江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学中考数学第15讲概率初步复习讲义苏科版

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中考数学概率复习教案苏科版

（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？
其中能使甲乘坐上等车的所有情形是ABC、ACB；
因为6种情形出现的可能性相等，所以甲坐上等车的概率是26=13，
能使乙乘坐上等车的所有情形是BAC、BCA、CAB．
乙坐上等车的概率是36=12．
例6.（2006·陕西）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：
3.模拟试验
（1）替代物（如球、卡片等）模拟试验
（2）计算器模拟试验
二、互动探究转化建模
例1.如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就
可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格；
转动转盘的次数n
教学重点
运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
教学难点
运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
教学方法
合作讨论法、自主练习法
教具
多媒体
教学内容及教学过程
一、回顾思考
2.概率事件发生的可能性,也称为事件发生的概率.
某事件的概率：
P（不确定事件）＝该事件发生的可能数总可能数；
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有几种不同的可能？
用A、B、C分别表示三辆车的舒适程度上、中、下三等，接着用树状图得到车辆出现的先后顺序的所有情况,于是原题中所有可能的情形即能被符号化为：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共计6种可能.

中考数学第15讲概率初步复习讲义苏科版

第15讲概率初步【考点链接】1．__________________叫确定事件，________________叫不确定事件（或随机事件），__________________叫做必然事件，概率为_______，____________叫做不可能事件.概率为。

2． ___________ ___________叫概率.概率计算公式为3．求概率的方法：（1）利用概率的定义直接求概率；（2）用树形图和________________求概率；（3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率．4．判断某个游戏是否公平，评判的根据是概率的大小，解答这类问题，实质是预测参与游戏各方赢得概率的大小。

【典型例题】1. 在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是．2．在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则．3．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放动画片B．2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军C．某彩票中奖率是1％，买100张一定会中奖D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球4．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A． B． C． D．5．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）A．12 B．9 C．4 D．3 6．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（）A． B．C．D．7．某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是（）A． B. C. D．8．在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖,参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A． B． C． D．例1 小明、小华用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，•梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，•抽出的牌不放回．（1）若小明恰好抽到了黑桃4．①请在下边框中绘制这种情况的树状图；②求小华抽出的牌面数字比4大的概率．（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，•则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由．例2张红和王伟为了争取到一张观看奥运知识竞赛的入场券，他们各自设计了一个方案：张红的方案是：转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，则张红得到入场券；如果指针停在白色区域，则王伟得到入场券（转盘被等分成6个扇形．若指针停在边界处，则重新转动转盘）.王伟的方案是：从一副扑克牌中取出方块1、2、3，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出一张，记录下牌面数字后放回，洗匀后再摸出一张．若摸出两张牌面数字之和为奇数，则张红得到入场劵；若摸出两张牌面数字之和为偶数，则王伟得到入场券．（1）计算张红获得入场券的概率，并说明张红的方案是否公平？（2）用树状图（或列表法）列举王伟设计方案的所有情况，计算王伟获得入场券的概率，并说明王伟的方案是否公平？例3 一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：（1）请将数据表补充完整；（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；（3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【巩固练习】1．在中考体育达标跳绳项目测试中，1min跳160次为达标，•小敏记录了他预测时，1min跳的次数分别为145，155，140，162，164，•则他在该次预测中达标的概率是_________．2．在一所4000人的学校随机调查了100人，其中有76人上学之前吃早饭，•在这所学校里随便问一个人，上学之前吃过早餐的概率是________．3. 书架上有数学书3本，英语书2本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是（） A． B． C． D．4．下列事件你认为是必然事件的是（）A．中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮; B．明天是晴天C．打开电视机，正在播广告; D．太阳总是从东方升起5．下列说法正确的是（）A．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是B．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖6．在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是．7. 小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是．8．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是．9.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A. 从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率B. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C. 抛一枚硬币，出现正面的概率D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率11．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（）A． B． C． D．12下列说法正确的是（）．A．买一张福利彩票一定中奖，是必然事件． B．买一张福利彩票一定中奖，是不可能事件．C．抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是．D．一组数据：1，7，3，5，3的众数是3．13．小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同，正面分别写有1，2，3，4的四张卡片混合后，小伟从中随机抽取一张。

