竞赛辅导12奇数和偶数
初中数学竞赛整数的性质及应用(一) 奇数与偶数
整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。
任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。
性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。
二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。
例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。
例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。
例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。
例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。
第十二讲奇数与偶数
第十二讲奇数与偶数【知识风向标】整数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……可以分为两类，类是1、3、5、7、9…这些单数叫做奇（jī）数；，另一类是0、2、4、6、8、10…这些双数叫做偶数。
这一讲主要讲奇数与偶数的特性，根据它们的特性我们可以解决一些有趣的问题，通过不断学习，你会发现很多有趣的数学知识，多观察周围的事物，多留心身过的问题，会让你的头脑变得更灵活！【竞赛方法台】利用奇数与偶数的如下特性，我们就可以解决一些奇数与偶数方面的趣题1、偶数+偶数=偶数偶数－偶数=偶数2、奇数+奇数=偶数奇数－奇数=偶数3、奇数+偶数=奇数偶数－奇数=奇数奇数－偶数=奇数【竞赛全知道】[例1] 这十个自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的和是奇数还是偶数？【分析与解】根据奇数、偶数的定义，1、3、5、7、9为奇数，2、4、6、8、10为偶数；根据奇数+奇数=偶数的性质，1与3的和为偶数，5与7的和为偶数；根据奇数+偶数=奇数的性质，1、3、5、7、9的和为奇数；根据偶数+偶数=偶数的性质，2、4、6、8、10的和为偶数；根据奇数+偶数=奇数的性质，和为奇数，即1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的和是奇数。
【技巧引导】这些题解决的关键，只要充分利用奇数与偶数性质和关系。
[例2] 晚上回家，拉一次开关，灯就可以亮了。
可顽皮的向玖一连拉了6次开关，你们说这时屋里的灯是亮了还是没亮？如果他们7次开关呢？拉15次开关呢？拉46次开关呢？拉100次开关呢？【分析与解】先不管他拉多少次灯，我们首先从最简单的情况开始考虑。
如果拉1次灯，灯是亮的；拉2次灯，灯又不亮了；拉3次灯呢？又亮了；再拉一次，4次了，灯又不亮了……我们把拉奇数次灯，灯亮；拉偶数次灯，灯不亮。
那么，无论向玖拉多少次灯，我们都可以迅速而又准确地判断出灯亮与不亮的情况了，所以：拉灯6次时，灯不亮；拉灯7次时，灯亮；拉灯15次时，灯亮；拉灯46次时，灯不亮；拉灯100次时，灯不亮。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座01奇数和偶数
比赛讲座 01－奇数和偶数整数中，能被 2 整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用 2k 表示，奇数可用 2k+1 表示，这里 k 是整数 .对于奇数和偶数，有下边的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；随意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有同样的奇数偶；（5） n 个奇数的乘积是奇数， n 个偶数的乘积是 2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数 .以上性质简单了然，解题时假如能奇妙应用，经常能够声东击西.1.代数式中的奇偶问题例 1（第 2 届“华罗庚金杯”决赛题）以下每个算式中，最罕有一个奇数，一个偶数，那么这 12 个整数中，起码有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中起码各有一个偶数，乘法和除法算式中起码各有二个偶数，故这 12 个整数中起码有六个偶数 .例 2（第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n 是偶数， m是奇数，方程组是整数，那么（ A） p、 q 都是偶数 .（B）p、q都是奇数.（ C） p 是偶数， q 是奇数（D）p是奇数，q是偶数剖析因为 1988y 是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以 p 是偶数，将其代入第二方程中，于是 11x 也为偶数，从而 27y=m-11x 为奇数，所以是 y=q 奇数，应选（ C）例 3 在 1，2，3， 1992 前方随意添上一个正和负，它们的代数和是奇数还是偶数 .剖析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性同样，所以在题设数字前方都添上正和负不改变其奇偶性，而1+2+3+ +1992==996×1993 为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除相关的问题例 4（首届“华罗庚金杯”决赛题） 70 个数排成一行，除了两端的两个数之外，每个数的 3 倍都恰巧等于它两边两个数的和，这一行最左侧的几个数是这样的： 0，1，3，8，21， . 问最右侧的一个数被 6 除余几？解设 70 个数挨次为 a ,a,a据题意有123a =0,偶1a2=1奇a3=3a2-a 1,奇43a =3a -a2,偶54a =3a -a3,奇65a =3a -a4,奇由此可知：当 n 被 3 除余 1 时， a n是偶数；当 n 被 3 除余 0 时，或余 2 时， a n是奇数，明显 a70是 3k+1 型偶数，所以 k 一定是奇数，令 k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10 ≤a≤35,10 ≤b≤35) ，则22（为何？） . 因为 a+b 与a+b=45，又十位数能被11 整除，则a-b 有同样的奇偶性，所以a-b=11 即a-b 应为 0， 11，a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数8+6=14，偶数位其他三个数字之和只好是9876，因为偶数位五个数字之和是17-14=3 ，这三个数字只好是17，此刻2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例 6（1990 年日本高考数学试题）设a、 b 是自然数，且相关系式123456789=（11111+a）（ 11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（ a-b ）=ab+4×617②∵a＞ 0,b ＞0, ∴a-b ＞ 0第一，易知 a-b 是偶数，不然 11111(a-b) 是奇数，从而知 ab 是奇数，从而知 a、b都是奇数，可知 (11111+a) 及(11111-b) 都为偶数，这与式①矛盾其次，从 a-b 是偶数，依据②可知 ab 是偶数，从而易知 a、b 皆为偶数，从而 ab+4×617是 4 的倍数，由②知 a-b 是 4 的倍数 . 3.图表中奇与偶例 7（第 10 届全俄中学生数学比赛试题）在 3×3的正方格（ a）和（ b）中，每格填“ +”或“ - ”的符，而后每次将表中任一行或一列的各格所有变化试问重复若干次这样的“变”程序后，可否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不行能做到的，观察下边填法：在黑板所示的 2×2的正方形表格中，按题设程序“变”，“ +”或许不变，或许变为两个 .(b) 中表 (a) 中小正方形有四个“ +”，实行变步骤后，“ +”的个数还是偶数；但表小正方形“ +”的个数还是奇数，故它不可以从一个变化到另一个.明显，小正方形互变没法实现，3×3的大正方形的互变，更没法实现.例 8（第 36 届美国中学生数学比赛试题）将奇正数 1，3，5，7排成五列，按右表的格式排下去， 1985 所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）497解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，所以1985 是第行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起， 1985 在第二列 .例 9 如图 3-1 ，设线段 AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n 个分点，把 AB分红 n+1 个不重叠的小线段，假如这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段 .证明不论分点如何选用，标准线段的条路老是奇数.A、 B分别表剖析 n 个分点的地点没关紧急，感兴趣的不过红点还是绿点，现用示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就获得一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到 A，此刻最后一个字母是 B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数 .4.风趣的应用题例 10 （第 2 届“从小爱数学”赛题）图 3-2 是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸 .