第十讲一阶电路的瞬态分析

=3mA
i(0+)=i1(0+)+i2(0+)=4.5mA
计算结果
电量 i
i1=iL
i2
uC
uL
t=0- 1.5mA 1.5mA 0
3V 0
t=0+ 4.5mA 1.5mA 3mA 3V 3V
返回
小结：换路初始值的确定
1. t=0- ：电感相当于短路;电容相当于开路. 2.换路后 t=0+ 瞬间： 电容 uC(0+) = uC(0 -)=US 相当于数值为US的理想电压源
S iR
t=0
+
+
RC
duＣ dt
+
uＣ=
UＳ
US –
C uC uＣ( t ) = u '+ uＣ'' –
设uＣ' =K（常量），则
dK RC dt + K= UＳ
所以 K=UＳ ， uＣ' = UＳ
即：稳态时电容两端的电压值，称之为稳态解。
uＣ(∞ ) =UＳ
返回
(2）通解uＣ''
是齐次微分方程
一般一阶电路 只含有一个储能 元件。
分析方法
经典法： 通过列出和求解电路的 微分方程，从而获得物 理量的时间函数式。
三要素法：在经典法的基础上总结 出来的一种快捷的方法， 只适用于一阶电路。
返回
1. 一阶RC 电路瞬态过程的微分方程
图示电路，当 t = 0 时， S i R
开关 S 闭合。列出回路电压
1 <2<3
0.368US
0 1 2
3
t
返回
(3) RC 电路的全响应
+
US1
-
1 S t=0 R i
2 + + uR -
US2
C
-
开关 S 在t=0时从“1”切换
+
-uC
到“2”，试分析uC, uR, i 。
解：uC(0+)=uC(0-)=US1 uc(∞ ) =US2
＝ RC
u C = US2 + (US1-US2) e-t /
t
态过程的初始值。
O- O O+
返回
（2）换路初始值的确定 步骤：
1.由t =0- 时的电路求 uC(0-), iL(0-)； ２.根据换路定律求得 iL(0+)[=iL(0-)]
u C(0+)[=uC(0-）]; 3.根据 t =0+ 瞬时的电路(等效电路)， 求其他物理量的初始值。
返回
[例] 已知： 开关S长时间处于“1”的位置，t =0 时S由
（1）换路定律 uC、iL 在换路瞬间不能突变。
设t=0时进行换路，换路前的终了时刻用 t=0- 表示，
换路后的初始时刻用 t=0+ 表示。t=0- 和 t=0+ 在数值
上都等于0。 用数学公式来表示：
u C(0+) = u C(0-) iL(0+) = iL(0-)
说明：
换路定律仅适用于换
路瞬间，用以确定暂
RC
duC dt
+ uＣ=
0
的通解。
uＣ''= Ae pt, 将其 代入
S iR
齐次微分方程中,得出
t=0
+
RC .Ae pt .P + Ae pt =0 US –
+
C uC
–
其特征方程为 RCP +1= 0
所以
1 P = – RC
e uＣ''=A
–
t
RC
返回
t
e uＣ''= A RC = Ae-t /
uR =US2 –uC = –(US1-US2) e-t / i = - US1 –US2 e-t /
R
返回
全响应曲线 uC = US2+ (US1- US2) e-t /
⑴ US1US2 [uC(0+ ) uC(∞ )] US1 u uC
US2
u ⑶ US1 = US2
US2
uC
– –(US1 US20) i
返回
2. 三要素法
uC(t) = uC'+uC''= uC(∞)+[uC(0+) – uC(∞)]e-t/
一般表达式
f(t) = f(∞)+[f(0+) – f(∞)]e-t/
此式为分析一阶RC电路暂态过程的“三要素”公式， 可推广于任意的一阶电路。
只要求出“三要素”——f(∞)、f(0+)、，即可直接
“1” 到 “2” 。求：i（0+）、i1（0+）、i2（0+）、 uL（0+）、uC（0+) 。
2
S t =0 i i2
解：
1 R 2kΩ
R1
R2
1.求换路前各电压、电 流值，即t＝0-的值。
+
US - 6V
2kΩ
i1 + L uL
1kΩ
+
-uC
此时L和C在电路中相 当于什么状态呢
-
返回
换路前 L 短路,C开路。
S iR
t=0
+
+
定义 = RC
US –
C uC
–
RC电路的时间常数
uＣ'' 按指数规律变化，称为暂态分量。
一阶RC电路暂态过程微分方程的全解为:
uＣ( t ) = uＣ' + uＣ" = uＣ(∞ ) +Ae-t / = UＳ+ Ae-t /
返回
uＣ( t ) = uＣ(∞ ) +Ae-t /
= US e-t/
返回
零输入响应波形
uＣ(t) = US e-t/
US
i(t) = – US e-t/
R
0
– US
uR(t)= – US e-t/ R
-US
uＣ
i
t
uＲ
返回
时间常数 对零输入响应波形的影响
uＣ(t) = USe-t/ uＣ() = USe- / = USe-1 =0.368US
US
+ 电路已经换路且达
uC 到 稳态，故：
– uＣ(∞） = US 。
注意： 此时电路已经换路
电路已达到稳态
C相当于开路 按直流电路求解
返回
S iR
t=0
+
US –
C
3.求时间常数
+
uC = RC
–
例如：
S
t=0
R1
R2
+
+
R3
US C –
– uC
3
US –C
– uC
R——
多回路电路中,戴维 宁等效电路中的
iL(0-)=i1(0-)=
US R+R1
=1.5mA US
uC(0-)=i1(0-)R1=3V
i
+ R 2kΩ
6V
–
i1
i2 R1 R2 2kΩ 1k Ω
uC
i
i2
+ US 6V
–
R1 R2
i1
2kΩ 1kΩ +
1.5mA
-3V
t=(0+)时的等值电路
t=(0-)时的等值电路 2.依换路定律，得:
试分析 uC(t) ，i（t）， u R(t) 。
运用三要素法求解：
uＣ(0+ ) ＝ uＣ(0－)＝0
uＣ(∞) = US
＝ RC
返回
uＣ(0+ ) ＝0 , ＝ RC
S（t=0） R i
uＣ(∞) = UＳ 代入一般公式
+ 21
US –
+
C – uC
uＣ(t) = uＣ(∞)+[uＣ(0+ ) – uＣ(∞)] e-t/
稳态分量 暂态分量 零状态响应
uC
US2
US1 0
uC 全响应
US2
零状态响应
US1
零输入响应
t
0
t
返回
S
+ uR1- i2
[例]已知各电路参数，t=0时
t=0
+
-US
R1 i1
R2 C
+
uC -
开关S闭合。
求：开关闭合后Uc、 uR1 、 i1 、 i2
的变化规律。
运用三要素法求解
写出暂态过程的解。
返回
运用三要素法求解一阶电路暂态过程的步骤:
S iR
t=0
+
+
US –
uC
–
1. 求初始值：
注意：
按照换路前的电
此时电路尚未 换路
路求解: uＣ(0 – )=0； 电路处于稳态，
依换路定律，得：
按直流电路求
uＣ(0+)= uＣ(0–) =0 。 解
S
R
+ t=0 US
–
i
2. 求稳态值:
方程：
Ri + uＣ = UＳ US
由于
i
=C
duC dt
,所以
t=0
+ –
+
C uC
–
RC ddut Ｃ+ uＣ= UＳ
uＣ' — 方程的特解
其解的形式是：