反比例函数学习知识重点归纳(重要资料)

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(完整word版)反比例函数知识点总结

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反比例函数知识点总结 李苗知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如x k y =(k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数;⑵自变量x 的取值范围是0x≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠;⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y =(0k ≠),②1kx y -=(0k ≠),③k y x =⋅(定值)(0k ≠); ⑸函数xk y =(0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。

(k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xk y =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点:①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表: 反比例函数x k y =(0k ≠) k 的符号 0k >0k < 图像性质 ①x 的取值范围是0x ≠,y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠,y 的取值范围是0y ≠②当0k <时,函数图像注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当0k >时,y 随x 的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。

反比例函数知识点

反比例函数知识点

反比例函数知识点反比例函数是一种特殊的函数形式,它描述了两个变量之间的关系。

其特点是当一个变量的值增加时,另一个变量的值会减小,反之亦然。

在数学中,反比例函数通常用一个方程表示,形式为y=k/x,其中k是一个常数。

在本文中,我们将探讨一些与反比例函数相关的知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数是一种形如y=k/x的函数形式。

其中,k是一个常数,被称为反比例函数的比例常数。

在反比例函数中,变量x和y的变化满足如下关系:当x增加时,y减小;当x减小时,y增加。

二、反比例函数的图像和性质反比例函数的图像是一条直线,经过原点(0,0)。

该函数的图像与坐标轴都有一个渐近线,与x轴共轭于y轴,与y轴共轭于x轴。

同时,反比例函数的图像在第一象限和第三象限中是上升的,即从左下到右上。

三、反比例函数的图像和实际应用反比例函数的图像常常出现在实际问题中,如物理、经济等领域。

例如,某物体的速度与其所受的力成反比,即速度越大,所受的力越小,反之亦然。

又如,在某种化学反应中,反应速率与溶液中的浓度成反比。

这些实际问题可以通过反比例函数来表示和解决。

四、反比例函数的性质和应用由于反比例函数的性质和图像特点,反比例函数在实际问题中有许多应用。

首先,反比例函数可以用来描述两个变量之间的关系,例如速度和力的关系、反应速率和浓度的关系等。

其次,反比例函数可以用来解决一些实际问题,例如求解未知变量的值或优化问题。

五、反比例函数的变形除了常见形式的反比例函数y=k/x,还有其他形式的反比例函数。

例如,y=k/(x-a)、y=(k+x)/(k-x)等。

这些变形形式的反比例函数在实际问题中也有广泛应用,例如电路中的电阻和电流的关系等。

六、反比例函数的应用举例反比例函数的应用非常广泛。

下面以几个具体的实例来说明。

例1:某车辆以恒定的速度行驶,当行驶时间增加时,其行驶距离减小。

这个问题可以用反比例函数来描述,行驶距离与行驶时间成反比。

例2:某工厂的生产成本与产量成反比,即产量越大,生产成本越低,反之亦然。

反比例函数的知识点的总结

反比例函数的知识点的总结

反比例函数知识点总结 李苗知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如xk y =(k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数;⑵自变量x 的取值范围是0x≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠;⑶比例系数0k≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y =(0k ≠),②1kx y -=(0k ≠),③k y x =⋅(定值)(0k ≠); ⑸函数xk y =(0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。

(k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xk y =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xk y =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点:①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当0k >时,y 随x 的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。

最新九年级反比例函数经典复习资料

最新九年级反比例函数经典复习资料

九年级反比例函数经典复习资料知识梳理知识点1.反比例函数的概念一般地,如果两个变量X、y之间的关系可以表示成“上或y二k* (k为常X 数,kHO)的形式,那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下儿点:(1)k是常数,且k不为零;(2)£中分母x的指数为1,如y = 4不是反x •比例函数。

(3)自变量x的取值范围是XH O—切实数.(4)自变量y的取值范围是y = 0一切实数。

知识点2.反比例函数的图象及性质反比例函数y =上的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、X三象限或第二、■四象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与X轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题:(1)画反比例函数图象的方法是描点法;(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范圉是XH O,因此不能把两个分支连接起来。

(3)由于在反比例函数中,x和y的值都不能为0,所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴,但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。

反比例函数的性质y = -(k^O)的变形形式为xy=k (常数)所以:X(1)其图象的位置是:当k>0时,x、y同号,图象在第一、三象限;当kvO时,x、y异号,图象在第二、四象限。