（1）假如 P 点在岸上，那么 A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，登岸时穿鞋 . 假如有一点 B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么 B 点是在岸上还是在水中？说明原因 .解（ 1）连接AP，明显与曲线的交点数是个奇数，因此A点必在水中.（ 2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为 2，因为不论如何走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和老是偶数，可见A 点在水中，氢B 点必在岸上 .例 11 书店有单价为 10 分， 15 分， 25 分， 40 分的四种拜年片，小华花了几张一元钱，正好买了 30 张，此中某两种各 5 张，另两种各 10 张，问小华买拜年片花去多少钱？剖析设买的拜年片分别为a、 b、 c、 d（张），用去k 张 1 元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k 为正整数 )即2a+3b+5c+8d=20k明显 b、c 有同样的奇偶性 .若同为偶数，若同为奇数，b-c=10 和 a=b=5，b=c=5 和 a=d=10,k=7.不是整数；例12 一个矩形展览厅被纵横垂直订交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的进出口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个观光者选择任何路线随意观光若干个展览室（可重复）以后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差老是偶数 .证明给进出口处展览室记“ +”，凡与“ +”相邻的展览室记“ - ”，凡与“ - ”相邻的展览室都记“ +”，这样则相邻两室的“ +”、“ - ”都不一样 .一观光者从进出口处的“+”室进入厅内，走过若干个展览室又回到进口处的“+”室，他的路线是 +-+- +-+- ，即从“ +”室起到“ +”室止，中间“ - ”、“ +”室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了 2n+1 室，于是观光者从厅外进去观光后又回到厅外共走过了 2n+2 个门（包含进出进出口门各 1 次） . 设其经过的方形门的次数是 r 次，经过圆形门的次数是 s，则 s+r=2n+2 为偶数，故 r-s 也为偶数，所以命题结论建立 .例 13有一无量小数A=0.a1 a2a3 a n a n+1a n+2此中a i (i=1,2)是数字，并且a1是奇数， a2是偶数， a3等于 a1+a2的个位数， a n+2是 a n+a n+1(n=1,2 ,) 的个位数，证明 A 是有理数 .证明为证明 A 是有理数，只需证明 A 是循环小数即可，由题意知无量小数A的每一个数字是由这个数字的前方的两位数字决定的，若某两个数字ab 重复出现了，即 0. ab ab此小数就开始循环.而无量小数 A 的各位数字有以下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇又 a 是奇数可取 1， 3，5，7，9；b 是偶数可取0， 2， 4， 6， 8.所以非负有序实数对一共只有 25 个是不同样的，在构成 A 的前 25 个奇偶数组中，起码出现两组是完整同样的，这就证得 A 是一循环小数，即 A 是有理数 .练习1.填空题（ 1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（ 2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多 18，这五个偶数之和是____.（ 3）可否把 1993 部电话中的每一部与其他 5 部电话相连接？答 ____.2. 选择题（ 1）设 a、b 都是整数，以下命题正确的个数是（）①若 a+5b 是偶数，则 a-3b是偶数；②若 a+5b 是偶数，则 a-3b是奇数；③若 a+5b 是奇数，则 a-3b是奇数；④若 a+5b 是奇数，则 a-3b是偶数 .（A）1（B）2（C）3（D）4（ 2）若 n 是大于 1 的整数，则的值（（ A）必定是偶数（B）必定是非零偶数（ C）是偶数但不是2（D）能够是偶数，也能够是奇数）.（3）已知对于 x 的二次三项式 ax2+bx+c（a、b、c 为整数），假如当 x=0 与 x=1 时，二次三项式的值都是奇数，那么 a（）（ A）不可以确立奇数还是偶数（ C）必定是奇数（ B）必定是非零偶数（ D）必定是零3.（1986 年宿州比赛题）试证明 11986+91986+81986+61986是一个偶数 .4. 请用 0 到 9 十个不一样的数字构成一个能被11 整除的最小十位数 .5.有 n 个整数，共积为 n，和为零，求证：数 n 能被 4 整除6. 在一个凸 n 边形内，随意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n 边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不订交，并且把原凸n 边形分为只朋角形的小块，试证这类小三我有形的个数与n 有同样的奇偶性 .7.（ 1983 年福建比赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其他各位数字，而第二位数字大于其他各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数 .8.（ 1909 年匈牙利比赛题）试证： 3n+1 能被 2 或 22整除，而不可以被 2 的更高次幂整除 .9.（全俄 15 届中学生数学比赛题）在 1，2，3，1989 之间填上“ +”或“ - ”，乞降式能够获得最小的非负数是多少？练习参照答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后边四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不可以．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，，ａｎ知足题设即ａ１＋ａ２＋＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２ａｎ＝ｎ②。
【奥赛】小学数学竞赛：奇数与偶数的性质与应用.教师版解题技巧 培优 易错 难
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k +1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a ,b ,有a +b 与a -b 同奇或同偶模块一、奇偶分析法之计算法【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【答案】奇数【例 1】 从1开始的前2005个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题【解析】 1+2+3+…+2004+2005=(1+2005)×2005÷2=1003×2005是奇数【答案】奇数【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？例题精讲知识点拨教学目标5-1奇数与偶数的性质与应用【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】偶数。
数学奥赛辅导 第一讲 奇数、偶数、质数、合数
数学奥赛辅导第一讲奇数、偶数、质数、合数知识、方法、技能Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m+4的形式（m∈Z）.（3）任何一个正整数n，都可以写成l的形式，其中m为非n m2负整数，l为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式：n a n a a p p p A 2121⋅= （*）.其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .【略证】由于A 为一有限正整数，显然A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.设另有j m n q q q q q q q A m,,212121<<<⋅= 其中βββ为质数，i β为非负整数，j=1，2，…，m .由于任何一i p 必为j q 中之一，而任一j q 也必居i p 中之一，故n=m .又因),,2,1(,,2121n i q p q q q p p p i i n n ==<<<<<则有，再者，若对某个i ，i i βα≠（不妨设i i βα>），用i i p β除等式n n n a n a a p p p p p p βββ 21122121⋅=两端得：.11111111n i i n i i n i i n i p p p p p p p ββββεβαα +-+--⋅=此式显然不成立（因左端是i p 的倍数，而右端不是）.故i i βα=对一切i =1，2，…，n 均成立.惟一性得证.推论：（合数的因子个数计算公式）若nn p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα（简记为∏=+ni i 1)1(α）这是因为，乘积2222212111()1()1(21nn p p p p p p p p ++++++⋅++++ αα )nn p α++ 的每一项都是A 的一个因子，故共有∏=+ni i 1)1(α个. 定理：质数的个数是无穷的.