九年级数学概率初步复习

头看信号灯时，是黄灯亮的概率是
.
4、某电视台体育直播节目从接到的5000条短
信中，抽取10名“幸运观众”.小明给此直播
节目发了一条短信，他成为“幸运观众”的概
率是
.
5、一个袋中装有6个红球、4个黑球、2个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出球的可能性最大．
6、有四张不透明的卡片,正面分别写
25.3利用频率估计概率 1.设计模拟试验例.如图是一个黑白相间的双色转盘，你能估计转盘指针停在黑色上的机会吗？如果没有转盘，你有哪些方法可以用来模拟试验？尽可能说说你的办法？
2：利用频率值估计概率值
例.在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全
相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将
球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再
11．将分别标有数字1，2，2，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. (1) 任意抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是偶数的概率； (2) 任意抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，请你利用列举法求出组成的两位数中恰好是24的概率.
第二十五章概率初步复习
一.本章知识结构框图
本章的主要内容是随机事件的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树形图法），利用频率估计概率（试验概率）。
二、主要知识点
25.1概率 1.知道什么是随机事件、必然事件、不可能事件. 例.1、下列事件中，是必然事件的是（）
如果1口袋中装有四个红球，且摸出红球的概率
为，那么袋中共有个球.
3
9都、相在同一的个球不1透5个明，的从口中袋摸中出，红装球有的除概颜率色为1外其余，

新教材苏教版必修第二册第15章152随机事件的概率课件_3

(3)必然事件和不可能事件的概率把必然事件 Ω 和不可能事件∅当成随机事件的两种特殊情况来考虑，则 P(Ω)＝1，P(∅)＝0．所以对任何一个事件 A，都有_0_≤_P_(_A_)≤__1___．
频率与概率之间有什么关系？ [提示] (1)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小．比如全班同学都做了 10 次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的．
类型 3 样本点的计数问题【例 3】连续掷 3 枚硬币，观察落地后这 3 枚硬币出现正面还是反面． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点的总数； (3)“恰有 2 枚正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
[解] (1)这个试验样本空间 Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)， (正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
[解] 法一：(采用列举法) (1)分别记白球为 1，2，3 号，黑球为 4，5 号，记(1，2)表示摸到 1 号，2 号球．则 Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2， 5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)} ，共有 10 个样本点． (2)A＝{(1，2)，(1，3)，(2，3) }，包括 3 个样本点．
(3)在古典概型中，如果样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n
为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)发生的 1
概率都是_n__．如果事件 A 由其中 m 个等可能基本事件组合而成，即 m
A 中包含 m 个样本点，那么事件 A 发生的概率为 P(A)＝_n__．

九年级下册数学课件(苏科版)概率帮你做估计

在科学研究中，生物学家常常用上述方法估计某个种群的数量.例如，某地区的野鹿的只数，某山区某种鸟的数量，等等.
即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.
1.一只不透明的袋子中共装有360个红球、黄球和蓝球.小明每次从中任意摸出1个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球、黄球和蓝球的频率分别是 25%, 35%和40%，试估计这只袋子中3种颜色的球的数目.
次捕捞后都放回，稍后再次捕捞)，算得捕到白鱼的频率若为 1
24
并把它作为捕到白鱼的概率的估计值，
则由P(捕到白鱼)
60
1
N＋60 24
得N = 1 380.这样，我们可以估计该鱼塘内约有青鱼1 380条我们也可以先从鱼塘内捕捞一些青鱼(如60条)，并给每条青鱼做上记号(把这些青鱼看成“白鱼”)，用上面的方法同样可以估计出该鱼塘内青鱼的条数.
用样本数据特征估计总体的数据特征
圆周率兀是无理数，它的值为3. 141 592 653 589 793 238 462 643 383。。。，圆周率兀在数学和其他学科中有着重要作用，从古到今世界各国数学家都曾孜孜不倦地寻求过兀值的计算方法.下面我们通过试验，应用统计与概率知识来估计它的值.
某种绿豆在相同条件下的发芽试验结果如下:
把鱼塘内的青鱼看成“红球”.
往鱼塘内投放若干条白鱼，把白鱼看成“白球”.
对于这个问题，我们可以先往鱼塘内投放若干条白鱼，然后进行多次捕捞 (每次捕捞后都放回，稍后再次捕捞)，记录捕到的青鱼、白鱼的频数，计算捕到白鱼的频率并把它作为捕到白鱼的概率的估计值，就可以估算出鱼塘内青鱼的条数.例如:
设鱼塘内有青鱼N条，往鱼塘内投放自鱼60条，由多次捕捞、检验，结果如下:

初中数学概率初步知识点复习汇总

初中数学概率初步既然有初步二字，明显会有更深入的内容，而目前来说知识基础中的基础，生活中，概率应用也是很广，尤其是对某些事情的推断，对某些数据的统计，都需要用到，那么，你首先要学着去初步理解初中数学概率初步的思维方式，然后，来看中考复习要求。

1、理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件，什么是随机事件．2、在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，发展随机观念．·3、能够运用列举法(包括列表、画树形图)计算简单事件发生的概率．4、能够通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系，并能够自主设计满足条件的概率模型．5、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题．6、解进行模拟实验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟实验．7、体会随机观念和概率思想1．随机事件的定义．3·计算简单事件概率的方法，重点学习了两种随机事件概率的计算方法，第一种，只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种，通过列表法、列举法、树形图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如配紫色，对游戏是否公平的计算．4·利用频率估计概率，分为如下两种情况：第一种，利用实验的方法进行概率估算；第二种，利用模拟实验的方法进行概率估算．如利用计算器产生随机数来模拟实验的方法．5．体会大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系，通过设计简单的概率模型．重在对事件发生可能性的刻画，来帮助人们在不确定的情境中做出合理的决策，如通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型．1 / 1。

苏科版九年级数学例题精解：概率的计算

中考概率计算的常用方法广东林伟杰一、公式法如果一个试验有n 种等可能的结果，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为：P （A ）= m. 二、试验法即通过多次重复的试验，将随机事件的频率的稳定值作为随机事件发生的概率．例2一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（） A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．10个解析：由于100次试验摸到黑球的频率为0.2，我们据此估计这个事件发生的概率为0.2.所以球的总个数为2.03=15，白球的个数为15-3=12.故选C. 三、列表法当一次试验中设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，优先考虑列表法. 例3小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．(1)请用列表的方法求小敏去看比赛的概率； (2)哥哥设计的游戏规则公平吗? 请说明理由．解析：根据题意，可以列出下表：由上表可以看出，所有可能出现的结果共有16个,这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6个,所以小敏看比赛的概率P (和为偶数)=166=83．(2)不公平.理由如下：哥哥去看比赛的概率P (和为奇数)=1-83=85.因为83＜85，所以哥哥设计的游戏规则不公平．四、树状图法当一次试验中两次操作的结果不能重复，或一次试验要涉及三个或更多因素时，优先考虑树状图法.例4 在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其他都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树状图的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．解析：树状图如下图所示：.。

苏科版九下数学课件第8章认识概率复习

灵活运用
8.四张扑克牌的牌面分别是红桃2、红桃4、红桃5、梅花5,将扑克牌洗匀后,如图将其背面朝上放置在桌面上. 规定游戏规则如下:
若同时随机抽取两张扑克牌,抽到两张牌的牌面数字之和是偶数则胜;反之,则负.你认为这个游戏是否公平?如果公平,请说明理由;如果不公平,请修改.
注:保证游戏的公平的方法:使游戏双方获胜的概率相同.
2.小明玩转盘游戏，当他转动如图所示的转盘，停止时指针指向2的概率是__________.
22
1
3
2
1
12
灵活运用
3.盒子里装有大小形状相同的3个白球和2个红球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀后,再摸出第二个球，则取出的恰是两个红球的的概率是____．
4.如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是____.
初中数学课件
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知识梳理
枚举法
(1)结果只有有限个； (2)每个试验结果出现
的可能性相同.
特点
等
等可能条件古下典的概概型率（一）
计算公式
可
能
转化
性
等可能简条单件几下何的概型率（二）
特点
(1)结果有无数个； (2)每个试验结果出现的可能性相同.
复习巩固
1.中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下:1个帅、 5个兵,“士、象、马、车、炮”各2个,将所有棋子反面朝上放在棋盘中,任意一个不是兵和帅的概率是__________.
探索研究
12.如图，电路图中有４个开关ＡＢＣＤ和一个灯泡，闭合开关Ｄ或同时闭合开关ＡＢＣ，都可以使灯泡发光． (１)任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率是; (２)任意先后闭合其中的两个开关，请用树状图或列表的方法求出灯泡发光的概率．