(2)若点(m,n)在反比例函数y =上的图象上,则点(-m,-n)也在此图象上,X故反比例函数的图象关于原点对称。

(3)当k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小;当kvO时,在每个象限内,y随x的增大而增大;知识点3.反比例函数解析式的确定。

重点:掌握反比例函数解析式的确定难点:山条件来确定反比例函数解析式(1)反比例函数关系式的确定方法:待定系数法,由于在反比例函数关系式y =-中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数,因此只X 需给出一组X、y的对应值或图象上点的坐标,代入y =上中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。

(整理)反比例函数知识点梳理一

(整理)反比例函数知识点梳理一

反比例函数知识点梳理一一、基础知识1. 定义:一般地,形如xk y =(k 为常数,o k ≠)的函数称为反比例函数。

x k y =还可以写成kx y =1-2. 反比例函数解析式的特征:⑴等号左边是函数y ,等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k ),分母中含有自变量x ,且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3.4. 反比例函数的图像⑴图像的画法:描点法①② 列表(应以O 为中心,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ③④ 描点(有小到大的顺序)⑤⑥ 连线(从左到右光滑的曲线)⑵反比例函数的图像是双曲线,xk y =(k 为常数,0≠k )中自变量0≠x ,函数值0≠y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=)。

⑷反比例函数x k y =(0≠k )中比例系数k 的几何意义是:过双曲线x k y = (0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。

4.反比例函数性质如下表: k 的取值图像所在象限 函数的增减性o k >一、三象限 在每个象限内,y 值随x 的增大而减小 o k < 二、四象限 在每个象限内,y 值随x 的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k )6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xk y =中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用。

(word版)反比例函数知识点归纳(重点)

(word版)反比例函数知识点归纳(重点)

中考复习反比例函数根底知识〔一〕反比例函数的概念1.〔〕可以写成〔〕的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;2.〔〕也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.〔二〕反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点〔关于原点对称〕.〔三〕反比例函数及其图象的性质1.函数解析式:〔〕2.自变量的取值范围:3.图象:〔1〕图象的形状:双曲线.(越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.图像越远离坐标轴越小,图象的弯曲度越大.图像越靠近坐标轴2〕图象的位置和性质:与坐标轴没有交点,当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.〔3〕对称性:图象关于原点对称,即假设〔a,b〕在双曲线的一支上,那么〔,〕在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即假设〔a,b〕在双曲线的一支上,那么〔,〕和〔,〕在双曲线的另一支上.4.k的几何意义如图1,设点P〔a,b〕是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,那么矩形PBOA的面积是〔三角形PAO和三角形PBO的面积都是〕.如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,那么有三角形PQC 的面积为.图1图25.说明:1〕双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.〔2〕直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.〔四〕实际问题与反比例函数1.求函数解析式的方法:〔1〕待定系数法;〔2〕根据实际意义列函数解析式.2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.〔五〕充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析1.反比例函数的概念〔1〕以下函数中,y是x的反比例函数的是〔〕.A.y=3x B.C.3xy=1D.〔2〕以下函数中,y是x的反比例函数的是〔〕.A.B.C.D.2.图象和性质〔1〕函数是反比例函数,①假设它的图象在第二、四象限内,那么k=___________.②假设y随x的增大而减小,那么k=___________.〔2〕一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,那么函数的图象位于第______象限.〔3〕假设反比例函数经过点〔,2〕,那么一次函数的图象一定不经过第_____象限.〔4〕a·b<0,点P〔a,b〕在反比例函数的图象上,那么直线不经过的象限是〔〕.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限〔5〕假设P〔2,2〕和Q〔m,〕是反比例函数图象上的两点,那么一次函数y=kx+m的图象经过〔〕.A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限〔6〕函数和〔k≠0〕,它们在同一坐标系内的图象大致是〔〕.A.B.C.D.3.函数的增减性〔1〕在反比例函数的图象上有两点,,且,那么的值为〔〕.A.正数B.负数C.非正数D.非负数〔2〕在函数〔a为常数〕的图象上有三个点,,,那么函数值、、的大小关系是〔〕.A.<<B.<<C.<<D.<<〔3〕以下四个函数中:①;②;③;④.y随A.0个x的增大而减小的函数有〔B.1个〕.C.2个D.3个〔4〕反比例函数时,这个反比例函数的函数值的图象与直线y随x的增大而y=2x和y=x+1的图象过同一点,那么当〔填“增大〞或“减小〞〕.x>04.解析式确实定〔1〕假设与A.正比例函数成反比例,与成正比例,那么B.反比例函数y是z的〔〕.C.一次函数D.不能确定〔2〕假设正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为〔2,m〕,那么m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.〔3〕反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.〔4〕一次函数y=x+m与反比例函数〔〕的图象在第一象限内的交点为P〔x,3〕.①求x的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.。

