线性规划和灰色模型介绍解析

5x1 x2 15
x1
4
x1 0, x2 0
➢称之为上述问题的数学模型。
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2.线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下，
变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线
矩阵格式： minZ=CX
AX=b X 0
a11 a12 ... a1n
其中
A=
a
21
...
a 22 ...
... ...
a 2n
...
为m×n阶矩阵
am1 am2 ... amn
C=(c1,为c2价, 值, c向n 量) ，
X=(x1,x为2 ,决策, x变n量)T向量，
b=(b1,b为2资, 源, b向m量)T。
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3.线性规划的标准形式
标准线性规划模型（标准形式）：
minZ=c1x1 +c2 x2 +
s.t
a11x1 +a12 x2 +
a 21x1 +a 22 x2 +
a m1x1 +a m2 x2 +
x1,x2 , xn 0
其中 b=(b1,b2 , , bm )T 0
+cn xn +a1n xn =b1 +a 2n xn =b2
性不等式来表达。 （4）要求目标函数实现极大化（max）或极小化（min）。
➢ 满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题
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线性规划的模型的一般形式:
目标函数 max(min)Z=c1x1+c2x2 + +cnxn
a11x1 a12x2 a1n xn ( , )b1
约束条件
a21x1 a22x2 a2n xn ( , )b2
为决策变量xj所P对j =应(a的1j,消a2j耗, 系,数am向j)量T ，
b=(b1,b2 , , bm )T
X=为(x决1,策x2变, 量,向x量n )T，
为资源向量。
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非标准形式线性规划问题的标准化
（1）极大化与极小化 ：
n
若 maxZ= ，令C jx j
，则Z'有= -Z
mj=1inZ' =min( -Z)= -minZ= - n Cjx j
3xx11
-x2 x3 -x2 -2x3
2 5
x1 0,x2 0,x3 符号不受限制
minZ= x1-2x2 +3x4 -3x5
x1 x2 x4 -x5 x6 =7
3xx11
-x 2 -x 2
x4 -x5 -2x4 +2x5
-x7 =2 5
x1,x2 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 0
原目标函数
maxZ minZ。' = -
n
j=1
Cjx j
j=1
(2) 线性不等式与线性等式：
n
n
aijx j bi aijx j +xn+i =bi
j=1
j=1
其中 x为n+i非负松弛变量，
n
n
akjx j bk a kjx j- xn+k =bk
j=1
j=1
其中 x为n+k非负剩余变量。 10
+a mn xn =bm
（1） （2） （3）
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n
紧凑格式： minZ= Cjx j
j=1
s.t.
n
aijx j =bi , i=1,2,
,m
j=1
x j 0, j=1,2, ,n
向量格式： minZ=CX
n
Pjx j =b
s.t.
j=1
x
j
0,
j=1,2,
,n
其中 C=(c1,c称2 , 为价, cn值) 向量，
a m1x1
a m2x2
amn xn
(
,
)b m
x1,x2 ,xn 0
n
max(min) z ci xi i 1
n
s.t.
i 1
ai
xi
(
,
)b
xi 0, i 1, 2, , n
通常称 x1,x2 , , xn为决策变量， c1,c2 , , cn 为价值系数， a11,a12 , , a mn 为消耗系数, b1,b2 , , bm 为资源限制系数。
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一、线性规划模型
1.线性规划问题及其数学模型
☆问题的提出：在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的 资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。 有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达到最小。
有限资源的合理配置有两类问题： 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经 营活动，使所消耗的资源数最少。
解：
令 x3 =x4 -x5 ,其中 x4 0, x5 0.
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标准型线性规划的解的概念
考虑一个标准的线性规划问题：
minZ CX
s.t
AX b
X0
例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生 素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每 周可提供的资源总量如下表所示：
维生素（公斤） 设备（台班）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
每周资源总量
160 15
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万元。但根据 市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超过4吨。问该厂应如何安 排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大？
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(3) 右端项为负 约束两端乘以（－1）
(4) 非负变量与符号不受限制的变量
若 xi的符号不受限制，则可引进非负变量xi1,xi2，令 xi = xi1-xi2，这样就可以使线性规划里所有的变量都转化为有非负限 制的变量。
例7，将下述线性规划问题化为标准型
minZ=-x1+2x2 -3x3
x1 x2 x3 7
2
线性规划模型的基本假设
1.线性 目标函数和约束条件 2.可分性 活动对资源的可分性 3.可加性 活动所耗资源的可加性，资源总需要量为多种活动所需 资源数量的总和。 4.明确性 目标的明确性 5.单一性 期望值的单一性 6.独立性 变量是独立的表示各种作业对资源都是互竟关系，没有 互助关系 7.非负性
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源自文库
维生素（公斤） 设备（台班） 单位利润（万元）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
5
２
每周资源总量
160 15
定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。
数学模型为
maxZ=5x1 +2x 2
s.t. （subject to) (such that)
30x1 20x2 160