江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学中考数学第10讲平面

第10讲平面直角坐标系与函数【基础知识】一、平面直角坐标系1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。

在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。

2、不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P （x, y ）在第一象限⇔x ＞0，y ＞0；点P （x, y ）在第二象限⇔x ＜0，y ＞0；点P （x, y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0；点P （x, y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0。

（2）坐标轴上的点有如下特征：点P （x, y ）在x 轴上⇔y 为0，x 为任意实数。

点P （x ，y ）在y 轴上⇔x 为0，y 为任意实数。

3．点P （x, y ）坐标的几何意义：（1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |；（2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |；（3）点P （x, y ）到原点的距离是22y x +4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：（1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -；（2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -；（3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --；二、函数的概念1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。

2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

（1）自变量取值范围的确是：①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。

②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。

③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。

注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。

新教材苏教版高中数学必修第二册第15章概率学案讲义(知识点考点汇总及配套习题)

第15章概率15.1随机事件和样本空间........................................................................................... - 1 - 15.2随机事件的概率................................................................................................... - 8 - 15.3互斥事件和独立事件......................................................................................... - 17 -第1课时互斥事件............................................................................................ - 17 - 第2课时独立事件............................................................................................ - 26 -15.1随机事件和样本空间学习任务核心素养1．结合具体实例，理解确定性现象和随机现象．2．结合一次试验，理解样本点、样本空间、随机事件和基本事件的概念．(重点) 3．初步学会用集合语言来刻画事件之间的关系．(重点、难点)1．通过对确定性现象和随机现象的研究，结合随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过写出试验的样本空间，立足集合观念研究随机事件之间的相互关系，培养数学建模素养．某种福利彩票的中奖率为20%，某人购买彩票100张，就一定有20张彩票中奖吗？带着这样的问题，我们共同学习第15章《概率》．概率论的主要任务是研究随机现象的统计规律，如何用数学语言来刻画随机事件？用怎样的数学模型来量化随机事件的发生的可能性？知识点1确定性现象、随机现象(1) 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．(2)在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．1．有下列现象：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面向上；②异性电荷互相吸引；③在标准大气压下，水在0 ℃结冰；④南通某天下雨．其中是随机现象的是()A．①③B．②③C．①④D．③④C[随机现象的典型特征是不能事先预料哪一种结果会出现，据此逐个分析，所以①④正确．]知识点2样本空间、随机事件等概念(1)试验对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验．(2)样本点、样本空间、随机事件、基本事件的概念把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示；所有样本点组成的集合称为样本空间，记为Ω；样本空间的子集称为随机事件，也简称事件．事件一般用A，B，C等大写英文字母表示．当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件．Ω(全集)是必然事件，∅(空集)是不可能事件．2．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件．给出下列事件：①3件都是红色；②3件都是白色；③至少有1件红色；④至少有1件白色．其中是必然事件的序号为________．③[因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件为红色的，故选③．]知识点3事件的构成、事件的并与交一个事件的完整表述分为两个部分，前一部分为试验的条件，后一部分为试验的结果．事件A、B的并(和)：对于事件A、B、C之间的关系为C＝A∪B，因此“事件A与B至少有一个发生即为事件C发生”．我们称C是A与B的并，也称C是A 与B的和，记作C＝A＋B．事件A、B的交(积)：对于事件A、B、C之间的关系为C＝A∩B，因此“事件A与B同时发生即为事件C发生”．我们称C是A与B的交，也称C是A与B 的积，记作C＝AB．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“出现的点数是1或2”，事件B＝“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为() A．A∪B B．A∩B C．A⊆B D．A＝BB[A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}，故选B．]重点题型类型1事件的有关概念【例1】判断下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)抛一石块，下落；(2)在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化；(3)某人射击一次，中靶；(4)如果a>b，那么a－b>0；(5)掷一枚硬币，出现正面；(6)导体通电后，发热；(7)从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；(8)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；(9)没有水分，种子能发芽；(10)在常温下，焊锡熔化．