样本空间与随机事件

第一讲样本空间与随机事件一研究对象在自然界和社会中存在两类不同的现象，一类是确定性现象确定性现象，另一类是随机现象。

1 确定性现象在一定的条件下，结果唯一确定。

如：水在1p下，在100摄氏度时，必然沸腾。

向上抛一石子，必然下落。

同性电荷相互排斥。

石蕊投入酸性溶液中呈现红色。

这类现象，条件给定后结果明确可知。

2 随机现象给定条件结果不能确定。

如：相同条件下抛掷一枚硬币，结果可能正面朝上也可能正面朝下。

同一枚大炮向同一目标射击，射击之前，无法确定弹着点的位置。

一个电子产品（比如灯泡）不能确定其使用寿命。

这类现象，在给定条件后，结果的发生是不能确定的。

有多于一种的可能结果，但在试验或观察之前不能确定是哪个结果。

此外，购买彩票，可能中奖也可能不中奖，抓阄问题，天气预报问题，某汽车站某天上车人数。

某地的年降雨量，今年的国民经济增长速度等等都是随机现象。

3 随机现象的统计规律性虽然随机现象在一次观察中没什么规律，但是人们在长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察，其结果确呈现某种规律性。

如多次重复抛掷一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，而炮弹弹着点按照一定的规律分布，大量检查电子仪器的寿命，也会呈现某种规律性，比如大部分集中在1000小时附近，寿命很长或很短的占的比例较小。

这种在大量重复观察或试验中所随机现象所呈现的固有规律性称为统计规律性。

概率统计就是研究随机现象统计规律性的数学学科。

因为随机现象广泛存在，随机数学才大有用武之地。

为了对随机现象进行研究，下面我们来建立描述随机现象的一些基本概念。

二样本空间1 随机试验对随机现象进行一次观察或记录就是一次试验。

在这里观察或试验是一个含义广泛的概念，包括物理试验、化学试验、检查记录等一切可能的手段。

下面举一些试验的例子。

E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。

E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。

E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。

E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。

E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。

这些实验具有以下特点：（1）进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。

（2）每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；（3）可以在相同的条件下重复进行。

在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。

2 样本空间定义：将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。

样本空间S的元素，即随机试验的每个结果，称为样本点。

例1 写出以上随机试验的样本空间。

解：S1：{ H , T }；S2：{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }；S3：{ 0, 1, 2, 3 }，S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }；S5：{0,1,2,3……}，S6 : { t | t≥ 0 }；S7：{ ( x , y ) | T0≤x , y≤T1 }，这里x表示最低温度，y表示最高温度。

并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1。

注意：（1）S中元素是由随机试验的目的所确定的。

（2）S是一个集合，元素是每个可能的结果。

（3）S可能是有限集也可能是无限集。

我们正是通过研究随机试验来研究随机现象。

三随机事件在实际中，在进行随机试验时，有一些事件是我们关心的，例如在E6中规定灯泡的寿命大于500小时为合格，{灯泡的寿命大于500小时}这一事件是我们关心的。

检测一个灯泡如果寿命是600小时，称这一事件发生，如果寿命是400小时，称这一事件没有发生，因此这一事件的发生和随机试验的结果有关，具有随机性，故称为随机事件，进行一次随机实验，随机事件可能发生也可能不发生。

进行一次随机试验，也就是测试一个灯泡的寿命，结果为600小时，{灯泡的寿命大于500小时}发生了，再进行一次随机试验，测试一个灯泡的寿命，结果为700小时，{灯泡的寿命大于500小时}发生了，可见{灯泡的寿命大于500小时}包含无穷多个随机试验的结果，可以用集合表示如下，{灯泡的寿命大于500小时}＝}500{>t t ，因此随机事件本质上是一个集合，是样本空间的子集。

