数学建模B题

数学建模B题 The following text is amended on 12 November 2020.B题“互联网+”时代的出租车资源配置摘要本文针对现代生活中“打车难”这一问题，寻找引起其发生的主要因素，并在此基础上建立了与之相对应的打车软件服务信息平台，提出了最优控制策略，最后通过对深圳市出租车辆的调查做出了具体检验措施，验证出此模型的合理性。

针对问题一，本文首先运用层次分析方法，筛选出四至五个相对合理的指标以此来评判出对出租车供求的影响；其次运用SPSS软件对这些指标的数据进行预处理，应用主成分分析法从中再次筛选出三个重要指标，分别得出深圳市和佛山市供给量与需求量与对应三个重要指标间的关系，并利用MATLAB软件绘制供求量随影响因素变化的模型。

利用灰色预测模型来分别预测未来几年深圳市和佛山市供给量与需求量发展趋势，验证其匹配状况，进而解决不同时间下的匹配度问题。

运用灵敏度分析法，修正误差，完善模型。

针对问题二，考虑到出租车补贴主要为燃油补贴，由问题一的模型可知，燃油价格因素直接影响了供给量，通过问题一得出出租车补贴方案对缓解打车难有明显影响。

针对问题三，在软件平台建立上，为实现匹配度最佳，基于打车者与出租车距离最短，等待时间最短，首先利用图论的知识找出最短路径，进而运用改进的遗传算法求出最短时间，寻求到最优方案。

其次根据空载量，分情况讨论具体补贴方案。

最后根据GPS定位数据随机选取出“滴滴打车”某一时间内的经纬度，对以上服务信息平台进行检验，得出该平台较之前具有更好的合理性。

关键词：主成分分析灰色预测模型SPSS数据处理遗传算法一、问题重述随着经济的快速发展，人口密度的增大，“打车难”已成为全国大部分城市所面临的主要问题，人们均是采取“招手打车”方式，这不仅降低了司机载客量，而且对顾客来说，也浪费了很多时间。

现在出现了“滴滴打车”，“快的打车”等软件服务平台，让人们利用“互联网+”方便快捷地打到车。

而我们这个模型的主要目的既是通过搜集相关合理数据，从而进行以下问题的讨论。

1.寻找合适指标，建立数学模型，分析在不同时间地点的出租车需求量以及供应量之间的匹配程度。

2. 通过分析现有不同的补贴方案，比较出租车的供求关系，观察出租车供不应求的现象是否得到缓解。

3. 在第二问的基础上，设计合适的补贴方案，重新建立打车软件服务平台，并且论证所设计方案是否合理。

二、问题分析本题要求我们建立数学模型，研究如何缓解“打车难“这一问题，并分析出租车补贴方案对其是否有缓解作用，并对建立的模型做相应的合理性预测检验。

问题一的分析问题一要求选取合理指标，并确定对不同时空内出租车资源匹配程度。

我们将对搜取到的指标首先进行剔除，归一化处理，使其处于同一量纲下，便于计算研究。

其次应用层次分析法，通过各权重的比较确定出对出租车资源匹配影响最重要的指标作为以下论文中的合理指标。

为了使结果更有说服性，我们应用灰色预测模型对接下来几年数据进行预测，以此来检验不同时空出租车资源的匹配程度。

问题二的分析问题二要求分析各公司出租车补贴方案问题，确定各公司的补贴方案对“缓解打车难”是否有帮助。

总结出油价补贴是各大公司的主要补贴政策，分析出对油价补贴影响显着的因素，根据这些因素对供需匹配程度的影响，从而间接推测出政府的补贴方案对缓解打车难是否有帮助。

问题三的分析问题三要求新创建一个打车软件服务平台，此平台在保证空间最短路径的情形下又保证了时间上的最短，达到了双重优化作用。

此软件服务平台系统首先应用图论中的dijkatra算法计算出最短路径d见附录1，其次利用改善后的遗传算法计算出最短等待出租车时间t，为减少循环次数，让d，t从两侧向中间循环，直到寻找到最优方案为止。

三、模型假设1. 假设在近几年内城市变化对出租车影响程度不大。

2. 假设在使用新的软件服务平台，出租车接收到乘客呼叫信号之后直接到达乘客所在地，中途不再运载其他人。

3. 假设出租车行驶过程中无重大交通事故发生。

五、模型建立与求解问题一的模型建立与求解问题一要求确立合理指标来分析不同时空内出租车供给匹配程度。

我们认为由以下步骤完成：步骤一：运用层次分析法筛选出一些可以影响到不同时空内出租车供应量与需求量间平衡标准的主要指标。

步骤二：运用主层次分析构建各指标数据与出租车供给量与需求量之间的函数关系。

步骤三：分别对不同城市间出租车供应量与需求量数据进行灰色模型预测，进而预算出近二至三年来供求趋势，并利用MATLAB 软件绘制出未来时间内供求拟合图形。

步骤四：对上述数据进行灵敏度分析，对模型是否正确进行检验。

5.1.1 层次分析法筛选数据进行数据预处理首先通过查询相关资料后确定出影响出租车供求关系的合理指标。

运用层次分析法筛选出对供求关系影响最为重要的指标，如：汽车里程利用率、燃油费用及人均消费水平等，将以上数据运用MATLAB 软件对数据进行剔除，平滑，归一化处理，使其处于同一量纲下，便于以后的计算及建模求解。