[解](1)是必然事件，该现象是大自然的客观规律所致．(2)是不可能事件，在标准大气压下，只有温度高于0 ℃时，冰才融化．(3)是随机事件，射击一次可能中靶，也可能不中靶．(4)是必然事件，由不等式性质可得．(5)是随机事件，因为将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面向上，也可能出现反面向上．(6)是必然事件，导体通电发热是物理现象．(7)是随机事件，从5张标签中任取一张，每张都有被取到的可能．(8)是随机事件，因为结果有不可预知性．(9)是不可能事件，因为种子只有在有水分的条件下，才能发芽．(10)是不可能事件，因为金属锡只有在高温下才能熔化．要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.[跟进训练]1．有下列事件：①足球运动员罚点球命中；②在自然数集合中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④已知A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则B⊆A；⑤光线在均匀介质中发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为奇数．上述事件中为随机事件的有________，为必然事件的有________，为不可能事件的有________．(填序号)①②③④⑤⑥[①足球运动员罚点球可能命中，也可能不命中；②在自然数集合中任取一个数可能为奇数，也可能为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时一定沸腾；④已知A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则B⊆A是不可能的；⑤光线在均匀介质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为偶数．] 2．分析下面给出的五个事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)某地2月3日下雪；(2)函数y＝a x(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数的绝对值不小于0；(4)在标准大气压下，水在1 ℃结冰；(5)a，b∈R，则ab＝ba．[解](1)随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．(2)随机事件，函数y＝a x(a>0且a≠1)，当a>1时在定义域上是增函数，当0<a<1时在定义域上是减函数．(3)必然事件，实数的绝对值非负．(4)不可能事件，在标准大气压下，水在0 ℃以下结冰．(5)必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立．类型2确定一次试验的样本空间、随机事件的样本点【例2】(1)指出下列试验的样本空间：①从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；②从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．(2) “抛掷一颗骰子，结果向上的点数为奇数”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数不小于3”记为事件B，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为奇数或不小于3”记为事件C，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为不小于3的奇数”记为事件D，写出事件A、B、C、D所包含的样本点，并用集合语言分析A、B、C、D之间的关系．[解](1)①样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．②由题意可知：1－3＝－2，3－1＝2，1－6＝－5，6－1＝5，1－10＝－9，10－1＝9，3－6＝－3，6－3＝3，3－10＝－7，10－3＝7，6－10＝－4，10－6＝4．即试验的样本空间Ω＝{－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4}．(2)记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为k”记为ωk(k＝1，2，3，4，5，6)，则Ω＝{ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}，A＝{ω1，ω3，ω5}，B＝{ω3，ω4，ω5，ω6}，C＝{ω1，ω3，ω4，ω5，ω6}，D＝{ω3，ω5}．不难发现C＝A∪B，D＝A∩B，所以事件C是A与B的并(和)，即C＝A＋B，事件D是A与B的交(积)，即D＝AB．1．求本例(1)②中试验的样本点的总数．[解]样本点的总数为12．2．在本例(1)②满足中“两个数的差大于0”的样本点有哪些？[解]满足“两个数的差大于0”的样本点有：2，5，9，3，7，4，共6个．3．在本例(1)①中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．[解]样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．4．在本例(1)②中，从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的纵横坐标，指出试验的样本空间．[解]由题意可知：样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．[跟进训练]3．从a，b，c，d中任取两个字母，写出该试验的样本空间及其包含的样本点数．[解]该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6．课堂练习1．下列事件不是随机事件的是()A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴B[B是必然事件，其余都是随机事件．]2．下列试验：①当x是实数时，x－|x|＝2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；④体育彩票某期的特等奖号码．其中的随机事件是()A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④C[由随机事件的定义知②③④是随机事件．]3．试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为()A．{10，11，...，99} B．{1，2， (18)C．{0，1，...，18} D．{1，2， (10)B[由题意可知，试验考察的是个位数字与十位数字的和的情况，因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9，所以该试验的样本空间为{1，2，…，18}．]4．某电路如图所示．用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________．(用B，C，D间的运算关系式表示)(BC)∪(BD)(或B∩(C∪D))[根据电路图，要想使电灯变亮，开关Ⅰ一定闭合，同时开关Ⅱ或开关Ⅲ闭合，故A＝B∩(C∪D)＝(BC)∪(BD)．]5．从2，3，8，12中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“ab为有理数”可表示为________．{(2，8)，(3，12)，(8，2)，(12，3)}[由题意，样本空间为{(2，3)，(2，8)，(2，12)，(3，8)，(3，12)，(8，12)，(3，2)，(8，2)，(12，2)，(8，3)，(12，3)，(12，8)}．根据有理数的定义，ab的算术平方根为整数，所以事件“ab为有理数”可表示为{(2，8)，(3，12)，(8，2)，(12，3)}．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．如何确定试验的样本空间？