1.1-1.2 随机试验 样本空间、随机事件

二、随机事件的概念
问题：随机试验的结果与样本空间的关系 .
实例1 抛掷一枚骰子，观察出现的点数.
A表示“出现2点”; B表示 “出现点数为偶数”.
样本空间为：S {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
子集：A {2}.
B {2, 4, 6}. ——随机事件
实例2 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命. 规定寿命(小时)小于500为次品. A表示“产品合格”.
概率论与数理统计
任课教师： 郭晶
课堂讲授方法
1.关于教材 2.内容多，课时紧 总课时：48学时 3.讲解的重点
要求
• 1.学习方法
• 2.课堂纪律 • 3.作业 • 4.考试
引言：概率论的诞生发展及应用
概率论的诞生
1654年，一个名叫梅累的骑士就“两个赌 徒约定赌若干局，且谁先赢 c 局便算赢家，若在 一赌徒胜 a 局 ( a<c )，另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博，问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡， 帕斯卡与费马通信讨论这一问题， 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念 数学期望.
数。
E 4 ：抛一枚骰子，观察出现的点数。
E 5 ：记录某城市 120 急救
电话台一昼夜接到的呼唤次数。
在一批灯光中任意抽 E6 ： 取一只，测试它的寿命。
E 7 ：记录某地一昼夜的最高气温和最低气温。
定义： 随机试验是指具有以下三个特征的试验：
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 可重复性 2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试 可知性 验的所有可能结果;
3. 从一批产品中,依次任选三件,记录发生正品与次品的情况.
答案
1. S {3, 4, 5, , 18}. 2. S {10, 11, 12, }. 3. 记 N 正品, D 次品.
则 S { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }.
A的对立事件(逆事件)记作A.
显然： A S A B. 实例 “骰子发生1点” 对立
A
Bwk.baidu.comA S
“骰子不发生1点”
注1： A B A AB A B.
B A
A
A B
B A
B
S
B A
A B
S
A
B
S
注2：对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥 A、B 对立
A
B
S
A
B A
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
（2）A1 { HHH , HHT , HTH , HTT }; A2 { HHH , TTT }
又如. 在 E 7 中用 A4 表示“最高气温与最低气温相差 10 摄氏
度” ，即
A4 {( x, y ) | y x 10, T0 x y T1 }
随 机 事 件
基本事件
复合事件
必然事件 不可能事件
随机事件间的关系及运算 事件 运算 对应 集合 运算
10 包含关系 20 和事件
A B
A B
A B 或 AB
30 积事件
40 差事件 50 互不相容 60 对立事件
A B
A B A B 且 A B S
E4: 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
S4 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
E5: 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
S5 {0, 1, 2, }.
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.
S6 : {t | t 0}
E7: 考察某地区一昼夜最高和最低气温.
S7 {( x , y ) T0 x y T1 }.
B A
A
A B
B A
B
S
B A
A B
S
A
B
S
5° 若 A B ，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或 互斥的，它指的是事件 A 与事件 B 不可能同时发生。
A
B
S
推广：若n个事件之间两两互不相容，则称这n个事件是互 不相容的.
6° 若 A B S 且 A B ，则称事件 A 与 B 互为 逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为对立事件，它指的是事 件 A 与事件 B 中必有一个发生而且仅有一个发生。
样本空间S 全 集
随机事件→事件间关系 子集→集合间关系运算 定义于子集的函数：集函数
事件间的运算定律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A BB A, AB BA.
( AB)C A( BC ).
(2) 结合律 ( A B) C A ( B C ), (3) 分配律
( A B) C ( A C ) ( B C ) AC
试验是一个广泛的术语. 它包括各种各样的科学实验, 也包 括对某一客观事物的某一特征进行的 “调查”、“观 察”、或 “测量” 等.
例 E1 : 抛掷一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。
E 2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面
T 出现的情况。
E 3 ：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次
说明： (1) 建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型.
(2) 一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.
例如： S {0, 1} 可以是：正面 或 反面 、合格与不合格 、有人排队 与无人排队等模型.
课堂练习：写出下列随机试验的样本空间.
1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.
随机性
第二节
样本空间、随机事件
样本点
一、样本空间
二、随机事件的概念 三、随机事件间的关系及运算
重点： 样本空间、样本点（基本事件）;---研究的第一步! 随机事件； 事件间的关系与运算---表示复杂事件！
一、样本空间(Space)、样本点
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的 样本空间， 记为 S . 样本空间的元素，即E 的每一个结果 , 称为样本点. E1 : 抛掷一枚硬币,观察正面，反面出现的情况.