反比例函数知识点汇总

反比例函数知识点汇总

反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征:反比例函数的定义为y=k/x,在此函数中,x不等于0,k为常数。

反比例函数的图像特点是:经过第一、二象限两点,以y轴和x轴为渐进线,图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现,图像呈现出一种双曲线的形状。

2.反比例函数的基本性质:(a)定义域:x≠0,即x不能为0。

(b)值域:排除0,即y不能为0。

当x趋近于0时,y趋近于无穷大;当x趋近于无穷大时,y趋近于0。

(c)对称中心:该函数关于原点(0,0)对称。

(d)渐进线:图像与x轴和y轴都有渐进线,即当x趋近于无穷大时,y趋近于0;当y趋近于无穷大时,x趋近于0。

(e)单调性:反比例函数在定义域内是单调递减的。

(f)异号性:当x与y异号时,k为负数;当x与y同号时,k为正数。

(g)零点:当x与y相等时,即x=y≠0。

3.确定反比例函数的常数k:y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k,可以得到:y1*y2=k因此,可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。

4.反比例函数的应用:(a)正比例与反比例的混合问题:当一个问题与正比例和反比例函数有关时,可以通过组合两种函数来解决问题。

例如,当一个物体的质量与加速度成反比例关系,而力与加速度成正比例关系时,可以通过设置两个函数来解决问题。

(b)流速与管道宽度:根据波的传播速度,流速与管道宽度成反比例关系。

当管道宽度较小时,流速较大;当管道宽度较大时,流速较小。

(c)投资与收益率:投资的利润与投资金额成反比例关系。

当投资金额较小时,相对的利润率较大;当投资金额较大时,相对的利润率较小。

(d)电阻与电流:电阻与电流成反比例关系,即当电阻较大时,电流较小;当电阻较小时,电流较大。

总结起来,反比例函数是一种特殊的函数关系,其图像呈现出一种双曲线的形状。

反比例函数具有一些基本性质,如定义域、值域、对称中心和渐进线等。

确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。

反比例函数在实际生活中有很多应用,特别是与强度、速度和功率等相关的问题。

反比例函数知识点归纳(重点)

反比例函数知识点归纳(重点)

反比例函数知识点归纳和典型例题(一)知识结构(二)学习目标1.理解并掌握反比例函数的概念,能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式(k为常数,),能判断一个给定函数是否为反比例函数.2.能描点画出反比例函数的图象,会用代定系数法求反比例函数的解析式,进一步理解函数的三种表示方法,即列表法、解析式法和图象法的各自特点.3.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数(k为常数,)的函数关系和性质,能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.4.对于实际问题,能“找出常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,进一步认识数形结合的思想方法.(三)重点难点1.重点是反比例函数的概念的理解和掌握,反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.2.难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.二、基础知识(一)反比例函数的概念1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.(二)反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).(三)反比例函数及其图象的性质1.函数解析式:()2.自变量的取值范围:3.图象:(1)图象的形状:双曲线.越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大.(2)图象的位置和性质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)2在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.4.k的几何意义如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA 的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.图1图25.说明:(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数1.求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析1.反比例函数的概念(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().A.y=3x B.C.3xy=1D.(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().A.B.C.D.答案:(1)C;(2)A.2.图象和性质(1)已知函数是反比例函数,①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________.②若y随x的增大而减小,那么k=___________.(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第4_____象限.(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().A.B.C.D.答案:(1)①②1;(2)一、三;(3)四;(4)C;(5)C;(6)B.3.函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则的值为().A.正数B.负数C.非正数D.非负数(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().A.<<B.<<C.<<D.<<(3)下列四个函数中:①;②;③;④.y随x的增大而减小的函数有().A.0个B.1个C.2个D.3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填“增大”或“减小”).答案:(1)A;(2)D;(3)B.注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内”y随x的增大而减小.4.解析式的确定(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P(x0,3).①求x0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.6(5)为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧完后,y 与x成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________,自变量x的取值范围是_______________;药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________.②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室;③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?答案:(1)B;(2)4,8,(,);(3)依题意,且,解得.(4)①依题意,解得②一次函数解析式为,反比例函数解析式为.(5)①,,;②30;③消毒时间为(分钟),所以消毒有效.5.面积计算(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().A.B.C.D.第(1)题图第(2)题图(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x 轴,△ABC的面积S,则().A.S=1B.1<S<2C.S=2D.S>2(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.第(3)题图第(4)题图(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2,P2R2,垂足分别为Q2,R2,求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长,并比较它们的大小.8(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.第(5)题图第(6)题图(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,AB⊥x轴于B且S△ABO=.①求这两个函数的解析式;②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.(7)如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在函数(k>0,x>0)的图象上,点P(m,n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.①求B点坐标和k的值;②当时,求点P的坐标;③写出S关于m的函数关系式.答案:(1)D;(2)C;(3)6;(4),,矩形OQ1P1R1的周长为8,OQ2P2R2的周长为,前者大.(5)1.(6)①双曲线为,直线为;②直线与两轴的交点分别为(0,)和(,0),且A(1,)和C(,1),因此面积为4.(7)①B(3,3),;②时,E(6,0),;③.6.综合应用(1)若函数y=k1x(k1≠0)和函数(k2≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().A.互为倒数B.符号相同C.绝对值相等D.符号相反(2)如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A(,1),B(1,n).①求反比例函数和一次函数的解析式;10②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.(3)如图所示,已知一次函数(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.①求点A、B、D的坐标;②求一次函数和反比例函数的解析式.(4)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).①利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值;②双曲线上是否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(5)不解方程,判断下列方程解的个数.①;②.(2)①反比例函数为,一次函数为;②范围是或.(3)①A(0,),B(0,1),D(1,0);②一次函数为,反比例函数为.(4)①反比例函数为,;②存在(2,2).(5)①构造双曲线和直线,它们无交点,说明原方程无实数解;②构造双曲线和直线,它们有两个交点,说明原方程有两个实数解.12。