【证明】假定质数的个数只有有限多个,,,21n p p p 考察整数.121+=n p p p a 由于1>a 且又不能被),,2,1(n i p i =除尽，于是由算术基本定理知，a 必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于),,2,1(n i p i =，这与假定矛盾.故质数有无穷多个.赛题精讲例1．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数. （第27届IMO 试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数. 用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证：.22m k >从而add a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得 因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b efm k 222≤-<-≤-=- 得e=1， 从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.例3．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数. （第26届IMO 预选题）【证明】由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.例4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].如果)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，如果))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.如果2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.如果用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m ,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因而l n =1；当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）若.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）若.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n例5．设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.【证明】对k 用数学归纳法.当k=2时，因),12(312-+++=n n 命题在立.假设k=m 时成立，即,)12()3()1(2n na n a a a n m +=-++++++= （a 为某非负数） 则,)()(2221n n n na n n n na n n n m m +-+=+=⋅=+若记n n na b -+=2（显然b 为非负偶数），于是1),12()3()1(21+=-++++++=+=+m k n b b b n nb n m 即 时，命题成立，故命题得证.例6．在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==n i i X1,0 ① ∑==n i i Y1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数. 综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.例7．求出最小正整数n ，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.（第26届IMO 预选题）【解】根据题目要求，n 是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设 ,11753254321 ααααα⋅⋅⋅⋅=n 则.1,1,2,34321≥≥≥≥αααα由,144)1)(1)(1)(1(4321=++++ αααα而,482234)1)(1)(1)(1(4321=⋅⋅⋅≥++++αααα故最多还有一个,2),5(0≤≥>j j j αα且为使n 最小，自然宜取.025≥≥α由)0(144)1)(1)(1)(1()0(144)1)(1)(1)(1)(1(54321554321时或时==++++≠=+++++ααααααααααα,考虑144的可能分解，并比较相应n 的大小，可知合乎要求的（最小）,2,521==αα,1543===ααα故所求的.11088011753225=⋅⋅⋅⋅=n下面讲一个在指定集合内的“合数”的问题.这种合数与通常的合数有区别，题中的“素元素”是指在该集合内的素数，也与通常的素数有区别.例8．设n>2为给定的正整数，{}.,1*N k kn V n ∈+=试证：存在一数,n V r ∈这个数可用不只一种方式表示成数集V n 中素元素的乘积. （第19届IMO 试题）【证明】由于V n 中的数都不小于),2(1>+n n 因而n V n n n n ∈-⋅---)12()1(,)12(,)1(22.显然)12()1(,)1(2-⋅--n n n 是V n 中的素元素.又若（2n －1）2不是V n 中素元素，则有,)12()1()1(,12-=+⋅+≥≥n bn an b a 使由此有,44b a abn n ++=-于是,31≤≤ab 从而b=1,a =1;b=1,a =2,b=1,a =3,对此就有,8,28,2=n 故n=8.这说明 ，当2)12(,8-≠n n 时就是V n 中素元素. 当)]12)(1[()12()1(,.)12()1(,82222--=--=∈--=≠n n n n r V r n n r n n 且显然令时)].12)(1[(--n n 当n=8时，有1089=136×8+1=9×121=33×33，而9，121，33∈V 8.综上知，命题得证.例9．已知n ≥2，求证：如果n k k ++2对于整数k （30n k ≤≤）是质数，则n k k ++2对于所有整数)20(-≤≤n k k 都是质数.（第28届（1987）国际数学奥林匹克试题6）【证】设m 是使n k k ++2为合数的最小正整数.若n m m p n m n ++-≤<2,23是令的最小质因子，则n m m p ++≤2. （1）若m ≥p ，则p|(m －p)2+(m －p)+n. 又(m －p)2+(m －p)+n ≥n ＞p ，这与m 是使n k k ++2为合数的最小正整数矛盾.（2）若m ≤p －1，则n m p m p n m p m p +---=+--+--))(1()1()1(2被p 整除，且.)1()1(2p n n m p m p >≥+--+--因为n m p m p +--+--)1()1(2为合数，所以.12,1+≥≥--m p m m p 由 ,122n m m p m ++≤≤+ 即 ,01332≤-++n m m 由此得363123n n m <-+-≤ 与已知矛盾.所以，对所有的n k k n k n ++-≤<2,23为质数.。
全国初中数学竞赛辅导（初1）第15讲奇数与偶数教师版
全国初中数学竞赛辅导（初1）第15讲奇数与偶数教师版第⼗五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．⽤整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表⽰为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表⽰为2k的形式，其中k 是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1 奇数≠偶数．性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5 若⼲个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质 6 如果若⼲个整数的乘积是奇数，那么其中每⼀个因⼦都是奇数；如果若⼲个整数的乘积是偶数，那么其中⾄少有⼀个因⼦是偶数．性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数⼀定是⼀奇⼀偶．性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9 奇数的平⽅除以8余1，偶数的平⽅是4的倍数.性质10 整数a和|a|有相同的奇偶性性质11 两个连续的整数中，必有⼀个是奇数，⼀个是偶数，两个相邻整数之和是奇数，之积是偶数.性质12 如果若⼲个整数之和是奇数，那么其中⾄少有⼀个是奇数；如果奇数个整数之和是偶数，那么其中⾄少有⼀个是偶数．下⾯我们给出性质7⾄性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为⼀奇⼀偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数⼀定是⼀奇⼀偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定⼀奇⼀偶，从⽽它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1 在1，2，3，…，1998中的每⼀个数的前⾯，任意添上⼀个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2 设1，2，3，…，9的任⼀排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是⼀个偶数．证法1 因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有⼀个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4⽭盾)，从⽽由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中⾄少有⼀个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9⾄少有⼀个是偶数，从⽽(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3 有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每⼀个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，x n。
