数形结合法在函数零点问题中的应用配套练习
《数形结合思想在函数零点有关问题中的应用》热点题型探究
《数形结合思想在函数零点有关问题中的应用》热点题型探究函数可以用解析式和图象表示，在解决函数零点有关问题时，常常会画出相关函数图象，让问题变得直观清晰．题型一 解决一般函数零点有关问题【例1】若关于x 的方程x ＋1－x ＝m 有两个不同的实根，求实数m 的取值范围． 解析 将方程变形为x ＋1＝m ＋x ，引入两个函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋m ，在同一直角坐标系中作出f (x )＝x ＋1(x ≥－1)与g (x )＝x ＋m (x ≥－m )的图象，如图所示．g (x )＝x ＋m (x ≥－m )表示以(－m,0)为端点位于x 轴上方的动射线，f (x )＝x ＋1(x ≥－1)表示是由幂函数y ＝x 向左平移一个单位得到的图象．当m ＝1时，射线与曲线恰有两个交点；当射线与曲线相切，即方程x ＋1＝(m ＋x )2只有一个解时，由x 2＋(2m －1)x ＋m 2－1＝0得Δ＝(2m －1)2－4(m 2－1)＝0，所以m ＝54.结合图形得1≤m <54.故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，54.涉及方程根的个数问题一般要用到数形结合．首先要观察，把左右两边变成熟悉且容易画出图象的函数，然后找到临界状态(“形”的功能达成)，再通过运算，计算出临界状态的参数值(这就是“以数辅形”)，最后根据运动变化的过程写出参数范围．【变式1】已知函数f (x )＝e x －ax 2，f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，求a .解析 令f (x )＝0可得a ＝e x x 2，设g (x )＝e xx 2，则g ′(x )＝e x (x －2)x 3，所以g (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，画出g (x )的草图如图所示，又由图象可知g (x )min ＝g (2)＝e 24，要使g (x )＝a 只有一个零点，则需a ＝g (2)＝e 24.故a 的值为e 24.题型二 解决分段函数零点有关问题【例2】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋1，x ≤0，若方程f (x )－a 2＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为________.解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋1，x ≤0的图象，如图所示．方程f (x )－a 2＝0有三个不同的实数根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 2有三个不同的交点，根据图象可知，当0＜a 2≤1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 2有三个不同的交点，故a 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．答案 [－1,0)∪(0,1]【变式2】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪6－12x ，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________.解析 lg 10＝1，令⎪⎪⎪⎪6－12x ＝1，得x ＝10或x ＝14.作出f (x )的图象如图所示，若有f (a )＝f (b )＝f (c )，结合图形可知0<f (a )＝f (b )＝f (c )<1，则1<a <10,10<b <12,12<c <14，又因为b ，c 关于直线x ＝12对称，所以b ＋c ＝2×12＝24，所以a ＋b ＋c ＝24＋a ∈(25,34)，故a ＋b ＋c 的取值范围为(25,34)．答案 (25,34)题型三 解决复合函数零点有关问题)【例3】设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5|x －1|－1，x ≥0，x 2＋4x ＋4，x <0，若关于x 的方程[f (x )]2－(2m ＋1)f (x )＋m 2＝0有7个不同的实数解，则m ＝( )A ．6B ．4或6C ．6或2D ．2D 解析 画出f (x )的图象，如图所示．设f (x )＝t ，f (x )＝t 可能有0,2,3,4个解，原方程有7个不同的实数解，则要求方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＝0的两根中一个根t 对应3个x ，此时t ＝4，另一个根t 对应4个x ，此时0<t <4，即方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0,4)内．在方程中代入t ＝4可得m ＝2或m ＝6.当m ＝2时，另一根为1，符合题意；当m ＝6时，另一根为9，不符合题意，舍去．综上，m ＝2.故选D 项．复合函数相关的零点问题，常常把复合函数分解成两个简单函数，先画确定的简单函数的图象，然后明确对含参函数的要求，据此列出条件求解．【变式3】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中真命题的所有序号是________．解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－2x ，x <0，所以当x <0时，f (x )＝－2x >0，所以f (f (x ))＝(－2x )2－1＝4x 2－1；当x ≥1时，f (x )＝x 2－1≥0，所以f (f (x ))＝(x 2－1)2－1＝x 4－2x 2；当0≤x ＜1时，f (x )＝x 2－1<0，所以f (f (x ))＝－2·(x 2－1)＝2－2x 2.由f (f (x ))＋k ＝0，得－k ＝f (f (x ))．在直角坐标系内作出函数y ＝f (f (x ))的图象如图所示，易知①②③均为真命题．答案 ①②③【跟踪检测】1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0，若方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，则实数a 的取值范围为________.解析 画出函数f (x )的图象，如图所示．记方程①为2＝x ＋a (x >0)，方程②为x 2＋4x ＋2＝x ＋a (x ≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)若a <2，则方程①有且仅有一个实数根，若a ≥2，则方程①没有实数根．(ⅱ)若方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4(2－a )>0，2－a ≥0，解得－14<a ≤2；若方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根，则2－a <0或Δ＝0，即a >2或a ＝－14.综上可知，当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a <2；当方程f (x )＝x＋a (a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.所以符合题意的实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－14，2.答案 ⎣⎡⎦⎤－14，2 2．如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.解析 由图象知f (x )＝0有3个根，分别为0，±32，g (x )＝0有3个根，分别为0，±34.由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±32，由图象可知g (x )所对每一个值都有3个根，因而m ＝9；由g (f (x ))＝0知f (x )＝0或±34，由图象可以看出f (x )＝0时对应有3个根，而f (x )＝34时有4个根，f (x )＝－34时只有2个根，加在一起也是9个，即n ＝9.所以m ＋n ＝18.答案 183．规定[x ]表示不超过x 的最大整数，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －2，x <0，x －[x ]，x ≥0，若方程f (x )＝ax＋1有且仅有四个实数根，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ≥0时，f (x )是以1为周期的函数，且f (x )＝x －k ，x ∈[k ，k ＋1)(k ∈N )，当x <0时，f (x )是指数型函数，而y ＝ax ＋1为过定点(0,1)且斜率为a 的直线，在同一个直角坐标系中作出它们的图象如图所示．由图象可知，当直线位于直线l 1处或者l 1与l 2之间时，符合题意，而kl 1＝－12，kl 2＝－13，故－12≤a <－13.答案 ⎣⎡⎭⎫－12，－13 4．已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧－14x 2，0≤x ≤2，－⎝⎛⎭⎫12x－34，x >2，若关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋7a16＝0，a ∈R 有且仅有8个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，设t ＝f (x )，由图可知，要使原方程有且仅有8个不同的实根，则关于t 的方程t 2＋at ＋7a16＝0要有两个不相等的实根t 1，t 2，且t 1和t 2都在区间⎝⎛⎭⎫－1，－34内，令g (t )＝t 2＋at ＋7a16，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫－34>0，g (－1)>0，－1<－a 2<－34，a 2－4×1×7a 16>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <95，a <169，32<a <2，a >74或a <0，得74<a <169. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫74，169.答案 ⎝⎛⎭⎫74，1695．设函数f (x )＝x 3－3x 2－ax ＋5－a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________.解析 设g (x )＝x 3－3x 2＋5，h (x )＝a (x ＋1)，因为g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令g ′(x )>0⇒x >2或x <0，令g ′(x )<0⇒0<x <2，所以g (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又因为g (0)＝5，g (2)＝1，所以在同一直角坐标系中画出两个函数图象，如图所示，要使存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<0，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥h (1)，g (2)<h (2)，g (3)≥h (3)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3＋5≥2a ，8－12＋5<3a ，27－27＋5≥4a ，解得13＜a ≤54.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤13，54.答案 ⎝⎛⎦⎤13，546．已知函数f (x )＝x 2e x ，若关于x 的方程[f (x )]2＋mf (x )＋m －1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x (e x )2＝－x (x －2)e x ，当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值0，在x ＝2处取得极大值4e 2，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0，由此可作出函数f (x )的大致图象，如图所示．令t ＝f (x )，g (t )＝t 2＋mt ＋m －1.由题意与图知，当函数g (t )＝t 2＋mt ＋m －1的一个零点在⎝⎛⎭⎫0，4e 2上时，另一个零点必在(－∞，0)上，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝m －1<0，g ⎝⎛⎭⎫4e 2＝16e 4＋4m e 2＋m －1＞0，解得1－4e 2<m <1；当函数g (t )的一个零点为4e2，另一个零点在⎝⎛⎭⎫4e 2，＋∞上时，设另一个零点为t 0，则由根与系数的关系，得⎩⎨⎧4e 2＋t 0＝－m ，4e 2·t 0＝m －1，解得t 0＝－1∉⎝⎛⎭⎫4e 2，＋∞；当函数g (t )的一个零点为4e2，另一个零点为0时，由根与系数的关系得⎩⎨⎧0＋4e2＝－m ，0×4e 2＝m －1，无解．综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1－4e 2，1.答案 ⎝⎛⎭⎫1－4e 2，1。
高考数学(理科)- 数形结合思想-专题练习(含答案与解析)
)()
1,+∞
，2
=，则BC
AF BF
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线():4l y k =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
)()
1,+∞
如图，525,33D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ⎛ ⎝联立直线l 的方程与曲线C ]{}
,GH GI k k 53,44⎤⎧⎫
-⎨⎬⎥⎩⎭⎦
高考数学（理科）专题练习
数形结合思想
解析
1．∵a＞0，∴a2＋1＞1．
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有2个交点．
的交点的横坐标．因为f(－
，1]时，f(x)＝x3，则在平
由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为
＝0，x3＋x5＝2，x4＝1，x6＋x7＝4，所以x1＋x2＋
上的零点的和为7，故选A．