反比例函数知识点总结,比例系数k的几何意义和七大常考模型

反比例函数知识点总结,比例系数k的几何意义和七大常考模型

反比例函数知识点总结,比例系数k的几何意义和七大常考模型一.反比例函数的概念1.概念:一般地,函数y=k/x(k是常数,k≠0)叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成的形式。

自变量x的取值范围是x≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。

注意:(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,反之,则不一定成立例 1 给出的六个关系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x²;④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函数的是 ( )A.①②③④⑥B.③⑤⑥C.①②④D.④⑥例2 若函数是y关于x的反比例函数,则m= .例3 关于正比例函数y=-x/3和反比例函数y=-1/3x的说法正确的是 ( )A.自变量x的指数相同B.比例系数相同C.自变量x的取值范围相同D.函数y的取值范围相同2.易错点解析漏掉k≠0这一条件解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.例4已知函数为反比例函数,则k= .二.反比例函数的图像和性质1.反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0,函数y≠0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

2.反比例函数的性质注意:y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件。

例5 关于反比例函数y=3/x的图象,下列说法正确的是 ( )A.图象经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.当x<0时,y随x的增大而减小例6.当x<0时,下列表示函数y=-1/x的图象的是 ( ) 例7.下列反比例函数中,图象位于第二、四象限的是( )A.y=2/x B.y=0.2/x C.y=√2/x D.y=-2/5x 例8.对于反比例函数y=(k-√10)/x,在每个象限内,y随x的增大而增大,则满足条件的非负整数k有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。

反比例函数知识点归纳

反比例函数知识点归纳

反比例函数知识点归纳定义:形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x 是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。

函数y=k/x 称为反比例函数,其中k≠0,其中x是自变量,1.当k>0时,图象分别坐落于第一、三象限,同一个象限内,y随x的减小而增大;当k<0时,图象分别坐落于二、四象限,同一个象限内,y随x的减小而减小。

2.k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

3.x的值域范围就是:x≠0;y的取值范围是:y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中,x无法为0,y也无法为0,所以反比例函数的图象不可能将与x轴平行,也不可能将与y轴平行。

但随着x无穷减小或是无穷增加,函数值无穷收敛于0,故图像无穷吻合于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。

(k为常数,k≠0)的形式,那么表示y就是x的反比例函数。

其中,x是自变量,y是函数。

由于x在分母上,故取x≠0的一切实数,看函数y的取值范围,因为k≠0,且x≠0,所以函数值y也不可能为0。

补足表明:1.反比例函数的解析式又可以译成: (k就是常数,k≠0).2.要求出反比例函数的解析式,利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数,等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1。

⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的值域就是一切非零实数。

形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。

自变量x的值域范围就是不等同于0的一切实数。

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属奇函数,存有f(-x)=-f(x),图像关于原点等距。

反比例函数高频考点重难点总结

反比例函数高频考点重难点总结

反比例函数高频考点重难点总结一、反比例函数的概念:一般地,形如 y = k/x ( k是常数, k ≠ 0 ) 的函数叫做反比例函数。

二、反比例函数的图象和性质:1、形状:图象是双曲线。

2、位置:(1)当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内;(2)当k<0时,>3、增减性:(1)当k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小;(2)当k<>在每个象限内,y随x的增大而增大。

4、变化趋势:双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交。

5、对称性:(1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点中心对称;(2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如:y = 6/x 和y = -6/x)来说,它们是关于x轴,y轴对称。

三、反比例函数中比例系数k的几何意义:1、反比例函数与矩形面积:若P(x,y)为反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点如图1所示,过P作PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,求矩形PMON的面积.分析:S矩形PMON=PM·PN=│y│·│x│=│xy│∵y=k/x,∴ xy=k,∴S =│k│.2、反比例函数与三角形面积:若Q(x,y)为反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点如图2所示,过Q作QA⊥x轴于A(或作QB⊥y轴于B),连结QO,则所得三角形的面积为:S△QOA=│k│/2(或S△QOB=│k│/2).说明:以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.四、反比例函数图像与一次函数图像的交点(难点)求两个函数图像的交点,往往把两个函数的表达式联立组成方程组,方程组的解就是交点的坐标。

(1)正比例函数y=k₁x(k₁≠0)与反比例函数y=k₂/x(k₂≠0),当k₁与k₂同号时,正比例函数图像与反比例函数图像有两个交点,即对应方程组的解,且两个交点关于原点对称;当k₁与k₂异号时,两个函数图像没有交点。

人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳(重点)

人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳(重点)

人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题(一)知识结构(二)学习目标1.理解并掌握反比例函数的概念,能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式(k为常数,),能判断一个给定函数是否为反比例函数.2.能描点画出反比例函数的图象,会用代定系数法求反比例函数的解析式,进一步理解函数的三种表示方法,即列表法、解析式法和图象法的各自特点.3.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数(k为常数,)的函数关系和性质,能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.4.对于实际问题,能“找出常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,进一步认识数形结合的思想方法.(三)重点难点1.重点是反比例函数的概念的理解和掌握,反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.2.难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.二、基础知识(一)反比例函数的概念1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.(二)反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).(三)反比例函数及其图象的性质1.函数解析式:()2.自变量的取值范围:3.图象:(1)图象的形状:双曲线.越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大.(2)图象的位置和性质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.4.k的几何意义如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.图1 图25.说明:(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数1.求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析1.反比例函数的概念(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().A.y=3x B.C.3xy=1 D.(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().A.B.C.D.答案:(1)C;(2)A.2.图象和性质(1)已知函数是反比例函数,①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________.②若y随x的增大而减小,那么k=___________.(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().A.B.C.D.答案:(1)①②1;(2)一、三;(3)四;(4)C;(5)C;(6)B.3.函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则的值为().A.正数B.负数C.非正数D.非负数(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().A.<<B.<<C.<<D.<<(3)下列四个函数中:①;②;③;④.y随x的增大而减小的函数有().A.0个B.1个C.2个D.3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填“增大”或“减小”).答案:(1)A;(2)D;(3)B.注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小.4.解析式的确定(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P (x 0,3).①求x 0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.(5)为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y与x 成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________,自变量x 的取值范围是_______________;药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________.②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室;③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?答案:(1)B;(2)4,8,(,);(3)依题意,且,解得.(4)①依题意,解得②一次函数解析式为,反比例函数解析式为.(5)①,,;②30;③消毒时间为(分钟),所以消毒有效.5.面积计算(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().A.B.C.D.第(1)题图第(2)题图(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x 轴,△ABC的面积S,则().A.S=1 B.1<S<2C.S=2 D.S>2(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.第(3)题图第(4)题图(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小.(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.第(5)题图第(6)题图(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,AB⊥x轴于B且S△ABO=.①求这两个函数的解析式;②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.(7)如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在函数(k>0,x>0)的图象上,点P (m,n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.①求B点坐标和k的值;②当时,求点P的坐标;③写出S关于m的函数关系式.答案:(1)D;(2)C;(3)6;(4),,矩形O Q 1P1 R 1的周长为8,O Q 2P2 R 2的周长为,前者大.(5)1.(6)①双曲线为,直线为;②直线与两轴的交点分别为(0,)和(,0),且A(1,)和C(,1),因此面积为4.(7)①B(3,3),;②时,E(6,0),;③.6.综合应用(1)若函数y=k1x(k1≠0)和函数(k2 ≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().A.互为倒数B.符号相同C.绝对值相等D.符号相反(2)如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A(,1),B(1,n).①求反比例函数和一次函数的解析式;②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.(3)如图所示,已知一次函数(k≠0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.①求点A、B、D的坐标;②求一次函数和反比例函数的解析式.(4)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).①利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值;②双曲线上是否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(5)不解方程,判断下列方程解的个数.①;②.答案:(1)D.(2)①反比例函数为,一次函数为;②范围是或.(3)①A(0,),B(0,1),D(1,0);②一次函数为,反比例函数为.(4)①反比例函数为,;②存在(2,2).(5)①构造双曲线和直线,它们无交点,说明原方程无实数解;②构造双曲线和直线,它们有两个交点,说明原方程有两个实数解.。

