1.1-1.2 随机试验 样本空间、随机事件

E4: 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
S4 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
E5: 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
S5 {0, 1, 2, }.
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.
S6 : {t | t 0}
E7: 考察某地区一昼夜最高和最低气温.
S7 {( x , y ) T0 x y T1 }.
概率论的基本概念
第一节 随机试验
重点： 概率论的主要研究对象； 随机试验的概念
一、自然界所观察到的两类现象
1. 确定性现象
在一定条件下必然发生的现象 称为确定性现象. 实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
特征
2. 随机现象
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察正反两面 发生的情况”. 结果有可能：发生正面、反面.
的结果有一定的规律性——称为统计规律性.
定义 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复 试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象.
特征
说明
研究对象 ——概率论就是研究随机现象统计规律性的一
门数学学科.
研究方法 ——将随机试验的结果数量化.
样本空间(集合)、概率、随机变量(函数)等.
二、随机试验（Experiment ）
数。
E 4 ：抛一枚骰子，观察出现的点数。
E 5 ：记录某城市 120 急救
电话台一昼夜接到的呼唤次数。
在一批灯光中任意抽 E6 ： 取一只，测试它的寿命。
E 7 ：记录某地一昼夜的最高气温和最低气温。
定义： 随机试验是指具有以下三个特征的试验：
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 可重复性 2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试 可知性 验的所有可能结果;
B A
A
A B
B A
B
S
B A
A B
S
A
B
S
5° 若 A B ，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或 互斥的，它指的是事件 A 与事件 B 不可能同时发生。
A
B
S
推广：若n个事件之间两两互不相容，则称这n个事件是互 不相容的.
6° 若 A B S 且 A B ，则称事件 A 与 B 互为 逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为对立事件，它指的是事 件 A 与事件 B 中必有一个发生而且仅有一个发生。
A B也可记作AB.
实例： “产品合格”是“长度合格A” 与“直径合格B”的交或积事件.
推广 称
n k 1 k 1
A
B S
Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
, An 的积事件;
称
Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
的积事件.
4° 事件 A B { x | x A且 x B }称为事件 A 与 B 的 差事件，它指的是事件 A 发生且事件 B 不发生。
随 机 事 件
基本事件
复合事件
必然事件 不可能事件
随机事件间的关系及运算 事件 运算 对应 集合 运算
10 包含关系 20 和事件
A B
A B
A B 或 AB
30 积事件
40 差事件 50 互不相容 60 对立事件
A B
A B A B 且 A B S
样本空间为S {t | t 0}
A={t| t≥500}
——随机事件
定义：试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件，简
称事件 , 并以大写英文字母A、B、 C … 来表示.
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点发生时， 称这一事件发生。
特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件. 如实例1中， 样本空间为：S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 复合事件
子集：Ai {i }, i 1, 2, 6. ——是基本事件
B {2, 4, 6}.
两个特殊事件
——是复合事件
S 在每次试验中总是要发生的，称为必然事件.
在每次试验中都不会发生，称为不可能事件.
例1. E2: 将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面 T出现 的情况. （1）写出随机试验E2的样本空间S； （2）用S的子集表示下列事件 A1：“第一次出现的是H”； A2：“三次出现同一面”. 解： (1) 样本空间为
H 正面朝上 T 反面朝上
S1 { H , T }.
E2: 将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面 T出现的情况.
S2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
E3: 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数 .
S 3 {0, 1, 2, 3}.
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
（2）A1 { HHH , HHT , HTH , HTT }; A2 { HHH , TTT }
又如. 在 E 7 中用 A4 表示“最高气温与最低气温相差 10 摄氏
度” ，即
A4 {( x, y ) | y x 10, T0 x y T1 }
S
AB ,
实例 “骰子发生1点”对立
A B S 且 AB .
“骰子不发生1点”互逆事件
“骰子发生1点” 互斥 “骰子发生2点” 互不相容事件
互
斥
对 立
随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间S (数学模型) 定义于事件的函数: 概率
数学模型
随机试验
二、随机事件的概念
问题：随机试验的结果与样本空间的关系 .
实例1 抛掷一枚骰子，观察出现的点数.
A表示“出现2点”; B表示 “出现点数为偶数”.
样本空间为：S {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
子集：A {2}.
B {2, 4, 6}. ——随机事件
实例2 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命. 规定寿命(小时)小于500为次品. A表示“产品合格”.
实例2 “抛掷一枚骰子,观察发生的点数”. “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”. 实例3 “从一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命 t ”. 其结果可能为:{ t | t≥0 }.
每次试验前不能预言发生什么结果; 每次试验后发生的结果可能不同; 在相同的条件下进行大量重复试验或观察时，发生
概率论与数理统计
任课教师： 郭晶
课堂讲授方法
1.关于教材 2.内容多，课时紧 总课时：48学时 3.讲解的重点
要求
• 1.学习方法
• 2.课堂纪律 • 3.作业 • 4.考试
引言：概率论的诞生发展及应用
概率论的诞生
1654年，一个名叫梅累的骑士就“两个赌 徒约定赌若干局，且谁先赢 c 局便算赢家，若在 一赌徒胜 a 局 ( a<c )，另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博，问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡， 帕斯卡与费马通信讨论这一问题， 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念 数学期望.
样本空间S 全 集
随机事件→事件间关系 子集→集合间关系运算 定义于子集的函数：集函数
事件间的运算定律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A BB A, AB BA.
( AB)C A( BC ).
(2) 结合律 ( A B) C A ( B C ), (3) 分配律
( A B) C ( A C ) ( B C ) AC
试验是一个广泛的术语. 它包括各种各样的科学实验, 也包 括对某一客观事物的某一特征进行的 “调查”、“观 察”、或 “测量” 等.
例 E1 : 抛掷一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。
E 2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面
T 出现的情况。
E 3 ：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次
A B A B, A B A B
BC ,
( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A C )( B C ).
(4) 德摩根律
常用关系式： AB A，AB B; A B A B A AB.
小结
随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
概率论的发展
.Huygens(荷兰) 《论赌博中的推理》
.Bernoulli(瑞士)《猜度术》 .Laplace(法国)《分析概率论》
概率论的应用
概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 在通讯工 程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.
第一章
概率论研究的主线？
1、事件表示：---利用简单事件间关系（集合运算）表示较 复杂事件…
2、事件概率的计算：----利用概率的定义、性质、概率运 算公式…
三、随机事件间的关系及运算 事件 运算 对应 集合 运算
10 包含关系 20 和事件
A B
A B
A B 或 AB
30 积事件
40 差事件 50 互不相容 60 对立事件
A
B
S
若 A B且B A， 则称事件A与事件B相等，记为 A=B。
2°事件 A B { x | x A或 x B }称为事件 A 与 B 的 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。
实例： “产品不合格”是“长度不合格A ” 与“直径不合 格B ” 的并或和事件.
3. 从一批产品中,依次任选三件,记录发生正品与次品的情况.