导数及其应用、积分及其应用
导数与函数的关系及应用
导数与函数的关系及应用导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数不仅与函数的性质息息相关，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨导数与函数的关系，以及导数在各个领域中的应用。
一、导数的定义及性质在微积分中，函数在某一点上的导数表示函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在区间内一点a上的导数可以用极限表示：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a)其中lim表示极限，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数的斜率：函数的导数代表了函数曲线在某一点上的斜率，可以帮助我们理解函数曲线的变化趋势。
2. 导数与函数的图像：通过导数的正负性可以推断函数在不同区间的递增和递减性。
3. 导数与函数的极值点：函数在极值点处的导数为零，通过导数可以判断函数的极大值和极小值。
二、导数与函数的关系导数与函数的关系密不可分。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点上的变化情况，并且可以帮助我们分析函数的性质。
1. 可导函数与连续函数：对于一个函数而言，如果它在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。
可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
2. 一阶导数与高阶导数：除了一阶导数，也可以计算二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的变化率随着自变量变化而变化的快慢程度。
3. 反函数与导数：若函数f(x)在区间上可导且在某区间内连续且单调，则存在其反函数f^(-1)(x)，且两者的导数满足：(f^(-1))'(x) = 1/f'(f^(-1)(x))三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，以下为几个常见的应用领域。
1. 最优化问题：导数可用于求解最值问题，例如求解函数的最大值、最小值、极大值、极小值等。
通过导数可以找到函数的可能极值点，并进一步求解最优化问题。
2. 函数图像的研究：导数可以帮助我们研究函数的图像特征，如函数的凹凸性、拐点、拐弯等。
导数及其应用定积分的概念
函数的平均值
• 函数在区间内的平均值：定积分可以用来计算函数在给定区间内的平 均值。具体计算方法是先将区间进行分割，然后将每个小区间的长度 近似为相等，再根据每个小区间的端点处的函数值和小区间的长度计 算出该小区间的平均值，最后将所有小区间的平均值相加得到整个区 间的平均值。
05
定积分的计算方法
导数的几何意义
函数在某一点的导数可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数的物理意义
函数在某一点的导数可以理解为函数值在该点的变化率。
导数的性质
导数的可加性
两个函数的和的导数等于两个函数的导数的 和。
导数的可乘性
两个函数的积的导数等于两个函数的导数的积。
导数的可导性
任何常数的导数为0。
导数在实际问题中的应用
通过换元将复杂的定积分转化为 易于计算的定积分，从而得到结 果。
通过分部积分公式将两个函数相 乘的定积分转化为两个函数的导 数的定积分，从而得到结果。
通过三角换元将定积分中的被积 函数转化为三角函数，从而得到 结果。
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速度和加速度
01
导数可以用来描述物体的运动速度和加速度。物体的速度是位
移对时间的导数，物体的加速度是速度对时间的导数。
经济学Leabharlann 02在经济学中，导数可以用来分析成本、收益、利润等经济变量
的变化率。
工程学
03
在工程学中，导数可以用来分析各种物理量如温度、压力、流
量等的变化率。
导数的几何意义
切线斜率
函数在某一点的导数是函数曲线在该点的切线斜率。
函数单调性
函数的导数大于0，则函数在该区间单调递增；函数的导数小于0，则函数在该区间单调递减。
导数与定积分在科学技术领域与实际中的应用
导数与定积分在科学技术领域与实际中的应用小组成员：鞠鑫（组长），魏冕，贾艳婷，陈雪专业班级：公共事业管理（卫生事业）1201班摘要微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具；如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展都要用得到微积分。
本文主要介绍导数和定积分在科学技术领域与实际生活中的应用。
从导数与定积分的理论介绍、导数和定积分在物理上的应用、导数和定积分在数学上的应用、导数和定积分在经济学上的应用以及导数与定积分在科技领域和实际生活中应用的展望等几个方面来阐述。
关键词导数定积分应用正文一、导数与定积分理论简介导数是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.（一）导数定义1、导数第一定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ；如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即2、导数第二定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) ；如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即3、导函数与导数如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。