小学数学竞赛五、奇数与偶数
五、奇数与偶数小学数学课本第十册“数的整除”这部分教材中指出，凡是能被2整除的数叫偶数.大于零的偶数，又叫双数.凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数.因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）.因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）.奇数和偶数有许多性质，常用的有：性质1 两个偶数的和或差仍是偶数.例如8+4=12，8-4=4等.两个奇数的和或差也是偶数.例如9+3=12，9-3=6等.奇数与偶数的和或差是奇数.例如9+4=13，9-4=5等.单数个奇数的和是奇数，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数.性质2 奇数与奇数的积是奇数.例如9×11=99等.偶数与整数的积是偶数.例如2×5=10，2×8=16等.性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.下面用这些性质来解几道题.例1 有九只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中四只杯同时“翻转”，使其杯口向下.问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？分析与解对每只杯口向上（下）的杯子，只有“翻转”1次、3次、……后才能使杯口向下（上）.即对每只杯子，只有“翻转”单数次后，其杯口的朝向才能改变.现在要求九只杯口向上的杯子杯口全部朝下，那么每只杯子必须经过奇数次“翻转”，根据前面性质1中指出的：单数个奇数的和是奇数可知，这九个奇数的和一定是个奇数.即只有经过奇数次“翻转”，才能使九只杯口向上的杯子的杯口变为全部朝下.另外每次只能同时“翻转”四只杯子.这就是说，不管如何“翻转”，最后“翻转”的总次数一定是4的倍数.4是偶数，所以“翻转”的总次数是个偶数.前面要求“翻转”总次数必须是奇数，这里又说它一定是个偶数，前后矛盾，所以按要求无论怎样“翻转”，都不能使九只杯口全部向下.例2 能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立，为什么？9□8□7□6□5□4□3□2□1=10分析与解因为每个□内都可以填入加号或减号，一共有8个□，所以共（28=）256种填法，故不能采用试验的方法解这道题.我们还是从简单情况开始.因为9是奇数，8是偶数，所以根据前面提到的性质，9□8当□内不管填“＋”或“－”，9□8一定是奇数.因为9□8是奇数，7也是奇数，所以9□8□7中7前面那个□内不管填“＋”或“－”，9□8□7一定是偶数.同理可以推出：因为9□8□7是偶数，6也是偶数，所以9□8□7□6一定是偶数.因为9□8□7□6是偶数，5是奇数，所以9□8□7□6□5一定是奇数.因为9□8□7□6□5是奇数，4是偶数，所以9□8□7□6□5□4一定是奇数.因为9□8□7□6□5□4是奇数，3也是奇数，所以9□8□7□6□5□4□3是偶数.因为9□8□7□6□5□4□3是偶数，2也是偶数，所以9□8□7□6□5□4□3□2一定是偶数.因为9□8□7□6□5□4□3□2是偶数，1是奇数，所以9□8□7□6□5□4□3□2□1是奇数.以上推理过程告诉我们，不管题目中8个□内如何填“+”或“-”，9□8□7□6□5□4□3□2□1总是一个奇数，而10是个偶数.根据前面的性质3，不管8个□如何填“+”、“-”，9□8□7□6□5□4□3□2□1≠10.这题也可以这样想，根据同一级运算的“搬家性质”，当8个□内的“+”、“-”一经填好后，一定有9□8□7□6□5□4□3□2□1=（9□7□5□3□1）□（8□6□4□2）.第一个括号内的9、7、5、3、1都是奇数，故不管第一个括号内的4个□内如何填“+”、“-”，9□7□5□3□1一定是个奇数.第二个括号内的8、6、4、2都是偶数，所以不管第二个括号内3个□内如何填“+”、“-”，8□6□4□2一定是偶数.这一来，不管两个括号中间那个□内如何填“+”、“-”，最后结果是奇数，而10是偶数，根据前面的性质3，不管题中8个□内如何填“+”、“-”，9□8□7□6□5□4□3□2□1≠10.例3 有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7，从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？分析与解先按题目中的要求，在1、9、8、7这4个数字的后面写出一些数来，便可得出下列的数串：1，9，8，7，5，9，9，0，3，1，3，7，4，…这串数单从数字看乱七八糟，又因为按要求可以无限写下去，所以不能采用直接写的方法来解这题.可是如果把这串数按奇、偶数来分类，可得下面数串：奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，…（奇、偶分别代表奇数与偶数）我们来分析这串数有什么规律.根据奇数加奇数和是偶数，奇数加偶数和是奇数，可以推出第五、六、七个数全是奇数，第八个数是偶数.再利用第五、六、七、八这四个数的奇偶性，又可推出第九、十、十一、十二个数又全是奇数，第十三个数又是偶数，…….这一来，便发现这串数从第四个数开始，以后各数按四个奇数一个偶数的规律循环排列着，而1、9、8、8是两个奇数接两个偶数，所以数串中不会出现1、9、8、8这四个数.例4 能不能在（形如图1的）6×6正方形棋盘格中的各个小方格内，分别写上1至36这36个数（每个数必须用一次），使得棋盘中任何一个如图2中所给四种形状图形中所放的四个数的和都是偶数？如果能办到，请给出一种具体的方法；如果办不到，请说明理由.分析与解将1～36这36个自然数随意填在6×6正方形棋盘格的36个小方格内，填法太多，要想用试验法找到满足要求的填法，比较麻烦，下面我们倒着来想这个问题.如果能找到一种填法，使题中的要求得到满足，那么在图1中，一定有一个图3的十字形图形，当它的五个小方格中的数分别用a1、a2、a3、a4、a5表示时，可得到下面的四个等式：a1+a2+a3+a4=偶数（1）a1+a2+a3+a5=偶数（2）a1+a3+a4+a5=偶数（3）a2+a3+a4+a5=偶数（4）将（1）、（2）两式相减，等号前面是a4、a5的差，等号后面是两偶数相减，这说明a4与a5的差是偶数，所以a4与a5要么同是奇数，要么同是偶数.同样，（1）、（3）两式相减，可以得出a2与a5同是奇数或同是偶数.（1）、（4）两式相减，可以得出a1与a5同是奇数或同是偶数.这一来，a1、a2、a4、a5同是奇数或同是偶数.再看（1）式，当a1、a2、a4同是奇数时，为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数，a3也应是奇数.当a1、a2、a4、a5同是偶数时，为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数，a3也是偶数.这就说明a1、a2、a3、a4、a5这五个数要么同是奇数，要么同是偶数.另外图3那样的十字形图形，除了不能出现在（图1的）6×6棋盘格的四个角外，其他地方都可以出现.这一来，图1除掉四个角之外的32个小方格中的数要么都是奇数，要么都是偶数.但1至36这36个自然数中最多只有18个数同是奇数，或同是偶数，不可能有32个数同是奇数或同是偶数，这说明满足要求的填法不存在.上面例4告诉我们，解决这类问题除了用奇数与偶数的性质外，还用了一种倒着想的方法.就是先假定某一说法正确，然后利用这一说法和其他性质进行分析，最后得到一个不可能正确的结论来，从而说明假定的某一说法不对.这种想法在数学上叫“反证法”，以后在中学数学的学习中你会再次遇到.。
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第13讲 奇偶分析
A 类例题
例 1 ⑴ 证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点． ⑵ 至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数． ⑴ 分析 按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面格点分类，用抽屉原理证明． 证明 按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面上的所有格点分类，共有 4 类：(奇，奇)，(奇， 偶)，(偶，奇)，(偶，偶)． 任取 5 个格点，必有 2 点属于同一类，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)这二点是属于同一类的两 1 1 点，则其连线的中点 M(2(x1＋x2)，2(y1＋y2))即为格点．故得证． ⑵ 分析 考虑三角形的面积如何计算． 1 解 由三角形面积表达式 S= [(x1－x2)(y2－y3)－(x2－x3)(y1－y2)]知， 如果三角形有某两个 2 顶点属于同一类(上题中的分类)，则其面积为整数；如果三个顶点都不同类，则其面积不为整 数． 于是取分属于 4 个不同的类的 4 个格点，以这 4 点中的任三点为顶点的三角形面积都不 为整数，但如果取 5 个格点，则必有某两点属于同一类，此时以这二个点及另外任一点为顶 点的三角形面积为整数． 故至多取 4 个点，且此四点应分属不同的 4 类． 说明 把整数分成“奇数”与“偶数”这两类，就相当于构造了两个抽屉，从而奇偶分析 常常用抽屉原理为工具解决问题．