同样}500{<t t ，}1000500{<<t t 也是随机事件。

由此给出随机事件的定义。

随机事件的定义：随机试验E 的样本空间S 的子集称为E 的随机事件。

随机事件一般用大写字母A 、B 、C …等表示。

事件发生：一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。

例２ 用样本点集合表示下列随机事件。

Ｅ2中Ａ＝｛第一次出现正面｝,Ｂ＝｛三次相同｝,Ａ１＝｛三次都是正面｝,Ｅ3中Ｃ＝ ｛正面不少于２次｝,Ｅ7中D ＝｛最高最低不相差１０度｝。

解：Ｅ2中A ＝{ HHH ， HHT ，HTH ，THH ，HTT}，B ＝{ HHH ，TTT}，Ａ１＝｛HHH ｝ Ｅ3中Ｃ＝ ｛正面不少于２次｝＝ ｛2，3｝，Ｅ4中Ｄ＝｛出现偶数点｝＝｛2，4，6｝， Ｅ7中},100),{(10T x y T x y y x F ≤-≤≤-≤=。

特别的，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。

样本空间 S 是自身的子集，在每次试验中都发生，称为必然事件。

空集∅不包含任何样本点，它也可以作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件。

四 事件间的关系与运算一个样本空间可以有许多个随机事件，它们都是S 的子集，我们可以通过简单事件去表示更复杂的事件，为此必须了解事件之间的关系与运算。

因为样本空间是一种集合，可以看成全集，事件是样本空间的子集，也是集合，因此事件之间的关系与运算就是集合之间的关系与运算，关键是根据事件发生的含义理解事件运算的概率意义。

1 子事件 若B A ⊂，称事件B 包含事件A 。

若B A ⊂，则事件Ａ发生事件Ｂ必然发生。

2 相等关系 若B A ⊂且A B ⊂，即 B A =，称事件A 与B 相等。

3 和事件 事件}{B A B A ∈∈=ωωω或 称为事件A 与B 的和事件。

B A 发生 当且仅当A 或B 至少有一个发生。

可以推广到有限个或可列个事件的和事件。

n k k n k k n A A A A A A A A 211211===∞= 4 积事件 事件B A )(AB 或 }{B A ∈∈=ωωω且称为事件A 与事件B 的积事件。

AB 发生当且仅当A 、B 都发生。

可以推广到有限个或可列个事件的积事件。

n k k n k k n A A A A A A A A 211211===∞= 5 差事件 事件B A -}{B A ∉∈=ωωω且称为事件A 事件B的差事件。

B A -发生当且仅当A 发生B 不发生。

6 互不相容 若Φ=AB ，称事件A 与B 互不相容。

这时B A ,不同时发生。

7 对立事件 若 Φ=AB 且S B A = 称B A ,互为对立事件。

由此可见，对立一定互不相容，互不相容不一定对立。

在进行事件运算时经常要用到下述定律，设A ，B ，C 为事件，则有，幂等律：A A A A A A == ,交换律： A B B A A B B A ==,结合律： ()()()()C B A C B A C B A C B A ==分配律： ()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A ==De Morgan 定律： ααααααααA A A A ==, 例3 S 2 中事件 A ={HHH,HHT,HTH,HTT}，B ={HHH,TTT}，计算B A ，B A 。

解：}HHH {=B A ，TTT}HTT,HTH,HHT,HHH,{=B A 。

例4 随机试验E 6中 设A ={ t | t <1000}， B ={ t | t ≥ 1000}，C ={ t | t ≥ 1500}，则1500}t 1000{t <≤=-C B ，A ，C 是互斥事件 A ，B 是对立事件。

例5 设A ,B ,C 分别表示甲乙丙某项测试合格，用A ,B ,C 表示下列事件。

（1）D ：三人均合格；（2）E ：三人至少有一人合格；（3）F ：三人中只有一人合格；（4）G ：三人中至多有一人合格；（5）H ：恰有两人合格。

解：(1)ABC D = (2)C B A E = (3)C B A C B A C B A F = (4)F C B A G = (5) BC A C B A C AB H =例6 一射手向目标射击，直到击中目标为止， 设A i ＝{第i 次击中目标}，B ＝{击中目标}，用A i 表示B 。

解：i i A B ∞==1 。

例7 如图所示的电路中，A 表示事件“信号灯亮”，B ，C ，D 分别表示开关Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ闭合，用B ，C ，D 表示A 。

解：)(D C B A =，且显然有A BC ⊂，A BD ⊂，Φ=A B 。