4．函数f(x)＝a＋sin x在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程
②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数一个公共点．
③若a＞1，则a3＞a2，函数个公共点．
综上，a＜0或a＞1．6．记y＝log x(a＞0，
－12≤－k ＜1
2或－k ＝1， 即－12＜k ≤1
2或k ＝－1．]
则圆心C 的坐标为(3，4)半径m 的最大值，即求圆C 上的点即m 的最大值为6．。
函数零点问题-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】
函数零点问题【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数()23xf x x =--的零点所在的区间为（ ）A ．)(01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【变式演练2】（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（ ）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()226xf x x =+-的零点为0x ，不等式06x x ->的最小整数解为k ，则k ＝（ ） A ．8B ．7C ．5D ．6类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板 内 容使用场景一般函数类型解题模板 第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【变式演练4】（2022·重庆·三模）已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式演练5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数|2|1()2x f x -=，()g x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)(2)g x g x +=-，当[0,2]x ∈时，2()log (1)g x x =+．则当[0,2022]x ∈时，方程()()f x g x =实根的个数为_______．【变式演练6】（2022·北京·高三开学考试）已知函数()x af x a x a+=--，给出下列四个结论： ①存在a ，使得函数()f x 可能没有零点； ②存在a ，使得函数()f x 恰好有1个零点； ③存在a ，使得函数()f x 恰好有2个零点； ④存在a ，使得函数()f x 恰好有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______.方法2：数形结合法万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程3()|log |3x x =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【变式演练7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式演练8】（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）（多选）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()()1g x f f x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()g x 有4个零点 B ．当0a >时，()g x 有5个零点 C ．当0a <时，()g x 有1个零点D ．当0a <时，()g x 有2个零点【变式演练9】（2022·湖南师大附中三模）（已知）已知函数()[)[)1,0,1,21,1,2,3x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪-⎩对定义域内任意x ，都有()(2)f x f x =-，若函数()()=-g x f x k 在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k 的可能取值为（ ） A ．0B ．1C 2D 21【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为 ．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【反馈练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ）95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()()=x f x e ()2ln g x x =-A ．B ．C ．D ．【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知直线l 与曲线ln (01)y x x =<<相切于点00(,)M x y ，若OM l ⊥，则0x 所在的取值区间是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e x g x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d <<D ．b c a <<6．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1x g x x =++的一个零点，132log 5c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<7．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））定义域在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨⎪--≥⎩，则关于x 的函数()()12g x f x =-的所有零点的和是（ ）A 21B ．122C ．122-D ．129．（2022·河南·高三开学考试（文））已知定义域为R 的偶函数()f x 的图像是连续不间断的曲线，且()0,1()1,2()2,3()3,4(2)()(1)f x f x f ++=，对任意的1x ，20[]2,x -∈，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则()f x 在区间[]100,100-上的零点个数为（ ） A ．100B ．102C ．200D ．20210．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ） A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个11．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()e 2x y f x -=--B ．()e 2x y f x =+C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+12．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数()222,0,23,0lnx x x x f x x x x ⎧-+>=⎨--≤⎩的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．313．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A ．120x x +>B ．120x x <C ．12ln 0xe x +=D ．12121x x x x -+<15．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）（多选）已知函数()1,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数判断正确的是（ ） A ．当0k <时，有1个零点； B ．当0k >时，有4个零点； C ．无论k 取何值，均有2个零点；D ．无论k 取何值，均有4个零点；16．（2022·全国·高二专题练习）设定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，对任意的,()0x ∈+∞，都有[]3()log 4f f x x -=，若0x 是方程()2()3f x f x '-=的一个解，且*0,(1),N x a a a ∈+∈，则实数a =_____． 17．（2022·重庆·高三阶段练习）函数||21()2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是______．18．（2021·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知函数24,1()lg 1,1x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((9))f f -=__________，()f x 的零点个数为__________个．19．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题20．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程； （2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()112 ()1421x x f x k -=-+-。
数形结合思想在函数与三角函数中的应用-练习题
【数形结合思想在函数与三角函数中的应用】数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
有关函数的定义域、值域、单调性、对称轴等问题1. 函数2sin cos (0)y x x ωωω=>的最小正周期是ω，则函数()2sin 2f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（ ） A. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. 函数y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪sin 252π的图像的一条对称轴是（ ）A. x =-π2B. x =-π4C. x =π8D. x =54π 3. 如果||x ≤π4，求函数f x x x ()cos sin =+2的最小值4. 已知向量(cos sin ,sin ),(cos sin ,2cos ),().a x x x b x x x f x a b =+=-=∙设（1）求函数()f x的最小正周期；（2）当,44xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x的最大值和最小值。
5.已知函数2()sin sin(0)2f x x x xπωωωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π（1）求ω的值；（2）求函数()f x在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围。
● 分段函数问题1. 设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ）A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B ．[0,)+∞ C ．9[,)4-+∞ D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦2. 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11(,)73（D ）1[,1)73. 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5()3f π的值为（ ）A. -12 B. 12C.-D.4. 画出21,0,0x y x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ 函数图象,写出函数的定义域和值域。
《函数零点之数形结合》专题
《函数零点之数形结合》专题2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 不求难题都做，先求中低档题不错。
函数y ＝f (x )有零点⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴 ⇔方程f (x )＝0 ． 高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题； ③结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。
【题型一】求零点个数及所在区间1.方程||0a x x-=（0a >）的零点有 个. 2.求函数1()3f x x x =+-的零点有 个. 3.方程223x x -+=的实数解的个数为 .4.设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则()()g x f x x =-的零点有 个.5.判断函数f (x )=ln x +x 2-3的零点的个数为 .7.设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48.函数f(x)=2x |log 0.5x|-1的零点个数为 ( )A.1B.2C.3D.49.下列函数：①y ＝lg x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝|x |－1，其中有2个零点的函数是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．④【规律总结】判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)由f (x )=g(x )-h(x )=0，得g(x )=h(x )，在同一坐标系下作出y 1=g(x )和y 2=h(x )的图象，利用图象判定函数零点的个数.(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.8.函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)9.设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10.函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)11.在下列区间中，函数f(x)=e x +4x-3的零点所在的区间【题型二】求参数的取值范围1.若函数f(x)=a x-x-a (a >0且a 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .2.函数f (x )＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________．3.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________．4.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．2.已知二次函数f(x)=x2-2ax+4，求在下列条件下，实数a的取值范围.(1)零点均大于1.(2)一个零点大于1，一个零点小于1.(3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内.。
