1.1随机事件和样本空间
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
些事件。 1、事件的关系与运算 1）事件的包含关系
如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含了 A ，或称 A 是 B 的特款，并记为 A B 或 B A 。(几何解释： 中的两个子集 A 与 B ，“事件 A 发生必然导致事件 B 发 生”意味着“属于 A 的 必然属于 B ”，即 A 中的点全在 B 中)
A A ，
A
A B A AB AB ， A B A B A
例 1.7 设 A 、 B 、 C 是 中的随机事件，用 A 、 B 、 C 表示如下事件： 1） A 发生且 B 与 C 至少有一个发生； 2） A 与 B 发生而 C 不发生； 3） A 、 B 、 C 中至少有两个发生； 4） A 、 B 、 C 中至多有两个发生；
A, B
同时成立.于是 A B ，所以也有 (A B) C
这就意味着
(A B) C (A C) (B C)
由于同时有“ ”，“ ”关系式成立，所以
(A B) C (A C) (B C)
3）式得证. 4）式的证明：
n
设 AI ，即 A1 A2 An ，这表明 不属于 A1, A2 ,, An 中任一个，也就
( 1) ; ( 2 若) A 则, A ;
n
( 3若) Ai i, 1 ,2 ,n 则, , Ai .
i 1
在集合论中，满足上述三个条件的集合类，称作布尔代数，所以，事件域应该是一个布
尔代数.对于样本空间 ，如果是 的一切子集的全体，那么显然是一个布尔代数.
7）对立事件或逆事件
若 A 与 B 互不相容，且它们的和为必然事件，即 AB 及 A B ，则称 A 与 B
为对立事件或互为逆事件，事件 A 的逆事件记作 A .
易知，在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然）即 A 与 A 二者只能发生
其中之一，并且也必然发生其中之一。因而有
这意味着 不属于 A1, A2 ,, An 中任一个，即
n
Ai
i 1
也就是有
这说明
n
Ai
i 1
n
n
Ai Ai
i1
i1
成立，因而有
n
n
Ai Ai
i1
i1
4）式得证.
另易证下列等式成立
A A A,
A ， A A
AA A，
因不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A ，约定 A.
2）事件的相等关系
如果有 A B, B A 同时成立，则称事件 A 与 B 相等，记作 A B .易知，相等的两个
事件总是同时发生或不同时发生。 3）两事件的并（或和）事件
“事件 A 与 B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件 A 与 B 的和（或并），记 作 AB .
必然事件 不可能事件
事件 A 发生导致事件 B 事件 A 与 B 中至少有一个发生 事件 A 与 B 同时发生:”
A A A B A B A B
事件 A 发生而 B 不发生
A B
事件 A 与 B 互不相容
AB
在许多场合，用集合论的表达方式显得简练些，也更易理解。但重要的是学会用概率论
的语言来解释集合间的关系及运算，并能运用它们。
2、事件的运算性质
1）交换律： A B B A, AB BA ；
2）结合律： A (B C) (A B) C, (AB)C A(BC) ；
3）分配律： A(B C) (AB) (AC)，
(A B) C (A C) (B C) ；
i 1
n
发生”，这样的事件称作 A1, A2 ,, An 的交（积），记作 A1A2 An 或 Ai .
i 1
事件间的关系及运算与布尔（ Boole ）代数中集合间的关系及运算之间是完全可以互相
类比的，这种类比的对应关系为：
概率论
集合论
样本空间
{}
事件
子集
事件 A 发生 事件 A 不发生
教学重点 事件的公理化定义及性质 教学难点 古典概率 教学方法 讲解法 教学时间安排
1~2. 第一节 随机事件和样本空间 3~4. 第二节 概率和频率 第三节 古典概型 5~6. 习题辅导课 7~8. 第四节 概率的公理化定义及概率的性质 9~10. 第五节 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 11~12.第六节 独立性 第七节 贝努里概型 13~14.习题辅导课 教学内容
AB 或 C 若 A B ，即有
A, B
同时成立，也就有
AC, B C
同时成立，即
(AC)(B C)
若 C ，这表明同时有 AC, B C
成立，从而也有
(AC)(B C) 所以无论 A B 或 C ，都有
全体，称作基本空间（样本空间），常用 表示基本事件，用 表示样本空.从集合角度看， 基本事件又是样本空间的一个元素，可记作 {} .