链接 在坐标系内的三角形的面积公式： 为了方便，先把三角形放在第一象限内，当三角形不在第一象限内时，可利用平移公式 说明结论仍然成立． 如图，ΔABC 的三个顶点(按逆时针旋转的顺 y y P3 序排列)坐标分别为 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， P3(x3， P3 y3)． P1 P1 作 P1P1'⊥Ox， P2P2'⊥Ox ，P3P3'⊥Ox．垂 P2 P 2 足分别为 P'1，P'2，P'3．于是，三角形 P1P2P3 的 面积可以表示成三个直角梯形的面积的代数和： x x O P' P' O P' P' P' P' 2 3 1 3 2 1 如在左图中， 1 S＝2[(y1+y3)(x3－x1)+(y3+y2)(x2－x3)－(y1+y2)(x2－x1)] 1 ＝2[(x1y2－x2y1)+(x2y3－x3y2)+(x3y1－x1y3)]． 1 这个式子也可写为 S＝2[(x1－x2)(y2－y3)－(x2－x3)(y1－y2)]． 右图也可同样计算得证． 对于放置于任何位置的三角形，只要取平移公式代入检查即知该结果正确． 例 2 设 a1，a2，„，a64 是 1，2，„，63，64 的任意一种排列．令 b1=|a1－a2|，b2=|a3－a4|，„，b32=|a63－a64|； c1=|b1－b2|，c2=|b3－b4|，„，c16=|b31－b32|； d1=|c1－c2|，d2=|c3－c4|，„，d8=|c15－c16|； „„„ 这样一直作下去，最后得到一个整数 x．求证：x 为偶数． 分析 可以从后向前推：若 x 为奇数，则其前一次运算时的两个数必一奇一偶，„，这样 直到开始时的 64 个数的奇偶性．这就是证法一的思路；也可以从前向后推：第一次运算得到 的 32 个数的奇偶性与原来各数的奇偶性有什么关联？第二次运算所得 16 个数又与第一次运 算的 32 个数有什么关联？又与原来的 64 个数有何关联？„，这样直到最后一个数．这就是 证法二的思路． 证法一 假定 x 为奇数，则上述计算过程中倒数第二步的两个数是一奇一偶，倒数第三步 的四个数或者是三奇一偶或者是一奇三偶．仿此推知，计算过程中的每一步只能有奇数个奇 数，那么在 a1，a2，„，a64，中也该有奇数个奇数.但它们是 1，2，„，64 的某一排列，其 中奇数有 32 个，这就产生了矛盾.所以最后一个数只能是偶数． 证法二 因为整数 a 与|a|的奇偶性一致，整数 a、b 的和 a+b 与其差 a－b 的奇偶性也一 致， 所以上述计算过程的第二步中的 32 个数： |a1－a2|， |a3－a4|， „， |a63－a64|， 分别与 a1+a2， a3+a4，„，a63+a64 的奇偶性一致，于是，可改为考虑： 第一步：a1，a2，„，a64； 第二步：a1+a2，a3+a4，„，a63+a64； 第三步：a1+a2+a3+a4，„，a61+a62+a63+a64； „„„„ 很明显，这样做最后所得的数是 a1+a2+a3+a4+„+a63+a64．而 x 与它的奇偶性一致．由 于 a1，a2，„，a64 是 1，2，„，64 的某一排列，因此，a1+a2+a3+a4+„+a63+a64＝1+2+„„ +64=32×65，这是一个偶数，故知 x 为偶数．Fra bibliotekB 类例题
奇数与偶数(初中数学竞赛教案)
课题：数的整除性、质数和合数的复习与奇偶分析授课时间：2006-10-22一、本课知识点和能力目标1．知识点：①数的整除性、质数与合数的复习；②奇数与偶数.2．能力目标：通过典型例题的分析，提高学生的逻辑思维能力，培养学生的分析、解决问题的能力.二、数学思想与方法分类与讨论、转化与化归、反证法.三、本次授课节次及内容安排第1课时：数的整除性、质数与合数的复习.第2课时：奇数与偶数.第3课时：典型例题剖析.第4课时：课堂反馈.四．课外延伸、思维拓展第一课时【知识要点】1．整数的整除性复习；2．质数与合数的复习.【经典例题】例1 （第六届“汉江杯”数学竞赛）三个质数p、q、r满足p＋q＝r，且1＜p＜q，求p的值.解：∵p＋q＝r，p、q，r均为质数，∴r必为奇数，从而p、q中必有一个为2.又∵1＜p＜q，∴p=2.例2 设n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数．证我们只需把n4+4写成两个大于1的整数的乘积即可．n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n2+2)2-4n2＝(n2-2n+2)(n2+2n+2)，因为n2+2n＋2＞n2-2n+2=(n-1)2+1＞1，所以n4+4是合数．例3a、b是整数，求证：a b-、ab中，至少有一个是3的倍数.+、a b证明若a、b中有一个数是3的倍数，则显然ab显然是3的倍数；若a、b被3除余1或余2，则a b-是3的倍数；若a、b被3除的余数不同，则a b+是3的倍数.【尝试练习】1．在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除，但不能被3整除的数的个数是（ B ）A．33；B．34；C．35；D．36.提示：在1，2，3，…，100中，能被2整除的有50个，能被2整除，且能被3整除的有16个，故能被2整除，但不能被3整除的数的个数为34个。
2．若2001是两个质数的和，则这两个质数的乘积是 3998 .3．（第5届希望杯·94）已知199219931994199319941995N =⨯⨯+⨯⨯199419951996199519961997+⨯⨯+⨯⨯，则N 的末位数字是 4 .（提示：第一项的末位数字是4，其他三项的末位数字都是0）4．若a 是正整数，证明：(1)1a a ++不是完全平方数.证明：由于两个连续的正整数的平方数之间，不存在完全平方数. 而22(1)1(1)a a a a <++<+，故(1)1a a ++不是完全平方数.第二课时【知识要点】在整数中能被2整除的数叫做偶数，通常用2k 表示；不能被2整除的数叫做奇数，通常用21k +（或21k -）表示。
小学数学竞赛奇数和偶数
奇数和偶数【知识要点】整数可以分为奇数和偶数两类。
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整数的整数叫做奇数。
一般地，偶数可以写作2n，奇数可以写作2n＋1（其中n是整数）。
奇数和偶数有下面一些重要性质：1.一个整数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能是奇数，奇数不能等于偶数。
2.奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数。
3.奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数。
任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
4.两个奇数之积为奇数，一个偶数与一个整数之积为偶数。
5.若干个整数相乘，其中若有一个因数是偶数，积就是偶数；如果所有的因数都是奇数，积就是奇数。
6.如果若干个整数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个整数的积是奇数，那么所有的因数都有奇数。
7.偶数的平方能被4整除；奇数的平方被4除余1；奇数的平方被8除也余1。
8.相邻两个整数的和一定是奇数，积一定是偶数。
【典型例题】例1.一次“手拉手”活动中，小朋友互相赠送小礼品，如果每人只要收到对方的礼品就一定要回赠，那么赠送了奇数件礼品出去的小朋友人数是奇数还是偶数？为什么？分析：由于每人只要收到礼品就一定要回赠，所以每人赠出的礼品与收到的礼品数目相等，也就是说小朋友们相互赠送的礼品总件数是偶数。
解：将赠送礼品的人分成两类：一类是赠送了偶数件礼品的人，他们赠送出去的礼品的总和是偶数。
因为若干个偶数的和是偶数。
另一类是赠送了奇数件礼品的人。
他们赠送的礼品总数＝总件数－赠送偶数件礼品的人送出的礼品总数＝偶数－偶数＝偶数。
只有偶数个奇数相加，其和才能是偶数。
所以赠送了奇数件礼品的人数一定是偶数。
例2.平面上有9个点，每三个点都不在同一条直线上。
现在从每个点都正好引7条线段和其余的任意7个点相连，你能连成吗？说明道理。
分析：用实际画线的方法是不可取的。
解决这个问题的关键在于依题意计算出线段的总条数。
解：若一条线段从A画到B，同样可以看作是从B画到A。
系列2奇数与偶数
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二.例题分析:
例1. 在1,2,3, …,2006每一个数前任意添 加一个正号或负号,他们的代数和是奇数还 是偶数?
拓展:你能在1,2,3…,2006前添加正号和负 号,使其代数和等于1吗?等于0吗?还能等于 其他的值吗?试一试?
(1)如果这41名运动员任意站成一排,是否 存在任意相邻的两位运动员的号码数之和 都是质数?
(2)能否让这41名运动员站成一个圆圈, 使得任意相邻的两位运动员的号码数之 和也都是质数?
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2.设a,b,c中有两个奇 数,一个偶数,试说明 (a+1)(b+2)(c+3)一定 为偶数.
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3.在黑板上写上1,2,…,2006,
只要黑板上还有两个或两个
以上的数就擦去其中的任意
两个数a,b,并写上|a－b|,问
最后黑板上剩下的数是奇数
还是偶数?
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4.某校七年级5个班
奇数与偶数