[提示]确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．2．写试验的样本空间要注意些什么？[提示]要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果．3．事件“A＋B”、事件“AB”的含义分别是什么？[提示]事件A＋B表示事件A或事件B至少有一个发生；事件AB表示事件A和事件B同时发生．15.2 随机事件的概率学习任务核心素养1．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别．(难点)2．理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法．(重点)3．理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件．(难点)4．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．(重点)1．通过频率估计概率，培养数据分析、数学运算核心素养． 2．利用古典概型的知识来解决实际问题，培养数学建模核心素养．科学家的科学研究离不开具体大量的试验，奥地利遗传学家孟德尔通过大量的豌豆杂交试验，终于发现了生物遗传学规律：分离定律和自由组合定律．统计学中可以用样本估计总体的分布和特征数，大量的同一条件下的试验可以发现，某些随机事件发生的频率总在某个常数附近摆动，能否以随机事件的频率去估计随机事件的概率？盒子中有四张彩票，只有一张能中奖，甲从中摸出一张，中奖的可能性为14，你能给出合理的解释吗？(1)频数与频率在一定条件下，重复进行了n 次试验，如果某一随机事件A 出现了m 次，则事件A 出现的频数是 m ，称事件A 出现的次数与试验总次数的比m n 为随机事件A出现的频率．(2)概率的统计定义一般地，对于给定的随机事件A ，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数作为随机事件A 发生的概率，记作P (A )．(3)必然事件和不可能事件的概率把必然事件Ω和不可能事件∅当成随机事件的两种特殊情况来考虑，则P(Ω)＝1，P(∅)＝0．所以对任何一个事件A，都有0≤P(A)≤1．频率与概率之间有什么关系？[提示](1)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小．比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的．(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随机事件发生的可能性大小．例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该枚硬币出现正面向上的概率是0.5，与做多少次试验无关．(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率．在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值．1．下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②百分率是频率，不是概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是________．①③④[由频率与概率的定义及两者之间的关系知①③④正确，②不正确．]知识点2古典概型(1)在样本空间为Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}的一次试验中，每个基本事件{ωk}(k ＝1，2，3，…，n)发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．(2)具有以下两个特点：①样本空间Ω只含有有限个样本点；②每个基本事件的发生都是等可能的．将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)发生的概率都是1n．如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)＝m n．(4)一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定．我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率mn来估计事件A的概率，即P(A)≈mn．2．(多选题)下列对古典概型的说法正确的是()A．试验中所有可能出现的基本事件含有有限个B．每个事件出现的可能性相等C．每个基本事件出现的可能性相等D．基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝k nACD[正确理解古典概型的特点，即基本事件的有限性与等可能性．]重点题型类型1对概率意义的理解【例1】(对接教材P268练习T3)某种病的治愈概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?[解]如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈的概率是0.3，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，而对后3个病人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没治愈．治愈的概率是0.3，是指如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了大量重复试验条件下，随机试验A发生的频率的稳定性．随机事件的发生具有随机性，概率值仅说明事件发生的可能性的大小，因此，在解释随机事件的概率时，凡是出现“必定”“肯定”之类的确定性字眼，一般都是错误的．[跟进训练]1．试解释下列情况中概率的意义．(1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；(2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98．[解](1)指购买其商品的顾客中奖的可能性为20%．(2)指其厂生产的产品合格的可能性是98%．类型2频率与概率的关系及求法【例2】某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．[解](1)频率依次是：0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042．(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6，所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6．1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．[跟进训练]2．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：菜籽粒数251070130310700 1 500 2 000 3 000发芽粒数24960116282639 1 339 1 806 2 715 发芽频率(1)填写表中的菜籽发芽的频率；(2)求该种菜籽发芽的概率．[解](1)根据表格计算不同情况下种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905．(2)随着菜籽粒数的增加，菜籽发芽的频率越来越接近于0.9，且在它的附近摆动．故该种菜籽发芽的概率约为0.9．类型3样本点的计数问题【例3】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“恰有2枚正面朝上”这一事件包含哪些样本点？[解](1)这个试验样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．(2)这个试验的样本点的总数是8．(3)“恰有2枚正面朝上”包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．求基本事件的个数常用列举法、列表法、画树形图法，解题时要注意以下几个方面：(1)列举法适用于基本事件个数不多的概率问题，用列举法时要注意不重不漏；(2)列表法适用于基本事件个数不是太多的情况，通常把问题归结为“有序实数对”，用列表法时要注意顺序问题；(3)画树形图法适合基本事件个数较多的情况，若是有顺序的问题，可以只画一个树形图，然后乘元素的个数即可．