积分与导数的基本关系与应用
积分与导数的基本关系与应用在微积分学中，积分与导数是两个基本概念，它们之间存在着紧密的关系。
本文将介绍积分与导数之间的基本关系，并且探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、积分与导数的基本关系1. 导数的定义与积分的定义导数表示函数在某一点的变化率，它的定义可以表示为：\[f'(x) = \lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]其中，\[f(x+\Delta x)\]表示函数在\[x+\Delta x\]处的取值，\[f(x)\]表示函数在\[x\]处的取值，\[\Delta x\]表示\[x\]的增量。
积分表示函数在某一区间上的累积效应，它的定义可以表示为：\[\int_{a}^{b}f(x)dx =\lim_{{n\to\infty}}\sum_{{i=1}}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}\]其中，\[f(x_{i}^{*})\]表示在区间\[[x_{i-1},x_{i}]\]中的任意一点\[x_{i}^{*}\]处的函数取值，\[\Delta x_{i}\]表示区间\[[x_{i-1},x_{i}]\]的长度。
2. 导数与积分的基本关系根据微积分的基本定理，导数和积分是互为逆运算的。
设函数\[f(x)\]在区间\[[a,b]\]上连续，则有如下关系成立：\[\int_{a}^{b}f'(x)dx = f(b) - f(a)\]这意味着，一个函数的导数在某一区间上的积分等于该函数在该区间上的值的变化。
换言之，对于一个连续函数，积分是求导运算的逆过程。
二、积分与导数的应用积分与导数在数学和实际应用中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个重要应用领域。
1. 几何学中的应用积分与导数在几何学中有着重要的应用，特别是在曲线的长度、曲率、曲面积等方面的计算中。
通过将曲线或曲面分割成无限小的线段或面元，可以利用积分求得它们的长度、曲率或面积。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。
导数的概念在不同领域都有广泛应用，例如物理学、经济学和工程学等。
本文将介绍导数的概念、导数公式以及导数在实际应用中的一些例子。
导数的概念可以理解为函数在其中一点处的变化率。
具体来说，如果函数在其中一点处具有导数，那么导数等于函数在该点处的斜率。
直观地说，如果一个函数在其中一点的导数为正，意味着函数在该点附近的值在增加；如果导数为负，意味着函数在该点附近的值在减小。
如果导数等于零，在该点附近的值则没有变化。
导数的计算可以使用导数公式来简化。
对于一些常见的函数，我们可以使用已知的导数公式来得到它们的导数。
例如，对于多项式函数，如果f(x) = ax^n ，其中a和n为常数，那么它的导数为f'(x) = nax^(n-1)。
而对于指数函数f(x) = e^x ，它的导数等于它自身，即f'(x) = e^x。
通过使用这些已知的导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。
导数在实际应用中有着广泛的应用。
一个常见的应用是在物理学中，用于描述物体的运动。
例如，我们可以通过计算一个物体的位移函数的导数来得到它的速度函数。
同样地，计算速度函数的导数可以得到加速度函数。
通过这样的导数计算，我们可以更好地理解物体的运动规律。
另一个应用是在经济学中，用于描述供需关系。
导数可以提供给我们有关价格和数量之间关系的更多信息。
如果一个函数表示价格对其中一变量的依赖关系，那么它的导数可以告诉我们，当这个变量改变一个单位时，价格将会如何改变。
这种信息对于制定合理的价格策略和优化资源配置非常重要。
除了物理学和经济学，导数在工程学和计算机科学中也有许多应用。
在工程学中，导数可以用于解决建筑结构的优化问题，确保建筑物的稳定性。
在计算机科学中，导数可以用于图像处理和机器学习等领域，提供对图像和数据的更深入的理解。
总结起来，导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。
导数定积分要点分析
导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2007年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）07年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
微积分中的导函数与积分公式
微积分中的导函数与积分公式微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的导数与积分，而其中的导函数和积分公式是微积分中的两个核心概念。
导函数描述了函数的变化率，积分公式则可以用来求解曲线下的面积和计算曲线长度等问题。
本文将介绍导函数的概念、性质以及一些常见的导函数公式，同时也会详细介绍积分公式及其应用。
一、导函数的概念与性质导函数是用来描述函数变化率的概念，通常用符号f'(x)表示。
在微积分中，导函数的定义是函数f(x)在某一点x处的极限值，即：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限运算，h表示自变量的一个无限小的增量。