复杂事件与事件 由若干个基本事件组成的事件称为复杂（复合）事件。无论基本事件 还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件或简称为事件，
t Fra Baidu bibliotek{无故障运行的时间为t，单位：小时}
则
{t : t 0} . 例 1.6 向坐标平面区域 D : x2 y2 100 内随机投掷一点（设点必落在 D 上）,观察落 点 M 的坐标，令
(x, y) {点M的坐标为（x,y)}
则
{(x, y) : x2 y2 100}. 由上述的讨论可见，对于任何一个随机试验 E 必确定相应的样本空间 ，一旦试验 E 给 定，我们就可以写出它的样本空间 .又由于任何一个事件或是基本事件，或是由基本事件 组成的复杂事件，因此，试验 E 的任何一个事件 A 都是样本空间中的一个子集.从而由样本
(AC)(B C)
成立.这说明
(A B) C ( A C) ( B C)
成立.反过来，设有 (A C) (B C) ，则有
AC, B C 同时成立.如果 C ，则
(A B) C
为显然.如果 C ，则由 A C, B C 知必有
1~2. 第一节 随机事件和样本空间
一、随机事件和样本空间 随机试验：一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这 次试验会出现那一个结果. 就称这样的实验是一个随机试验，记作 E. 基本事件和样本空间： 随机试验的每一个可能结果，称为基本事件（样本点）。它们的
i 1
是
也就是
A1, A2 ,, An
A1, A2,, An
同时成立，所以
于是
n
Ai
i 1
n
n
Ai Ai
i1
i1
n
成立.反过来，设 Ai ，即同时有
i 1
A1, A2,, An
从而同时有
A1, A2 ,, An
令
i {取得球的标号为i}
则
{1, 2,,10} .
例 1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令
i {收到的呼唤次数为i}
则
{0,1, 2,}.
例 1.4 测量某地水温，令
t {测得的水温为t0C}
则
[0,100] .
例 1.5 从一批电脑中，任取一台观察无故障运行的时间，令
4）德摩根（De Morgan）对偶律：
A B AB, A B A B；
对可列无多个事件的情形有
Ai Ai ，
i1
i1
Ai Ai .
i1
i1
这些规律是不难证明的。这里用集合论的语言来证明其中的 3）及 4）..
3）式的证明：
设 (A B) C ，则
5） A 、 B 、 C 中不多于一个发生； 6） A 、 B 、 C 中恰有一个发生. 解 1） B C 表示 B 与 C 至少有一个发生。故答案为 A (B C) .
2）A 与 B 发生即 A 和 B 同时发生，就是 AB 发生，C 不发生即 C 发生，答案为 ABC . 3）答案为 AB BC AC . 4） A 、 B 、 C 中至多有两个发生的逆事件为 ABC 发生，故答案为 ABC . 5） A 、 B 、C 至多有一个发生意味着没有两个或两个以上的事件同时发生，从而答案 为 AB BC AC . 6）答案为 ABC ABC ABC .
三、事件域与布尔代数
由于事件是 的某些子集，如果把“是事件”的这些子集归在一起，则得到一个类， 记作,称作事件域，即
{A : A , A 是事件} 又 , 是事件，所以 , ，又由于若 A, B ，则
A B , AB , A B 用集合论的语言来说，事件域关于运算“ ”、“ ”、“—”是封闭的.经归纳整理，事件 域应满足下述要求：
了“不确定性”，因而本质上它们不是随机事件，但为了方便，仍视为随机事件的两个极端 情形.
例 1.1 一个盒子中有十个相同的球，但 5 个是白色的，另 5 个是黑色的搅匀后从中任 意摸取一球。令
1 {取得白球}， 2 ={取得黑球}
则
{1,2}. 例 1.2 一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码 1，2，,10, 从中任取一球，
空间的子集可描述随机试验中所对应的一切随机事件.