运用数形结合思想探究函数零点问题专题
运用数形结合思想探究函数零点问题运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点与难点，解决此类问题的难点例题：已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ， x ＜0，若函数g(x)＝|f(x)|－3x ＋n 有三个零点，求实数n的取值范围．变式1已知函数f(x)＝⎩⎨⎧|x|，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x的方程f(x)＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________．变式2已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x ＜0，log a（x ＋1）＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________________．串讲1(2018·苏州三模)如果函数y ＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i －2|f(x i )＝1(i ＝1，2，3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝a e x 具有性质Ω，则实数a 的取值范围为________________．串讲2已知直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x 恰好有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________________．(2018·镇江期末)已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x|，x ＞0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同的解，则实数k 的取值集合为________________．(2018·镇江期末)已知b ＞0，且b ≠1，函数f(x)＝e x＋b x，其中e 为自然对数的底数； (1)如果函数f(x)为偶函数，求实数b 的值，并求此时函数的最小值；(2)对满足b ＞0，且b ≠1的任意实数b ，证明函数y ＝f(x)的图象经过唯一定点； (3)如果关于x 的方程f(x)＝2有且只有一个解，求实数b 的取值范围．答案：(1)b ＝1e ，f(x)的最小值为2；(2)(0，2)；(3)b ＞1或b ＝1e.解析：(1)由f(1)＝f(－1)得e ＋b ＝1e ＋1b ，解得b ＝－e (舍去)，或b ＝1e ，1分经检验f(x)＝e x ＋1e x 为偶函数，所以b ＝1e .2分因为f(x)＝e x ＋1ex ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，3分所以f(x)的最小值为2.4分(2)假设y ＝f(x)过定点(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0＋bx 0对任意满足b ＞0，且b ≠1恒成立.5分 令b ＝2得y 1＝e x 0＋2x 0；令b ＝3得y 0＝e x 0＋3x 0，6分所以2x 0＝3x 0，即⎝⎛⎭⎫32x 0＝1，解得唯一解x 0＝0，所以y 0＝2，7分经检验当x ＝0时，f(0)＝2，所以函数y ＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2).8分 (3)令g(x)＝f(x)－2＝e x ＋b x －2为R 上的连续函数，且g (0)＝0， 则方程g (x )＝0存在一个解.9分(ⅰ)当b ＞0时，g (x )为增函数，此时g (x )＝0只有一解.10分 (ⅱ)当0＜b ＜1时，令g ′(x )＝e x＋b xln b ＝e x⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫be xln b ＝0，解得x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b ).11分因为e x＞0，0＜b e＜1，ln b ＜0，令h (x )＝1＋⎝⎛⎭⎫b e x ln b ，h (x )为单调增函数，所以当x ∈(－∞，x e )时，h (x )＜0，所以g ′(x )＜0，g (x )为单调减函数；当 x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，所以g ′(x )＞0，g (x )为单调增函数，所以g (x )极小＝g (x 0)．因为g (x )定义域为R ，所以g (x )min ＝g (x 0).13分 ①若x 0＞0，g (x )在(－∞，x 0)上为单调减函数，g (x 0)＜g (0)＝0，而g (ln2)＝2＋b ln2－2＝b ln2＞0，所以当x ∈(x 0，ln2)时，g (x )至少存在另外一个零点，矛盾.14分 ②若x 0＜0，g (x )在(x 0，＋∞)上为单调增函数，g (x 0)＜g (0)＝0，而g (log b 2)＝ elog b 2＋2－2＝elog b 2＞0，所以g (x )在(log b 2，x 0)上存在另外一个解，矛盾． ③当x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )＝0，则－ln b ＝1，解得b ＝1e， 此时方程为g (x )＝e x ＋1e x －2＝0，由(1)得，只有唯一解x 0＝0，满足条件．综上所述，当b ＞1或b ＝1e 时，方程f (x )＝2有且只有一个解.16分例题答案：(－∞，－6)∪⎝⎛⎦⎤－14，0. 解析：令g(x)＝0，即|f(x)|＝3x －n ，设函数y ＝|f(x)|，y ＝3x －n ，分别作出两个函数的图象，问题转化为所作的两个函数有三个不同的交点，求n 的取值范围问题．当x ≥0时，直线y ＝3x －n 过原点，即n ＝0时，两曲线恰有三个交点，当直线y ＝3x －n(n ＜0)与y ＝4x －x 2相切时，两条曲线有2个交点，即方程x 2－x －n ＝0的判别式Δ＝1＋4n ＝0，即n ＝－14，所以当－14＜n ≤0时，g(x)＝0有三个零点．当x ＜0时，直线y ＝3x－n(n ＜0)与y ＝－3x 相切时，两曲线有2个交点，当直线y ＝3x －n 与y ＝－3x 相交时，两曲线有3个交点，即方程3x 2－nx ＋3＝0的判别式Δ＝n 2－36＞0，解得n ＜－6，当n ＜－6时，g(x)＝0有三个零点．综上所述，当n ∈(－∞，－6)∪⎝⎛⎦⎤－14，0时，g(x)＝0有三个零点． 变式联想变式1答案：(3，＋∞)．解析：如图，当x ≤m 时，f(x)＝|x|；当x ＞m 时，f(x)＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f(x)＝b 有三个不同的根，则m 2－2m·m ＋4m ＜|m|.∵m ＞0，∴m 2－3m ＞0，解得m ＞3.变式2答案：⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.解析：由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0＜a ＜ 1.又由f(x)在R上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋（4a －3）·0＋3a ≥f （0）＝1，3－4a 2≥0，解得13≤a ≤34.如图所示，在同一坐标系中作出函数 y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a ＞2，即a ＞23时，由x 2＋(4a －3)x＋3a ＝2－x (其中x ＜0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x ＜0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.串讲激活串讲1答案：⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.解析：由题意|x －2|f(x)＝1有三个根，即a|x －2|＝1e x 有三个根；设f(x)＝a|x －2|，g(x)＝1e x ，由图象可知a ≤0不合题意，即有a ＞0；设y ＝k(x －2)与函数g(x)＝1e x 图象切于点(x 0，y 0)，则k ＝－e －x 0，y 0＝k(x 0－2)＝e －x 0＝－e －x 0(x 0－2)，解得x 0＝1，k ＝－1e ；因此，当x ＜2时，f(x)＝－a(x －2)的斜率－a ＜－1e ，即a ＞1e.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 串讲2答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18.解析：从函数结构上看f(x)＝x 2＋1|x|－|x 2－1||x|，f(x)是定义域上的偶函数，因此只要讨论x ＞0时的情形．当0＜x ＜1时，f(x)＝x 2＋1－（1－x 2）x＝2x ；当x ＞1时，f(x)＝x 2＋1－（x 2－1）x ＝2x.作出函数f(x)的图象(如图所示)．当k ＝0时，直线与曲线恰有四个不同的交点；当k ＞0时，直线y ＝kx ＋1与y ＝－2x (x ＜－1)相切时恰有四个不同交点，即kx ＋1＝－2x 有且仅有一解，所以二次方程kx 2＋x ＋2＝0的判别式Δ＝1－8k ＝0，故k ＝18；当k ＜0时，同理求得k ＝－18.综上所述，满足条件的实数k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18.新题在线答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)．解析：作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x ≤0，ln x ， x ＞0和函数y ＝kx ＋2的图象(图略)，过点A(0，2)分别作曲线C 1：y ＝ln x(x ＞1)，C 2：y ＝－ln x(0＜x ＜1)，C 3：y ＝x ＋2x ＋1(－1＜x ＜0)的切线，对应的斜率分别为1e3，－1，－e ，由图象可知：当函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x ≤0，ln x ， x ＞0和函数y ＝kx ＋2的图象有4个不同的公共点时，对应的k 的取值范围为k ＝1e3或－e ＜k ＜－1，所以当f(x)＝kx ＋2有4个不同的解时，对应的k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)．。
中考数学数形结合思想在几何中的应用专题练习
专题练习数形结合思想在几何中的应用一. 填空题1. 若A （-5，3）、B （3，3），则以AB 为底边、腰长为5的等腰三角形ABC 的顶点C （点C 不在坐标轴上）的坐标是______________。
应填入：（-1，6）2. 已知：半径为的圆与两坐标轴都相切，圆心在第二象限，则圆心坐标是5________________。
应填入：()-55，3. 若第四象限点A 到坐标原点O 的距离为2，OA 与x 轴正半轴夹角为30°，则A 点坐标是__________________。
应填入：()31，-4. 已知：A （3，-5），|AB|=13，点B 在x 轴负半轴上，则B 点坐标是_____________。
应填入：()-90，5. 已知：如图所示，△ABC 中，A 为坐标原点，AB 在x 轴上，∠BAC=180°－α（0°<α<90°），AC=m ，则C 点坐标（用α的三角函数及m 表示）是_____________。
应填入：(cos sin )-m m αα，6. 如图所示，在矩形ABCD 中，BD=10，△ABD 的内切圆半径为2，切三边于E 、F 、G ，则矩形两边AB=________________，AD=_______________。
B C应填入：6，8 二. 解答题7. 已知：如图所示，矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），∠OAB=60°，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标。
（利用点到轴的距离等于点坐标的绝对值沟通形与数）yCαO A B x解：()232，-8. 如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在BC 上，BD=4，AD=BC ，cos ∠=ADC 35，求：（1）DC 的长；（2）sinB 的值。
（图形中线段和差作为等量关系）AB D C解：（1）Rt ACD ADC CD AD ∆中，cos ∠==35设CD=3k ，∴AD=5k又， BC AD k k =∴+=345 ∴=∴==k CD k 236，（），，23464104822 BC k AC AD CD k =+=+==-==∴=+=+=AB AC BC 2222810241∴===sin B AC AB 8241441419. 已知：如图所示，在矩形ABCD 中，以AB 为直径作圆O 切CD 于F ，连AC 交圆O 于P ，PE ⊥AB 于E ，AB=a ，求PE 的长。
数形结合解零点问题(已修改,含答案)
x 4 和 y 4 x的
x
x 4 x 4的 零 点 个 数 为1.