[跟进训练]3．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．(1)共有多少个样本点？(2)“两个都是白球”记为事件A，则A包含几个样本点？[解]法一：(采用列举法)(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，记(1，2)表示摸到1号，2号球．则Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)} ，共有10个样本点．(2)A＝{(1，2)，(1，3)，(2，3) }，包括3个样本点．法二：(采用列表法)(1)设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：a b c d ea (a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b (b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c (c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d (d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e (e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本等可能事件．即样本点的个数为10．(2)A＝{ (a，b)，(b，c)，(c，a)}，包括3个样本点．类型4利用古典概型公式求解概率【例4】先后掷两枚质地均匀的骰子．(1)一共有多少种不同的结果？(2)向上的点数之和是5的结果有多少种？(3)出现两个4点的概率是多少？该试验是否具备古典概型的条件，如何借助概率公式求解？[解](1)用一个“有序实数对”表示先后掷两枚骰子得到的结果，如用(1，3)表示掷第一枚骰子得到的点数是1，掷第二枚骰子得到的点数是3，则下表列出了所有可能的结果．掷第二枚得到的点数掷第一枚得到的点数1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)从表中可以看出，先后掷两枚骰子的所有可能结果共有36种．即样本空间有36个样本点，即36种结果的出现是等可能的，该试验的概率模型为古典概型．(2)在所有的结果中，向上的点数之和为5的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种．(3)记“出现两个4点”为事件B．因为事件B出现的可能结果只有1种，所以事件B发生的概率P(B)＝1 36．古典概型的解题步骤(1)阅读题目，搜集信息；(2)判断是否是古典概型；(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；(4)用公式P(A)＝mn求出概率并下结论．[跟进训练]4．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？[解]甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90(种)，即基本事件总数是90．记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24．P(A)＝2490＝415．课堂练习1．下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在区间(0，1)内B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定C[不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；频率与试验次数有关，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确；概率是客观存在的，与试验次数无关，故D错．故选C．]2．已知某彩票中奖的概率为11 000，则下列关于彩票中奖的说法正确的是()A．买1张彩票一定不会中奖B．买1 000张彩票肯定有1张中奖C．买2 000张彩票肯定能中奖D．买10 000张彩票不一定会中奖D[对随机事件发生可能性大小的度量为事件的概率，所以彩票中奖概率表示买彩票中奖这一随机事件发生的可能性为11 000，所以对于每一张彩票，它中奖的概率均是11 000，与买的张数无关，故D正确．]3．下列试验中，是古典概型的是()A．种下一粒种子观察它是否发芽B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测得直径C．抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶C[A中，一粒种子发芽和不发芽的可能性不相等，所以A不是；B中，每一件的直径不相同，即可能性不相等，所以B不是；D中，中靶和不中靶的可能性不相等，所以D不是；C中，出现正面和反面的可能性相等，且结果仅有两个，故选C．]4．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为________．310[利用列举法求出基本事件总数为10个．求出取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数3个，故所求概率P＝3 10．]5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．56[分别以1，2，3，4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个基本事件，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求的概率P＝5 6．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．频率与概率的区别与联系有哪些？[提示]频率与概率的区别与联系如下表所示：[提示](1)样本点具有有限性；(2)每个基本事件的发生具有等可能性．15.3互斥事件和独立事件第1课时互斥事件甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3．问题：甲获胜的概率是多少？知识点1互斥事件与对立事件的定义(1)一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}，随机事件A，B⊆Ω，满足AB＝∅，即事件A与B不可能同时发生，称A，B为互斥事件，如果事件A 和事件B互斥，是指事件A和事件B在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A和事件B同时发生的交(和)概率为0，即P(AB)＝0．(2) 一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}，随机事件A，C⊆Ω，满足AC＝∅且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，称A，C为对立事件，记作C＝A或A＝C．互斥事件与对立事件有什么区别和联系？[提示]对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．1．抽查10件产品，设A＝{至少有两件次品}，则A为________．至多有一件次品[“至少有两件次品”的对立事件是“至多有一件次品”．]知识点2概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式)．(2)一般地，如果事件A1，A2，…，A n中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，A n两两互斥．那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和．2．若事件A，B互斥，且有P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，那么P(A＋B)＝() A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.03。