导数的本质是函数在某一点的瞬时变化率，可以用来描述函数的斜率和速度。
导函数具有一些重要的性质，比如导函数的和差规则、常数规则、积法则和商法则等。
这些性质可以用来简化求导过程，并且在实际应用中起到很大的作用。
导函数还具有很多的几何意义，比如导函数的正负可以判断函数在某一点上升或下降，导函数的零点可以确定函数的极值点等。
二、常见的导函数公式在微积分中，有一些常见的函数的导函数公式，下面将列举一些常见的导函数公式及其证明过程。
1. 常数函数对于常数函数f(x)=c，其导数f'(x)=0。
证明过程比较简单，直接应用导数的定义即可。
2. 幂函数对于幂函数f(x)=x^n，其中n为任意实数，其导数f'(x)=n*x^(n-1)。
证明过程需要使用导数的定义和幂函数的性质。
3. 指数函数对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且不等于1，其导数f'(x)=a^x * ln(a)。
这个公式可以通过对指数函数求导数的定义进行推导。
4. 对数函数对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数f'(x)=1 / (x * ln(a))。
这个公式可以通过对对数函数求导数的定义进行推导。
导数和积分公式
导数和积分公式导数和积分是微积分的两个重要概念，在数学中起着至关重要的作用。
它们不仅仅是理论上的概念，更是实际问题求解中不可或缺的工具。
本文旨在以生动、全面、有指导意义的方式介绍导数和积分的公式及其应用。
一、导数的公式及应用：导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点的瞬时变化速率。
它有几种常见的表达方式：1. 函数f(x)在某一点x=a的导数记作 f'(a)，也可以用 dy/dx 或 df(x)/dx 表示。
2. 导数的表达式为f'(x) = lim (x→a) (f(x) - f(a))/(x -a)。
3. 常见函数的导数公式：① 若 f(x) = ax^n （a为常数，n为正整数），则 f'(x) = anx^(n-1)。
② 若 f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x。
③ 若 f(x) = sinx，则 f'(x) = cosx。
④ 若 f(x) = cosx，则 f'(x) = -sinx。
⑤ 若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。
导数的应用非常广泛，例如：1. 求函数的最大值和最小值：在函数的导数为零或不存在的点处，可能存在极值点。
2. 描述物体运动：导数可以反映物体的速度和加速度，常用于描述运动物体的位置、速度和加速度之间的关系。
3. 经济学中的边际分析：导数可以用于分析经济中的边际成本、边际收益等问题。
二、积分的公式及应用：积分是导数的逆运算，表示函数区间上的累积变化量。
它也有几种常见的表达方式：1. 函数f(x)在区间[a, b]上的积分记作∫(a to b) f(x)dx。
2. 不定积分的表达式为∫f(x)dx + C，其中C为常数。
3. 常见函数的积分公式：① 若 f(x) = x^n （n不等于-1），则∫f(x)dx = (1/(n +1))x^(n + 1)。
② 若 f(x) = e^x，则∫f(x)dx = e^x。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数在实际生活中有许多应用，例如：1. 物理学：导数被广泛应用于物理学中的运动学和动力学。
导数可以描述物体在某一时刻的加速度和速度，以及其位置和速度之间的关系。
例如，在抛物线运动中，导数可以用来描述物体在不同时间点的速度和加速度，从而可以预测物体的轨迹。
2. 经济学：导数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在微观经济学中，导数可以用来描述供求关系、生产函数和成本函数。
在宏观经济学中，导数可以用来描述经济增长率、通货膨胀率和失业率等关键绩效指标。
3. 工程学：导数在工程学中的应用也非常广泛。
例如，在电力工程中，导数可以用来描述电流的变化率和电压的变化率，从而可以预测电路的性能。
在机械工程中，导数可以用来描述速度和加速度等关键参数，从而可以预测机械元件的性能。
4. 生物学：导数在生物学中的应用也很重要。
例如，在生物医学中，导数可以用来描述药物的代谢率和药物的效果，从而可以设计更有效的药物。
在生态学中，导数可以用来描述物种群的增长率和灭绝率，从而可以预测生态系统的稳定性和可持续性。
5. 计算机科学：导数在计算机科学中的应用也非常广泛。
例如，在计算机图形学中，导数可以用来定义曲线和曲面，从而可以绘制出复杂的图形。
在人工智能中，导数可以用来设计更高效的算法，例如反向传播算法用于神经网络的训练。
总之，导数在实际生活中有多种应用，涵盖了许多不同的领域，包括物理学、经济学、工程学、生物学和计算机科学。
了解导数的应用有助于我们更好地理解和应用微积分的原理。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
高考数学 第三章 导数及其应用 专题11 导数与定积分考场高招大全