y y= x+4
O
1 y=4-x
x
(图1)
例 2 ： 定 义 函 数 f ( x ) m in { x , x } , 其 中 { x / x 0}
2
2
满 足 函 数 G ( x ) f ( x ) k 有 四 个 零 点 ， 求 k的 范 围 （ 即 图 象 f ( x )与 y k 有 四 个 交 点 ）
0k 1
(二 ） 零 点 所 在 区 间 问 题 例 3 ： 函 数 f ( x ) lg x x 3的 零 点 所 在 区 间 为 （ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D . ( 3 , + )
C
y
）
y=lgx O 1 3 y=-x+3
(图4)
x
若 题 目 改 为 零 点 所 在 区 间 ( n , n 1), n N ， 则 n=?
评 注 ： 数 形 结 合 ， 要 在 结 合 方 面 下 功 夫 ,本 题 不 仅 要 通过图象直观估计，而且还要计算两个函数 值，通过比较其大小进行判断.
（三）零点值问题 例 4 ： 若 函 数 f ( x ) e x 3的 零 点 x1， g ( x ) ln x x 3的 零 点 x 2 ,
2
（1 ） 函 数 f ( x ) 有 四 个 零 点 （ 2 ） 函 数 f ( x )有 三 个 零 点 （3 ） 函 数 f ( x )有 两 个 零 点
0a 1 a 1
a 0或a 1
(一 ) 零 点 个 数 问 题 例1 ： 求 函 数 f
高考复习专题：数形结合法解函数的零点问题
高考复习专题：数形结合法解函数的零点问题类型一：数形结合法解与一元二次方程有关的相嵌函数的零点问题1.设函数lg|2|2()12x xf xx-≠⎧=⎨=⎩，若关于x的方程2[()]()0f x bf x c++=恰有3个不同的实数解123,,x x x则123()f x x x++的值等于____________.lg42.设定义域为R的函数11|1|()11xxf xx⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x的方程2[()]()0f x bf x c++=恰有3个不同的实数解123,,x x x，则222123x x x++的值等于_________.53.已知函数()y f x=是定义域为R的偶函数，当0x≥时，21024()13()224xx xf xx⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩，若关于x的方程27[()]()0,16af x af x a R++=∈有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是_____________.4.已知函数()y f x=是定义域为R的偶函数，当0x≥时，250216()1()122xx xf xx⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x的方程2[()]()0,,f x af x b a b R++=∈有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是______.5.已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2[()]|()|0,(,)f x a f x b a b R ++=∈恰有6个不同实根解，则a 的取值范围是_______________.6．函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解,则a 的取值范围是____________．解析：关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=的根为3(),()2f x a f x ==，画出3(),,2y f x y a y ===的图像，数形结合知选B7．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23[()]2()0f x af x b ++=的不同实根个数是_______________.8．已知,,,a b c d 均为实数，函数32()(0)32a b f x x x cx d a =+++<有两个极值点12,x x ，（12x x <），满足21()f x x =，则方程2[()]()0a f x bf x c ++=的实根个数是________.类型二：数形结合法解分段函数的零点问题9．已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x R ∀∈，有(2)2()f x f x +=；③当[0,2]x ∈时，()222f x x =--．记()()x f x x ϕ=([8,8])x ∈-．根据以上信息，可以得到函数()x ϕ的零点个数为____________．10．设函数()f x 的定义域为R ，1()1,10()3,01xx f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎪≤≤⎩，且对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，若在区间[1,5]-上函数()()g x f x mx m =--恰有6个不同点，则实数m 的取值范围是____________．11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，当0x >时，(1)()(1)f x f x f +=+ ，且 若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ．[解析] 因为0x >时，()(1)1f x f x =-+，所以()f x 就是将(1)f x -先向右平移一个单位，然后再向上平移一个单位，所以当[1,2]x ∈时，2()(1)1f x x =-+，当[2,3]x ∈时，2()(2)2f x x =-+，根据()f x 为奇函数可以得到()f x 如图所示的草图，当直线y kx =与2()(1)1f x x =-+相切时，2(2)20x k x -++=，2(2)80,222k k ∆=+-==-，所以要使y kx =与函数()y f x =的图象恰有5个不同的公共点，则222k =-.12．如果关于x 的方程24xkx x =+有4个不同的实数解，则实数k 的取值范围是（ D ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()1,+∞ D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭13．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
数形结合解决函数的零点问题
数形结合 解决函数的零点问题
复习旧知
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的
实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标。
等价关系：
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
判断函数零点个数的 3 种方法
一、 f (x) k 型函数的零点问题
的个3 数.
由图像可知有8个交点.
y
2
1 y=
x1
因为两函数图像都
x)
1
y = sin(2∙π∙x)
关于点 (1, 0) 对称,
所以交点的横坐标
2
o
2
1
4
x 6之和为8 8. 10
2
二、f (x) g(x) 型函数的零点问题
经验总结： 1.分离成两个函数求交点的问题. 2.注意分离的两个函数应尽可能的 是熟悉、常见的函数.
二、f (x) g(x)型函数的零点问题
例3 (2018年新课标Ⅰ)
已知函数 ex , x 0,
f (x)
, g(x) f (x) x a.
ln x, x 0.
若 g(x) 存在2个零点,则 a 的取值范围(
A.[－1,0)
B.[0,＋∞)
C.[－1,＋∞)
D.[1,＋∞)
例 4 (2018·山西质量检测)
已知 f(x)＝2|lxn＋x1|， ，xx≤>00，，
则方程 f[f(x)]＝3 的
根的个数是( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
经验总结： 1.先分离出内外层函数，分别作出内外 层函数的图像，借助图像来求解. 2.注意：遵循“由外到内”的顺序，一层 层拆解直到求出x的值。
数形结合思想在函数零点问题中的应用
思想概述·应用点拨
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归纳总结·思维升华
思想概述·应用点拨
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解析 (1)由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两 个不等的实根，从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b 的图象有两个交点，如图所示.
结合函数的图象，可得0＜b＜2，故填(0，2).
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热点二 数形结合思想的应用 [微题型1] 运用数形结合思想解决函数、方程问题
【例2－1】 已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－ 2)x － a2 ＋ 8 ， 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的 较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝ ________.
解析 作出函数 y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝ f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察
图象可得 0＜a＜12.
答案 0，12
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4.(2015·江苏卷)已知函数 f(x)＝|ln x|，g(x)＝0|x，2－04＜|－x≤2，1，x＞1， 则方程|f(x)＋g(x)|＝1 实根的个数为____4____.