5.1.2 运用主成分分析法定性描述供求关系1. 主成分分析定义（相关图表见附录一）在进行数据分析处理时，涉及的样品往往包含多个变量。

但是变量太多不但会增加计算的复杂性，也该给问题的合理解释带来困难。

主成分分析通过降维的思想，使重要成分处于明显地位，便于优先处理，将多个变量综合成几个变量，反映原始变量的绝大部分信息。

（1） 总成分分析定义 设总体为12(,,,)q X X X X =，其中12,,,q X X X 为实际问题中涉及的q 个随机变量，其均值向量为12(,,...,)()T q u u u u E X ==，其协方差矩阵为*()[(()(()]T ij p p E X E X X E X σ∑==--，为q 阶非负定矩阵 （2） 总成分分析求法 设∑是12(,,,)T p X X X X =的协方差矩阵，∑的特征值及其正单位变化特化特征向量分别为120p λλλ≥≥≥≥及12,,,p e e e 则()11112100,,00pp i i i i p p p e e e e e e e λλλλλT T =⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∑=∑=P P = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑其中()12,,,p P e e e =为正交矩阵。

对p 维单位向量a ,有111111ppi i ii i i i a a a e e a a e e a a a a a λλλλλTT T T T T T T ==∑=≤=PP ==∑∑当取1a e =时，()111111e e e e λλT T ==∑，所以11Y e T =X 就是所求的第一主成分，它的方差具有最大值1λ。

如果第一主成分所含信息不够多，还不足以代表原始的p 个变量，则需要考虑使用2Y ,为了使1Y 和2Y 反映原始变量的信息不相重叠，要求1Y 和2Y 不相关，即于是，在约束条件220a a T=及120a a T =∑之下，求2a 使()2Var Y 达到最大。

现在我们来求p 维单位向量a ，使2Y =a T X 就是所求的第二主成分。

由于()()1211111,,0Cov Y Y Cov a a a a a a a e λT T T T T =X X ====∑∑于是10a e T =，从而()212p pii iii i i i V Y aa a e e a aa e e a λλTT TTT T ====∑∑∑2222221ppi ii i i i a e e a a e e a a a a a λλλλλT T T T T T T ==≤==TT ==∑∑若取2a e =，则有()222222e e e e λλTT ==∑，所以22Y e T =X 就是所求的第二主成分，它的方差最大值2λ。

一般地，我们可求得第i 个主成分为i i Y e T =X ，它具有方差i λ，1,2,,i p =。

以上结果告诉我们，求X 的各主成分等价于求它的协方差矩阵∑的各特征值及相应的正交单位化特征向量，按特征值由大到小所对应的正交单位化特征()1212,0Cov Y Y a a T ==∑值为组合系数的12,,p X X X 的线性组合分别为X 的第一、第二、直至第p 个主成分，而主成分的方差等于相应的特征值。

设∑是()12,,p TX =X X X 的协方差矩阵，∑的特征值及相应的正交单位化特征向量分别为120p λλλ≥≥≥及12,,,p e e e ,则X 的第i 个主成分为1122,i i i i ip p Y e e e e T =X =X +X +X 1,2,,i p =其中()12,,,,i i i ip e e e e T=且()(),1,2,,,0,i i i i i i i i k i k Var Y e e e e i pCov Y Y e e i kλλT TT ⎧====⎪⎨==≠⎪⎩∑∑佛山需求量与各因子之间的关系：10.1510.2120.15320.4610.3620.13330.4210.0420.6730.5310.2520.223w x x x w x x x w x x x f w w w =++=++=-+=++可以得出影响佛山需求量的主要因素是人均GDP ，第三产业所占比重，消费水平。

佛山供给量与各因子之间的关系f z =可以得出里程利用率，万人拥有量，空载率，燃料费用各因素均影响佛山的供给量。

深圳需求量与各因子之间的关系：414514450.210.20.150.510.720.28x x x x f ωωωω=+=-+=+ 可以得出影响深圳需求量的因素为人均GDP,二氧化氮浓度。

深圳供给量与各因子之间的关系71270.130.15x x f ωω=-= 可以得出影响深圳供给量的因素主要有里程利用率，空载率。

灵敏度分析：()0/,lim*/x x x dx us u c u u du x→∆==∆2dxc du = (),0y u x = (),*2*3dx u xs x u c c du x y ===表示若r 下降0.01则导致x 的下降01u u c ==经过灵敏度分析检验，()i x w ，()iw f此方程可使用。

深圳供给量与需求量随各因素的变化：图（1）图（2）0.18-2024681012里程利自然环境深圳市供给量-50510152025人均GDP车辆空载率深圳市需求量5.1.3数据拟合（相关程序见附录三）对所选取的供应量及需求量进行回归分析，从而得到函数图像。

（1）分析佛山深圳两大城市中供给量及需求量间的关系,运用MATLAB 编程绘制如下图形图（3）0.10470.08840.16650.3773y x y x =+=+分析：由图形可知，当需求量为0时佛山的供给量大于深圳的供给量，且其总体供给量也大于深圳的供给量，两市的供给量均随需求量的上升而增大，即需求量与供给量呈正相关。