二、事件的关系和运算
一个样本空间 中，可以有很多的随机事件.概率论的任务之一，是研究随机事件的规
律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此，需要研究事件之间的关 系和事件之间的一些运算.
如没有特别声明，在以下的叙述中总认为样本空间 已给定，并且还给出了 中的一
4）两事件的交（或积）事件
“事件 A 与 B 同时发生:” ,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的积（或交），记作 A B（或 AB ）.
5）两事件的差事件
“事件 A 发生而 B 不发生”，这样的事件称为事件 A 与 B 的差，记作 A B .
6）互不相容事件或互斥事件
若事件 A 与 B 不能同时发生，也就是说 AB 是一个不可能事件。即 AB ，则称事 件 A 与 B 互不相容（或互斥）.
AA , A A , A A
若 A 与 B 互逆则必互斥，但反之不然。另当事件 A 较复杂而 A 较为简单时可通过研
究 A 来研究 A .
8）若 n 个事件： A1, A2 ,, An ,则“ A1, A2 ,, An 中至少发生其中的一个”这样的事件
n
称作 A1, A2 ,, An 的并（和），并记作 A1 A2 An 或 Ai ；若“ A1, A2 ,, An 同时
第一章 事件与概率
教学目的与要求 1. 理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件等概念. 2. 掌握事件间的关系与运算. 3. 理解频率与概率的内涵，掌握古典概型、几何概型的概率问题，准确理解概率的公
理化定义. 4. 掌握概率的运算性质，会灵活应用其性质求某些事件的概率. 5. 理解条件概率与乘法公式. 6. 了解全概率公式与贝叶斯公式. 7. 理解事件的独立性；了解 n 重独立重复试验所产生的贝努力概型及二项概率公式.
记作大写字母 A, B, . 必然事件与不可能事件： 因为 是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然
要出现 中的某一基本事件 ，即 .也就是在试验中， 必然会发生，所以又用 来 表示必然事件.相应地，空集 可看作 的子集，在任一次试验中，不可能有 ，也就 是说 永远不可能发生，所以 是不可能事件.必然事件和不可能事件的发生与否，已失去
如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含了 A ，或称 A 是 B 的特款，并记为 A B 或 B A 。(几何解释： 中的两个子集 A 与 B ，“事件 A 发生必然导致事件 B 发 生”意味着“属于 A 的 必然属于 B ”，即 A 中的点全在 B 中)
A A ，
A
A B A AB AB ， A B A B A
例 1.7 设 A 、 B 、 C 是 中的随机事件，用 A 、 B 、 C 表示如下事件： 1） A 发生且 B 与 C 至少有一个发生； 2） A 与 B 发生而 C 不发生； 3） A 、 B 、 C 中至少有两个发生； 4） A 、 B 、 C 中至多有两个发生；
A, B
同时成立.于是 A B ，所以也有 (A B) C
这就意味着
(A B) C (A C) (B C)
由于同时有“ ”，“ ”关系式成立，所以
(A B) C (A C) (B C)
3）式得证. 4）式的证明：
n
设 AI ，即 A1 A2 An ，这表明 不属于 A1, A2 ,, An 中任一个，也就
( 1) ; ( 2 若) A 则, A ;
n
( 3若) Ai i, 1 ,2 ,n 则, , Ai .
i 1
在集合论中，满足上述三个条件的集合类，称作布尔代数，所以，事件域应该是一个布
尔代数.对于样本空间 ，如果是 的一切子集的全体，那么显然是一个布尔代数.
7）对立事件或逆事件
若 A 与 B 互不相容，且它们的和为必然事件，即 AB 及 A B ，则称 A 与 B
为对立事件或互为逆事件，事件 A 的逆事件记作 A .
易知，在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然）即 A 与 A 二者只能发生
其中之一，并且也必然发生其中之一。因而有
这意味着 不属于 A1, A2 ,, An 中任一个，即
n
Ai
i 1
也就是有
这说明
n
Ai
i 1
n
n
Ai Ai
i1
i1
成立，因而有
n
n
Ai Ai
i1
i1
4）式得证.