答案 －16
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思想概述·应用点拨
高中数学求零点个数例题
高中数学求零点个数例题①解方程：通过解方程 f(x)=0 得到零点；②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.我们来看一个具体的例子.【例1】（2018全国2卷文数21-2）已知函数f(x)=\frac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)，证明： f(x) 只有一个零点.【分析】 f(x) 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： a=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)} 的解个数问题.进一步转化为函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.【解析】因为 x^2+x+1>0 恒成立.所以 f(x) 零点个数等价于函数函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.先判断 g(x) 单调性，用导数法：g'(x)=\frac{3x^2(x^2+x+1)-x^3(2x+1)}{3(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2(x^2+2x+3)}{3(x^2+x+ 1)^2}\geq0 ,当且仅当 x=0 时 g'(x)=0 ,g(x) 单调递增.所以 g(x) 至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点.又因为 f(3a+1)=\frac{1}{3}>0 , f(3a-1)=-6a^2+2a-\frac{1}{3}=-6(a-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{6}<0 ,所以 f(x) 恰有一个零点.【小结】分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择f(3a+1),f(3a-1) 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.【例2】（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数f(x)=lnx-\frac{x+1}{x-1} ,求 f(x) 的零点个数.【分析】求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.【解析】 f(x) 定义域为 (0,1)\cup(1,+\infty) ，而f(x)=lnx-1-\frac{2}{x-1} ,由和差法： y=lnx 和 y=-\frac{1}{x-1} 在(0,1)\cup(1,+\infty)上都是单调递增了，所以 f(x) 在(0,1)\cup(1,+\infty)单调递增；在 (0,1) 上 f(x) 单调递增，当 \frac{1}{3}<x<1 时，f(x)>f(\frac{1}{3})=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-1-ln3>\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，当 0<x<\frac{1}{e^2} 时，f(x)<f(\frac{1}{e^2})=\frac{2}{1-\frac{1}{e^2}}-3<\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，由零点存在定理和单调性， f(x) 在 (0,1) 有唯一零点，在 (1,+\infty) 上 f(x) 单调递增，当 1<x<3 时， f(x)<f(3)=ln3-2<0 ,当 x>e^2 时， f(x)>f(e^2)=1-\frac{2}{e^2-1}>1-\frac{2}{3-1}=0 ,所以 f(x) 在 (1,+\infty)有唯一零点.综上， f(x) 在定义域上有两个零点.【例3】（2019全国1卷文数20-1改编）已知函数h(x)=cosx+xsinx-1 ,证明： h(x) 在区间 (0,\pi) 存在唯一零点.【分析】让我确定零点个数，需要结合单调区间和零点存在定理来证明.【解析】给定了定义域区间为 (0,\pi) ,用导数法判断单调性： h'(x)=xcosx ，判正负区间： h'(x) 正负区间同 y=cosx ，易知在(0,\frac{\pi}{2}) 上 h'(x)>0,h(x) 单调递增；在(\frac{\pi}{2},\pi) 上， h'(x)<0,h(x) 单调递减.而 h(0)=0,h(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1>0，h(\pi)=-2<0 ,由零点存在定理和单调性，所以在(0,\frac{\pi}{2})上 h(x) 无零点，在 (\frac{\pi}{2},\pi) 上有唯一零点.得证.【例4】（2015全国1卷文书21-1）设函数 f(x)=e^{2x}-alnx .讨论 f(x) 的导函数 f'(x) 零点的个数.【分析】先求出 f'(x) 及定义域，通过判断 f'(x) 单调性和零点存在性来确定零点个数.【解析】 f'(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}(x>0) .①当 a\leq0 时，显然 f'(x)>0 恒成立，无零点.②当 a>0 时，判断 f'(x) 的单调性，用和差法：y=2e^{2x},y=-\frac{a}{x} 都是在 (0,+\infty) 上的单调递增函数，所以 f'(x) 单调递增.当 x>max(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)>2e^2-2e^2=0 ,当 x<min(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)<2e^2-2e^2=0 ,所以此时 f'(x) 有唯一零点，综上，当 a\leq0 ， f'(x) 无零点，当 a>0 时，有唯一零点.【例5】（2015广东理数19-2）设 a>1 ，函数f(x)=(1+x^2)e^x-a .证明 :f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【分析】还是求零点个数问题，用单调性+存在性来求解.【解析】 f(x) 的单调性，用求导法：f'(x)=e^x(x+1)^2\geq0 ，当且仅当 x=-1 时， f'(x)=0 ，所以 f(x) 是定义域上的单调递增函数.当 x>lna 时， f(x)>f(lna)>0 .当 -\sqrt{e-1}<x<-1 时，f(x)<\frac{e}{e}-a<0 ,由零点存在性定理及单调性，得证：:f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【总结】通过上面五题，是否明白求解零点个数问题的基本方法，如果遇到复杂函数，分参转化为新函数的零点个数问题不失为一种思路；具体求解过程，先判断函数的单调性，再确定每个单调区间函数的零点存在性.但是对于开区间上零点的存在，往往很难通过取点来确定函数值的符号，我们也不容易用极限的思想来解释。
运用数形结合探究函数零点问题专题
运用数形结合探究函数零点问题1.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞1，9x （1－x ）2，x ≤1.若函数g(x)＝f(x)－k 仅有一个零点，则k 的取值范围是________．2．若偶函数y ＝f(x)，x ∈R ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，且x ∈[0，2]时，f (x )＝2－x 2，则方程f (x )＝sin|x |在[－10，10]内的根的个数为________．3．方程|e x －1|＋ax ＋1＝0有两个不同的解，则实数a 的取值范围是________．4．(2018·南京、盐城二模)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．5．我们把形如y ＝b|x|－a(a ＞0，b ＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x|的交点个数为n ，则n ＝________.6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧k x －1，x ≤0，ln x ， x ＞0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为________．7.已知函数f(x)＝－x 2＋2e x ＋m －1，g(x)＝x ＋e 2x(x ＞0)．(1)若g(x)＝m 有实根，求m 的取值范围； (2)试确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．8．已知函数f(x)＝x sin x －32，判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2. 解析：作出函数图像，易得k 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2.2．答案：10.解析：偶函数 f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，故函数f (x )的周期为 4.当x ∈[0，2]时，f (x )＝2－x 2，故当x ∈[－2，0]时，f (x )＝2－x 2.则方程f (x )＝sin|x |的根的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝sin|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )与函数y ＝sin|x |在[0，10]上的图象，可知有5个交点，故函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝sin|x |的图象在[－10，10]上有10个交点．3．答案：(－∞，－e)．解析：化为|e x－1|＋1＝－ax ，令f (x )＝|ex－1|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，2－e x，x ＜0，作出图像可知，y ＝－ax 与f (x )应在x ≥0上有两个不同的交点，考虑相切时，设切点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－ax 0，y 0＝e x 0，－a ＝e x 0，所以x 0＝1，此时P (1，e)，所以－a ＞e ，得a ＜－e. 4．答案：[－4，0)． 解析：当x ＜0时，f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)＜0，所以f (x )在x ＜0时单调递减，如图，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ，x ≥0的图象，设f (x )－1＝m ，则f (x )＝1＋m ①，f (m )＝0②.若t ≥0，则函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有1个或2个不同的零点，不合题意，所以t ＜0.由②得，m ＝0或m ＝m 1＜0，当m ＝0时，由①得，f (x )＝1，此时f (x )＝1有2个不同的根；当m ＝m 1＜0时，由①得，f (x )＝1＋m 1，此时f (x )＝1＋m 1也必须有2个不同的根，所以1＋m 1≥0，所以－1≤m 1＜0，又－m 13＋3m 12＋t＝0，所以t ＝m 13－3m 12，且t ＝m 13－3m 12在－1≤m 1＜0时单调增，所以t 的取值范围为[－4，0)．5．答案：4.解析：由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝错误!在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．6．答案：(－1，0)∪(0，＋∞)．解析：设f (x )＝t ，则方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，等价于f (t )＝0，t ＝f (x )有唯一解．情形1：当k ＝0时，由f (t )＝0得t ≤0或t ＝1，而f (x )＝t 时，解得x ≤1，与题意矛盾；情形2：当k ＞0时，由图1可知，由f (t )＝0得t＝1，而f(x)＝t＝1时，解得x＝1，适合题意；情形3：当k＜0时，由图2可知，由f(t)＝0得t ＝1，要使f(x)＝t＝1有唯一解，则－k＜1，即－1＜k ＜0；综上，k∈(－1，0)∪(0，＋∞)．7．答案：(1)[2e，＋∞)；(2)(－e2＋2e＋1，＋∞)．解析：(1)∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根．(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)和f(x)的图象如图．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m －1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．8．答案：2个．解析：f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：易得，f(x)＝x sin x－32，从而f(0)＝－32＜0，f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0.又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，所以f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内至少存在一个零点．又可得出f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有且只有一个零点．当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋x cos x，由g⎝⎛⎭⎪⎫π2＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cos x－x sin x知，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，g′(x)＜0，从而g(x)在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．①当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，m时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫π2，m上单调递增，故当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m时，f(x)≥f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，故f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m上无零点；②当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)上单调递减．又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)的图象在[m，π]上连续不断，从而f(x)在区间(m，π)上有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．。
专题19 运用数形结合思想探究函数零点问题作业业(1)
6. 已知函数 f(x)＝x－k 1，x≤0， 若关于 x 的方程 f(f(x))＝0 有且 lnx， x＞0，
仅有一个实数解，则实数 k 的取值范围为________．
遇难心不慌 遇易心更细
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江苏省太仓高级中学 2019 届高三二轮专题复习导学案
（二）解答题： 7. 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ex2(x＞0)．
(1)若 g(x)＝m 有实根，求 m 的取值范围；
专题 1 函数的性质及其应用
订正反思
(2)试确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．
8. 已知函数 f(x)＝xsinx－32，判断函数 f(x)在(0，π)内的零点个 数，并加以证明．
保持平常心 轻松迎高考
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江苏省太仓高级中学 2019 届高三二轮专题复习导学案 （作业）
专题 19 运用数形结合探究函数零点问题作业
班级
姓名
（一）填空题：
1. 已知函数 f(x)＝2x，x＞1，
若函数 g(x)＝f(x)－k 仅有
9x（1－xห้องสมุดไป่ตู้2，x≤1.
