【精选】苏科版八年级上册数学 全等三角形易错题(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；

（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．

【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．

【解析】

【分析】

（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN

=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到

MN=BM+NC．

（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．

【详解】

解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD与△ECD中，

∵BD CD

MBD ECD BM CE

，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△DMN与△DEN中，

∵MD DE

MDN EDN DN DN

，

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．

（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，

∴∠MBD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中

∵BM CE

MBD ECD BD CD

，

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DM= DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△MDN和△EDN中

∵ND ND

EDN MDN ND ND

，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半轴上，作DA⊥x轴，垂足为A，已知OA比OB的值大2，四边形AOBD的面积为12．

（1）求m和n的值．

（2）如图2，C为AO的中点，DC与AB相交于点E，AF⊥BD，垂足为F，求证：AF＝DE．

（3）如图3，点G在射线AD上，且GA＝GB，H为GB延长线上一点，作∠HAN交y轴于点N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．

【答案】（1）

4

2

m

n

=-

⎧

⎨

=

⎩

（2）详见解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即当点H在GB的

延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【解析】

【分析】

（1）由点D，点B的坐标和四边形AOBD的面积为12，可列方程组，解方程组即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝25，利用SAS可证

△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面积公式即可求证；

（3）取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，证明

△ABH≌△CAN，即可得到结论.

【详解】

解：（1）由题意()()

2

1

812

2

m n

n m m

--=

⎧

⎪

⎨

++-=

⎪⎩

解得

4

2

m

n

=-

⎧

⎨

=

⎩

；

（2）如图2中，

由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），

∴AD＝OA＝4，OB＝2，

∴由勾股定理可得：AB＝BD＝5

∵AC＝OC＝2，

∴AC＝OB，