数学竞赛系列1
整2.奇数和偶数有哪些性质: (1).加乘法则:
+\－ 奇 偶 奇 偶奇 偶 奇偶
× 奇偶 奇 奇偶 偶 偶偶
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2.奇数和偶数有哪些性质:
(2)奇数≠偶数 奇数+偶数≠0 (3)两个整数的和与差的奇偶性有何关系? (4)整数a与|a|奇偶性有什么关系?
的足球队参加比赛,
能否安排出,使每个
2019-2020年小学奥数六年级《奇数偶数与奇偶性分析》经典专题点拨教案
2019-2020年小学奥数六年级《奇数偶数与奇偶性分析》经典专题点拨教案【奇数和偶数】例1 用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。
问乘积中是偶数多还是奇数多？（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。
在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。
而偶数积共有7个。
所以，乘积中是偶数的多。
例2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。
（《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：甲组有12个奇数，乙组有12个偶数。
甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是47，最小是3。
从3到47不同的奇数共有23个。
所以，能得到23个不同的和。
本题中，我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加，会得到12×12=144（个）不同的和。
因为其中有很多是相同的。
【奇偶性分析】例1 某班同学参加学校的数学竞赛。
试题共50道。
评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。
请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。
（全国第三届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：如果50道题都答对，共可得150分，是一个偶数。
每答错一道题，就要相差4分，不管答错多少道题，4的倍数总是偶数。
150减偶数，差仍然是一个偶数。
同理，每不答一道题，就相差2分，不管有多少道题不答，2的倍数总是偶数，偶数加偶数之和为偶数。
所以，全班每个同学的分数都是偶数。
则全班同学的得分之和也一定是个偶数。
例2 5只杯子杯口全都朝上。
规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？（美国小学数学奥林匹克通讯赛试题）讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。
要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。
初中数学竞赛：奇数与偶数
例2.求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数
证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数， （2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)
∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k－1)是8的倍数
即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例3.已知：有n个整数它们的积等于n，和等 于0
求证：n是4的倍数
证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得
如果n为正奇数，由方程（1）可知 x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数 的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的 0，所以n一定是偶数；
当n为正偶数时，方程（1）左边的 x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而 要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必 湏是偶数个，偶数至少有2个。
整数按奇数，偶数分为两类，3个整数中必有 两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数
9.试说明方程2x+10y=77是偶数，x.y不论取什么整 数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成 立
10.求证：两个連续奇数的平方差能被8整除 • (2n+1)2-(2n-1)2=8n
所以n是4的倍数。
例4己知：a,b,c都是奇数
求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x，若它是奇数， 这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而 右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都 是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不 可能等于0。
两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
例1.如果|m,n|是质数,且满足3m+5n=-1那么m+n 的值等于(第18届江苏省竞赛题) 【解密】从m,n的奇偶性入手 【解】若m,n均为奇数,则3m,5n均为数,∴3m+5n 为偶数,不合题意故m必有一个数为奇数,另一个 数为偶数.又|m|,|n|是质数,则有两种情况:(1) 若|m|=2,则m=2或-2.当m=2时,3×2+5n=-1. 则,|n| 不为质数,不合题意;当m=-2时,3×(2)+5n=-1.则n=1,n|不为质数,不合题意 (2)若,|n| =2,则=2或一2当n=2时,3m+5×2=1.1m不为质数,不合题意当n=-2时,3m+5×(-2)=1.则m=3,|ml为质数,合乎题意练上所述,m=3,n=2,故m+n=3+(2)=1
七年级数学竞赛 第2讲 奇数、偶数
(山西省太原市竞赛题) 解：不能，理由如下：将国徽朝上赋予“+1”，朝下赋予“−1”，
则 1997 枚硬币的国徽朝向情况可用 1997 个数乘积表示， 若这些数之积为−1(或+1)，表明有奇数(或偶数)枚国徽朝下，开始时，其乘积为(+1)1000·(−1)997=−1， 每次翻转 6 枚硬币，即每次改变 6 个数的符号，其结果是 1997 个数之积仍为−1， 经有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币永远有奇数枚，故回答是否定的。
图②
17．将 10，11，…，99 这 90 个正整数写在黑板上，擦去其中的 n 个数，可使黑板上剩下的所有数的乘积的 个位数是 1，求 n 的最小值。
(四川省竞赛题)
(第 26 届国际数学奥林匹克候选题) 解题思路：分两步证明：先证明 n 是偶数 2k，再证明 k 是偶数，证明的关键是从整数入手，挖掘隐含的一 个等式。
例 5．开始时，5×5 方格表中的每个方格中都填有一个 0，每一步选取两个具有公共边的方格，将其中的数 同时加 1 或同时减 1。若干步后，各行、各列之数的和彼此相等。求证：所经过的步数为偶数。
(俄罗斯数学奥林匹克试题) 证明：若一步中所选的两个方格在同一行，则称为“水平步”，若在同一列，则称为“竖直步”。
在 5×5 方格表中，考虑第二列之和 S2 与第四列之和 S4， 每一水平步使 S2，S4 之一加 1 或减 1(即改变±1)，另一个不变，故改变 S2−S1 的奇偶性； 每一竖直步使 S2，S4 不变或改变±2，故不改变 S2−S4 的奇偶性。 由于开始与结束时均有 S2−S4=0，故水平步数为偶数。 类似地考察第二行、第四行之和，可知竖直步数也为偶数。 所以，总步数为偶数
初中数学竞赛精品标准教程及练习17奇数偶数
初中数学竞赛精品标准教程及练习17奇数偶数奇数和偶数是数学中一个基本的概念。
在初中数学竞赛中，关于奇数和偶数的题目经常出现，掌握好奇数和偶数的性质和运算规律对于解决问题非常重要。
下面是一份关于奇数和偶数的综合性教程及练习，帮助初中生们更好地理解和应用奇数和偶数。
一、奇数和偶数的定义1.整数除以2的余数为0的数称为偶数，如2、4、6、8等。
2.整数除以2的余数为1的数称为奇数，如1、3、5、7等。
二、奇数和偶数的性质1.任何整数与2的倍数的和、差和乘积都是偶数。
2.任何整数与奇数的和是奇数，与偶数的和是偶数。
3.奇数与奇数的和是偶数，偶数与偶数的和是偶数。
4.奇数与奇数的乘积是奇数，偶数与偶数的乘积是偶数，奇数与偶数的乘积是偶数。
5.在正整数的平方序列中，奇数的数字只有奇数个。
三、奇数和偶数的运算规律1.偶数加（或减）偶数，结果为偶数；奇数加（或减）奇数，结果为偶数。
2.偶数加奇数，结果为奇数；奇数加偶数，结果为奇数。
3.偶数乘以（或除以）偶数，结果为偶数；奇数乘以（或除以）奇数，结果为奇数。
4.偶数乘以奇数，结果为偶数；奇数乘以偶数，结果为偶数。
四、奇数和偶数的应用1.奇数和偶数的运算在统计领域中有广泛的应用，比如人口统计、数据分析等。
2.在排列组合中，奇数和偶数的性质对于解决问题非常重要。
3.在图形题中，奇数和偶数的性质常常用来判断图形的性质，如正方形、矩形等。
4.奇数和偶数的性质也常常出现在数学证明题中，通过利用奇数和偶数的性质，可以简化问题的分析过程。