一个零点，则 k 的取值范围是________．
订正反思
2. 若偶函数 y＝f(x)，x∈R，满足 f(x＋2)＝－f(x)，且 x∈[0，2] 时，f(x)＝2－x2，则方程 f(x)＝sin|x|在[－10，10]内的根的个数 为________．
3. 方程|ex－1|＋ax＋1＝0 有两个不同的解，则实数 a 的取值范围是 ________．
－x3＋3x2＋t，x＜0，
4. 已知函数 f(x)＝
t∈R.若函数 g(x)＝
x，
用数形结合解零点问题-万莲艳
高考数学《语数外学习》（高中版）2011年10月号中旬刊?用数形结合解零点问题JIETI YANJIU解题研究■万莲艳“数缺形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚语），数形结合指的是在解决数学问题时，使数的问题，借助形去观察，而形的问题，借助数去思考.函数的零点就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，数形结合能给零点问题的解决带来方便.一、零点个数问题【例1】函数f (x )=x +4姨+x -4的零点有________个.解析：f (x )=x +4姨+x -4的零点就是方程x +4姨=4-x 的解，在同一平面直角坐标系中画出y =x +4姨和y=4-x 的图象(如图1)，可见函数f (x )=x +4姨+x -4的零点个数为1.评注：函数f （x ）＝x +4姨＋x －４的图象不容易画，所以转化为容易画的y ＝x +4姨和y ＝４－x 的图象的交点问题加以观察．【例2】讨论函数f (x )=|x 2-1|-a 的零点个数.解析：在同一平面直角坐标系中画出y =|x 2-1|和y=a 的图象(如图2)，可见：高考数学《语数外学习》（高中版）2011年10月号中旬刊①当a <0时，y =|x 2-1|和y=a 没有公共点，函数f (x )=|x 2-1|-a 的零点个数为0；②当a =0或a >1时，y =|x 2-1|和y=a 有2个公共点，函数f (x )=|x 2-1|-a 的零点个数为2；③当a =1时，y =|x 2-1|和y=a 有3个公共点，函数f (x )=|x 2-1|-a 的零点个数为3；④当0<a <1时，y =|x 2-1|和y=a 有4个公共点，函数f (x )=|x 2-1|-a 的零点个数为4.【例3】若存在区间[a ，b ]，使函数f (x )=k +x +2姨(x ∈[a ，b ])的值域是[a ，b ]，求实数k 的范围.解析：因为f (x )=k +x +2姨在[-2，+∞]上递增，若存在区间[a ，b ]，使f (x )在[a ，b ]上的值域是[a ，b ]，必有f (a )=af (b )=姨b.问题转化为“求k 的范围，使关于x的方程k +x +2姨=x 有两个不等实根”.在同一平面直角坐标系中画出y =x +2姨和y=x +2的图象(如图3)，可见当k =-2时，y =x +2姨和y=x-k 的图象有两个不同的公共点.姨得：x 2-(2k +1)x +k 2-2=0，Δ=4k +9.所以当k =-94时，直线y=x-k 与曲线y =x +2姨相切.结合图形观察得，当-94<k ≤-2时，y =x +2姨和y=x-k 的图象有两个不同的公共点，此时关于x 的方程k +x +2姨=x 有两个不等实根.所以k 的范围是(-94，2].评注：由于画图精确性的限制，直线与曲线相切时的k 的值，并不能通过图象观察得出，这时要以数助形，运算求解．二、零点所在区间问题【例4】函数f (x)=lg x+x-3的零点所在区间为（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)解析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y=-x +3的图象(如图4).它们的交点横坐标x 0，显然在区间(1，3)内，由此排除A 、D.至于选B 还是选C ，单凭直观比较困难了，这时要比较x 0与2的大小.当x =2时，lg x =lg2，3-x =1.由于lg2＜1，因此x 0＞2，从而判定x 0∈(2，3)，故本题应选C.评注：数形结合，要在结合方面下功夫．本题不仅要通过图象直观估计，而且还要计算两个函数值，通过比较其大小进行判断．【例5】(2007年广东高考题)已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ，如果函数y=f (x )在区间[-1，1]上有零点，求a 的取值范围．解析：当a =0时，函数y=f (x )在区间[-1，1]上没有零点.当a ≠0时，f (x )的零点就是关于x 的方程2x 2-1=-2a (x -32)的根.在同一平面直角坐标系中，画出函数JIETI YANJIU解题研究高考数学《语数外学习》（高中版）2011年10月号中旬刊y =2x 2-1与y=k (x -32)的图象(如图5).若过定点A (0，32)的直线y=k (x -32)与抛物线相切于x 轴下方，由2x 2-1=k (x -32)中的Δ=k 2-12k +8=0，解得k =6-27姨(当k =6+27姨时，切点在x 轴上方).设直线x =1与y =2x 2-1交于B 点，直线AB 的斜率k =-12.所以使y=k (x -32)与y =2x 2-1(x ∈[-1，1])有公共点的k 的范围是[-12，6-27姨].解不等式-12≤-2a ≤6-27姨得，实数a 的取值范围为(-∞，-3-7姨2]∪[1，+∞).评注：此题是一元二次方程根的分布问题，涉及到在区间内有一个根、两个根等情况．此题有多种解题方法，此处数形结合的应用可以减少分类讨论．三、零点值的问题【例6】若函数f (x )=e x+x -3的零点是x 1，g (x )=ln x +x -3的零点是x 2，求x 1+x 2的值.解析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=e x 、y =ln x 与y=-x +3的图象(如图6).设y=e x 与y=-x +3交于点A (x 1，y 1)，y =ln x 与y=-x +3交于点B (x 2，y 2)，因为y=e x 和y =ln x 互为反函数，所以A 、B 两点关于直线y=x 对称，有y 1=x 2.又A (x 1，y 1)在y=-x +3上，所以x 1+x 2=x 1+y 1=3.四、二分法确定函数的零点【例7】若函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：f （１）＝－２f （１．５）＝０．６２５f （１．２５）＝－０．９８４f （１．３７５）＝－０．２６０f （１．４３７５）＝０．１６２f （１．４０６２５）＝－０．０５４那么方程x 3+x 2-2x -2=0的一个近似根（精确到0.1）位（）A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5解析：因为f (1.40625)·f (1.4375)<0，且1.4375-1.40625<0.1，故选C评注：根据表中参考数据得出零点所在最小区间，再比较各选项可得出答案。
数形结合思想在函数上的应用练习题(含答案)
数形结合思想在函数上的应用练习题1、已知函数x x x f )21(|lg |)(-=有两个零点21x x ，，则有（ ）A 、1021<<x xB 、121=x xC 、121>x xD 、021<x x2、已知函数)(x f 是定义域为R 周期为3的偶函数，且当]5.1,0[∈x 时，)1ln ()(2+-=x x x f ，则函数)(x f 的图像在区间]3,3[-上与x轴交点的个数是（ ）A 、3B 、 5C 、 7D 、93、已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)( 则函数)(x f y =的图像在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（ ） A 、 6 B 、 7 C 、 8 D 、94、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈都有)2()2-(+=x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]6,2(-∈x 内有关于x 的方程)1(0)2(l o g )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、)2,1(B 、 ),2(∞+C 、)4,1(3D 、)2,4(3 5、已知函数⎩⎨⎧>≤+=0log01)(2x xx x x f ，则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、1 6、函数xy -=11的图像与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8 7、方程lg sin x x =的实根的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8、函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、()1，+∞B 、()-11，C 、(][)-∞-+∞，，11D 、()()-∞-+∞，，119、若不等式x a x a +≥>()0的解集为{}n x m x ≤≤|，且||m n a -=2，则a 的值为（ ） A 、 1B 、 2C 、 3D 、 410、用},,min{c b a 表示c b a ,,三个数中的最小值，设}102,2min{)(x x x f x -+=，, (x ≥0),则)(x f 的最大值为 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、711、)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)()()(4)()(x g x xx g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）A 、),1(]0,49[∞+- B 、),0[∞+ C 、),49[∞+-D 、),2(]0,49[∞+- 12、对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x xx R =-⊗-∈若函数()y f x c=-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A 、(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭B 、(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭C 、11,,44⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 、),41[)43,1(+∞--13、函数()cos f x x =在[0,)+∞内零点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、无穷个14、函数⎩⎨⎧≤+>+-=01202ln )(2x x x xx x x f 的零点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 15、方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( )A 、2B 、3C 、4D 、以上均不对16、已知，则方程的实根个数为01<<=a ax x a |||log |()A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或2个或3个17、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10621100|lg |)(x x x x x f 若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ）A 、(1,10)B 、(5,6)C 、(10,12)D 、 (20,24)18、设函数R x x x x x x f ∈--+=2|cos sin |cos sin )(，若在区间],0[m 上方程23)(-=x f 恰有4个解，则实数m 的取值范围是（ ）A 、)617,35[ππ B 、)613,32[ππ C 、 ]3,[ππ D 、)4,2(ππ 19、已知函数⎩⎨⎧≤<-≤-=-30)1(012)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=21)(有且只有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A 、)21,0()0,21[ -B 、]21,0()0,21[ -C 、)21,21[-D 、]21,21[-20、已知函数1)1ln()(-+-=x x x f ，则函数)(x f （ ） A 、没有零点 B 、有唯一零点C 、有两个零点21,x x ，并且21,0121<<<<-x xD 、有两个零点21,x x ，并且3121<+<x x 21、奇函数R x x f ∈)(满足在),0(∞+内只有0)4(=f ,且在区间[]3,0上递减，在区间[)∞+，3上递增，则不等式0)()4(2<-x f x 的解集为 ( )A 、{}424|<<-<x x x 或B 、{}2024|><<--<x x x x 或或C 、{}42024|<<<<--<x x x x 或或D 、{}4224|><<--<x x x x 或或 22、用},min{q p 表示q p ,两个数中的最小值，设}log,log213min{)(22x x x f -=,则满足1)(<x f 的x 的集合为 （ ）A 、)2,0(B 、),0(+∞C 、),16()2,0(+∞D 、),161(+∞23、若集合})0(sin 3cos 3|),{(πθθθ<<⎩⎨⎧===y x y x M ，集合}|),{(b x y y x N +==，且∅≠N M ，则b 的取值范围是 。