专题11 导数与定积分考点22 导数的几何意义考场高招1 导数的几何意义应用规律1.解读高招2.典例指引1(1)(2017河南百校联盟质检)设曲线f(x)=e x sin x在(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行,则m= .(2)若点P是函数y=e x-e-x-3x图象上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是.【答案】(1)-1(2)3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-.∴y'|x=0=a-1=2,得a=3.2.(2016课标Ⅱ,理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .ln 2【答案】 1-3.(2017广西河池二模)已知曲线f(x)=a cos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b 的值为.【答案】 1【解析】∵两曲线的交点为(0,m), ∴m=a cos 0,m=02+b×0+1.∴m=1,a=1.∵曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线, ∴f'(0)=g'(0).∴-sin 0=2×0+b.∴b=0,∴a+b=1.考场高招2 求曲线y=f(x)的切线方程看清“在”与“过”1.解读高招y-y1=f'(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程2.典例指引2(1)(2017山西临汾五校三联)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x ln(-x)+x+2,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为()A.y=2x+3B.y=2x-3C.y=-2x+3D.y=-2x-3(2)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2的图象的切线,则切线方程为.【答案】 (1)B(2)y=0或9x+4y=03.亲临考场1.(2016课标Ⅲ,理15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】当x>0时,-x<0, 则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1.2.(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【答案】 (-ln 2,2)【解析】设点P的坐标是(x0,),则由题意知,y'=-=-2,得x0=-ln2,又=e ln2=2,故点P的坐标是(-ln2,2).3.(2017北京,理19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.考点23 定积分的计算与应用考场高招3 求定积分的常用方法1.解读高招2.典例指引3(1)(2017中原名校三评)已知函数f(x)=f(x)d x= .(2)sin2d x= .(3)定积分(|x|-1)d x= .(4)计算:(x3cos x)d x= .【答案】(1)6+(2)(3)-1(4)03.亲临考场1.(2014陕西,理3)定积分(2x+e x)d x的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1【答案】C【解析】因为(x2+e x)'=2x+e x,所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e.2. (2015湖南,理11)(x-1)d x= .【答案】0【解析】(x-1)d x==0.3.(2017湖北荆州模拟)计算:d x= .【答案】【解析】因为F'(x)= '=2x-,所以d x=F(3)-F(1)=9+-1-1=.考场高招4 利用定积分求平面图形面积的步骤1.解读高招2.典例指引4求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积.3.亲临考场1.(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为. 【答案】故所求面积S=(x-x2)d x=.2.(2017河北唐山模拟)曲线y=x3与y=所围成的封闭图形的面积为.【答案】5 12【解析】由题意,知所围成的封闭图形的面积为-x3)d x=.。
第三章 导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)
＝
2 3 1 x ＋ x249 3 2 2
2 3 2 3 1 2 1 1 2 ＝ ×9 － ×4 ＋ ×9 － ×4 ＝45 . 3 2 3 2 2 2 6 1＋cosx (4) cos dx＝ dx 2 2
π 0
2x
π 0
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1
2
8 1 1 1 21 ＝ － － ＋ ＝ . 3 3 3×8 3 8
(3)
9 4
1 x(1＋ x)dx＝ (x ＋x)dx 2
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积 式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
(1)定积分bf(x)dx是一个常数． a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用 中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
1，xi]上任取一点ζi(i＝1,2，…，n)，作和
式
n f(ζi)Δx，记λ为每个小区间Δxi＝xi＋1－xi i＝ 1
(i＝0,1,2，…，n－1)中的长度最大者，当λ 趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0.