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结反比例函数是数学中常见的一种函数类型,它在实际生活和工作中有着广泛的应用。

在学习和理解反比例函数时,我们需要掌握一些基本的知识点,本文将对反比例函数的相关概念、特点、图像和应用进行总结,希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。

1. 反比例函数的概念。

反比例函数是指函数的自变量x与因变量y之间的关系满足y与x成反比的规律。

通常来说,反比例函数可以用以下的形式来表示:y = k/x。

其中,k为比例系数,也称为常数项。

在反比例函数中,x不等于0,因为分母不能为0,否则函数就没有意义。

反比例函数在数学中有着重要的地位,它的特点和性质对于我们解决实际问题具有重要的指导作用。

2. 反比例函数的特点。

反比例函数的图像通常表现为一个开口向下的双曲线。

当x增大时,y会减小,当x减小时,y会增大。

这种特点使得反比例函数在描述一些实际问题时具有很好的适用性,比如人口与资源的关系、时间与速度的关系等。

反比例函数的特点还包括,在坐标系中不经过原点,且在x轴和y轴上都有渐近线。

3. 反比例函数的图像。

反比例函数的图像是一个开口向下的双曲线,其渐近线分别为x轴和y轴。

当k为正数时,双曲线位于第一和第三象限;当k为负数时,双曲线位于第二和第四象限。

通过对反比例函数的图像进行分析,我们可以更直观地理解函数的性质和特点,从而更好地应用到实际问题中去。

4. 反比例函数的应用。

反比例函数在实际生活和工作中有着广泛的应用。

比如,在经济学中,人均收入与人口数量之间的关系可以用反比例函数来描述;在物理学中,时间与速度、力与距离之间的关系也可以用反比例函数来表示。

掌握了反比例函数的知识,我们可以更好地理解和解决这些实际问题,为实际工作和生活提供更科学的依据。

总结:通过对反比例函数的概念、特点、图像和应用进行总结,我们可以更好地理解和掌握这一部分内容。

反比例函数在数学中有着重要的地位,它不仅有着严谨的数学性质,还具有广泛的应用价值。

初中反比例函数知识点总结大全

初中反比例函数知识点总结大全

初中反比例函数知识点总结大全反比例函数知识点总结1、反比例函数的表达式X是自变量,Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^(-1)(即:y等于x的负一次方,此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0,x≠0)若y=k/nx此时比例系数为:k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量,Y是X的函数,其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0),x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola),反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0),图像上一点P(x,y),作两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P点组成一个矩形,矩形的面积S=x的绝对值_y的绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中,比例系数k有一个很重要的几何意义,那就是:过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以,对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

从而有k的绝对值。

在解有关反比例函数的问题时,若能灵活运用反比例函数中k的几何意义,会给解题带来很多方便。

数学反比例函数知识点归纳y=k/x(k≠0)的图象叫做双曲线.当k0时,双曲线在一、三象限(在每一象限内,从左向右降);当k0时,双曲线在二、四象限(在每一象限内,从左向右上升).因此,它的增减性与一次函数相反.以上对反比例函数知识点的讲解,相信同学们能很好的掌握了,希望同学们能很好的学习知识点。