练习题：1.把10个不同的奇数排成一排，其中前3个数之和是多少？2.把10个不同的偶数排成一排，其中任意5个数之和是多少？3.一个数的个位是2，十位是4，百位是6，千位是8，这个数是奇数还是偶数？4.一个数的个位是1，十位是5，百位是9，千位是4，这个数是奇数还是偶数？5.一批苹果共有24个，每天需要分给学生，要求每个学生分到的苹果个数是偶数个，那么最多可以分给多少个学生？答案：1.奇数的和仍然是奇数，因此前3个数之和是奇数。
小学奥林匹克辅导奇数与偶数[1]
![小学奥林匹克辅导奇数与偶数[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/c410cd64f5335a8102d22044.png)
奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题. 例1 1+2+3+⋯+1993的和是奇数？还是偶数？例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？例4 已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。
例5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。
例6 用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=1995a×b×c×d-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。
例7 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
例8 假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。
例9 在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。
《奥数之奇数与偶数》课件
04
奇偶数的奥数题目解析
初级题目解析
总结词：简单基础
题目1：一个自然数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，这个自然数 最小是多少？
题目2：一个三位数，十位数字是个位数字的2倍，个位数字与十位数字的和等于7，若把这 个三位数的百位数字与个位数字对换，所得新数比原数大270，求原三位数。
01
02
03
04
奇数与奇数相加得偶数 ，如3+5=8。
偶数与偶数相加得偶数 ，如4+6=10。
奇数与偶数相加得奇数 ，如3+4=7。
奇数与偶数相乘得偶数 ，如3x4=12。
奇偶性的应用
在日常生活和科学研究中，奇 偶性在很多场合都有应用，如 密码学、计算机科学、物理学 等。
在计算机科学中，二进制数的 奇偶性用于错误检测和纠正， 确保数据传输的可靠性。
《奥数之奇数与偶数》ppt课件
目录
• 奇数与偶数的基本概念 • 奇偶数的运算性质 • 奇偶数的趣味应用 • 奇偶数的奥数题目解析 • 总结与思考 • 课后习题与答案
01
奇数与偶数的基本概念
奇数和偶数的定义
奇数
不能被2整除的整数，如1、3、5、7等。
偶数
能被2整除的整数，如2、4、6、8等。
奇数和偶数的性质
在密码学中，奇偶性用于生成 加密和解密的密钥，保护信息 的安全性。
02
奇偶数的运算性质
加法性质
01
02
03
奇数+奇数=偶数
当两个奇数相加时，结果 的个位数为偶数。
奇数+偶数=奇数
当一个奇数和一个偶数相 加时，结果的个位数为奇 数。
偶数+偶数=偶数
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲奇数偶数与奇偶分析
第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1．奇数≠偶数2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．4．设m、n是整数，则m土n，nm±的奇偶性相同．5．设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过度析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．例题【例1】三个质数之和为86，那么这三个质数是．(“希望杯”邀请赛试题)思绪点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．注：18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人如何才干不反复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简朴的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不反复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人可以不反复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．运用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．简朴地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才干一笔画．【例2】假如a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、（）．A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数(2023年TI杯全国初中数学竞赛题)思绪点拨 举例验证或从a 、b 、c 的奇偶性说明．【例3】 (1)设1，2，3，…，9的任一排列为a l ，a 2，a 3…，a 9．求证：(a l l 一1)( a 2 —2)…(a 9—9)是一个偶数．(2)在数11，22，33，44，54，…20232023，20232023，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完毕所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必然不等于2023．思绪点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不也许一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．【例4】已知n x x x x 、、、、 321都是+1或一1，并且011433221=+++++-x x x x x x x x x x n n n ，求证：n 是4的倍数．思绪点拨 可以分两步，先证n 是偶数2k ，再证明k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l ×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以反复使用某些图形)．问：最多可以用这7种图形中的几种图形?思绪点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n 项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)可以达成一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．一些非常规数字问题需要恰本地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表达，然后运用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否通过若干次这样的翻动，使所有的杯子口都朝下?思绪点拨 这不也许．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l 变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与本来相同．所以，不管翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子所有朝下，和为7，是奇数，因此，不也许．整数可以分为奇数和偶数两类．【例7】在1，2，3，…，2023前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?思绪点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+...+2023的奇偶性即可． 因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，...，2023中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+...+2023的奇偶性相同，而1+2+3+ (2023)21(1+ 2023)×2023=1003 ×2023为奇数；因此，所求代数和为奇数．注：抓住“a+b 与a —b 奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2023得到答案．【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表达新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来互换的贺卡的张数总是偶数．”这句话对的吗?试证明你的结论．思绪点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．这句话是对的的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来互换的贺卡张数总是偶数”是对的．注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．