当λ→0时，此和式如果无限接近某个常数，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx. 即 f(x)dx＝ lim f (ξi)Δxi，这里a与b分别叫做积 λ→0
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之 1 与曲线以及x轴所围成的面积为 .则 12 (1)切点A的坐标为________． (2)过切点A的切线方程为________．
函数的导数与积分掌握函数的导数与积分的计算方法
函数的导数与积分掌握函数的导数与积分的计算方法函数的导数与积分：掌握函数的导数与积分的计算方法函数的导数与积分是微积分学中的重要概念和计算基础。
导数表示函数在某一点处的变化率，而积分则表示函数在某一区间内的累积量。
掌握函数的导数与积分的计算方法，对于解决实际问题、深入理解函数的性质和推导其他数学理论都具有重要意义。
本文将介绍函数的导数与积分的计算方法及其应用。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的工具，常用于求取函数的最大值与最小值、判定函数的增减性和拐点等问题。
函数 f(x) 的导数用 f'(x) 或dy/dx 表示，在数学符号上表示为：f'(x) = dy/dx = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx其中，lim 表示极限运算，Δx 表示 x 的微小变化量。
函数 f(x) 的导数 f'(x) 表示函数 f(x) 在任意一点 x 处的斜率或变化率。
导数的计算方法主要包括以下几种：1. 函数常用导数公式- 常数函数的导数为零：(c)' = 0- 幂函数的导数为幂减一乘以原函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)- 指数函数的导数为指数乘以常数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数的导数为导数的倒数：(logₐx)' = 1 / (x * ln(a))- 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) =sec^2(x) 等等2. 函数求导法则- 基本运算法则：导数的线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等导数的线性性：对于函数u(x) 和v(x)，以及常数k，有以下性质： (ku(x))' = ku'(x)(u(x) ± v(x))' = u'(x) ± v'(x)乘积法则：对于函数 u(x) 和 v(x)，有以下性质：(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)商法则：对于函数 u(x) 和 v(x) （v(x) ≠ 0），有以下性质：(u(x) / v(x))' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2复合函数法则：对于函数 u(x) 和 v(x)，有以下性质：(u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x)3. 链式法则链式法则适用于复合函数求导的情况，即某一函数包含了另一函数作为内部函数。
高考数学 导数(含定积分)运算及其应用专题课件 北师大版
m 2 t m 2 0 对 任 意 t [ 1,1]恒 成 立
2
x1
x2
a , 从而
x 1 x 2 2
x1 x 2
a 2 8 3.
要 使 不 等 式 m 2 tm 1 x1 x 2 对 任 意
a A 及 t [ 1,1]恒 成 立 , 当 且 仅 当 m 2
都有
lnx<
x-1 x
.
同理可证
ax
<
x-a f(x)-f(a)
.
∴
ax
<
x-a f(x)-f(a)
<
x+a 2
.
h
41
导数的应用举例
已知函数
f(x)=(
x m
-1)2+(
n x
-1)2
的定义域为
[m,
n),
且 1≤m<n
≤2. (1)讨论 f(x) 的单调性; (2)证明: 对任意 x1, x2[m, n), 不等 式|f(x1)-f(x2)|≤4 2 -5 恒成立.
f(x)min＝f(t)＝tln t．所以f(x)min＝
.
h
38
(2)2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋ .
设h(x)＝2ln x＋x＋ (x>0)，则h′(x)＝
.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.
n m
,
h(u)=u4-4u2+4u-1.