概率论的发展
.Huygens(荷兰) 《论赌博中的推理》
.Bernoulli(瑞士)《猜度术》 .Laplace(法国)《分析概率论》
概率论的应用
概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 在通讯工 程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.
第一章
样本空间为S {t | t 0}
A={t| t≥500}
——随机事件
定义：试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件，简
称事件 , 并以大写英文字母A、B、 C … 来表示.
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点发生时， 称这一事件发生。
特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件. 如实例1中， 样本空间为：S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 复合事件
A B也可记作AB.
实例： “产品合格”是“长度合格A” 与“直径合格B”的交或积事件.
推广 称
n k 1 k 1
A
B S
Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
, An 的积事件;
称
Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
的积事件.
4° 事件 A B { x | x A且 x B }称为事件 A 与 B 的 差事件，它指的是事件 A 发生且事件 B 不发生。
概率论研究的主线？
1、事件表示：---利用简单事件间关系（集合运算）表示较 复杂事件…
2、事件概率的计算：----利用概率的定义、性质、概率运 算公式…
三、随机事件间的关系及运算 事件 运算 对应 集合 运算
10 包含关系 20 和事件
A B
A B
A B 或 AB
30 积事件
40 差事件 50 互不相容 60 对立事件
子集：Ai {i }, i 1, 2, 6. ——是基本事件
B {2, 4, 6}.
两个特殊事件
——是复合事件
S 在每次试验中总是要发生的，称为必然事件.
在每次试验中都不会发生，称为不可能事件.
例1. E2: 将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面 T出现 的情况. （1）写出随机试验E2的样本空间S； （2）用S的子集表示下列事件 A1：“第一次出现的是H”； A2：“三次出现同一面”. 解： (1) 样本空间为
A B A B, A B A B
BC ,
( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A C )( B C ).
(4) 德摩根律
常用关系式： AB A，AB B; A B A B A AB.
小结
随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
S
AB ,
实例 “骰子发生1点”对立
A B S 且 AB .
“骰子不发生1点”互逆事件
“骰子发生1点” 互斥 “骰子发生2点” 互不相容事件
互
斥
对 立
随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间S (数学模型) 定义于事件的函数: 概率
数学模型
随机试验
的结果有一定的规律性——称为统计规律性.
定义 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复 试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象.
特征
说明
研究对象 ——概率论就是研究随机现象统计规律性的一
门数学学科.
研究方法 ——将随机试验的结果数量化.
样本空间(集合)、概率、随机变量(函数)等.
二、随机试验（Experiment ）
A B
A B A B 且 A B S
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak ( k 1, 2, ) 是 S 的子集.
1°若 A B ，则称事件 B 包含 A 或称 A 包含于 B 或称 A 是 B 的子事件， 它指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生。
实例： 事件A：“长度不合格” ； B：“产品不合格” “产品不合格B”包含“长度不合格A”. 图示 B 包含 A.
类似地，称事件

A 为事件 A , A ,, A 的和事件，称
k
n
1
2
n
k 1
事件
A 为可列个事件 A , A ,的和事件。
k
1
2
k 1
A
B S
3°事件 A B { x | x A且 x B }称为事件 A 与 B 的 积事件，它指的是事件 A 与事件 B 同时发生。
H 正面朝上 T 反面朝上
S1 { H , T }.
E2: 将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面 T出现的情况.
S2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
E3: 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数 .
S 3 {0, 1, 2, 3}.
实例2 “抛掷一枚骰子,观察发生的点数”. “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”. 实例3 “从一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命 t ”. 其结果可能为:{ t | t≥0 }.
每次试验前不能预言发生什么结果; 每次试验后发生的结果可能不同; 在相同的条件下进行大量重复试验或观察时，发生
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会发生. 随机性
小结
1. 概率论是研究随机现象统计规律性的数学学科. 2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; 可重复性 随 机 (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确 可知性 试 试验的所有可能结果; 验 (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会发生.
概率论的基本概念
第一节 随机试验
重点： 概率论的主要研究对象； 随机试验的概念
一、自然界所观察到的两类现象
1. 确定性现象
在一定条件下必然发生的现象 称为确定性现象. 实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
特征
2. 随机现象
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察正反两面 发生的情况”. 结果有可能：发生正面、反面.
A
B
S
若 A B且B A， 则称事件A与事件B相等，记为 A=B。
2°事件 A B { x | x A或 x B }称为事件 A 与 B 的 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。
实例： “产品不合格”是“长度不合格A ” 与“直径不合 格B ” 的并或和事件.