另易证下列等式成立
A A A,
A ， A A
AA A，
因不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A ，约定 A.
2）事件的相等关系
如果有 A B, B A 同时成立，则称事件 A 与 B 相等，记作 A B .易知，相等的两个
事件总是同时发生或不同时发生。 3）两事件的并（或和）事件
“事件 A 与 B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件 A 与 B 的和（或并），记 作 AB .
必然事件 不可能事件
事件 A 发生导致事件 B 事件 A 与 B 中至少有一个发生 事件 A 与 B 同时发生:”
A A A B A B A B
事件 A 发生而 B 不发生
A B
事件 A 与 B 互不相容
AB
在许多场合，用集合论的表达方式显得简练些，也更易理解。但重要的是学会用概率论
的语言来解释集合间的关系及运算，并能运用它们。
2、事件的运算性质
1）交换律： A B B A, AB BA ；
2）结合律： A (B C) (A B) C, (AB)C A(BC) ；
3）分配律： A(B C) (AB) (AC)，
(A B) C (A C) (B C) ；
i 1
n
发生”，这样的事件称作 A1, A2 ,, An 的交（积），记作 A1A2 An 或 Ai .
i 1
事件间的关系及运算与布尔（ Boole ）代数中集合间的关系及运算之间是完全可以互相
类比的，这种类比的对应关系为：
概率论
集合论
样本空间
{}
事件
子集
事件 A 发生 事件 A 不发生
教学重点 事件的公理化定义及性质 教学难点 古典概率 教学方法 讲解法 教学时间安排
1~2. 第一节 随机事件和样本空间 3~4. 第二节 概率和频率 第三节 古典概型 5~6. 习题辅导课 7~8. 第四节 概率的公理化定义及概率的性质 9~10. 第五节 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 11~12.第六节 独立性 第七节 贝努里概型 13~14.习题辅导课 教学内容
AB 或 C 若 A B ，即有
A, B
同时成立，也就有
AC, B C
同时成立，即
(AC)(B C)
若 C ，这表明同时有 AC, B C
成立，从而也有
(AC)(B C) 所以无论 A B 或 C ，都有
全体，称作基本空间（样本空间），常用 表示基本事件，用 表示样本空.从集合角度看， 基本事件又是样本空间的一个元素，可记作 {} .
复杂事件与事件 由若干个基本事件组成的事件称为复杂（复合）事件。无论基本事件 还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件或简称为事件，
t Fra Baidu bibliotek{无故障运行的时间为t，单位：小时}
则
{t : t 0} . 例 1.6 向坐标平面区域 D : x2 y2 100 内随机投掷一点（设点必落在 D 上）,观察落 点 M 的坐标，令
(x, y) {点M的坐标为（x,y)}
则
{(x, y) : x2 y2 100}. 由上述的讨论可见，对于任何一个随机试验 E 必确定相应的样本空间 ，一旦试验 E 给 定，我们就可以写出它的样本空间 .又由于任何一个事件或是基本事件，或是由基本事件 组成的复杂事件，因此，试验 E 的任何一个事件 A 都是样本空间中的一个子集.从而由样本
(AC)(B C)
成立.这说明
(A B) C ( A C) ( B C)
成立.反过来，设有 (A C) (B C) ，则有
AC, B C 同时成立.如果 C ，则
(A B) C
为显然.如果 C ，则由 A C, B C 知必有
1~2. 第一节 随机事件和样本空间
一、随机事件和样本空间 随机试验：一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这 次试验会出现那一个结果. 就称这样的实验是一个随机试验，记作 E. 基本事件和样本空间： 随机试验的每一个可能结果，称为基本事件（样本点）。它们的
i 1
是
也就是
A1, A2 ,, An
A1, A2,, An
同时成立，所以
于是
n
Ai
i 1
n
n
Ai Ai
i1
i1
n
成立.反过来，设 Ai ，即同时有
i 1
A1, A2,, An
从而同时有
A1, A2 ,, An
令
i {取得球的标号为i}
则
{1, 2,,10} .
例 1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令
i {收到的呼唤次数为i}
则
{0,1, 2,}.