思绪点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应当翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应当翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上． 理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，并且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：第1次翻动所有1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币本来朝下的一面都朝上．注：灵活、巧妙地运用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并故意想不到的效果．【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱顺序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．思绪点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，运用bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数相应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的． 注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 假如它最后到了右岸，情况又是如何呢?(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?思绪点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．(2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问本来的三个数能否是2、2、2？思绪点拨 假如本来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时假如擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．假如擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论如何操作，得到的三个数都是二偶一奇，不也许得到1995、1996、1997． 所以，本来的三个数不也许是2、2、2．注 解决本题的诀窍在于考察数字变化后的奇偶性．【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24… … 28 26根据上面的排列规律，则2023应位于( )A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列思绪点拨 观测表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是对的的，由于2023=8×250，所以2023应在第250行，又由于250为偶数，故2023应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C ．注：观测、寻找规律是解决这类问题的妙招．【例14】(2023年山东省竞赛题)如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a ，右轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有也许的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m ，则nm 等于( ) A ．21 B ．61 C ．125 D ．43 思绪点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b 恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，n m =125，故选C ． 【例15】(第江苏省竞赛题)已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能拟定思绪点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．学力训练1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20232023是 数．2．能不能在下式， 的各个方 框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立?答： ．3．已知三个质数a 、b 、c 满足a+b+c+abc ＝99，那么a c c b b a -+-+-的值等于 ．4．已知n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n 一1，其中，能表达“任意奇数”的( )A ．只有(1)B ．只有(2)C ．有(1)和(2)D ．一个也没有5．假如a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则3a +(b 一1)2c 是( )．A ．只当c 为奇数时，其值为奇数B ．只当c 为偶数时，其值为奇数C ．只当c 为3的倍数，其值为奇数D ．无论c 为任何正楚数，其值均为奇数6．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )．A ． S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能拟定(第16届江苏省竞赛题)7．(1)是否有满足方程x 2－y 2=1998的整数解x 和y?假如有，求出方程的解；假如没有，说明理由．(2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有所有的红桃牌(A 作1，J ，Q ，K 分别作11，12，13，不同)，乙持有所有的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否拟定?9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 ． 10．1，2，3，…，98共98个自然数，可以表达成两整数平方差的数的个数是 ．(全国初中数学联赛试题)11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人记录百这次比赛中所有得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核算，其中有一人记录无误，则这次比赛共有名选手参与．12．已知p、q、pq+1都是质数，且p一q>40，那么满足上述条件的最小质数p＝；q＝．(第15届“希望杯”邀请赛试题)13．设a，b为整数，给出下列4个结论：(1)若a+5b是偶数，则a一3b是偶数；(2)若a十5b是偶数，则a一3b是奇数；(3)若a+5b是奇数，则a一3b是偶数；(4)若a+5b是奇数，则a一3b是奇数其中结论对的的个数是( )．A．0个B．2个C．4个D．1个或3个14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不反复也不漏掉；下笔后笔不能离开纸) ．A．0 B．1 C ．2 D．3 ( “五羊杯”竞赛题)15．π的前24位数值为3....，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2， (24)则(a1一a2)( a3一a4)…(a23一a24)为( )．A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数16．没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现规定每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否通过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明．(太原市竞赛题)18．对一个正整数作如下操作：假如是偶数则除以2，假如是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求通过9次操作变为l的数有多少个？( “华杯赛”决赛题)19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由．(汉城国际数学竞赛题)参考答案。
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竞赛讲座－奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇………………由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（a-b）=ab+4×617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.4.有趣的应用题例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…a n a n+1a n+2…其中a i(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a n+1(n=1,2…,)的个位数，证明A是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____. （3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。