反比例函数知识点梳理

反比例函数知识点梳理

反比例函数知识点梳理
y=k/x
其中,y表示一个变量的值,x表示另一个变量的值,k是比例常数。

反比例函数的特点是,一个变量的值增大,另一个变量的值就会减小;一
个变量的值减小,另一个变量的值就会增大。

1.定义域和值域:
2.变化趋势:
当x增大时,y就会减小;当x减小时,y就会增大。

两者是成反比
的关系。

3.特殊情况:
当y和x有一个为零时,反比例函数无定义。

这是因为在反比例函数中,不能除以零。

4.x和y的初始值:
当x=1时,y=k/1=k。

这意味着当x取1时,y的值就等于比例常数k。

5.比例常数k的取值:
比例常数k可以是任意非零实数,但取值不同会导致反比例函数的图
像形状不同。

比例常数k的正负性决定了反比例函数的图像是在y轴的上
方还是下方,而比例常数k的绝对值大小决定了函数图像的陡峭程度。

6.图像:
反比例函数的图像一般是一个平面上的曲线,碰触坐标轴上的点是
x=0和y=0,称为渐近线。

当比例常数k为正时,曲线在第一象限和第三象限之间开口;当比例常数k为负时,曲线在第二象限和第四象限之间开口。

曲线越靠近坐标轴,其图像就越陡峭。

7.标准方程:
8.反比例函数的应用:
总结起来,反比例函数是数学中一种特殊的函数形式,表示两个变量之间的关系满足y=k/x。

它具有一些特点和性质,包括定义域和值域、变化趋势、特殊情况、x和y的初始值、比例常数k的取值、图像特征等。

反比例函数在实际生活中有广泛的应用。

反比例函数知识点归纳重点

反比例函数知识点归纳重点

反比例函数知识点归纳重点1.定义和性质:反比例函数是由自变量与其函数值的乘积为常数所表示的函数。

它的图像是一个双曲线。

当自变量x趋近于0时,函数值趋近于正无穷大;当自变量x趋近于正无穷大或负无穷大时,函数值趋近于0。

反比例函数的反比例因子k可以用来确定函数的特征。

2.图像与参数的关系:反比例函数的图像是一个双曲线,其具体形状与参数k有关。

当k为正数时,双曲线位于第一象限和第三象限;当k为负数时,双曲线位于第二象限和第四象限。

参数k的绝对值越大,双曲线的曲率越大。

3.变形形式:反比例函数除了常见的y=k/x形式外,还可以有其他的变形形式。

例如,y=k/(x-a)+b表示平移后的反比例函数,参数a和b分别表示水平和垂直方向上的位移。

4.变量关系:反比例函数中的自变量和因变量之间是一个反比例关系,即一个数的大小与另一个数的大小呈反比例关系。

如果自变量增大,那么函数值会减小,反之亦然。

这种关系在实际问题中经常出现,例如牛顿第二定律中的力和加速度的关系。

5.应用问题:反比例函数在许多实际问题中都有应用。

例如,速度与时间的关系、电阻与电流的关系、密度与体积的关系等都可以用反比例函数来描述。

因为反比例函数在自变量过小或者过大时函数值会变得非常大或者非常小,所以它在处理极限问题时也经常被使用。

总之,反比例函数是一种常见的函数形式,在数学的各个领域中都有广泛的应用。

理解反比例函数的定义、图像与参数的关系、变形形式、变量关系以及应用问题,可以帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。

反比例函数最全知识点

反比例函数最全知识点

反比例函数的图象和性质知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念(1)定义:形如y=kx(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数.(2)形式:反比例函数有以下三种基本形式:①y=kx;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0)例:函数y=3x m+1,当m=-2时,则该函数是反比例函数.2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1)判断点是否在反比例函数图象上的方法:①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式;②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.失分点警示(2)反比例函数值大小的比较时,首先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,若不在则不能运用性质进行比较,可以画出草图,直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限(x、y同号)每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征(1)由两条曲线组成,叫做双曲线;(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交;(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.例:若(a,b)在反比例函数kyx=的图象上,则(-a,-b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是y=3/x.知识点二:反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义(1)意义:从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.(2)常见的面积类型:失分点警示已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0.例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积;②也要注意系数k的几何意义.例:如图所示,三个阴影部分的面积按。

反比例函数知识点大全

反比例函数知识点大全

反比例函数知识点大全反比例函数的定义定义:形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数,其中k≠0,其中X是自变量,1.当k0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x 的增大而减小;当k0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y 随x的增大而增大。