∵1≤m<n≤2,
∴1<
n m
导数、定积分及其应用
高二专题复习（导数）导数的概念、导数的几何意义及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的重点；利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。
（1）导数的概念：（2）导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数等于曲线在该点00(,())x f x 处的切线的 。
（3）基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（4）函数单调性与导数：在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内 ．（5）求函数()y f x =单调区间的步骤：利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.（6）求函数极值的步骤:（7）函数的最大值与最小值：（8）导数的综合应用题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
题型二：利用导数研究不等式恒成立。
1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、已知函数c ax x f +=2)(，且2)1(='f ，则a 的值为（ ）A. 1B.2C.1-D. 03、曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A. 6π B. 4π C.3π D.43π4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为 ( )A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --=5、函数x x y +=3的递增区间是（ ）A.），（∞+0B. ）（1,∞-C. ）（+∞∞-,D.）（∞+16、0)(0='x f 是可导函数()y f x =在点0x x =处有极值的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7、函数331x x y -+=的极大值，极小值分别是 （ ）A. 极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-2，极大值2D. 极小值-1，极大值38、函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）A.2B.3C.4D.59、32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.2-B.0C.2D.110、已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_____________11、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A ．1B ．12 C ．12- D ．1-12、已知曲线a x x f -=22)(在点P 处的切线为0158=--y x ,则=a ( )A ．7B ．12C ．12- D ．1-13、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．19B ．29 C ．13 D ．2314、点P 是曲线2x y -=上任意一点，则点P 到直线2+=x y 的最小距离( )A ．1B ．827 C ．825 D ．315、函数x x y ln =在区间 ( )(A))1,0(e 上单调递减(B)),1(+∞e上单调递 (C)),0(+∞上单调递减 (D)),0(+∞上单调递增 16、已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是（ ）A ．3B ．54C ．57D ．5917、 设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如右图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能为()18、设)(x f y '=是函数()y f x =的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是( )(A) (B) (C) (D)19、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内极值点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2eB. eC.ln 22 D. ln 2 21、曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为（ ）A.13+=x yB.12+=x yC.13-=x yD.12-=x y22、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞ x y O 1 2 x y y x y xyx O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 223、若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则=a ( ) A.2 B.3 C.4 D.524、（2011年大纲全国卷）曲线12+=-x e y 在点)2,0(处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形的面积为（ ）A 、31B 、21C 、32 D 、1 25、（2014年理科）设曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则=a （ ）A. 0B. 1C. 2D. 326、（2014年文科）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（ ）（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞27、（2013年文科）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =28、（2015年理科）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x > 0时，()()0xf x f x '-<，则使得函数()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞29、（2015年文科）已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a = __________.30、（2015年I 卷）已知函数1)(3++=x ax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线过点)7,2(，则.__________=a31、设R m ∈，若函数)(2R x m e y x ∈+=有大于0的极值点，则m 的取值范围________.32、（2015高考天津）已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．33、（2015高考陕西）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.。
导数的概念及运算、定积分 倒数及其应用 教学PPT课件
(2)函数 y＝(x－1)3 的导数为 y′＝3(x－1)2， 设过原点的切线的切点坐标为(x0，(x0－1)3)， 则切线的斜率为 k＝y′|x＝x0＝3(x0－1)2， ∵切线过原点(0,0)， ∴k＝3(x0－1)2＝x0－x0－130－0， 解得 x0＝1 或 x0＝－12， 则切点坐标为(1,0)或－12，－287， 对应的斜率 k＝0 或 k＝247，
谨记结论·谨防易错 (1)f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导 数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是 周期函数． (3)f1x′＝－f[′fxx]2. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切只有一个公共点．
(3)y′＝coesx
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2 ＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin 4x，
∴y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x
＝－12sin 4x－2xcos 4x.
[一“点”就过] 1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导的几种方法
命题点二 导数的几何意义及应用(多角探明) [逐点例析]
题点(一) 求切线方程 [例 1] (1)(2020·全国卷Ⅰ)曲线 y＝ln x＋x＋1 的一条切线的斜率为 2，则
该切线的方程为________． (2)过原点与曲线 y＝(x－1)3 相切的切线方程为________．
[解析] (1)设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)． 由题意得 y′＝1x＋1，则该切线的斜率为x10＋1＝2， 解得 x0＝1，所以切点坐标为(1,2)， 所以该切线的方程为 y－2＝2(x－1)，即 2x－y＝0.
