '溢出修正If jrx >= l Then '寄存器位数判断GoTo ww5End Ifk = -1 '负X方向进给xi = xi - 1 'X方向总步长减1End IfEnd IfIf yi > 0 Then 'Y方向判断jry = jry + jvyIf jry >= l Then '判断寄存器是否溢出jry = jry - l '溢出修正If jry >= l Then '寄存器位数判断GoTo ww5End IfIf Option1.Value = True Then '第三象限m = 1 '正Y方向进给ElseIf Option2.V alue = True Then '第四象限m = -1 '负Y方向进给End Ifyi = yi - 1 'Y方向总步长减1End IfEnd Ifn = n + 1 '累加次数加1Form1.CurrentX = 100Form1.CurrentY = 600 + n * 200If xi = 0 Or yi = 0 ThenIf xi = 0 And yi <> 0 And f = 0 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & "停止" & " " & "" & " " & "" & " " & jvy & " " & jry & " " & m & " " & yi GoTo wz2End IfIf xi = 0 And yi <> 0 And f < 0 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & " " & " " & "" & " " & "" & " " & jvy & " " & jry & " " & m & " " & yi GoTo wz2End IfIf xi <> 0 And yi = 0 And g = 0 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & jrx & " " & k & " " & xi & " " & jvy & " " & "停止"GoTo wz2End IfIf xi <> 0 And yi = 0 And g < 0 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & jrx & " " & k & " " & xi & " " & jvyGoTo wz2End IfIf xi = 0 And yi = 0 And f = 1 And g < 0 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & jry & " " & k & " " & xi & " " & jvyGoTo wz2End IfIf xi = 0 And yi = 0 And f < 0 And g = 1 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & " " & " " & "" & " " & "" & " " & jvy & " " & jry & " " & m & " " & yiGoTo wz2End IfIf xi = 0 And yi = 0 And f = 0 And g = 0 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & "停止" & " " & "" & " " & "" & " " & jvy & " " & "停止"GoTo wz2End IfIf xi = 0 And yi = 0 And f = 0 And g < 0 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & "停止" & " " & k & " " & xi & " " & jvy & " "GoTo wz2End IfIf xi = 0 And yi = 0 And f < 0 And g = 0 ThenPrint " " & n & " " & jvx & " " & " " & " " & "" & " " & "" & " " & jvy & " " & "停止"GoTo wz2End IfEnd IfPrint " " & n & " " & jvx & " " & jrx & " " & k & " " & xi & " " & jvy & " " & jry & " " & m & " " & yiwz2: If xi = 0 Thenf = f - 1End IfIf yi = 0 Theng = g - 1End IfIf xi = 0 And yi = 0 Thenci = ci - 1If ci = 0 ThenGoTo wz3End IfEnd IfIf Option1.Value = True ThenIf k = -1 Then '负X方向进给jvy = jvy + 1End IfIf m = 1 Then '正Y方向进给jvx = jvx - 1End IfEnd IfIf Option2.Value = True ThenIf k = -1 Then '负X方向进给jvy = jvy - 1End IfIf m = -1 Then '负Y方向进给jvx = jvx + 1End IfEnd IfPicture1.Line (4500 + 300 * ai, 1000 - bi * 300)-(4500 + 300 * (ai + k), 1000 - (bi + m) * 300) ai = ai + kbi = bi + mGoTo wzww3: Text1.Text = ""Text2.Text = ""Text3.Text = ""Text4.Text = ""Text5.Text = ""Text1.SetFocusww5: Form1.Clsans = MsgBox("出错了，寄存器位数偏小，请输入", 48, "提示信息")Text5.Text = ""Text5.SetFocusww4:wz3:End Sub七、软件运行效果仿真界面设计八、课程小节通过此次课程设计，使我更好的掌握了有关数字积分法三四象限逆圆插补计算方面的知识，在设计过程中虽然遇到了一些问题，但经过一次又一次的思考和询问，终于找出了原因所在，也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足。