2.k0时,函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时,函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。

3.x的取值范围是: x≠0;y的取值范围是:y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。

但随着x无限增大或是无限减少,函数值无限趋近于0,故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心第1页共6页是坐标原点。

反比例函数的一般形式(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。

其中,x是自变量,y是函数。

由于x在分母上,故取x≠0的一切实数,看函数y的取值范围,因为k≠0,且x≠0,所以函数值y 也不可能为0。

补充说明:1.反比例函数的解析式又可以写成: (k是常数,k ≠0).2.要求出反比例函数的解析式,利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数,等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1。

⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

反比例函数(高一数学)知识点形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质:反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

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反比例函数知识点归纳和典型例题(一)知识结构(二)学习目标1.理解并掌握反比例函数的概念,能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式(k为常数,),能判断一个给定函数是否为反比例函数.2.能描点画出反比例函数的图象,会用代定系数法求反比例函数的解析式,进一步理解函数的三种表示方法,即列表法、解析式法和图象法的各自特点.3.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数(k为常数,)的函数关系和性质,能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.4.对于实际问题,能“找出常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,进一步认识数形结合的思想方法.(三)重点难点1.重点是反比例函数的概念的理解和掌握,反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.2.难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.二、基础知识(一)反比例函数的概念1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.(二)反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).(三)反比例函数及其图象的性质1.函数解析式:()2.自变量的取值范围:3.图象:(1)图象的形状:双曲线.越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大.(2)图象的位置和性质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.4.k的几何意义如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA 的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.图1 图25.说明:(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数1.求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析1.反比例函数的概念(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().A.y=3x B.C.3xy=1 D.(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().A.B.C.D.答案:(1)C;(2)A.2.图象和性质(1)已知函数是反比例函数,①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________.②若y随x的增大而减小,那么k=___________.(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().A.B.C.D.答案:(1)①②1;(2)一、三;(3)四;(4)C;(5)C;(6)B.3.函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则的值为().A.正数B.负数C.非正数D.非负数(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().A.<<B.<<C.<<D.<<(3)下列四个函数中:①;②;③;④.y随x的增大而减小的函数有().A.0个B.1个C.2个D.3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填“增大”或“减小”).答案:(1)A;(2)D;(3)B.注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小.4.解析式的确定(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P (x 0,3).①求x 0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.(5)为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________,自变量x 的取值范围是_______________;药物燃烧后y 关于x的函数关系式为_________________.②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室;③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?答案:(1)B;(2)4,8,(,);(3)依题意,且,解得.(4)①依题意,解得②一次函数解析式为,反比例函数解析式为.(5)①,,;②30;③消毒时间为(分钟),所以消毒有效.5.面积计算(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().A.B.C.D.第(1)题图第(2)题图(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则().A.S=1 B.1<S<2C.S=2 D.S>2(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.第(3)题图第(4)题图(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y 轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小.(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.第(5)题图第(6)题图(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,AB⊥x轴于B且S△ABO=.①求这两个函数的解析式;②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.(7)如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在函数(k>0,x>0)的图象上,点P (m,n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.①求B点坐标和k的值;②当时,求点P的坐标;③写出S关于m的函数关系式.答案:(1)D;(2)C;(3)6;(4),,矩形O Q 1P1 R 1的周长为8,O Q 2P2 R 2的周长为,前者大.(5)1.(6)①双曲线为,直线为;②直线与两轴的交点分别为(0,)和(,0),且A(1,)和C(,1),因此面积为4.(7)①B(3,3),;②时,E(6,0),;③.6.综合应用(1)若函数y=k1x(k1≠0)和函数(k2 ≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().A.互为倒数B.符号相同C.绝对值相等D.符号相反(2)如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A (,1),B(1,n).①求反比例函数和一次函数的解析式;②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.(3)如图所示,已知一次函数(k≠0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.①求点A、B、D的坐标;②求一次函数和反比例函数的解析式.(4)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).①利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值;②双曲线上是否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(5)不解方程,判断下列方程解的个数.①;②.(2)①反比例函数为,一次函数为;②范围是或.(3)①A(0,),B(0,1),D(1,0);②一次函数为,反比例函数为.(4)①反比例函数为,;②存在(2,2).(5)①构造双曲线和直线,它们无交点,说明原方程无实数解;②构造双曲线和直线,它们有两个交点,说明原方程有两个实数解.。

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