例 1.4 测量某地水温，令
t {测得的水温为t0C}
则
[0,100] .
例 1.5 从一批电脑中，任取一台观察无故障运行的时间，令
4）德摩根（De Morgan）对偶律：
A B AB, A B A B；
对可列无多个事件的情形有
Ai Ai ，
i1
i1
Ai Ai .
i1
i1
这些规律是不难证明的。这里用集合论的语言来证明其中的 3）及 4）..
3）式的证明：
设 (A B) C ，则
5） A 、 B 、 C 中不多于一个发生； 6） A 、 B 、 C 中恰有一个发生. 解 1） B C 表示 B 与 C 至少有一个发生。故答案为 A (B C) .
2）A 与 B 发生即 A 和 B 同时发生，就是 AB 发生，C 不发生即 C 发生，答案为 ABC . 3）答案为 AB BC AC . 4） A 、 B 、 C 中至多有两个发生的逆事件为 ABC 发生，故答案为 ABC . 5） A 、 B 、C 至多有一个发生意味着没有两个或两个以上的事件同时发生，从而答案 为 AB BC AC . 6）答案为 ABC ABC ABC .
三、事件域与布尔代数
由于事件是 的某些子集，如果把“是事件”的这些子集归在一起，则得到一个类， 记作,称作事件域，即
{A : A , A 是事件} 又 , 是事件，所以 , ，又由于若 A, B ，则
A B , AB , A B 用集合论的语言来说，事件域关于运算“ ”、“ ”、“—”是封闭的.经归纳整理，事件 域应满足下述要求：
了“不确定性”，因而本质上它们不是随机事件，但为了方便，仍视为随机事件的两个极端 情形.
例 1.1 一个盒子中有十个相同的球，但 5 个是白色的，另 5 个是黑色的搅匀后从中任 意摸取一球。令
1 {取得白球}， 2 ={取得黑球}
则
{1,2}. 例 1.2 一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码 1，2，,10, 从中任取一球，
空间的子集可描述随机试验中所对应的一切随机事件.
二、事件的关系和运算
一个样本空间 中，可以有很多的随机事件.概率论的任务之一，是研究随机事件的规
律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此，需要研究事件之间的关 系和事件之间的一些运算.
如没有特别声明，在以下的叙述中总认为样本空间 已给定，并且还给出了 中的一
4）两事件的交（或积）事件
“事件 A 与 B 同时发生:” ,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的积（或交），记作 A B（或 AB ）.
5）两事件的差事件
“事件 A 发生而 B 不发生”，这样的事件称为事件 A 与 B 的差，记作 A B .
6）互不相容事件或互斥事件
若事件 A 与 B 不能同时发生，也就是说 AB 是一个不可能事件。即 AB ，则称事 件 A 与 B 互不相容（或互斥）.
AA , A A , A A
若 A 与 B 互逆则必互斥，但反之不然。另当事件 A 较复杂而 A 较为简单时可通过研
究 A 来研究 A .
8）若 n 个事件： A1, A2 ,, An ,则“ A1, A2 ,, An 中至少发生其中的一个”这样的事件
n
称作 A1, A2 ,, An 的并（和），并记作 A1 A2 An 或 Ai ；若“ A1, A2 ,, An 同时
第一章 事件与概率
教学目的与要求 1. 理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件等概念. 2. 掌握事件间的关系与运算. 3. 理解频率与概率的内涵，掌握古典概型、几何概型的概率问题，准确理解概率的公
理化定义. 4. 掌握概率的运算性质，会灵活应用其性质求某些事件的概率. 5. 理解条件概率与乘法公式. 6. 了解全概率公式与贝叶斯公式. 7. 理解事件的独立性；了解 n 重独立重复试验所产生的贝努力概型及二项概率公式.
记作大写字母 A, B, . 必然事件与不可能事件： 因为 是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然
要出现 中的某一基本事件 ，即 .也就是在试验中， 必然会发生，所以又用 来 表示必然事件.相应地，空集 可看作 的子集，在任一次试验中，不可能有 ，也就 是说 永远不可能发生，所以 是不可能事件.必然事件和不可能事件的发生与否，已失去