导数及其应用定积分的概念
xx年xx月xx日
目录
• 导数及其性质 • 导数在函数中的应用 • 定积分的概念与性质 • 定积分的应用
01
导数及其性质
导数的定义
函数在某一点的导数
函数可以得到一个与原函数不同的新函数，即导函数。
导数的几何意义
定积分的运算性质
加法性质
对于可积函数f(x)和g(x)，有∫(从a到b)(f(x)+g(x))dx=∫( 从a到b)f(x)dx+∫(从a到b)g(x)dx。
乘法性质
对于可积函数f(x)和g(x)，有∫(从a到 b)(f(x)*g(x))dx=g(b)*∫(从a到b)f(x)dx+f(b)*∫(从a到 b)g(x)dx。
凹函数定义
若对于任意x1和x2属于区间[a,b]，都有(f[(x1+x2)/2]-f(x1)-f(x2))/2 < 0，则称 f(x)在区间[a,b]上凹。
03
定积分的概念与性质
定积分的定义
函数f(x)在区间[a,b]上可积
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任取分划T，使得 a=x0<x1<...<xn=b，记小区间[xi-1,xi]的长度为Δxi， 记所有小区间[xi-1,xi](i=1,2,...,n)的长度之和为Δx，即 Δx=∑Δxi，记f(ξi)为f(x)在区间[xi-1,xi]上的平均值，即 f(ξi)=f(x)在[xi-1,xi]上的平均值
定积分的性质
01
非负性
02
积分中值定理
对于可积函数f(x)，定积分f(x)dx≥0。
如果f(x)在区间[a,b]上可积，那么在 开区间(a,b)上至少存在一点ξ使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
高数中的导数概念及其应用领域
高数中的导数概念及其应用领域导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在高等数学中，导数具有广泛的应用领域，包括物理学、经济学、计算机科学等等。
本文将重点探讨导数的概念及其应用领域。
首先，我们来了解一下导数的定义。
在数学中，导数表示的是函数在某个特定点上的变化率。
假设$f(x)$是一个函数，如果存在极限$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$，那么这个极限值就被称为函数$f(x)$在点$x=x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$或$\frac{df}{dx}(x_0)$。
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
具体来说，当我们计算函数在某一点的导数时，我们得到的是这个点处图像切线的斜率。
这个斜率的正负表示了函数在该点上升或下降的趋势，斜率的大小表示了函数的变化速度。
导数的概念在物理学中有着非常广泛的应用。
例如，在物理学中，速度是对位移的导数，加速度是对速度的导数。
通过求取导数，我们可以计算出物体在某一时刻的速度和加速度，从而研究物体的运动规律。
经济学中也广泛使用导数来分析经济现象。
例如，边际成本、边际收益等概念都是由导数引出的。
经济学家通过求取导数，可以得到这些边际量的具体数值，并据此来做出决策和预测。
在计算机科学领域，导数在图像处理、机器学习和优化等方面都有广泛应用。
在图像处理中，导数用于边缘检测和图像增强等任务中。
在机器学习中，导数常被用于优化算法的求解过程中，帮助寻找函数的极值点。
此外，导数在神经网络的反向传播算法中也起着重要的作用。
除了物理学、经济学和计算机科学等应用领域外，导数还在工程、生物学和医学等领域有重要应用。
在工程学中，导数常被用于分析电路中的电流和电压关系，以及信号处理和控制系统等方面；在生物学和医学中，导数被用来研究细胞生长过程、药物浓度的变化等。
总结起来，导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
全导数定理及其在微积分中的应用
全导数定理及其在微积分中的应用在微积分中，全导数定理（Total Derivative Theorem）是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们对复杂的函数进行求导，而不需要进行繁复的运算。
本文将介绍全导数定理的概念、原理及其在微积分中的应用。
一、全导数定理的概念全导数定理是指，在多元函数中，每个自变量的变化都对函数值产生影响，因此函数值的变化可以用它每个自变量的偏导数来描述。
换句话说，全导数是针对多元函数的导数而言的。
具体来说，设函数 $f(x_1,\dots,x_n)$ 是 $n$ 个自变量的函数，其中 $x_i$ 表示第 $i$ 个自变量。
则该函数在点$(a_1,\dots,a_n)$ 是可微的，当且仅当存在常数 $b_1,\dots,b_n$ 使得下式成立：$$\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i + R$$其中，$\Delta f$ 是函数 $f$ 在 $(a_1,\dots,a_n)$ 处的增量，$\Delta x_i$ 是第 $i$ 个自变量的增量，$R$ 是 $n$ 个自变量增量的高阶无穷小。
二、全导数定理的原理全导数定理的概念看起来比较抽象，但如果我们使用微分符号来表示，就会变得更加直观。
设函数 $f(x_1,\dots,x_n)$ 在点 $(a_1,\dots,a_n)$ 可微，则其微分形式为：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n$$其中，$dx_i$ 表示第 $i$ 个自变量的微小增量。
我们可以将其写成矩阵形式：$$df = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx_1 \\ \vdots \\ dx_n \end{pmatrix}$$注意到，矩阵 $\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} &\dots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}$ 就是函数 $f$ 在$(a_1,\dots,a_n)$ 处的梯度向量。
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高考数学 导数及其应用、积分及其应用第一部分 知识点及公式1.导数的几何意义：___________________________________________________ 2导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =，即'0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆3切线：0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4 常见函数的导数公式：1.'0C =；2.1)'(-=n n nx x ；3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=；4.x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =； 5.x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 5和差的导数：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 6积的导数：[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=7商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ 8、定积分概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰b adx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
