1.1随机事件与样本空间

第一节
随机事件的概念
一、 随机现象
二、 随机试验
三、样本空间 样本点
四、随机事件的概念
五、事件的关系与运算
一、随机现象
自然界所观察到的现象:
确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
确定性现象的特征 实例
“太阳不会从西边升 起”, “水从高处流向低处” ,
条件完全决定结果
实例1 如：掷一枚骰子一次的试验E.
S1 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
或者， 还可以用基本事件表示，
设Ai =“掷出i点”, Ai是基本事件， i =1,2,3,4,5,6,
则Ω(或S) ={A1 ，A2，…，A6}
实例2
从一批产品中,依次任选三件,记录出
现正品与次品的情况.
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记 N 正品, D 次品.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数.
答案 1. S { 3, 4, 5, , 18}.
2. S {10, 11, 12, }.
四、随机事件的概念
(1) 基本概念
通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也可能不 随机事件和样本空间的子集有 发生的事件． 根据这个说法不难发现 一一对应关系！
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. “点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件. 它们分别可以对应了样本空间S={1,2,3,4,5,6}的 子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝． 反过来，Ｓ的每个子集都对应了该试验的一个随 机事件．
随机事件的定义
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E
盛骤，谢式千，潘承毅 编 高等教育出版社
牛丽英，陈勇 主编 出 版 社：水利水电出版社
Chapter 1
本章重点：
1.理解随机事件及其概率的概念；
2.理解条件概率及事件独立性的概念；
3.掌握随机事件之间的关系与运算；
4. 掌握概率的基本性质及概率加法定理与乘法 定理以及计算概率的全概率公式与贝叶斯公式。 本章难点： 有关古典概率及条件概率的概念的理解及计算
“同性电荷必然互斥”, “函数在间断点处不存在导数” 等.
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象.
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观
察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况”.
(2) 几点说明
1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件
例如 可设 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等 等.
2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样
本空间的子集就是随机事件. 样本空间Ｓ作为自身最大的子集包含所有的样
《概率论与数理统计》的教学方法： （2）数理统计初步
概率论一般是研究如何来揭示随机现象所隐含的本质规律，反映在课程内容上就是 随机变量分布函数、分布律和概率密度函数的寻求以及研究它们的数字特征；统计 是以概率论为基础，利用实验数 据对分布函数，概率密度函数进行估计和检验，这 部分内容，主要讲授参数的点估计和区间估计，参数的假设检验，尤其要让学生熟 悉正态总体均值和方差的区间估计方法，假设检验方法，关于广义方差分析和回归 分析，由于学时所限，可以一带而过，作为学生自学的内容。
小结
(1) 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科 . (2) 随机现象是通过随机试验来研究的.
随 机 试 验
1) 可以在相同的条件下重复地进行; 2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会
出现. (3) 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间, 记为 S .
练习：写出下列随机试验的样本空间及相应的事件： （1）同时掷三颗骰子，记 （1）S={3,4,5,…,17,18} 录其出现的点数之和， A={4,6,8,…,16,18}； A=“点数之和为偶数”； （2）相继掷硬币两次， （2）S={HT,TH,HH,TT}, A=“第一次出现正面”， A={HT,HH} ,B={HH,TT}； B=“两次出现同一面”； （3） （3）在“1,2,3,4”这4个数 S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), 中可重复的任取2个数字， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4), A=“一个数是另一个数的2 (3,1),(3,2),(3,3),(3,4), 倍”； （4）将一尺之棰折成三段， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}， A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}； 观察各段的长度，A=“三段 为边可构成三角形”； （4）S={(x, y, z)|x>0,y>0,x+y+z=1}，
象这种本质规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
二、随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1. 可以在相同的条件下重复地进行;
2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
本点（基本事件），表示必然事件．
空集 不含任何样本点表示不可能事件．
例1.1 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A—出现偶数, 事件B—出现奇数 解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i, i 1,6;
{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. 2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”. 故为随机试验.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
车人 数. 4. 考察某地区 10 月
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性（也称随机性). 或者说，出现哪个结果“凭机 会而定”. 3.但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现
前
言
概率统计是研究随机现象数量规律的 学科, 理论严谨, 应用广泛,发展迅速. 不 仅高等学校各专业都开设了本课程, 而且 在上世纪末，此课程特意被教育部定为本 科生考研的数学课程之一，希望大家能认 真学好这门不易学好的重要课程.
本学科的 ABC
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关. 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果:
的随机事件, 简称事件.
当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称 事件Ａ发生．
特别地： 基本事件
由一个样本点组成的单点集
实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数
学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
则 S3 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }.
实例3 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
S6 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.
2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T } 它既可以作为抛掷硬币出现 正面 或出现 反面 的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
结果: “弹落点会各不相同”. 实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”. 结果有可能为:
“ 1” , “ 2” , “ 3” , “ 4” , “ 5” 或 “ 6”
实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
正品 、次品.
取一个产品”. 条件不能完全决定结果 随机现象的特征 实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通
《概率论与数理统计》的教学方法： （2）随机变量的函数及其分布
包括一维随机变量与多维随机变量，使学生认识到分布函数、分布律和概率密度函 数是揭示随机现象本质规律的重要工具。对概率分布函数，连续性随机变量概率密 度函数的准确理解以 及会用之计算随机事件的概率是本课程的重点部分，还需掌握 常见的离散型和连续型随机变量。理解什么数学期望、方差、协方差和相关系数， 并能应用这些概念解决某些实际问题。
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次” . 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
S { 0, 1, 2, 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
三、样本空间 样本点
定义1.1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用或 S表示
我们规定不含任何元素的空集为不可能事件， 用 表示。
基本事件 A { }, i , i 1,2,,6; i i
A {2 , 4 , 6 };
B {1 , 3 , 5 }.
注意:描述随机事件A,B,C,……的方法 例如:将一枚硬币抛掷两次试验,怎样表示至少出现一 次正面这一事件? 设A=“至少出现一次正面” 或者A= {(H,H), (H,T), (T,H)} 或者设X表示出现正面的次数,则 {X 1}表示至少 出现一次正面这一事件
随机事件及其概率 概率论 32学时
随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征与极限定理 样本及其分布
数理统计 24学时
参数估计 假设检验
《概率论与数理统计》的教学内容分为三个模块： （1）经典概率论部分 （2）随机变量的函数及其分布 （3）数理统计初步
《概率论与数理统计》的教学方法： （1）经典概率论部分
大多数学生在系统学习《概率论与数理统计》之前，在中学或多或少对何谓概率有 所了解，因此该门课程的入门较低，但如 何从实际的随机现象中把问题数学化，如 何运用数学符号表示随机现象是学习该部分内容的难点。这部分内容是整个概率论
的基础，要从学生常见的随机想象出发，引导学生如何用数学语言描述随机现象，
而不是仅仅会猜答案，写不出任何接替步骤。具体教学方案分两步：第一步先让学生 初步掌握数学中集合的概念来表述随机事件；熟悉随机事件的运算规律；第二步再学 习概率的定义的发展规律，进而了解概率的公理化体系，掌握条件概率，全概率公式 等内容。