微专题35 运用数形结合思想探究函数零点问题
当 k＝0 时，直线与曲线恰有四个不同的交点；当 k＞0 时，直线 y 2 2 ＝kx＋1 与 y＝－ x(x＜－1)相切时恰有四个不同交点，即 kx＋1＝－x 有 且仅有一解，所以二次方程 kx ＋x＋2＝0 的判别式 Δ＝1－8k＝0，故 k 1 1 ＝8；当 k＜0 时，同理求得 k＝－8.综上所述，满足条件的实数 k 的取
2
x2＋(4a－3)x＋3a，x＜0， 变式 2 已知函数 f (x)＝ (a＞0， 且 a≠1) loga(x＋1)＋1，x≥0
在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f (x)|＝2－x 恰有两个不相等的实数 1 3 2 解，则 a 的取值范围是 ， ∪ . 3 3 4
解析： 由 y＝loga(x＋1)＋1 在[0， ＋∞)上递减， 得 0＜a＜1.又由 f (x)
02＋(4a－3)· 0＋3a≥f (0)＝1， 在 R 上单调递减，则3－4a ≥ 0 ， 2
1 3 解得3≤a≤4.如
图所示，
在同一坐标系中作出函数 y＝|f (x)|和 y＝2－x 的图象． 由图象可知， 在[0，＋∞)上，|f (x)|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x)| 2 ＝2－x 同样有且仅有一个解．当 3a＞2，即 a＞3时，由 x2＋(4a－3)x ＋3a＝2－x(其中 x＜0)，得 x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中 x＜0)，则 Δ 3 1 ＝(4a－2) －4(3a－2)＝0，解得 a＝4或 a＝1(舍去)；当 1≤3a≤2，即3
微专题35
运用数形结合思想探究函数 零点问题
热点追踪
运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点与难点， 解 决此类问题的难点是函数形式的有效选择． 本专题主要研究运用数形结 合思想探究函数零点问题， 并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的 灵活运用.
数形结合解决含参零点问题——以近两年浙江各地市模拟题为例
高中数学教学中,我们处处面临着教学选择 ．
无论是 同
这样,由于对 各 种 解 法 及 其 教 育 功 能 没 有 深 入 研 究,
一个问题的 多 种 理 解、同 一 道 题 目 的 多 种 解 法,还 是
导致在遇到好的教育材料时常常不能好好利用 ．
离等方法求解,但 随 之 而 来 的 往 往 是 分 类 多 和 计 算 复
杂问题,如何在直接和间接、函数 和 方 程 之 间 进 行 合 理
选择与转化,实现复杂问题简单 化、陌 生 问 题 熟 悉 化 就
显得很重要 ．
本文中 以 一 道 模 考 题 为 例,通 过 对 通 性 通
法和变量分离 法 进 行 优 化,利 用 半 分 离 法 结 合 两 部 分
评注:通性通法为直 接 法,即 先 构 造 差 函 数,通 过
讨论差函数的单调 性 得 到 交 点 个 数 ．
但分类情况较多
a
≤０ 即 a≤０ 时,
x)min ＝g(
１)＝a＋１．
g(
２
① 若 g(
１)＞０,则 g(
x)在(
０,
２]上没有零点;
② 若 g(
１)＝０,则 g(
x)在(
０,
２]上有一个零点;
(
２a＋２
a
－
以及特殊点函数 值 g e
) ＜０ 都 是 学 生 容 易 出 错
且不易想到 的 地 方,选 择 符 合 预 期 符 号 的 特 殊 点,可
以从与极值 点 有 明 确 的 大 小 关 系 和 特 殊 点 的 函 数 值
较易计算这两个角 度 出 发 ．
基于降低思维难度和减少
押题第5道 运用数形结合思想探究函数零点问题(原卷版)
【押题背景】运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点与难点，解决此类问题的难点是函数形式的有效选择．本专题主要研究运用数形结合思想探究函数零点问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用.【押题典例】典例1 已知函数()()212f x x mx x R =++∈，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】()01，【解析】若0m ≥，则()212f x x mx =++在[]0,2上递增， ()212f x x mx =++有最小值12，不合题意，0m ∴<，要使()f x 在[]0,2的最大值为12，如果22m -≥，即4m ≤-，则()91222f m =+≤，得522m -≤≤-矛盾，不合题意；如果22m-<，则2915222{?{?22112242m m m m m +≤-≤≤-⇒⇒=-≥--≤， 2m ∴=-， ()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有四个零点，则()y f x =与2y ax =有四个交点，只有2y ax =押题第1道运用数形结合思想探究函数零点问题开口向上，即0a >，当2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根， 0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有三个不同的零点，要使函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的开口要比2y x 的开口大，可得1a <， 01a ∴<<，即实数a 的取值范围为()0,1，故答案为()0,1.典例2、设()f x 为偶函数，且当(]2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列． 其中，正确命题的序号是_______． 【答案】①②③【解析】当4a =时()()[)()()[)20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数∴可画出()f x 的图象，如下所示：可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确；若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，即[]01m ∀∈，，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立，又当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--，0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，上恒成立，a x ∴≤在[)2x ∈+∞，上恒成立，2a ∴≤，由于偶函数()f x 的图象，如下所示：直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确；对()1m ∀∈+∞，，偶函数()f x 的图象，如下所示：()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()gx 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．故答案为：①②③【押题匹配】1、（2020·江苏省高三月考）已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】1(,2e【解析】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点,设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图，由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点；当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x '=，∴1k a =，∴1ln 12a a a+=，解得a =∴k =此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k e>时，两函数图象至多有两个交点；∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(2k ∈.故答案为：1(2.【押题变式】1、（2020·江苏省高考模拟）定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为___．2.（2020·江苏省高三期中）若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 3.（2020·江苏省金陵中学高三开学考试）已知是定义在R 上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 ．4. （2020·江苏省扬州市高三期末）已知f (x )是定义在R 上且周期为32的周期函数，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，32时，f (x )＝1－||2x －1.若函数y ＝f (x )－log a x (a >1)在(0，＋∞)上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值________． 5. （2020·江苏省西亭高级中学高三月考）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，则k 的取值范围是________．6. （2020·南京市中华中学高三月考）已知若函数()20,01,93,1x f x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，()ln g x x =，若函数)(x f )3,0[∈x |212|)(2+-=x x x f a x f y -=)(]4,3[-a()()(0y f x g x m x =+->)恰有两个不相等的零点，则实数m 的取值范围为______.7. （2020·苏州市相城区陆慕高级中学高三月考）函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________．8. （2020·江苏省如皋中学高三月考）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x π+=，且当[0,]x π∈时，0()1<<f x ；当(0,)x π∈且2x π≠时，有2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭()0f x '>，则函数()sin y f x x =-在[2,2]x ππ∈-是的零点个数是_______9. （2020·江苏省高三开学考试）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ，x ≥0，t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．10、(2020·南京二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋n 有三个零点，则实数n 的取值范围是______．。
专题25 用数形结合法求解零点型-2021年高考数学复习压轴题解法分析与强化训练附真题及解析