9、定积分的性质①⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±b ab abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=b ac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
10、定积分求曲边梯形面积由三条直线,,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线(),()0y f x f x =≥)围成的曲边梯形的面积⎰=ba dx x f S )(。
如果图形由曲线1122(),()y f x y f x ==（不妨设12()()f x f x ≥，及直线,()x a x b a b ==<围成，那么所求图形的面积⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
1.若0()2f x '=,求0lim →k k2002.下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+- ②2(32)y sin x =+第二部分 典型例题1. 求曲线的切线 例1：求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线，则切点坐标为________2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2. 利用导数研究函数的单调性 1．利用导数求函数的单调区间（1）求()f x '；（2）确定()f x '在(,)a b 内符号；（3）若()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是增函数；若()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a ≥(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈．①讨论函数()f x 的单调区间； ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性.2．已知函数的单调性，利用导数求参量例 若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是CA. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗1、已知0a >,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数，则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．3.利用导数研究函数的极值1极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()()f x f x =极大值， 0x 是极大值点2极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()()f x f x =极小值，0x 是极小值点3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5 求函数()f x 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数(f x '求方程()0f x '=(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3： 函数的极值与最值例6：设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小4:求参变量的范围例7.（08-安徽）设函数1()(0ln f x x x x=>且1)x ≠（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知12a xx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；.（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.5:图象的交点形如函数)()()(x g x f x h -=图像与x 轴交点个数问题，应先求出)('x h ，再求出极值并画出函数的图像，从而根据极值的符号判断交点的个数例9.（08-四川卷22）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. ①求a ； ②求函数()f x 的单调区间；③若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。
6：切线综合例10.（07-全国Ⅱ-22）已知函数3()f x x x =-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点M (,())t f t 处的切线方程；（Ⅱ）设0a >,如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<.1、定积分的计算1、⎰+5321dx xx =_____________________； 2、已知()f x 为偶函数且⎰6)(dx x f =8则⎰-66)(dx x f =________________； 3、⎰--1121dx x =______________.；4、若⎰=+12)2(dx k x ，则k =_________________；2、定积分求面积例1 （1）求由曲线sin y x =与x x 轴在区间[0,2]π上围成的图形的面积S ；（2） 计算曲线223y x x =-+ 与 直线 3y x =+所围成图形的面积S8、利用导数证明不等式利用导数证明函数不等式，形如证明)()(x g x f <（或)(x f 的图像恒在)(x g 的图像的下方），应构造函数)()()(x g x f x h -=，再证明0)(<最大值x h 成立. 1、利用函数的单调性，证明下列不等式 （1）sin x x < （2）1,0x e x x >+≠。