江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学中考数学第8讲一元二次方程复习讲义苏科版

第8讲一元二次方程【基础知识】1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 4. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.5．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .以1x ，2x 为根的一元二次方程是6．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）凡应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典例精析】1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 . 2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n xn x n +++-+=中，则一次项系数是 .3．一元二次方程2230x x --=的根是 .4．某地年外贸收入为2.5亿元，年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 . 5．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根 6. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .7．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ .例1 当k为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2下列命题：① 若0a b c ++=，则240b ac -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④ 若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．例3菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .例4 选用合适的方法解下列方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ；（2）x x 4)1(2=+；（3）22)21()3(x x -=+；（4）31022=-x x .例5 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.例6.用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？各地中考数学试题汇编——一元二次方程 1．下列四个说法中，正确的是（） A ．一元二次方程22452x x ++=有实数根； B ．一元二次方程23452x x ++=有实数根； C ．一元二次方程25453x x ++=有实数根； D ．一元二次方程x 2+4x+5=a(a≥1)有实数根．2．关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）A ．a ≥1 B．a ＞1且a ≠5 C．a ≥1且a ≠5 D．a ≠53．已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（）A ．7-B ．3-C ．7D ．35．若a 为方程式(x -17)2=100的一根，b 为方程式(y -4)2=17的一根，且a 、b 都是正数，则a -b 之值为（）(A) 5 (B) 6 (C) 83 (D) 10-176.已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（）A ．－5 B.5 C.-9 D.97.已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（）A ．abB ．abC ．a b +D ．a b -8. 一元二次方程x 2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是()A.3 B.-1 C.-3 D.-29.关于x 的一元二次方程x2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）．A ．k ≤92B ．k ＜92 C ．k ≥92 D ．k ＞92 10.一元二次方程220x x +-=的两根之积是（） A ．-1 B ．-2 C ．1D ．211.方程112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是（） A ．121-<<-x B ．011<<-x C ．101<<x D ．211<<x二、填空题1．已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是． 2．若一元二次方程x 2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ． 3．设x 1、x 2 是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2，则a = ． 4．已知关于x 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：．5．方程 x + 6 = x 的根是_________.方程x 2+1＝2的解是．21104x -=的解是 .6．已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则222n mn m ++的值为．7．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为_．8．已知α、β是一元二次方程x 2-4x -3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ． 9．若实数m 满足m 2－10m + 1 = 0，则 m 4+ m－4= ．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 11．方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是．三、解答题 1．解方程：（1）()221120x x x x----= （2）x 2－2x －1＝0 （3）2x 2-7x+6=0（4）2660x x --=4．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．5．已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2的两实数根为x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 6．已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x ．（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；（3）若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xm y =的图象上，求满足条件的m 的最小值．。

江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学中考数学 第15讲 概率初步复习讲义 苏科版

中考数学 概率复习教案 苏科版

中考数学 第15讲 概率初步复习讲义 苏科版