专题25 用数形结合法求解零点型[真题再现]例 1 （2020·江苏七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)三调·13）已知函数22(1), 0()2, 0k x f x xx k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】(27，+∞)【分析】由()()()g x f x f x =-+知，()()()g x f x f x =-+是偶函数，研究“一半”，问题转化为22(), 0k g x x k x x =+->有且仅有两个不同的零点，分离函数得()21210x x k x=-+>，两边均为基本则0202000222110x x k x x k x ⎧=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪>⎪⎩，解得03x =，切点为13,3⎛⎫⎪⎝⎭再考虑两曲线有两个交点，当且仅当对于二次函数21y x k =，当3x =时，其函数值13y <，即图象在13,3⎛⎫⎪⎝⎭的下方 所以当21133k ⨯<时，即k ＞27时，上述两个函数图象有两个交点 综上所述，实数k 的取值范围是(27，+∞)． 点评：1.本题解法较多，但利用“形”最简单，只要函数分离的恰当，这种题实现“分分钟”解决也是可及的.2.有关函数零点的问题解法灵活，综合考察函数的图象与性质、导数的几何意义、分离函数的意识、分离参数的意识等，综合性强，较难把握.3.利用“数学结合法”求解零点问题的要点有二.一是分离函数，基本策略是“一静一动、一直一曲，动直线、定曲线”,函数最好是基本初等函数；二是求解过程中的“临界状态”的确定，若是一直一曲，一般相切是“临界状态”，若是两曲，一般公切是“临界状态”（曲线的凸凹性相反，即曲线在公切线的两侧）例2 （2020·南通五月模拟·13）已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ．【答案】2(,)4e -∞-【解析】2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，是偶函数，问题转化为2=0x e mx +，即2=x e mx -（0x >）有两个零点易知0m <，两边均为曲线，较难求解.两边取自然对数，()=ln 2ln x m x -+，即()ln 2ln x m x --= 问题即为：()()ln g x x m =--与()2ln h x x =有两个交点先考察直线y x b =+与()2ln h x x =相切，即只有一点交点的“临界状态”设切点为00(,2ln )x x ，则002()1h x x '==，解得02x =，此时切点为(2,2ln 2)代入2ln22b =-再求()()ln g x x m =--与()2ln h x x =有两个交点时，m 的取值范围 由图象知，当()()ln g x x m =--在直线y x b =+下方时，满足题意 故()ln 2ln 22m b --<=-，解之得24e m <-，此时也符合0m <所以实数m 的取值范围是2(,)4e -∞-．点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数. 例3 若函数3||()2x f x kx x =-+有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ． 【答案】 27(,)32-∞-⋃+∞(0,) 【分析】本题的难点是“分离函数”，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应综合考虑的重要因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：3||2x kx x =+2||(2)x kx x x =+、3||(2)x k x x=+，31(2)x x k x +=，···，但利用31(2)x x k x +=较简单.[强化训练]1．已知关于x 的方程2x kx x =-有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是______.2. 若函数有两个零点,则实数的取值范围是 . 3．已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是____________.4. 已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是____________.5．若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为____________. 6. 已知函数()f x ax =，ln ()x g x x =，其中a 为实数．若关于x 的方程()()f x g x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，则实数a 的取值范围为 ． 7.已知关于x 的方程33kx x x =+有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.8. 已知函数32, 0(), 0ax x x f x x x ⎧++<⎪=⎨>⎪⎩，若函数()(1)(1)g x f x f x =-+-有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．9. （2020·衡水中学八调）已知函数22()(21)(31)(2)(2)xx f x a a ea x e x =---+++有四个零点，则实数a 的取值范围是__________．10．已知函数3()f x x a a x=--+，，若关于的方程()2f x =有且仅有三个不同的实根，且它们成等差数列，则实数取值的集合为 ．【参考答案】 1．【答案】102k <<()(0a 1)xf x a x a a =--≠＞），且a a R ∈x a。
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配套练习
1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341
,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是
（B ）
A.4
B.3
C.2
D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ C ）
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,81
B.⎪⎭
⎫
⎝⎛21,41
C.⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 D.(1,2)
3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ A ）
A. ()41f x x =-
B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x f x e =-
D.)21
ln()(-=x x f
4．（10上海理）若0x 是方程31
)21
(x x =的解，则0x 属于区间（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 .
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 .
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,0
5．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）
A ．（0，1）.
B ．（1，1.25）.
C ．（1.25，1.75）
D ．（1.75，2） 6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()1,2--
B ．()0,1-
C ．()1,0
D ．()2,1
7．（10天津文）函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()1,2--
B ．()0,1-
C ．()1,0
D ．()2,1
8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）
A ．[]2,4--
B ．[]0,2-
C ．[]2,0
D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()x
x f x -+
=11
2的一个零点，若()01,1x x ∈，
()+∞∈,02x x ，则（ ）
A ．()01<x f ，()02<x f
B ．()01<x f ，()02>x f
C ．()01>x f ，()02<x f
D ．()01>x f ，()02>x f
10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，
，的图象和函数2()log g x x =的
图象的交点个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
11．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）
A .()41f x x =-
B .()2(1)f x x =-
C .()1x f x e =-
D .()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=21ln x x f
12．（09重庆理）已知以4T =
为周期的函数(1,1]
()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中
0m >。
若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A
8
)3
B
．3 C ．48(,)33 D
．4
(3
13．（10福建理）函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20
,322x x x x x x f 的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
14.（11天津）．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,
, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩
设函数
()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
A ．(]3,21,2⎛
⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭
B ．(]3,21,4⎛
⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭
C ．111,,44⎛⎫⎛⎫
-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．311,,44⎛⎫⎡⎫
--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
15（11陕西）函数f(x)=x —cosx
在[0，+∞）内 （ ）
（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点
16.（11重庆）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为
（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 13 17、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是 }1|{>a a .
18、方程 96370x x -•-=的解是 7log 3 ．. 19、已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：
给出下列四个命题：
①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③
方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根
其中正确的命题是 ①③④ ．（将所有正确的命题序号填在横
线上）.
20、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则
1234_________.x x x x +++= -8
21．（11北京）已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个
不同的实根，则数k 的取值范围是_______
22．（08湖北文）方程223x x -+=的实数解的个数为 ．
23．（08上海理）方程210x +-=的解可视为函数y x =的图像与函数
1
y x
=
的图像交点的横坐标．若方程440x ax +-=的各个实根12(4)k x x x k L ，，，≤所对应的点4i i x x ⎛⎫
⎪⎝⎭，（12i k =L ，，，）均在直线y x =的同侧，
则实数a 的取值范围是 ．
24．（09山东理）若函数()a x a x f x --=()1.0≠>a a 有两个零点，则实数a 的取值范围是 。
25．（09山东理）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程()()0>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根
1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=
26．（10全国I 理）直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 。
27．（07全国II 理）已知函数()x x x f -=3。
（1）求曲线()x f y =在点()()t f t M ,处的切线方程；
（2）设0>a ，如果过点()b a ,可作曲线()x f y =的三条切线，证明：
()a f b a <<-。
28．（08四川理）已知3x =是2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．
（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．
29．设函数329
()62
f x x x x a =-+-
（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围
30．设函数0),(,)1(3
1
)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中
（Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <。
若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围。
31．设函数()c bx x a x x f ++-=
2
32
31，
其中0>a 。
曲线()y f x =在点()()0,0f P 处的切线方程为1y =。
（1）确定,b c 的值；
（2）设曲线()y f x =在点1122(,())(,())x f x x f x 及处的切线都过点()2,0。
证明：当
12x x ≠时，12()()f x f x ''≠；（3）若过点()2,0可作曲线()y f x =的三条不同切线，
求a 的取值范围。